令和元年9月29日

[流れ星]

　　　　第377回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：9月1日〜９月29日＞

［数の問題］

　

問題１と問題２の記号[x]はガウス記号で，xを超えない最大の整数を表すものとする。

NO1「浜田明巳」 09/02 09時34分　受信 更新 9/29

問題３
　与式＝Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}(ａ＋ｋ)^２
　　　＝Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}(ａ^２＋２ａｋ＋ｋ^２)
　　　＝ａ^２Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}１＋２ａΣ_{０≦ｋ≦ｎ−１}ｋ＋Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}ｋ^２
　　　＝ａ^２ｎ＋２ａ・１／２・(ｎ−１)ｎ＋１／６・(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)
　　　＝ａｎ(ａ＋ｎ−１)＋(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６
　　　＝１９６４

　いつものようにVBSCRIPTで解いた．

s=0
for k=1 to 2019
　s=s+int(log(k)/log(2))
next
kotae="1:"&s
'
s=0
n=0
while 2019>s
　n=n+1
　s=s+int(log(n)/log(2))
　if s=2018 then
　　k=n
　end if
wend
kotae=kotae&chr(13)&"2:"&n
'
k=0
s=""
for a=0 to 1964
　for n=0 to 1964
　　if a*n*(a+n-1)+(n-1)*n*(2*n-1)/6=1964 then
　　　k=k+1
　　　if k>1 then'答が複数あっても対処できるように
　　　　s=s&chr(13)&" "
　　　end if
　　　s=s&"a="&a&",n="&n
　　end if
　next
next
kotae=kotae&chr(13)&"3:"&s
msgbox kotae

　問題３の答は，
　　１２^２＋１３^２＋１４^２＋・・・＋１９^２＝１９６４

「浜田明巳」 09/04 12時37分　受信 更新 9/29

問題１
　　ｋ＝１のとき，[log_２ｋ]＝０
　　２^１≦ｋ＜２^２のとき，[log_２ｋ]＝１
　　２^２≦ｋ＜２^３のとき，[log_２ｋ]＝２
　　２^３≦ｋ＜２^４のとき，[log_２ｋ]＝３
　　・・・
　　２^ｎ≦ｋ＜２^ｎ＋１のとき，[log_２ｋ]＝ｎ（ｎは正整数）
であるから，
　　Σ_{１≦ｋ≦２０１９}[log_２ｋ]＝Σ_{１≦ｋ≦２０４７}[log_２ｋ]−Σ_{２０２０≦ｋ≦２０４７}[log_２ｋ]
　　　＝(１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋１０・２^１０)−１０・２８
　ここで，Ｓ_ｎ＝１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋ｎ・２^ｎ（ｎは正整数）とすると，
　　　Ｓ_ｎ＝１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋ｎ・２^ｎ
　　２Ｓ_ｎ＝　　　　　１・２^２＋２・２^３＋・・・＋(ｎ−１)・２^ｎ＋ｎ・２^ｎ＋１
　差をとると，
　　−Ｓ_ｎ＝２^１＋２^２＋２^３＋・・・＋２^ｎ−ｎ・２^ｎ＋１
　　　　　＝２(２^ｎ−１)／(２−１)−ｎ・２^ｎ＋１
　　　　　＝(１−ｎ)２^ｎ＋１−２
　　∴Ｓ_ｎ＝(ｎ−１)２^ｎ＋１＋２
　　∴Ｓ_１０＝９・２^１１＋２＝１８４３４
　　∴与式＝１８４３４−２８０＝１８１５４・・・（答）

問題２
　Ｓ_ｍ≦２０１８＜Ｓ_ｍ＋１（ｍは正整数）とすると，Ｓ_ｍ＝(ｍ−１)・２^ｍ＋１＋２より，
　　(ｍ−１)・２^ｍ＋１≦２０１６＜ｍ・２^ｍ＋２
　ｆ(ｍ)＝(ｍ−１)・２^ｍ＋１とすると，ｍ≧１で，ｆ(ｍ)は単調増加関数であり，
　　ｆ(７)＝１５３６，ｆ(８)＝３５８４
から，ｆ(７)＜２０１６＜ｆ(８)
　Ｓ_７＝１５３８＝２０１８−４８０＝２０１８−８・６０なので，
　　ｎ＝２^８＋６０＝２５６＋６０＝３１６・・・（答）

