平成２９年１１月２６日

[流れ星]

　　　　　第353回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：10月29日〜11月26日＞

［存在する範囲］

　過去の大学入試問題です。次のことを参考にして解いてください。

問題１は与式を同時に満たすｙ、ｚの組が存在するためのｘの条件を求める。

問題２は与式を満たす実数ｘ、ｙ（ｘ≠ｙ）の組が存在するためのｋの条件を求める。

ここから、問題です。

NO1「早起きのおじさん」 11/07 16時03分　受信 更新

「早起きのおじさん」 11/08 11時11分　受信 更新 11/26

問題1

4つの式を同時に考えるのは、難しいので少しずつ考えます。

それぞれの式は、空間を平面で分けた一方を表します。

各不等式は、次の様です。

(1) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　　　　　　　　　　　　　図A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図B

(3) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

　図C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図D

さて、4つのうち3つを同時に考えてみます。

（直線に添えてあるのは、どの2つの平面の交線かを示します）

　図E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図F

　　　　　　　　　　　　　　図G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図H

3つずつを同時に考えると、図E、図F、図G、図Hのようになります。

さて、4つを同時に考えるには、図Hの中に(1)の不等式の要素を加味します。

すると、図Hの三角形で、三角柱が切られることになります。

三角形の頂点の座標は、

　

よって、 であることが、分かります。

問題2

式(1)において、xとyとを入れかえると、式(2)になるので、互いに逆関数の関係です。

グラフをかくと、2つは、直線y＝xに関して対称になります。

式(1)のグラフを赤、式(2)のグラフを青でかいてみます。

ｋの値により、いろいろな場合があります。

○ｋが正で値が大きいとき、2つは4つの点を共有します。

うち2つは、ｘ　と　ｙ　

の値が異なり、条件をみたします。

図A (1)と(2)が4点で交わる　　　図B　(1)と(2)が原点で接する　　　図C　(1)と(2)が2点で交わる

式(1)において、

なので、(1)のグラフの原点での、微分係数は、x＝0として、−kです。

(2)のグラフは、(1)の逆関数なので、−kの逆数をとって、原点での微分係数は、 です。

図Bの場合を考えます。

とすると、

より、ｋ＝1のとき、2つのグラフは、原点で接します。

○ｋ＝0のときは、ｘ＝ｙ＝0なので、条件をみたしません。

図D

○ｋが負の値をとる場合を考えます。

上の計算から、ｋ＝−1のとき、2つのグラフは接します。（図F）

また、y＝x上では、

x＝0は、原点なので、 のときの微分係数は、(3)に代入して、

(2)のグラフは、(1)の逆関数なので、逆数をとって、 上での微分係数は、 です。

より、ｋ＝−3のとき、2つのグラフは、y＝x上で接します。

図E　2点で交わる　　図F　原点で接する　図G　2点で交わる　図H　y＝x上で接する　図I　4点で交わる　

まとめると、ｋ＞1，ｋ＜−3となります。

「早起きのおじさん」 11/15 22時14分　受信 更新 11/26

別解です。

問題1

(4)を として、(1)に加え整理すると、

(2)を として、(3)に加え整理すると、

この2式を合わせると、

この条件と、(1)とで最小の を考えると、

よって、

問題2

(1)から(2)を引いて、整理すると、

ここでは、 を考えるので、 で約して整理すると、

(k＝0のときも となるので、 として考えます)

