平成３０年９月２日

[流れ星]

　　　　第363回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：８月５日〜９月２日＞

［対称式の値］

　

＜水の流れから、「早起きのおじさん」から8月8日午後4時に指摘されましたのでここに、訂正します。歳ですね。こんなミスをして申し訳ありません。＞

NO1「早起きのおじさん」 08/08 16時01分　受信 更新 9/2

問題1

(1)

(2)

つまり、

つまり、初項 、第2項 であるフィボナッチ数列となります。

363の質問

問題2 で、

とありますが、右辺の右の項の「！」の記号の意味が分かりません。

教えてください。

「早起きのおじさん」 08/09 11時57分　受信 更新 9/2

数列の一般項は、要求がなかったので、求めませんでした。

問題1

(1)

(2)

つまり、

つまり、初項 、第2項 であるフィボナッチ数列となります。

問題2

(1)

(2)

●

つまり、

●別の考え

この式の分母を払って整理すると、

これは、

なので、1の立方根のうち、実数でないものが、(*)を満たします。

(*)の解は、

例えば、 とすると、、

置き換えて、 とすると、、

次の図で、 と とは、実軸対称の位置にあります。

また、

つまり、 と とは、逆数の関係にあります。

以上から、

つまり、

です。

NO2「浜田明巳」 　　08/22 09時44分　受信 更新 9/2

問題１
　ｘ＋ｙ＝１，ｘｙ＝−１，Ｔ_ｎ＝ｘ^ｎ＋ｙ^ｎ（ｎ＝１，２，３，・・・）
（１）Ｔ_１＝ｘ＋ｙ＝１
　　Ｔ_２＝ｘ^２＋ｙ^２＝(ｘ＋ｙ)^２−２ｘｙ＝１^２−２(−１)＝３・・・（答）
　ここで，
　　Ｔ_ｎ＋２＝ｘ^ｎ＋２＋ｙ^ｎ＋２＝(ｘ^ｎ＋１＋ｙ^ｎ＋１)(ｘ＋ｙ)−ｘｙ(ｘ^ｎ＋ｙ^ｎ)＝Ｔ_ｎ＋１＋Ｔ_ｎ
　故に数列｛Ｔ_ｎ｝はFibonacci数列である．
　　∴Ｔ_３＝Ｔ_２＋Ｔ_１＝３＋１＝４・・・（答）
　　　Ｔ_４＝Ｔ_３＋Ｔ_２＝４＋３＝７・・・（答）
　　　Ｔ_５＝Ｔ_４＋Ｔ_３＝７＋４＝１１・・・（答）

（２）（１）より，Ｔ_ｎ＋２＝Ｔ_ｎ＋１＋Ｔ_ｎ
　　Ｔ_ｎ＋２−αＴ_ｎ＋１＝β(Ｔ_ｎ＋１−αＴ_ｎ)・・・(1)
とすると，
　　Ｔ_ｎ＋２＝(α＋β)Ｔ_ｎ＋１−αβＴ_ｎ＝Ｔ_ｎ＋１＋Ｔ_ｎ
　　∴α＋β＝１，αβ＝−１
　故にα，βは，２次方程式ｔ^２−ｔ−１＝０の２解である．
　α＝(１−√５)／２，β＝(１＋√５)／２とする．
　(1)より，数列｛Ｔ_ｎ＋１−αＴ_ｎ｝，｛Ｔ_ｎ＋１−βＴ_ｎ｝は，それぞれ公比β，αの等比数列である．
　　∴Ｔ_ｎ＋１−αＴ_ｎ＝(Ｔ_２−αＴ_１)β^ｎ−１＝(３−α)β^ｎ−１＝(２＋β)β^ｎ−１，
　　　Ｔ_ｎ＋１−βＴ_ｎ＝(Ｔ_２−βＴ_１)α^ｎ−１＝(３−β)α^ｎ−１＝(２＋α)α^ｎ−１
　ここで，
　　２＋α＝(５−√５)／２＝−√５・(１−√５)／２＝−√５・α
　　２＋β＝(５＋√５)／２＝√５・(１＋√５)／２＝√５・β
　　∴Ｔ_ｎ＋１−αＴ_ｎ＝√５・β^ｎ，Ｔ_ｎ＋１−βＴ_ｎ＝−√５・α^ｎ
　辺々を引くと，
　　(β−α)Ｔ_ｎ＝√５・(β^ｎ＋α^ｎ)
　　∴Ｔ_ｎ＝β^ｎ＋α^ｎ＝{(１＋√５)／２}^ｎ＋{(１−√５)／２}^ｎ・・・（答）