問題３
　ａｎ(ａ＋ｎ−１)＋(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＝１９６４より，
　　ａｎ(ａ＋ｎ−１)＝１９６４−(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＞０
　　∴(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＜１９６４
　ｇ(ｎ)＝(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６とすると，ｎ≧１より，ｇ(ｎ)は単調増加関数
　ｇ(１８)＝１７８５，ｇ(１９)＝２１０９なので，
　　ｎ≦１８
i). ｎ＝１のとき，ａ^２＝１９６４＝２^２・４９１
　４９１は素数なので，ａは整数にならない．
ii). ｎ＝２のとき，２ａ(ａ＋１)＝１９６４−１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
iii). ｎ＝３のとき，３ａ(ａ＋２)＝１９６４−５＝１９５９
　　∴ａ(ａ＋２)＝６５３（素数）
　これを満たす整数ａは存在しない．
iv). ｎ＝４のとき，４ａ(ａ＋３)＝１９６４−２・７
　　∴２ａ(ａ＋３)＝９８２−７
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
v). ｎ＝５のとき，５ａ(ａ＋４)＝１９６４−２・５・３
　　∴５{ａ(ａ＋４)＋２・３}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
vi). ｎ＝６のとき，６ａ(ａ＋５)＝１９６４−５・１１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
vii). ｎ＝７のとき，７ａ(ａ＋６)＝１９６４−７・１３
　　∴７{ａ(ａ＋６)＋１３}＝２^２・４９１
　右辺は７の倍数ではないので，矛盾する．
viii). ｎ＝８のとき，８ａ(ａ＋７)＝１９６４−７・４・５
　　∴２ａ(ａ＋７)＝４９１−７・５＝４５６
　　∴ａ(ａ＋７)＝２２８＝１２・１９
　ａ＞０なので，ａ(ａ＋７)は，ａの単調増加関数
　　∴ａ＝１２
ix). ｎ＝９のとき，９ａ(ａ＋８)＝１９６４−４・３・１７
　　∴３{３ａ(ａ＋８)＋４・１７}＝２^２・４９１
　右辺は３の倍数ではないので，矛盾する．
x). ｎ＝１０のとき，１０ａ(ａ＋９)＝１９６４−３・５・１９
　　∴５{２ａ(ａ＋９)＋３・１９}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
xi). ｎ＝１１のとき，１１ａ(ａ＋１０)＝１９６４−５・１１・７
　　∴１１{ａ(ａ＋１０)＋５・７}＝２^２・４９１
　右辺は１１の倍数ではないので，矛盾する．
xii). ｎ＝１２のとき，１２ａ(ａ＋１１)＝１９６４−１１・２・２３
　　∴６ａ(ａ＋１１)＝９８２−１１・２３
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
xiii). ｎ＝１３のとき，１３ａ(ａ＋１２)＝１９６４−２・１３・２５
　　∴１３{ａ(ａ＋１２)＋２・２５}＝２^２・４９１
　右辺は１３の倍数ではないので，矛盾する．
xiv). ｎ＝１４のとき，１４ａ(ａ＋１３)＝１９６４−１３・７・９
　　∴７{２ａ(ａ＋１３)＋１３・９}＝２^２・４９１
　右辺は７の倍数ではないので，矛盾する．
xv). ｎ＝１５のとき，１５ａ(ａ＋１４)＝１９６４−７・５・２９
　　∴５{３ａ(ａ＋１４)＋７・２９}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
xvi). ｎ＝１６のとき，１６ａ(ａ＋１５)＝１９６４−５・８・３１
　　∴４ａ(ａ＋１５)＝４９１−５・２・３１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
xvii). ｎ＝１７のとき，１７ａ(ａ＋１６)＝１９６４−８・１７・１１
　　∴１７{ａ(ａ＋１６)＋８・１１}＝２^２・４９１
　右辺は１７の倍数ではないので，矛盾する．
xviii). ｎ＝１８のとき，１８ａ(ａ＋１７)＝１９６４−１７・３・３５
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．

　以上より，(ａ，ｎ)＝(１２，８)