この直線と(1)を連立させて考えます。

○ｋ＞0でk＝1のときを考えます。

下の左のグラフになります。

原点で2つのグラフは接します。

0＜k＜1のとき、赤の直線は、ｙ切片が負になり、放物線と共有点がなくなります。

ｋ＞1のとき、赤の直線は、ｙ切片が正になり、放物線と共有点が2つになります。

○ｋ＜0で＝−3のときを考えます。

上の右のグラフになります。

で2つのグラフは接します。

ｋが負で絶対値が大きくなると、赤の直線のｙ切片は1に近づくように、だんだん下がってきます。

ｋが負で絶対値が大きくなると、青の放物線の頂点は段々上がっていきます。

0＞ｋ＞−3のとき、2つのグラフの共有点はありません。

−3＞ｋのとき、2つのグラフの共有点が2つになります。

まとめると、ｋ＞1，ｋ＜−3となります。

NO２「浜田明巳」 　　11/07 17時21分　受信 更新 11/26

問題１
　　ｘ＋ｙ≧１・・・(1)
　　ｙ＋ｚ≦２・・・(2)
　　ｚ＋ｘ≧２・・・(3)
　　ｘ−ｙ≦１・・・(4)
　(1)，(4)から，ｙ≧１−ｘ，ｙ≧ｘ−１
　　∴ｙ≧｜ｘ−１｜・・・(5)
　(3)から，ｚ≧２−ｘ・・・(6)
　(2)より，点(ｙ，ｚ)の存在領域は，


　(5)，(6)より，点(ｙ，ｚ)の存在領域は，


　この２つの領域に共通部分があるので，点(｜ｘ−１|，２−ｘ)が，不等式(2)を満たせばよい．
　　∴｜ｘ−１｜＋(２−ｘ)≦２
　　∴｜ｘ−１｜≦ｘ
　　∴−ｘ≦ｘ−１≦ｘ
　　∴ｘ≧１／２・・・（答）

問題２
　　ｙ＝ｋ(ｘ^２−ｘ)・・・(1)
　　ｘ＝ｋ(ｙ^２−ｙ)・・・(2)
　ｘｙ平面で考える．
　ｋ＝０のとき，(ｘ，ｙ)＝(０，０)となり，直線ｙ＝ｘ上のみに共有点がある．
　　∴ｋ≠０
　(1)から，
　　ｙ＝ｋ{(ｘ−１／２)^２−１／４}
　これは，頂点(１／２，−ｋ／４)の放物線を表す．


　同様に，(2)から，


　０＜ｋ＜１，ｋ＝１，ｋ＞１のときのグラフを考えると，
　　ｋ＞１
のとき，条件を満たすことが分かる．






　ｋ＜０のときを考える．
　(1)，(2)より，
　　ｄｙ／ｄｘ＝ｋ(２ｘ−１)，ｄｘ／ｄｙ＝ｋ(２ｙ−１)
　(1)，(2)上の点(ｐ，ｐ)（ｐ≠０）における接線の傾きが−１に等しいとき，
　　ｋ(２ｐ−１)＝−１，１／{ｋ(２ｐ−１)}＝−１
　　∴ｐ＝(１−１／ｋ)／２＝(ｋ−１)／(２ｋ)・・・(3)
　ｐ＝ｋ(ｐ^２−ｐ)，ｐ≠０から，
　　１＝ｋ(ｐ−１)
　　∴ｐ＝１／ｋ＋１＝(ｋ＋１)／ｋ
　(3)から，
　　(ｋ−１)／(２ｋ)＝(ｋ＋１)／ｋ
　　∴ｋ−１＝２(ｋ＋１)
　　∴ｋ＝−３
　これはｋ＜０を満たす．
　−１＜ｋ＜０，ｋ＝−１，−３＜ｋ＜−１，ｋ＝−３，ｋ＜−３のときのグラフを考えると，
　　ｋ＜−３
のとき，条件を満たすことが分かる．










