平成３１年１月２０日

[流れ星]

　　　　第368回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：12月23日〜1月20日＞

［2019と31の問題］

2018年も残り1週間。今までのご応募に深く感謝申し上げます。

来る2019年も引き続きご愛顧賜りますようよろしくお願いいたします。

ここで、来年の西暦2019年と平成最後の31年にちなんで、作問しました。

問題１：31に５を加えた数は９で割り切れ、逆に９を加えた数は５で割り切れます。それでは、31にａを加えた数はｂで割り切れ、逆にｂを加えたらａで割り切れる自然数（ａ、ｂ）の組を探してください。ただし、ａ＜ｂとする。

　現在、他に４組発見していますが、他の組があるかもしれません。教えてください。

問題２：2019にａを加えた数はｂで割り切れ、逆にｂを加えたらａで割り切れる自然数（ａ、ｂ）の組を探してください。ただし、ａ＜ｂとする。

　現在、６組発見していますが、他の組があるかもしれません。教えてください。

問題３：ある数に31を加えた数は2019で割り切れ、逆に2019を加えた数は31で割り切れる数を見つけてください。

　

NO1「スモークマン」 12/24 12時58分　受信 更新 1/20

今年ラストモンにチャレンジ!! (問題1,2は、問題3からの方向で考え直してみたものを後半に追加させてもらいました ^^)

問題１：31に５を加えた数は９で割り切れ、逆に９を加えた数は５で割り切れます。それでは、31にａを加えた数はｂで割り切れ、逆にｂを加えたらａで割り切れる自然数（ａ、ｂ）の組を探してください。ただし、ａ＜ｂとする。

　現在、他に４組発見していますが、他の組があるかもしれません。教えてください。

31+1=32

32=2^5・・・2,2^2,2^3,2^4,2^5

31+2=33

33=3*11・・・3,11

31+3=34

34=2*17・・・17

31+4=35

35=5*7・・・5

31+5=36

36=2^2*3^2・・・4,9

問題２：2019にａを加えた数はｂで割り切れ、逆にｂを加えたらａで割り切れる自然数（ａ、ｂ）の組を探してください。ただし、ａ＜ｂとする。

　現在、６組発見していますが、他の組があるかもしれません。教えてください。

2019+1=2020

2020=2^2*5*101・・・2,4,5,10,20,101,202,404,505,1010,2020

2019+2=2021

2021=43*47・・・43,47,2021

2019+3=2022

2022=2*3*337・・・6,3*337=1011

2019+4=2023

2023=7*17^2・・・17,17^2=308

など…

問題３：ある数に31を加えた数は2019で割り切れ、逆に2019を加えた数は31で割り切れる数を見つけてください。

x+2019=31m

x+31=2019n

2019-31=31m-2019n

1988+2019n=31m

m=64+65n+4(1+n)/31

so…n=31k-1

m=64+65(31k-1)+4k=2019k-1

so…

x=31(2019k-1)-2019=62589k-2050

so…

60539

123128

185717

…

この方法から…

(問題1)は…

31=b(ak-1)-a

  =abk-(a+b)

31+(a+b)=abk・・・1<=k

31+(1+2)=2k…k<=17 と考えられる…

k=1

(a,b)=(2,33),(3,17),(5,9)

k=2

(a,b)=(1,32),(2,11),(4,5)

k=3

(a,b)=(1,16)

k=4…なし

k=5

(a,b)=(1,8)

k=6

(a,b)=(2,3)

k=7…なし

k=8...なし

k=9

(a,b)=(1,4)

k=10…なし

k=11…なし

k=12…なし

k=13…なし

k=14…なし

k=15…なし

k-16…なし

k=17

(a,b)=(1,2)

k=17のとき、a<2 なので、

a-1の時チェック

a=1…すべて出てる

so…11個かな？

(問題2)は…

2019=b(ak-1)-a

2019+a+b=abk

2019+1+2=2k・・・1<=k<=1011

2019+1+x=x^2

x=45.45…

なので、

k=46まで調べてみました…

k=1

(a,b)=(2,2021),(3,1011),(5,506),(6,405),(11,203)