問題２
　ｘ＋１／ｘ＝−１，Ｔ_ｎ＝ｘ^ｎ＋１／ｘ^ｎ（ｎ＝１，２，３，・・・）
（１）Ｔ_１＝ｘ＋１／ｘ＝−１
　　Ｔ_２＝ｘ^２＋１／ｘ^２＝(ｘ＋１／ｘ)^２−２＝(−１)^２−２＝−１・・・（答）
　ここで，
　　Ｔ_ｎ＋２＝ｘ^ｎ＋２＋１／ｘ^ｎ＋２＝(ｘ^ｎ＋１＋１／ｘ^ｎ＋１)(ｘ＋１／ｘ)−(ｘ^ｎ＋１／ｘ^ｎ)＝−Ｔ_ｎ＋１−Ｔ_ｎ
　　∴Ｔ_３＝−Ｔ_２−Ｔ_１＝−(−１)−(−１)＝２・・・（答）
　　　Ｔ_４＝−Ｔ_３−Ｔ_２＝−２−(−１)＝−１・・・（答）
　　　Ｔ_５＝−Ｔ_４−Ｔ_３＝−(−１)−２＝−１・・・（答）

（２）ｘ＋１／ｘ＝−１から，ｘ^２＋ｘ＋１＝０
　　∴ｘ＝(−１±√３ｉ)／２
　　　　＝cos(±２π／３)＋ｉsin(±２π／３)（複号同順）
　　∴Ｔ_ｎ＝ｘ^ｎ＋ｘ^−ｎ
　＝{cos(２ｎπ／３)＋ｉsin(２ｎπ／３)}＋{cos(−２ｎπ／３)＋ｉsin(−２ｎπ／３)}，
　{cos(−２ｎπ／３)＋ｉsin(−２ｎπ／３)}＋{cos(２ｎπ／３)＋ｉsin(２ｎπ／３)}
　　∴Ｔ_ｎ＝２cos(２ｎπ／３)

　ｍを整数とする．
i). ｎ＝３ｍのとき，
　　Ｔ_３ｍ＝２cos(２ｍπ)＝２
ii). ｎ＝３ｍ＋１のとき，
　　Ｔ_３ｍ＋１＝２cos(２ｍπ＋２π／３)＝−１
iii). ｎ＝３ｍ＋２のとき，
　　Ｔ_３ｍ＋２＝２cos(２ｍπ＋４π／３)＝−１

　まとめると，ｎが３の倍数のとき，Ｔ_ｎ＝２，それ以外のとき，Ｔ_ｎ＝−１

NO3「にいばりZ12」　　　08/25 02時10分　受信 更新 9/2

問題１

　　ｘ+ｙ＝1　　・・・�@

ｘｙ＝-1　　・・・�A

　　

