平成３０年２月１８日

[流れ星]

　　　　第356回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：1月21日〜2月18日＞

［平面幾何2題］

　

過去の数学オリンピックの問題です。一部改題してあります。

問題１　

３辺の長さがそれぞれＡＢ＝７，ＢＣ＝６，ＡＣ＝５の三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐをとり、Ｐより２辺ＡＢ、ＡＣへ下ろした垂線の足をそれぞれＭ，Ｎとする。Ｍ，Ｎ間の距離を最小にするようなＰの位置をＰ_０としたときＢＰ_０の長さを求めよ。また、そのときのＭ，Ｎ間の距離を求めよ。

問題２

　三角形ＡＢＣで∠Ａ＝６０°、∠Ｂ＝２０°、ＡＢ＝１のとき、

(１／ＡＣ)−ＢＣの値を求めよ。

　

NO1「早起きのおじさん」 01/23 14時42分　受信 更新 2/18

356解答　早起きのおじさん

問題1

まず、図のように、頂点AからBCに垂線AHを下します。

三平方の定理より、AHについて、

より、

より、

よって、

以上から、

ここで、BP＝t と置くと、

□AMPNは、向かい合う角の和が180°なので、△PMNについて、余弦定理から、

よって、t＝5のとき、MNは最小値をとります。

P₀の位置は、AからBCへの垂線の足のHと同じところです。

BP₀＝5

問題2

△ABDは正三角形です。

∠ABDを3等分する2点を、C、C’ とします。

△ABC’ に中線定理（パップスの定理）を用いると、

全体をACで割ると、

「早起きのおじさん」 01/25 18時22分　受信 更新 2/18

356解答＿2　早起きのおじさん

問題1

図のように、XY座標平面内に、△ABCを置きます。

頂点Aは、頂点Bは、頂点Cは です。

また、各頂点A、B、Cから対辺への垂線の足を、D、E、Fとします。

（三つの垂線は1点で交わります）

先の解答より、

点Dの座標は

よって、ベクトルは、

また、ベクトルは、

次に、辺BC上の点Pから図のように垂線を下します。

Pの座標を とすると、

△BPM∽△BCFなので、

また、△CPN∽△CBEなので、

以上から、

よって、

よって、t＝5のとき、MNは最小値をとります。

P₀の位置は、AからBCへの垂線の足のHと同じところです。

BP₀＝5

問題2

図のようにACの延長上に頂点Bから垂線を下します。

よって、

さて、

なので、

よって、

「早起きのおじさん」 02/04 06時30分　受信 更新 2/18

356解答＿3　早起きのおじさん

問題2

●図のように、辺の長さ1の正三角形5個を3段に重ねます。

頂点Bから∠ABC＝20°となるような線を引きます。（BD）

Dのところから底辺に平行な線を引きます。（DE）

すると、△BAC∽△BEDとなります。

BA：AC＝BE：ED

1：AC＝BE：1

よって、

すると、

【下】で、BC＝GEを示します。

すると、

であることがわかります。

【下】

●あらすじ

GのところからBDに平行な線GFを引きます。（GF）

このときGF＝1となるようにします。

△BAC∽△GEPです。

なので、

次に、PG×PF＝PE×PHであることを調べます。

成立すれば、方べきの定理の逆から、4点E、G、H、Fが同一円周上にあります。

すると、弧GEにたつ円周角なので∠EFG＝60°です。

そうすると、△BAC≡△GFEとなり、BC＝GEです。

●PG×PF＝PE×PHの計算等

途中、いろいろな公式を使います。

【公式】

△ABCに正弦定理を使います。（単位の「°」は省略します）

より、

PG×PF＝PE×PHであることを示すのに、比を調べます。

途中なるべく約していきます。

ここで分母と分子の次数が異なることに気づきます。

そこで、分子と分母の差を調べます。

ここで、中カッコの中は、

となり、分子と分母が等しいことがわかります。

PG×PF＝PE×PHが成立するので、方べきの定理の逆から、4点E、G、H、Fが同一円周上にあります。

NO2「Kasama」 02/03 18時31分　受信 更新 2/18

問題１

AB=c、BC=a、CA=b、BP=xとし、△BPM、△CPNに正弦定理を適用すると、

BM		x	⇒	BM	=	x cos(B)
	=
sin(90ﾟ-B)		sin(90ﾟ)