　まとめると，
　　ｋ＜−３，１＜ｋ

「浜田明巳」 　　11/08 10時47分　受信 更新 11/26

問題２（別解）
　グラフ表示ソフトＧＲＡＰＥＳを使って解く．
　　ｙ＝ｋ(ｘ^２−ｘ)・・・(1)
　　ｘ＝ｋ(ｙ^２−ｙ)・・・(2)
　(2)を(1)に代入すると，
　　ｘ＝ｋ{ｋ^２(ｘ^２−ｘ)^２−ｋ(ｘ^２−ｘ)}
　　∴ｘ＝０　または　１＝ｋ{ｋ^２(ｘ^３−２ｘ^２＋ｘ)−ｋ(ｘ−１)}・・・(3)
　ｘ＝０のとき，(1)から，ｙ＝０
　故にｘ＝ｙとなり，条件に反する．
　故にｘ≠０であり，(3)の後半から，
　　ｋ^３ｘ^３−２ｋ^３ｘ^２＋ｋ^２(ｋ−１)ｘ＋(ｋ^２−１)＝０・・・(4)
　(4)の左辺をｆ(ｘ)とおく．
　ｋ＝０とすると，−１＝０となり，矛盾するので，
　　ｋ≠０
　ｘの３次方程式ｆ(ｘ)＝０の実数解を
　　ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３（ｘ_１≦ｘ_２≦ｘ_３）
とする（ＧＲＡＰＥＳの関数sol(f(x)=0,i)（ｉ＝１，２，３）を使用し求める）．
　それらのｘの値に対して，(1)上の点を，
　　(ｘ_１，ｙ_１)，(ｘ_２，ｙ_２)，(ｘ_３，ｙ_３)
とする．
　これらの点のどれか１個でも直線ｙ＝ｘ上にないとき（｜ｘ_ｉ−ｙ_ｉ｜＞０.０１，ｉ＝１，２，３），点
　　(ｋ，−４)
を画面上に記入する．
　−１０≦ｋ≦１０で，０.０５きざみで計算し，次の図を得る．


　この図から，
　　ｋ＜−３，１＜ｋ
となることが分かる．

NO3「二度漬け白菜」 11/16 09時52分　受信 更新 11/26

問題1：

与えられた4つの不等式を同時に満たすy,zの組が存在するような
xの範囲は，x≧1/2 (答)

x+y≧1 --- �@
y+z≦2 --- �A
z+x≧2 --- �B
x-y≦1 --- �C

x＜1/2のとき，�@〜�Cを同時に満たすようなy,zの組は存在しない．
なぜなら，
x＜1/2のとき，�@〜�Cを同時に満たすようなy,zの組(Y,Z)が存在
すると仮定する．このとき，
�Aより，Y+Z≦2 --- �D
�@+�Bより，2*x+Y+Z≧3．よって，Y+Z≧3-2*x＞2 (∵x＜1/2)
しかし，これは�Dと矛盾する．

x≧1/2のとき，�@〜�Cを同時に満たすような y,z の組は
必ず存在する．
y=x，z=2-x とすればよい．
実際，y=x，z=2-x としたとき，
x+y=x+x=2*x≧1，
y+z=x+(2-x)=2≦2，
z+x=(2-x)+x=2≧2，
x-y=x-x=0≦1
となるから，�@〜�Cを同時に満たしている．

問題2：

題意を満たすような実数 k の範囲は，
k＜-3 または 1＜k (答)

y=k*(x^2-x) --- �@
x=k*(y^2-y) --- �A

k=0 は題意を満たさない．
k≠0 として考える．
2曲線�@，�Aは直線 y=x に関して対称．
よって題意の交点は直線 y=x に垂直な直線上に
2個ある．この直線を y=-x+2*t とすると，
2交点のx座標を
t-a，t+a (0＜a)
とおくことができる．
xの2次方程式 　
-x+2*t=k*(x^2-x)
が，異なる2解　t-a, t+a をもつ条件を求めればよい．
この条件は，解と係数の関係より，
2*t=(k-1)/k, t^2-a^2=-2*t/k
を満たす t,a (0＜a) が存在すること，
つまり，
a^2=(k-1)*(k+3)/(4*k^2) --- �B (tの消去)，
2*t=(k-1)/k
を満たす a,t (0＜a) が存在することと同値で，
その条件は，�Bを満たす a (0＜a) が存在すること
と同値．よって求めるkの範囲は，
k＜-3 または 1＜k (答)

以上