　　この時のT_ｎ＝xⁿ+yⁿを求めよ

�@ ,�Aからx²-x-1=0・・・�B

ｘ＝（1±√5）/2

対象式なので

ｙ＝（1±√5）/2　（複合逆順：ｘが正の時yが負）

　即ち、ｘとｙは�B式の解α、βとなります

T₂＝x²+y²

　＝((1+√5)/2)²+((1-√5)/2)²＝3

T₃＝x³+y³

　＝((1+√5)/2)³+((1-√5)/2)³＝4

T₄＝x⁴+y⁴

　＝((1+√5)/2)⁴+((1-√5)/2)⁴＝7

T₅＝x⁵+y⁵

　＝((1+√5)/2)⁵+((1-√5)/2)⁵＝11

以上は2項展開で確認できます

因みに

T₀＝x⁰+y⁰

　＝2

T₁＝x¹+y¹

　＝((1+√5)/2) +((1-√5)/2)＝1

　となります。これらからわかるのは

　T_n＝T_n-1+ T_n-2

　初期値T₀＝2　,T₁＝1

という規則性です

Tを数列と見做したとき

二次の整係数方程式 x ² - P x + Q =0（P=1、Q=-1）

　の解α、βのαⁿ+βⁿ・・・�C

となっています。

この問題は、だいぶ以前にリュカ数列として先生から出題されたことがあったので以前書き散らしたメモを探して考えました。

�Cはリュカ同伴数列の一般項になりますが一般項が

αⁿ-βⁿ/α-β　はフィボナッチ数列となり初期値が異なるだけですね。

問題2

　　ｘ+1/x＝-1　　・・・�D

　　

　　この時のT_ｎ＝xⁿ+1/xⁿを求めよ

　�Dは

　　x ²+x+1=0と変形できます。これは

二次の整係数方程式

x ² - P x + Q =0（P=-1、Q=1）

と見做す事ができその解は

α＝(−1＋√3ｉ)/2=cos2/3π +isin2/3π ・・・�E

β＝(−1−√3ｉ)/2=cos -2/3π+isin-2/3π・・・�F

（�Eと�Fは複素平面の単位円上で共役) ・・・�G

　　今1/ｘ＝ｙと置くと�Dは

　　　ｘ+ｙ＝-1

　　　ｘｙ＝１

　　　と書けますが、T_ｎ＝xⁿ+yⁿなので問題１と同じ設問となっています（P=-1、Q=1と問題１とは係数が逆になっていますが）。

　　　よってこれも同伴リュカ数列となります。

　　　　同伴リュカ数列の定義は

　       T_n=PT_n-1-QT_n-2・・・�H

　　　　　＝−（T_n-1+T_n-2)・・・�I

　そこで初期２項を求めると

　　　T₀＝x⁰+y⁰＝2

　　　T₁＝x¹+y¹＝-1＝P（�Dと同義）

また�H�Iから

　　　T₂＝x²+y²＝(-1)・(-1) −1・(2)=-1

　　　T₃＝x³+y³＝(-1)・(-1) −1・(-1)=2

　　　T₄＝x⁴+y⁴＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

　　　T₅＝x⁵+y⁵＝(-1)・(-1) −1・(2)=-1

　　　T₆＝x⁶+y⁶＝(-1)・(-1) −1・(-1)=2

　　　T₇＝x⁷+y⁷＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

　　　T₈＝x⁸+y⁸＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

となり、前２項の和に-1を掛けたものがその項になります

　　　T₀＝2

　　　T₁＝-1

T_n＝-(T_n-1+ T_n-2)

ここでは2、-1、-1を繰り返す数列となります・・・・・・・・・・・・回答

このことを、�E�F�Gから考えてみました。ドモアブルの定理から

αⁿ＝(cos2/3π +isin2/3π)ⁿ=(cos2/3nπ +isin2/3nπ) ・・・�J

βⁿ＝(cos -2/3π+isin-2/3π)ⁿ=(cos-2/3nπ+isin-2/3nπ)・・・�K

�J＋�Kはnが３の倍数（０を含む）の時実軸上に一致しともに1となるため和は2となり３の倍数ではない場合

互いに共役なため虚部はキャンルアウトされ実部はともに-1/2となるため和は-1となります。

よって、この数列は

2、-1、-1、2、-1、-1、2、-1、-1・・・・となります。しかしながらこの考え方では漸化式的な発想は浮かびません。（しかし複素平面上を回転する数列は美しく感じます）