「浜田明巳」 09/05 10時55分　受信 更新 9/29

問題３
　与式＝Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}(ａ＋ｋ)^２
　　　＝Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}(ａ^２＋２ａｋ＋ｋ^２)
　　　＝ａ^２Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}１＋２ａΣ_{０≦ｋ≦ｎ−１}ｋ＋Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}ｋ^２
　　　＝ａ^２ｎ＋２ａ・１／２・(ｎ−１)ｎ＋１／６・(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)
　　　＝ａｎ(ａ＋ｎ−１)＋(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６
　　　＝１９６４

　いつものようにVBSCRIPTで解いた．

s=0
for k=1 to 2019
　s=s+int(log(k)/log(2))
next
kotae="1:"&s
'
s=0
n=0
while 2018>s
　n=n+1
　s=s+int(log(n)/log(2))
wend
kotae=kotae&chr(13)&"2:"&n
'
k=0
s=""
for a=0 to 1964
　for n=0 to 1964
　　if a*n*(a+n-1)+(n-1)*n*(2*n-1)/6=1964 then
　　　k=k+1
　　　if k>1 then'答が複数あっても対処できるように
　　　　s=s&chr(13)&" "
　　　end if
　　　s=s&"a="&a&",n="&n
　　end if
　next
next
kotae=kotae&chr(13)&"3:"&s
msgbox kotae



　問題３の答は，
　　１２^２＋１３^２＋１４^２＋・・・＋１９^２＝１９６４

（別解）
問題１
　　ｋ＝１のとき，[log_２ｋ]＝０
　　２^１≦ｋ＜２^２のとき，[log_２ｋ]＝１
　　２^２≦ｋ＜２^３のとき，[log_２ｋ]＝２
　　２^３≦ｋ＜２^４のとき，[log_２ｋ]＝３
　　・・・
　　２^ｎ≦ｋ＜２^ｎ＋１のとき，[log_２ｋ]＝ｎ（ｎは正整数）
であるから，
　　Σ_{１≦ｋ≦２０１９}[log_２ｋ]＝Σ_{１≦ｋ≦２０４７}[log_２ｋ]−Σ_{２０２０≦ｋ≦２０４７}[log_２ｋ]
　　　＝(１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋１０・２^１０)−１０・２８
　ここで，Ｓ_ｎ＝１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋ｎ・２^ｎ（ｎは正整数）とすると，
　　　Ｓ_ｎ＝１・２^１＋２・２^２＋３・２^３＋・・・＋ｎ・２^ｎ
　　２Ｓ_ｎ＝　　　　　１・２^２＋２・２^３＋・・・＋(ｎ−１)・２^ｎ＋ｎ・２^ｎ＋１
　差をとると，
　　−Ｓ_ｎ＝２^１＋２^２＋２^３＋・・・＋２^ｎ−ｎ・２^ｎ＋１
　　　　　＝２(２^ｎ−１)／(２−１)−ｎ・２^ｎ＋１
　　　　　＝(１−ｎ)２^ｎ＋１−２
　　∴Ｓ_ｎ＝(ｎ−１)２^ｎ＋１＋２
　　∴Ｓ_１０＝９・２^１１＋２＝１８４３４
　　∴与式＝１８４３４−２８０＝１８１５４・・・（答）

問題２
　Ｓ_ｍ≦２０１８＜Ｓ_ｍ＋１（ｍは正整数）とすると，Ｓ_ｍ＝(ｍ−１)・２^ｍ＋１＋２より，
　　(ｍ−１)・２^ｍ＋１≦２０１６＜ｍ・２^ｍ＋２
　ｆ(ｍ)＝(ｍ−１)・２^ｍ＋１とすると，ｍ≧１で，ｆ(ｍ)は単調増加関数であり，
　　ｆ(７)＝１５３６，ｆ(８)＝３５８４
から，ｆ(７)＜２０１６＜ｆ(８)
　Ｓ_７＝１５３８＝２０１８−４８０＝２０１８−８・６０なので，
　　ｎ＝２^８＋(６０−１)＝２５６＋５９＝３１５・・・（答）