CN		a-x	⇒	CN	=	(a-x)cos(C)
	=
sin(90ﾟ-C)		sin(90ﾟ)

となります。次に△AMNに余弦定理を適用すると、

MN^2

=

AM^2+AN^2-2AM AN cos(A)

ですが、AM=c-BM=c-x cos(B)、AN=b-CN=b-(a-x)cos(C)なので、

MN^2

=

{c-x cos(B)}^2+{b-(a-x)cos(C)}^2-2{c-x cos(B)}{b-(a-x)cos(C)}cos(A)

ここで、△ABCに余弦定理を適用して、

cos(A)

=

(b^2+c^2-a^2) 2bc

、

cos(B)

=

(c^2+a^2-b^2) 2ca

、

cos(C)

=

(a^2+b^2-c^2) 2ab

を代入して整理すると、

MN^2

=

(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)(ax^2-a^2x+b^2x-c^2x+ac^2) 4ab^2c^2

です。a=6、b=5、c=7を入れると、

MN^2

=

864(x^2-10x+49) 1225

=

864{(x-5)^2x+24} 1225

よって、BP0=5のときMNは最小値

144 35

となります。

問題２

△ABCに正弦定理を適用すると、

1	=	AC	⇒	1	=	sin(100ﾟ)	･･･	�@
sin(100ﾟ)		sin(20ﾟ)		AC		sin(20ﾟ)

1	=	BC	⇒	BC	=	√3	･･･	�A
sin(100ﾟ)		sin(60ﾟ)				2sin(100ﾟ)

です。これらを変形すると、

�@

=

sin(180ﾟ-100ﾟ) sin(20ﾟ)

=

sin(80ﾟ) sin(20ﾟ)

�A

=

√3 2sin(180ﾟ-100ﾟ)

=

√3 2sin(80ﾟ)

=

√3 2cos(90ﾟ-80ﾟ)

=

√3 2cos(10ﾟ)

=

√3sin(10ﾟ) 2cos(10ﾟ)sin(10ﾟ)

=

√3sin(10ﾟ) sin(20ﾟ)

=

√3cos(90ﾟ-10ﾟ) sin(20ﾟ)

=

√3cos(80ﾟ) sin(20ﾟ)

となり、これらを差を求めると、

�@-�A

=

sin(80ﾟ)-√3cos(80ﾟ) sin(20ﾟ)

=

√{1^2+(√3)^2}sin(80ﾟ-60ﾟ) sin(20ﾟ)

=

2sin(20ﾟ) sin(20ﾟ)

=

2

となります。

NO3「二度漬け白菜」 02/04 12時16分　受信 更新 2/16

[問題 1]
四角形AMPN において，∠M=∠N=90°であるので，
四角形AMPNは円に内接する．その円をDとする．
線分APはDの直径である．線分APの中点をEとする．

三角形EMNに余弦定理を適用して，
MN^2=EM^2+EN^2-2*EM*EN*cos(∠MEN) ---(☆)

ここで，
EM=EN=EA=(1/2)*AP，
cos(∠MEN)
=cos(2*∠MAN)
=2*(cos(∠MAN))^2 - 1
=2*((7^2+5^2-6^2)/(2*7*5))^2 - 1
=-503/1225
であるので，これらを(☆)に代入して，

MN^2=(864/1225)*AP^2．

よって，
MNが最小 ⇔ APが最小
である．

Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとする．
APが最小となるのは，PがHに一致するときである．
AB^2-BH^2=AC^2-(6-BH)^2 より，
BH=(AB^2-AC^2+36)/12=5．
また，AH^2=AB^2-BH^2=24．

以上より，< br>BP_0 = BH = 5 (答)
MNの最小値は，(864/1225)^(1/2)*AH = 144/35 (答)

[問題 2]
線分AB上に，∠ADC=60°となるように 点 D をとる．
角DCBの二等分線と線分ABとの交点をEとする．
線分CE上に，∠CDF=60°となるように 点 F をとる．
三角形ADCは正三角形である．

DE：BE = DC：BC であるから，
BE=(DE*BC)/DC=(DE*BC)/AC ---(1)
また，DE+BE=DB=AB-AD=1-AC ---(2)
(1)，(2)より，
DE=AC*(1-AC)/(AC+BC) ---(3)
よって，
AE=AD+DE=AC+AC*(1-AC)/(AC+BC)=AC*(1+BC)/(AC+BC) ---(4)

