平成３０年４月１５日

[流れ星]

　　　　第358回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：３月18日〜４月15日＞

［特別な自然数］

「ジュニア数学オピンピックへの挑戦」（日本評論社：安藤哲也著）という本から出題します。

問題１　ｎは4桁の自然数で、完全平方数であり、ｎのどの桁の数字も8以下である。ｎの各桁に１を加えてできる数も完全平方数になるという。このようなｎをすべ求めよ。

問題２　４桁の自然数ｎで、13の倍数であり、13ｎの下3桁が378になるようなものをすべて求めよ。

問題３　自然数ｎの先頭に数字２を書き足し、末尾に数字１を書き足して得られる数は、33ｎに等しいという。このようなｎを１つ見つけよ。

NO1「浜田明巳」 　　03/19 15時10分　受信 更新 4/15 　

問題１，２
　ＶＢＳＣＲＩＰＴで解いた．




問題３（８７はすぐ見つかるが，一般的に解いてみる）
　以下mod １０で計算する．
　３３ｎ≡１であり，
　　３３・１≡３
　　３３・３≡９
　　３３・５≡５
　　３３・７≡１
　　３３・９≡７
より，
　　ｎ≡７

　□７×３３＝２□７１であるから，□をｘで表すと，ｎ＝１０ｘ＋７であり，
　　(１０ｘ＋７)×３３＝２０００・・・０７１＋１００ｘ
　　∴２３０ｘ＝２０００・・・０７１−２３１
　　∴２３０(ｘ＋１)＝２０００・・・０７０
　　∴２３(ｘ＋１)＝２０００・・・０７
　故に，
　　２×１０^ｍ＋７≡０（mod ２３）
となる２以上の整数ｍを求めればよい．以下mod ２３で計算する．
　２×８＋７≡０であるから，１０^ｍ≡８となるｍを求めればよい．
　　１０^２＝１００≡８
　　１０^３≡８０≡１１
　　１０^４≡１１０≡−５
　　１０^５≡−５０≡−４
　　１０^６≡−４０≡６
　　１０^７≡６０≡−９
　　１０^８≡−９０≡２
　　１０^９≡２０≡−３
　　１０^１０≡−３０≡−７
　　１０^１１≡−７０≡−１
　　１０^１２≡−１０
　　１０^１３≡−１００≡−８
　故に次に８に等しくなるのは，
　　１０^２４≡１０^１１・１０^１３≡(−１)・(−８)＝８
　故にｍ＝２，２＋２２，２＋２２・２，・・・となるので，
　　ｍ＝２＋２２(ｋ−１)＝２２ｋ−２０（ｋは正整数）
　　∴ｘ＝(２×１０^{２２ｋ−２０}＋７)／２３−１
　　∴ｎ＝１０ｘ＋７＝１０・(２×１０^{２２ｋ−２０}＋７)／２３−３
　ｋ＝１のとき，
　　ｎ＝１０・(２×１０^２＋７)／２３−３＝８７（３３ｎ＝２８７１）
　ｋ＝２のとき，
　　ｎ＝１０・(２×１０^２４＋７)／２３−３
　　　・・・

「浜田明巳」 　　03/22 15時04分　受信 更新 4/15

問題３（続き）
　　ｎ＝(２×１０^{２２ｋ−１９}＋１)／２３
　ｋ＝２のとき，


　ｋ＝３のとき，

NO2「早起きのおじさん」 03/19 17時12分　受信 更新 4/15

問題1

nの平方根をAとします。

nの各桁に1を加えてできる数の平方根をA＋aとします。

つまり、次の式が成り立ちます。

(A＋a)×(A＋a)＝A×A＋1111　･･･　(＊)

　　