　　　　蛇足

　　　　　P=1、Q=-1

　　　　　P=-1、Q=1

　　　　　が出てきましたので

　　　　　P=-1、Q=-1

　　　　　P=1、Q=1

　　　　　の同伴リュカ数列にも興味がわきました。

　　　　　先ず、P=-1、Q=-1について考えます

　　　　　x ²+x-1=0

の解α、βを求めると

　　　　　　α＝(-1+√5)/2

　　　　　　β＝(-1-√5)/2

　　　　　　同伴リュカ数列の一般項は

Tn=((-1+√5)/2)ⁿ+((-1-√5)/2)ⁿ

T₀＝α⁰+β⁰＝2

T₁＝α¹+β¹＝-1

T₂＝α²+β²＝＝(-1)・(-1) −(-1)・(2)=3

T₃＝α³+β³＝＝(-1)・(3) −(-1)・(-1)=-4

T₄＝α⁴+β⁴＝＝(-1)・(-4) −(-1)・(3)=7

T_n＝αⁿ+βⁿ＝-T_n-1+T_n-2

（T_nの絶対値は前２項の絶対値の和に等しい）

　　　　　次に、P=1、Q=1について考えます

　　　　　x ²-x+1=0

の解α、βを求めると

　　　　　　α＝(1+√3i)/2=cos1/3π +isin1/3π

　　　　　　β＝(1-√3i)/2=cos1/3π +isin-1/3π

　　　　　　同伴リュカ数列の一般項は

Tn=((1+√3i)/2)ⁿ+((1-√3i)/2)ⁿ

T₀＝α⁰+β⁰＝2

T₁＝α¹+β¹＝1

T₂＝α²+β²＝＝(1)・(1) −(1)・(2)=-1

T₃＝α³+β³＝＝(1)・(-1) −(1)・(1)=-2

T₄＝α⁴+β⁴＝＝(1)・(-2) −(1)・(-1)=-1

T₅＝α⁵+β⁵＝＝(1)・(-1) −(1)・(-2)=1

T₆＝α⁶+β⁶＝＝(1)・(1) −(1)・(-1)=2

T₇＝α⁷+β⁷＝＝(1)・(2) −(1)・(1)=1

T₈＝α⁸+β⁸＝＝(1)・(1) −(1)・(2)=-1

T₉＝α⁹+β⁹＝＝(1)・(-1) −(1)・(1)=-2

T₁₀＝α¹⁰+β¹⁰＝＝(1)・(-2) −(1)・(-1)=-1

T₁₁＝α¹¹+β¹¹＝＝(1)・(-1) −(1)・(-2)= 1

T_n＝αⁿ+βⁿ＝T_n-1-T_n-2

上記の式は前述したドモアブルの定理から虚部はキャンセルされ

実部は±1、2しかとらないことが解ります。

「にいばりZ12」　　　08/29 23時29分　受信 更新 9/2

問題2の解答がたりなかったようです。下記に捕捉しました

問題2

　　ｘ+1/x＝-1　　・・・�D

　　