∠DCF=∠ABC=20°，∠CDF=∠BAC=60°であるので，
△ABC ∽ △DCF．
よって，
AB：AC = DC：DF．
よって，
DF=(AC*DC)/AB=AC^2 ---(5)

△AEC ∽ △DEF であw)�｢襪・蕁ｙ・租：AC = DE：DF．
よって，AC*DE = AE*DF ---(6)

(3),(4),(5)を(6)に代入して，
AC*(AC*(1-AC)/(AC+BC)) = (AC*(1+BC)/(AC+BC))*(AC^2)．
よって，
BC=(1/(AC))-2．

よって，(1/(AC))-BC = 2 (答)

NO4「浜田明巳」 　　02/15 13時13分　受信 更新 2/18 　

問題１
　　cosＡ＝(ＡＢ^２＋ＡＣ^２−ＢＣ^２)／(２・ＡＢ・ＢＣ)
　　　　　＝(７^２＋５^２−６^２)／(２・７・５)＝１９／３５
　　cosＢ＝(ＡＢ^２＋ＢＣ^２−ＡＣ^２)／(２・ＡＢ・ＡＣ)
　　　　　＝(７^２＋６^２−５^２)／(２・７・６)＝５／７
　　cosＣ＝(ＢＣ^２＋ＡＣ^２−ＡＢ^２)／(２・ＢＣ・ＡＣ)
　　　　　＝(６^２＋５^２−７^２)／(２・６・５)＝１／５
　ＢＰ＝ｘ（０＜ｘ＜６）とすると，
　　ＢＭ＝ＢＰcosＢ＝５／７・ｘ° 　　ＣＮ＝ＣＰcosＣ＝１／５・(６−ｘ)
　　∴ＡＭ＝ＡＢ−ＢＭ＝７−５／７・ｘ＝(４９−５ｘ)／７，
　　　ＡＮ＝ＡＣ−ＣＮ＝５−１／５・(６−ｘ)＝(１９＋ｘ)／５
　△ＡＭＮにおいて，
　　ＭＮ^２＝ＡＭ^２＋ＡＮ^２−２・ＡＭ・ＡＮ・cosＡ
　　　　　＝(４９−５ｘ)^２／７^２＋(１９＋ｘ)^２／５^２−２・(４９−５ｘ)／７・(１９＋ｘ)／５・１９／３５
　　∴３５^２ＭＮ^２＝２５(４９−５ｘ)^２＋４９(１９＋ｘ)^２−３８(４９−５ｘ)(１９＋ｘ)
　　　　　　　　　＝６００２５−１２２５０ｘ＋６２５ｘ^２＋１７６８９＋１８６２ｘ＋４９ｘ^２−３５３７８＋１７４８ｘ＋１９０ｘ^２
　　　　　　　　　＝８６４ｘ^２−８６４０ｘ＋４２３３６
　　　　　　　　　＝８６４(ｘ−５)^２＋２０７３６
　０＜ｘ＜６より，ＭＮが最小となるとき，ｘ＝５であり，ＭＮの最小値は，
　　(２０７３６／３５^２)^１／２＝１４４／３５
　故にＢＰ_０＝５であり，ＭＮの最小値は１４４／３５である．

問題２
　正弦定理より，
　　ＢＣ／sinＡ＝ＣＡ／sinＢ＝ＡＢ／sinＣ
　　∴ＢＣ／sin６０°＝ＡＣ／sin２０°＝１／sin(１８０°−６０°−２０°)
　　∴ＢＣ＝sin６０°／sin１００°＝√３／(２sin８０°)＝√３／(２cos１０°)，
　　　ＡＣ＝sin２０°／sin１００°＝(２sin１０°cos１０°)／cos１０°＝２sin１０°
　　∴１／ＡＣ−ＢＣ＝１／(２sin１０°)−√３／(２cos１０°)
　　　　　　　　　　＝(cos１０°−√３sin１０°)／(２sin１０°cos１０°)
　　　　　　　　　　＝{２(cos１０°・１／２−sin１０°・√３／２)}／sin２０°
　　　　　　　　　　＝２・(cos１０°・cos６０°−sin１０°・sin６０°)／sin２０°
　　　　　　　　　　＝２・cos(１０°＋６０°)／sin２０°
　　　　　　　　　　＝２・cos７０°／sin２０°
　　　　　　　　　　＝２・sin２０°／sin２０°
　　　　　　　　　　＝２・・・（答）