問題３
　ａｎ(ａ＋ｎ−１)＋(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＝１９６４より，
　　ａｎ(ａ＋ｎ−１)＝１９６４−(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＞０
　　∴(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＜１９６４
　ｇ(ｎ)＝(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６とすると，ｎ≧１より，ｇ(ｎ)は単調増加関数
　ｇ(１８)＝１７８５，ｇ(１９)＝２１０９なので，
　　ｎ≦１８
i). ｎ＝１のとき，ａ^２＝１９６４＝２^２・４９１
　４９１は素数なので，ａは整数にならない．
ii). ｎ＝２のとき，２ａ(ａ＋１)＝１９６４−１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
iii). ｎ＝３のとき，３ａ(ａ＋２)＝１９６４−５＝１９５９
　　∴ａ(ａ＋２)＝６５３（素数）
　これを満たす整数ａは存在しない．
iv). ｎ＝４のとき，４ａ(ａ＋３)＝１９６４−２・７
　　∴２ａ(ａ＋３)＝９８２−７
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
v). ｎ＝５のとき，５ａ(ａ＋４)＝１９６４−２・５・３
　　∴５{ａ(ａ＋４)＋２・３}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
vi). ｎ＝６のとき，６ａ(ａ＋５)＝１９６４−５・１１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
vii). ｎ＝７のとき，７ａ(ａ＋６)＝１９６４−７・１３
　　∴７{ａ(ａ＋６)＋１３}＝２^２・４９１
　右辺は７の倍数ではないので，矛盾する．
viii). ｎ＝８のとき，８ａ(ａ＋７)＝１９６４−７・４・５
　　∴２ａ(ａ＋７)＝４９１−７・５＝４５６
　　∴ａ(ａ＋７)＝２２８＝１２・１９
　ａ＞０なので，ａ(ａ＋７)は，ａの単調増加関数
　　∴ａ＝１２
ix). ｎ＝９のとき，９ａ(ａ＋８)＝１９６４−４・３・１７
　　∴３{３ａ(ａ＋８)＋４・１７}＝２^２・４９１
　右辺は３の倍数ではないので，矛盾する．
x). ｎ＝１０のとき，１０ａ(ａ＋９)＝１９６４−３・５・１９
　　∴５{２ａ(ａ＋９)＋３・１９}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
xi). ｎ＝１１のとき，１１ａ(ａ＋１０)＝１９６４−５・１１・７
　　∴１１{ａ(ａ＋１０)＋５・７}＝２^２・４９１
　右辺は１１の倍数ではないので，矛盾する．
xii). ｎ＝１２のとき，１２ａ(ａ＋１１)＝１９６４−１１・２・２３
　　∴６ａ(ａ＋１１)＝９８２−１１・２３
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
xiii). ｎ＝１３のとき，１３ａ(ａ＋１２)＝１９６４−２・１３・２５
　　∴１３{ａ(ａ＋１２)＋２・２５}＝２^２・４９１
　右辺は１３の倍数ではないので，矛盾する．
xiv). ｎ＝１４のとき，１４ａ(ａ＋１３)＝１９６４−１３・７・９
　　∴７{２ａ(ａ＋１３)＋１３・９}＝２^２・４９１
　右辺は７の倍数ではないので，矛盾する．
xv). ｎ＝１５のとき，１５ａ(ａ＋１４)＝１９６４−７・５・２９
　　∴５{３ａ(ａ＋１４)＋７・２９}＝１９６４
　右辺は５の倍数ではないので，矛盾する．
xvi). ｎ＝１６のとき，１６ａ(ａ＋１５)＝１９６４−５・８・３１
　　∴４ａ(ａ＋１５)＝４９１−５・２・３１
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．
xvii). ｎ＝１７のとき，１７ａ(ａ＋１６)＝１９６４−８・１７・１１
　　∴１７{ａ(ａ＋１６)＋８・１１}＝２^２・４９１
　右辺は１７の倍数ではないので，矛盾する．
xviii). ｎ＝１８のとき，１８ａ(ａ＋１７)＝１９６４−１７・３・３５
　(偶数)＝(奇数)となるので，矛盾する．