　　この時のT_ｎ＝xⁿ+1/xⁿを求めよ

　�Dは

　　x ²+x+1=0と変形できます。これは

二次の整係数方程式

x ² - P x + Q =0（P=-1、Q=1）

と見做す事ができその解は

α＝(−1＋√3ｉ)/2=cos2/3π +isin2/3π ・・・�E

β＝(−1−√3ｉ)/2=cos -2/3π+isin-2/3π・・・�F

（�Eと�Fは複素平面の単位円上で共役) ・・・�G

　　今1/ｘ＝ｙと置くと�Dは

　　　ｘ+ｙ＝-1

　　　ｘｙ＝１

　　　と書けますが、T_ｎ＝xⁿ+yⁿなので問題１と同じ設問となっています（P=-1、Q=1と問題１とは係数が逆になっていますが）。

　　　よってこれも同伴リュカ数列となります。

　　　　同伴リュカ数列の定義は

　       T_n=PT_n-1-QT_n-2・・・�H

　　　　　＝−（T_n-1+T_n-2)・・・�I

　そこで初期２項を求めると

　　　T₀＝x⁰+y⁰＝2

　　　T₁＝x¹+y¹＝-1＝P（�Dと同義）

また�H�Iから

　　　T₂＝x²+y²＝(-1)・(-1) −1・(2)=-1

　　　T₃＝x³+y³＝(-1)・(-1) −1・(-1)=2

　　　T₄＝x⁴+y⁴＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

　　　T₅＝x⁵+y⁵＝(-1)・(-1) −1・(2)=-1

　　　T₆＝x⁶+y⁶＝(-1)・(-1) −1・(-1)=2

　　　T₇＝x⁷+y⁷＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

　　　T₈＝x⁸+y⁸＝(-1)・(2) −1・(-1)=-1

となり、前２項の和に-1を掛けたものがその項になります

　　　T₀＝2

　　　T₁＝-1

T_n＝-(T_n-1+ T_n-2)

　　　　　　　これを初項と第1項で表すと

　　　T₂＝-(T₀+T₁)＝-1

　　　T₃＝T₀               ＝2

　　　T₄＝T₁              ＝-1

　　　T₅＝-(T₀+T₁)＝-1

　　　T₆＝T₀               ＝2

　　　T₇＝T₁              ＝-1

　　　T₈＝-(T₀+T₁)＝-1

　　　　　n=9,10,11は6,7,8と同じで循環する

よって

     T_n＝2 (n=0(mod3))

＝-1(n≠0(mod3)) ・・・・・・・・・・・・回答

ここでは2、-1、-1を繰り返す数列となります

このことを、�E�F�Gから考えてみました。ドモアブルの定理から

αⁿ＝(cos2/3π +isin2/3π)ⁿ=(cos2/3nπ +isin2/3nπ) ・・・�J

βⁿ＝(cos -2/3π+isin-2/3π)ⁿ=(cos-2/3nπ+isin-2/3nπ)・・・�K

�J＋�Kはnが３の倍数（０を含む）の時実軸上に一致しともに1となるため和は2となり３の倍数ではない場合

互いに共役なため虚部はキャンルアウトされ実部はともに-1/2となるため和は-1となります。

よって、この数列は

2、-1、-1、2、-1、-1、2、-1、-1・・・・となります。しかしながらこの考え方では漸化式的な発想は浮かびません。（しかし複素平面上を回転する数列は美しく感じます）