32×32＝1024　　1024＋1111＝2135　　

94×94＝8836　　8836−1111＝7725　　

まず、AとA＋aは、32から94の範囲にあります。

31より小さいと、4桁の数になりません。

95より大きいと千の位が9の数字、100を超えると5桁の数になってしまいます。

Aは、87より小さくなります。

それより大きいと、平方し1111を加えたとき8836より大きくなるからです。

A＋aは、46より大きくなります。

それより小さいと、平方し1111を引いたとき、1024より小さくなくからです。

(＊)を解きます。

展開して整理すると、

a(2A＋a)＝1111＝11×101

よって、a＝11、A＝45

n＝A×A＝45×45＝2025

問題2

n＝13a とおきます。

13n＝13×13a＝169a です。

aの一の位を考えます。

169×1＝169　　169×2＝338　　169×3＝507　　169×4＝676　　169×5＝845

169×6＝1014　 169×7＝1183　 169×8＝1352 　169×9＝1521　 169×0＝000

下1桁が8になるのは、2です。

aの十の位を考えます。

169×2＝338の十の位の3に加えて、7となるのは4で、十の位は、6です。

aの百の位を考えます。

具体的に試します。

169×162＝27378　169×262＝44278　169×362＝61178　169×462＝78078　169×562＝94978

169×662＝111878　169×762＝128778　169×862＝145678　169×962＝162578　169×062＝10478

n＝13×162＝2106

問題3

n＝ab･･･k とします。

2ab･･･k1＝33×ab･･･k です。

nの下1桁の数字を考えます。

3×k の下1桁が1となるので、次の計算を見て、k＝7です。

3×1＝3　　3×2＝6　　3×3＝9　　3×4＝12　　3×5＝15

3×6＝18　3×7＝21　3×8＝24　3×9＝27　3×0＝0

nの最上位の数字aを考えます。

上の計算をみてaは、7、8、9のどれかです。

調べていきます。

・nが1桁のとき、

　271

　33×7＝231より、適しません。

・nが2桁のとき、

　2771

　33×77＝2541より、適しません。

　2871

　33×87＝2871より、適します。

　2971

　33×97＝3201より、適しません。

nの1つは、87です。

NO3「にいばりZ12」　　　03/27 22時16分　受信 更新 4/15

問題1

ｎは4桁の自然数で、完全平方数であり、ｎのどの桁の数字も8以下である。ｎの各桁に１を加えてできる数も完全平方数になるという。このようなｎをすべ求めよ。

m²+1111が平方完成されるためには

m²+2am+a²+1111-2am-a²

において

1111-2am-a²＝0・・・�@

となればよい

m =(1111-a²)/(2a)・・・�A

分母が偶数なので分子も偶数でなければｍは自然数とならない

　よってaは奇数

　mは負でも構わないが正を調べれば十分なのでaも正とする

また、m²は8888以下1000以上なので

32≦m≦94

�@ 式のmに32及び94を代入しaを求めると

a²+2am-1111＝0

a=-m+√(m²+1111)

m=32の時

a=-32+√2135＜7

m=94の時

a=-94+√9947＞13

よってaが7以上13以下の奇数について�Aが割り切れるかどうかを調べるとｍが解ります

a=7の時

　m =(1111-49)/14＝1062/14＝531/7・・・割り切れない

a=9の時

　m =(1111-81)/18＝1030/18＝515/9・・・割り切れない

a=11の時

　m =(1111-121)/22＝990/22＝45・・・割り切れる

a=13の時

　m =(1111-169)/26＝942/26＝471/13・・・割り切れない

よってa=9の時にしかm²+1111は自然数で平方完成しないことが解りました

この時のm²の各桁が8以下であることを検証しておかなければなりません

m²＝45²＝2025

で8以下です

したがって

n＝2025・・・・・・回答

（nに1111を加えた数は3136で56²)・・・蛇足

問題２　

４桁の自然数ｎで、13の倍数であり、13ｎの下3桁が378になるようなものをすべて求めよ。

題意を掴みかねたので問題�@と�Aに書き換えさせていただきます。

�@

4桁の自然数nがあり

m=13nとする

mの下3桁が378となるようなnをすべて求めよ

先ず、13の倍数で下一桁が8になるケースを考えます

これは13×6＝78しかないのでnの下一桁は6になります

また、求める4桁の自然数nの最大は9996最小は1006。

n=1000a+100b+10c+6   (0<a≦9,0≦b≦9, 0≦c≦9でa,b,cは非負整数)