k=2

(a,b)=(1,2020),(4,289)

k=3

(a,b)=(1,1010),(9,78)

k=4…なし

k=5

(a,b)=(1,505)

k=6

(a,b)=(1,404)

k=7…なし

k=8…なし

k=9

(a,b)=(5,46)

k=10以降…

(a,b)=(1,202),(1,101),(2,47),(2,43),(4,17),(5,11),

k=47の時…a<6.57…

なので…

6以下のaで探す…

a=6…すでにでてるものだけ

a=5…(5,11)が追加

a=4…(4,17)が追加

a=3…すでにでてるものだけ

a=2…(2,43(,(2,47)が追加

a=1…(1,10),(1,20)が追加

で…24個かなぁ…?

NO2「三角定規」 01/01 19時59分　受信 更新 1/20

● 第368回　問題解答＜三角定規＞

【問題１】

　題意よりm，n (m＜n)を自然数として

31＋a＝mb …�@， 31＋b＝na …�A

が成り立つ。�@�Aよりbを消去すると

(mn−1)a＝31(m＋1) …�B

[�T] aが31の倍数ではない場合

　�Bより mn−1 が31の倍数となるから，kを自然数として mn−1＝31k 。

(�@) k＝1 のとき　mn＝32＝25 …�C

∴ (m, n)＝(1, 32), (2, 16), (4, 8)

　これらのとき，�B�Aより順に， (a, b)＝(2, 33), (3, 17), (5, 9)

(�A) k＝2, 3, … として同様に計算すると

(a, b)＝(1, 32), (2, 11), (4, 5), (1, 16), (1, 8), (2, 3), (1, 4) 等を得る。

[�U] aが31の倍数 a＝31k (k＝1, 2, …) のとき

　�Bより，k(mn−1)＝m＋1 …�D

k＝1, 2, … として�Dよりm, nを定め�B�Aよりa, bを求めると

(a, b)＝(31, 62), (62, 93) を得る。

【問題２】

　題意よりm，n (m＜n)を自然数として

2019＋a＝mb …�@， 2019＋b＝na …�A

が成り立つ。�@�Aよりbを消去すると

(mn−1)a＝2019(m＋1)＝3･673(m＋1) …�B

[�T] mn−1＝3k (k＝1, 2, …) の場合

(�@) k＝1 のとき，mn＝4，(m, n)＝(1, 4) …�C

このとき，�A�B�Cより (a, b)＝(1346, 3365)

(�A) k＝2, 3, … として同様に計算すると (a, b)＝(673, 1346), (673, 1346) を得る。

[�U] mn−1＝673k (k＝1, 2, …) の場合

(�@) k＝1 のとき，mn＝674，(m, n)＝(1, 674), (2, 337) …�D

このとき，�A�B�Dより順に (a, b)＝(6, 2025), (9, 1014)

(�A) k＝2, 3, … として同様に計算すると

　 (a, b)＝(3, 2022), (6, 675), (2, 2021), (3, 1011), (5, 506), (6, 405), (11, 203),

(21, 102), (6, 225), (4, 289), (27, 33) 等を得る。

[�V] mn−1＝k(m＋1) (k＝1, 2, …) の場合

(�@) k＝1 のとき，mn−1＝m＋1，m(n−1)＝2，(m, n)＝(1, 3) …�E

このとき，�A�B�Eより (a, b)＝(2019, 4038)

(�A) k＝2, 3, … として同様に計算すると (a, b)＝(673, 2692) を得る。

【問題３】

　題意よりx, m，n (m＜n)を自然数として

x＋31＝2019m …�@， x＋2019＝31n …�A

　�@�Aより，

　　　3･673m−31＝31n−3･673　 ∴ 3･673(m＋1)＝31(n＋1) …�B

　3, 31, 673は互いに素だからk＝1, 2, …として

　　　m＋1＝31k , n＝3･673k …�C

　�@�A�Cより, x＝3･673(31k−1)−31＝3･31･673k−2050

＝60593, 123128, 185717, …

NO3「早起きのおじさん」 01/03 17時27分　受信 更新 1/20

問題1

31に5(a)を加えた数は、9(b)で割り切れます。

これは次のように考えると納得できます。

31を9で割ったときの商と余りで表します。

それに5を加えると、余りとの和が9になるからです。

31＋5＝(9×3＋4)＋5＝9×3＋(4＋5)＝9×3＋9＝9×(3＋1)