　　　　蛇足

　　　　　P=1、Q=-1

　　　　　P=-1、Q=1

　　　　　が出てきましたので

　　　　　P=-1、Q=-1

　　　　　P=1、Q=1

　　　　　の同伴リュカ数列にも興味がわきました。

　　　　　先ず、P=-1、Q=-1について考えます

　　　　　x ²+x-1=0

の解α、βを求めると

　　　　　　α＝(-1+√5)/2

　　　　　　β＝(-1-√5)/2

　　　　　　同伴リュカ数列の一般項は

Tn=((-1+√5)/2)ⁿ+((-1-√5)/2)ⁿ

T₀＝α⁰+β⁰＝2

T₁＝α¹+β¹＝-1

T₂＝α²+β²＝＝(-1)・(-1) −(-1)・(2)=3

T₃＝α³+β³＝＝(-1)・(3) −(-1)・(-1)=-4

T₄＝α⁴+β⁴＝＝(-1)・(-4) −(-1)・(3)=7

T_n＝αⁿ+βⁿ＝-T_n-1+T_n-2

（T_nの絶対値は前２項の絶対値の和に等しい）

　　　　　次に、P=1、Q=1について考えます

　　　　　x ²-x+1=0

の解α、βを求めると

　　　　　　α＝(1+√3i)/2=cos1/3π +isin1/3π

　　　　　　β＝(1-√3i)/2=cos1/3π +isin-1/3π

　　　　　　同伴リュカ数列の一般項は

Tn=((1+√3i)/2)ⁿ+((1-√3i)/2)ⁿ

T₀＝α⁰+β⁰＝2

T₁＝α¹+β¹＝1

T₂＝α²+β²＝＝(1)・(1) −(1)・(2)=-1

T₃＝α³+β³＝＝(1)・(-1) −(1)・(1)=-2

T₄＝α⁴+β⁴＝＝(1)・(-2) −(1)・(-1)=-1

T₅＝α⁵+β⁵＝＝(1)・(-1) −(1)・(-2)=1

T₆＝α⁶+β⁶＝＝(1)・(1) −(1)・(-1)=2

T₇＝α⁷+β⁷＝＝(1)・(2) −(1)・(1)=1

T₈＝α⁸+β⁸＝＝(1)・(1) −(1)・(2)=-1

T₉＝α⁹+β⁹＝＝(1)・(-1) −(1)・(1)=-2

T₁₀＝α¹⁰+β¹⁰＝＝(1)・(-2) −(1)・(-1)=-1

T₁₁＝α¹¹+β¹¹＝＝(1)・(-1) −(1)・(-2)= 1

T_n＝αⁿ+βⁿ＝T_n-1-T_n-2

上記の式は前述したドモアブルの定理から虚部はキャンセルされ

実部は±1、2しかとらないことが解ります。

NO4「Kasama」 08/26 19時27分　受信 更新 9/2

問題１

(1) 前項の値を使って、随時計算すると、 T2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=T1^2-2xy=1^2-2･(-1)=3 T3=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=T1(T2-xy)=1･(3-(-1))=4 T4=x^4+y^4=(x+y)^4-2xy(2(x^2+y^2)+3xy)=T1^4-2xy(2T2+3xy)=1^4-2･(-1)(2･3+3･(-1))=7 T5=x^5+y^5=(x+y)(x^4+y^4-xy(x^2+y^2-xy))=T1(T4-xy(T2-xy))=1･(7-(-1)(3-(-1)))=11 (2) T1+T2=T3、T2+T3=T4、T3+T4=T5より、Tn-2+Tn-1=Tn(フィボナッチ数列)と推測できます。この推測が正しいことを以下に述べます。 (x^n-1+y^n-1)(x+y)=x^n+y^n+xy(x^n-2+y^n-2)⇒Tn-1(x+y)=Tn+xyTn-2 ここで、x+y=1、xy=-1なので、 Tn-1=Tn-Tn-2⇒Tn-2+Tn-1=Tn ただし、n≧3 です。

問題２

(1) 前問題と同様に、随時計算すると、 T2=x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2=T1^2-2=(-1)^2-2=-1 T3=x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2+1/x^2-1)=T1(T2-1)=(-1)(-1-1)=2 T4=x^4+1/x^4=(x+1/x)^4-2(2(x^2+y^2)+3)=T1^4-2(2T2+3)=(-1)^4-2(2･(-1)+3)=-1 T5=x^5+1/x^5=(x+1/x)(x^4+1/x^4-(x^2+1/x^2-1))=T1(T4-(T2-1))=1･((-1)-(-1)(-1-(-1)))=-1 (2) -(T1+T2)=T3、-(T2+T3)=T4、-(T3+T4)=T5より、-(Tn-2+Tn-1)=Tnと推測できます。理由を以下に説明します。 (x^n-1+1/x^n-1)(x+1/x)=x^n+1/x^n+x^n-2+1/x^n-2⇒Tn-1(x+1/x)=Tn+Tn-2 ここで、x+1/x=-1なので、 -Tn-1=Tn+Tn-2⇒-(Tn-2+Tn-1)=Tn ただし、n≧3 です。

NO5「三角定規」　　　　 08/26 21時05分　受信 更新 9/2

先日同僚と一緒に登られた吾妻山の姥滝沢の写真です。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。