m=13n=13000a+1300b+130c+13・6

mの下3桁にはaは無関係したがって、aは1から9までのすべてをとる

1300b＝1000b+300b

この時右辺1項目はmの下3桁に無関係

よってmの下3桁を考えるとき

300b+130c+78

の下3桁が378となるものを考えればよい

b=0の時130cの下3桁が300

　これは、0≦c≦9では存在しないのでout

b=1の時130cの下3桁が000なのでc=0

b=2の時130cの下3桁が700

　これは、0≦c≦9では存在しないのでout

同様にb=3から9ですべてout（30cの下2桁目が1≦c≦9の範囲で0にならない）

よって求めるnは

1106,2106,・・・・,9106・・・回答

�A

4桁の自然数nがあり、nは13の倍数である

m=13nとする

mの下3桁が378となるようなnをすべて求めよ

　

・�@の回答の中で13の倍数となるものを考えます

割り切れるのは2016のみです。

　　2106・・・回答

問題３　自然数ｎの先頭に数字２を書き足し、末尾に数字１を書き足して得られる数は、33ｎに等しいという。このようなｎを１つ見つけよ。

自然数ｎの先頭に数字２を書き足し、末尾に数字１を書き足して得られる数をmとします

　mの末尾は1なのでnの末尾は7しかありません。

nが1桁の場合を考えます

n=7で33ｎは231でout

nが2桁の場合を考えます(mは4桁になります)

n=10a+7

m =33ｎ=330a+231

mの一桁目が2となるようなaは6,7,8しかありません。

このとき、

mは2211、2541、2871

さらに二桁目と三桁目がnとなるのは2871だけです

よって、n=87・・・・回答

感想；しばらくぶりの投稿で数学ではなく力ずくの計算になってしまったような気がします。

何か思いついたらまた追加投稿したいと思います

「にいばりZ12」　　　04/07 22時45分　受信 更新 4/15

nがk桁の場合を考えます

　　m=2×10^k+1+1+10n

　　　となりますが

　　　m=33nでなければならないので

m=2×10^k+1+1+10n=33n

n=(2×10^k+1+1)/23

k=2の時n=87が一意に定まります・・・・別解

もう一つ

2×10^k+1+1≡0　（mod23）

　　　の時のkを求めるとnの桁数が解ります

2×10^k+1≡-1≡22　（mod23）

いまk=2のとき

　　　2×10^k+1≡22　（mod23）

　が成立するのが解っているので

　　　k=3のとき

　　　　22×10=220≡13　（mod23）

　　　　が解ります

　　　　同様にk=4のとき

　　　　13×10=130≡15　（mod23）

　　　と求めていくと

　　　　2×10^k+1を23で割った時のあまりは

　　　　　12,5,4,17,9,21,3,7,1,10,8,11,18,19,6,14,2,20,16,22

　　　　　となりk=24,46,68・・・のとき22となります。

　　　　　この計算のあまりは循環するのでsを0以上の整数とし

　　　　k=2+22s

　　　　　のとき

　　2×10^k+1≡22　（mod23）が成立すること

　　　即ちmが33nに等しくなるようなnが自然数の範囲で定まることが解ります。

　　　因みにs=1の時k=24でmの桁数は26となりますが

　　　n=(2×10²⁵+1)/23＝869,565,217,391,304,347,826,087

となります。

このことから「このようなｎを１つ見つけよ」の題意が解ります。

単純ですが筆算でやるとやたら長い計算になりそろばんの得意な人が有利となってしまいます。（私は、(エクセルでは16桁までしか計算できないので)桁を区切ってmod関数を使って計算しました）