31をbで割ったときの余りとの和がbになるような数がaの候補になります。

31とこのようなaとの和は必ずbで割り切れますが、31とbとの和はaで割り切れるとは限りません。

場合の数がそう多くないので、しらみつぶしに調べてみます。

●先ず、 として、調べてみます。

この結果、次の (a,b) が見つかります。

(1,2)、(2,3)、(1,4)、(4,5)、(1,8)、(5,9)、(2,11)、(1,16)、(3,17)

●次にbが31になるかを考えますが、これはありません。

31と31より小さな数との和が、31で割り切れることがないからです。

●最後に、bが31より大きな場合を考えます。

31とaとの和がbで割り切れるので、

b＝31＋a

また、31とbとの和が、aで割り切れるので、上の両辺に31を加えて、

aが62の約数でなければ整数にならないので、

a＝1，2，31，62

よって、

(1,32)、(2,33)、(31,62)、(62,93)

問題2

問題1に比べて場合の数が多いので別のやり方をします。

先ずbが、2019より小さい場合をみます。

●a＝1のとき、bの値に関係なく、2019＋b がaで割れるので、

2019＝b×q＋(b−1) とすると、2020＝b×(q＋1)．

2020＝2×2×5×101なので、

2019＝2×1009＋1

2019＝4×504＋3

2019＝5×403＋4

2019＝10×201＋9

2019＝20×100＋19

2019＝101×19＋100

2019＝202×9＋201

2019＝404×4＋403

2019＝505×3＋504

2019＝1010×1＋1009

よって、

(1,2)、(1,4)、(1,5)、(1,10)、(1,20)、(1,101)、(1,202)、(1,404)、(1,505)、(1,1010)

●a＝2のとき、bが奇数なら、2019＋b がaで割れるので、

2019＝b×q＋(b−2) とすると、2021＝b×(q＋1)．

2021＝43×47なので、

2019＝43×46＋41

2019＝47×42＋45

よって、

(2,43)、(2,47)

●a＝3のとき、bの各位の数の和が3の倍数なら、2019＋b がaで割れるので、

(2019は3の倍数)

2019＝b×q＋(b−3) とすると、2022＝b×(q＋1)．

2022＝2×3×337なので、

(bは、aより大きい)

2019＝6×336＋3　　　 ○

2019＝337×5＋334　　 　×

2019＝674×2＋671　　 　×

2019＝1011×1＋1008　 ○

よって、

(3,6)、(3,1011)

●a＝4のとき、2019＋b の下2桁が4の倍数ならaで割れるので、

2019＝b×q＋(b−4) とすると、2023＝b×(q＋1)．

2023＝7×17×17なので、

(bは、aより大きい)

2019＝7×288＋3　　　 2019＋b＝2026　　　×

2019＝17×118＋13　　 2019＋b＝2036　　○

2019＝119×16＋115　　2019＋b＝2138　　　×

2019＝289×6＋285　　 2019＋b＝2308　　○

よって、

(4,17)、(4,289)

●a＝5のとき、2019＋b の下1桁が0か5ならaで割れるので、

2019＝b×q＋(b−5) とすると、2024＝b×(q＋1)．

2024＝2×2×2×11×23なので、

(bは、aより大きい)

2019＝8×252＋3　　　 2019＋b＝2027　　　×

2019＝11×183＋6　　 2019＋b＝2030　　○

2019＝22×91＋17　　 2019＋b＝2041　　　×

2019＝44×45＋39　　 2019＋b＝2063　　　×

2019＝88×22＋83　　　 2019＋b＝2107　　　×

2019＝23×87＋18　　 2019＋b＝2042　　　×

2019＝46×43＋41　　 2019＋b＝2065　　○

2019＝92×21＋87　　 2019＋b＝2111　　　×

2019＝184×10＋179　　　2019＋b＝2203　　　×

2019＝253×7＋248　　 2019＋b＝2272　　　×

2019＝506×3＋501　 　2019＋b＝2525　　○

2019＝1012×1＋1007　　 2019＋b＝3031　　　×

よって、

(5,11)、(5,46)、(5,506)