「にいばりZ12」　　　04/11 23時01分　受信 更新 4/15

問題1も少し考え直してみました

ｎは4桁の自然数で、完全平方数であり、ｎのどの桁の数字も8以下である。ｎの各桁に１を加えてできる数も完全平方数になるという。このようなｎをすべ求めよ。

mを整数としn＝m²とします

m²+1111が平方完成されるためには

m²+2am+a²+1111-2am-a²

において

1111-2am-a²＝0・・・�@

となればよい

m =(1111-a²)/(2a)・・・�A

分母が偶数なので分子も偶数でなければｍは自然数とならない

　よってaは奇数

�Aは次のように変形できます

m =(1111/a-1)/2-(a-1)/2

右辺第2項は整数なので第1項におけるaは1111の約数でなければならない

1111を素因数分解すると

11×101

よって

a =11,101

m =±45

n= m² =2025・・・・・別解

NO4「二度漬け白菜」 04/06 11時09分　受信 更新 4/15

[問題1]
条件を満たすような n は, n=2025 のみ．(答)

n=a^2，n+1111=b^2 (a，b は正整数)　とおける．
この2式より，
b^2-a^2=1111， つまり
(b-a)*(b+a)=11*101　となる．よって，
(b-a)=11 かつ　(b+a)=101
または，
(b-a)=1 かつ　(b+a)=11*101， つまり
(a,b)=(45,56) または (a,b)=(555,556)
となるが，n=a^2 が 4桁の正整数になるのは (a,b)=(45,56)のときのみ．
a=45のとき，n=a^2=45^2=2025となって，nのすべての桁の数字は8以下．
よって問題文の条件を満たすような n は，n=2025 のみ．.

[問題2]
条件を満たすような n は, n=2106 のみ．(答)

n=1000*a+100*b+10*c+d
(a，b，c，d は整数であって，1≦a≦9，0≦b,c,d≦9 )　
とおける．

8≡13*n≡13*d (mod 10) であるから，d=6．

78≡13*n≡13*(10*c+d)≡13*(10*c+6)≡130*c+78 (mod 100) であるから，
0≡130*c (mod 100)．
よって，c=0．

378≡13*n≡13*(100*b+10*c+d)≡13*(100*b+6)≡1300*b+78 (mod 1000) であるから，
300≡1300*b (mod 1000)．　
よって，b=1．

以上より n=1000*a+106 となるが，n が 13 の倍数となるのは，a=2
のときのみ．

[問題3]
問題文の条件を満たすような n の一例は，
n=8695652173913043478260869565217391304347826087 (答)

n の桁数を m (m≧1) とすると,
10^(m-1)≦n＜10^m．

n の先頭に数字 2 を書き足し，末尾に数字 1 を書き足して得られる数は，
2*10^(m+1)+10*n+1 である．これが 33*n に等しいから，
2*10^(m+1)+10*n+1=33*n  つまり，2*10^(m+1)+1=23*n．
よって，
2*10^(m+1)≡-1≡22(mod 23)
つまり，
10^(m+1)≡11(mod 23)
が成り立つ必要がある．
ここで，
10≡10，10^2≡8，10^3≡11，10^4≡18，10^5≡19，10^6≡6，10^7≡14，10^8≡2，
10^9≡20，10^10≡16，10^11≡22，10^12≡13，10^13≡15，10^14≡12，10^15≡5，
10^16≡4，10^17≡17，10^18≡9，10^19≡21，10^20≡3，10^21≡7，10^22≡1，
10^23≡10，10^24≡8，10^25≡11(mod 23) …
であるので，
m+1=22*k+3 (kは0以上の任意の整数)
とかける必要がある．
このとき，n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 となる．
さらにこのとき，n は m=22*k+2 桁の整数となる．
実際，(n,m)=((2*10^(22*k+3)+1)/23, 22*k+2)であるとき，
10^m - n
=10^(22*k+2)-(2*10^(22*k+3)+1)/23
=(3*10^(22*k+2)-1)/23
＞0，

n-10^(m-1)
=(2*10^(22*k+3)+1)/23-10^(22*k+1)
=(177*10^(22*k+1)+1)/23
＞0
であるので，
10^(m-1)≦n＜10^m．

以上より，問題文の条件を満たすような正整数 n は，
n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 (kは0以上の任意の整数)
で全てである．

n=(2*10^(22*k+3)+1)/23 において k=2 とすると，
n=8695652173913043478260869565217391304347826087
を得る．

以上．

　皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。