●a＝6のとき、bが奇数で各位の数の和が3の倍数なら、2019＋b がaで割れるので、

2019＝b×q＋(b−6) とすると、2025＝b×(q＋1)．

2025＝3×3×3×3×5×5なので、

(bは、aより大きい)

2019＝9×224＋3　　　 ○

2019＝27×74＋21　　 ○

2019＝81×24＋75　　 ○

2019＝15×134＋9　　 ○

2019＝45×44＋39　 　○

2019＝135×14＋129　　 ○

2019＝405×4＋399　　 ○

2019＝25×80＋19　　 　×

2019＝75×26＋69　　 ○

2019＝225×8＋219　　　 ○

2019＝675×2＋669　　 ○

よって、

(6,9)、(6,27)、(6,81)、(6,15)、(6,45)、(6,135)、(6,405)、(6,75)、(6,225)、(6,675)

流れを変えます。

自明の解をみておきます。

●2019＝3×673＝3×(2×336＋1)＝6×336＋3なので、(3,6) が解であることはすぐに分かります。

(これは、既出です)

また、

2019＝673×3＝673×(2＋1)＝673×2＋673なので、(673,1346) が解であることもすぐに分かります。

●他の考えで調べます。

31に5(a)を加えた数は、9(b)で割り切れます。

これは次のように考えると納得できます。

31を9で割ったときの商を大きくして修正した式に5を加えると、9の倍数になるからです。

31＋5＝(9×4−5)＋5＝9×4

x＜yとして、次の式が成立するとします。

2019＝3×673＝3×(y×p−x)＝3y×p−3x

2019＝3×673＝3×(x×q−y)＝3x×q−3y

すると、(3x,3y)も解であることがわかります。

3xが、3や6のときは上で調べているので、9から先を調べます。

実際には、3で約して、

673＝yp−x

673＋x＝ypとして、素因数分解して約数(yの候補)を探し、673＋yがxで約せるかを調べます。

表より、3倍して、

(9,78)、(9,1014)、(21,60)、(21,102)、(27,33)

●次の式を考えます。

これが成り立っていると、2019にaを足すとbで割り切れ、bを足すとaで割り切れます。

変形して、

2019にaを加えて、因数分解したとき、a−1を因数に持つか調べればよいことになります。

今まで調べていない、aとして、

7、8、10、11、13、14、16、17、19、20、22、23、25、26、28、29、30、････

を調べます。

素数

素数

素数

ここまでは、(11,203) があります。

この方法でどこまでやればよいのかを考えます。

が成り立つ一番大きなaはbがなるべく小さいときです。

a＜b なので、

として、

となるので、45まで調べます。

素数

素数

となるので、aは、31から2017までの範囲には、もうありません。

●最後に、bが2019より大きな場合を考えます。

2019とaとの和がbで割り切れるので、

b＝2019＋a

また、2019とbとの和が、aで割り切れるので、上の両辺に2019を加えて、

aが4038の約数でなければ整数にならないので、

a＝1，2，3，6，673，1346，2019，4038

よって、

(1,2020)、(2,2021)、(3,2022)、(6,2025)、(673,2692)、(1346,3365)、(2019,4038)、(4038,6057)

問題3

ある数をNとします。

ある数に、31を加えた数が2019で割れるので、N＝2019×p−31．

ある数に、2019を加えた数が31で割れるので、N＝31×q−2019．

よって、

2019×p−31＝31×q−2019

2019×(p＋1)＝673×3×(p＋1)＝31×(q＋1)

2019と31は、互いに素なので、

p＋1＝31k

q＋1＝2019k

p＝31k−1とするとある数Nは、

N＝2019×(31k−1)―31＝62589k−2050．