　以上より，(ａ，ｎ)＝(１２，８)
　・・・

問題３（参考）
　　ａｎ(ａ＋ｎ−１)＝１９６４−(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６＝１９６４・・・(1)
　Σ_{０≦ｋ≦ｎ−１}ｋ^２＝(ｎ−１)ｎ(２ｎ−１)／６であるから，
　　ｎ＝１，４，５，８，９，１２，１３，１６，１７
のとき，(1)の右辺は偶数，
　　ｎ＝２，３，６，７，１０，１１，１４，１５，１８
のとき，(1)の右辺は奇数．
　ｎが偶数のとき，(1)の左辺は偶数なので，ｎ≦１８の範囲では，
　　ｎ＝２，６，１０，１４，１８
のとき，(1)は不成立．
　故に１７以下の他の正整数で考えればよい．
　しかし，ｎの１３個の値で計算しても，元々の１８個の値で計算してもそんなに変わらない気がする．
　他にもっと効率的な解き方があれば別であるが．

NO2「スモークマン」 09/02 23時51分　受信 更新 9/29

(1)

[log(2)1]+[log(2)2]+...+[log(2)2019]

1...0

2〜3...1

4〜7...2

...

2^9〜2^10-1=1023...9

2^10=1024〜2019...10

so...

1*2+2*4+3*8+4*16+5*32+6*64+7*128+8*256+9*512+＋10*(2019-1023)

=18154

(2)

1*2+2*4+3*8+4*16+5*32+6*64+7*128=1538

2018-1538=480

480/8=60

so...

２＾８＋６０−１=315=n

(3)

ヒントより...

n(6a^2+6a(n-1)+(n-1)(2n-1))=6*1964

6*1964=2^4*3*491

nが奇数では...1 or 3 or 491で満たすものがない...

n=2,4,6,8,12,24で...

ひたすら計算させて...

n=8,a=12を得ました...^^

so...

12^2+13^2+14^2+・・・+19＾2

実際に...

(19*20*39-11*12*23)/6=1964 ♪

こういうのって、うまい方法ってあるのでしょうかしらん...?

NO3「早起きのおじさん」 09/09 17時03分　受信 更新 9/29

377解答　早起きのおじさん

問題1

上の表より、

下線部分Sとおくと、

問題2

上の表より、

問題3

よって、

この式を10進法で11784と表される数がn進法では(2)(6a−3)(6a²−6a＋1)(0)となると考えます。

(見かけは4桁です)

aで整理すると「1」の位が(0)でないので場合の数が増えます。

11784を素因数分解すると、

つまり、11784の約数｛2、4、8、3、6、12、24、･･･｝などの進法を考えればよいわけです。

例えば、12進法で表すと右の計算より、

と4桁になります。

上の計算では、nの3乗の桁は2なので、

式(1)をみると、n²の位よりnの位の数字の方が大きいので、mだけnの位に移します。

すると、

上の式より、m＝60−6a

下の式に入れて、

aは正なので、

aが整数にならないのでこの方針での解はありません。

次に、例えば8進法で表すと右の計算より、

と5桁になってしまいます。

上の計算では、nの3乗の桁は2なので、

式(1)をみると、n²の位よりnの位の数字の方が大きいので、mだけnの位に移します。

すると、

上の式より、m＝171−6a

下の式に入れて、

aは正なので、

以上から、n＝8、a＝12

NO4「二度漬け白菜」 09/14 15時26分　受信 更新 9/29

ペンネーム：二度漬け白菜

[問題1]

floor(log{2}k)=n ⇔ n≦log{2}k＜n+1 ⇔ 2^n≦k＜2^(n+1)．

2^10＜2019＜2^11．

よって，

Σ[k=1〜2019]floor(log{2}k)

=Σ[n=0〜9]n*(2^(n+1)-2^n) + 10*(2019-2^10+1)

=8194+9960

=18154 (答)

[問題2]

Σ[k=0〜7]k*(2^(k+1)-2^k)=1538，

Σ[k=0〜8]k*(2^(k+1)-2^k)=3586．

1538 + 8*(n - 2^8 + 1) = 2018 を解いて，

n=315(答)

[問題3]

Σ[k=0〜n-1](a+k)^2=1964

を満たすような自然数 a，n を求めればよい．

Σ[k=0〜n-1](a+k)^2=1964 

⇒ n*(a^2+(n-1)*a+(n-1)*(2*n-1)/6)=1964

⇒ n*(6*a^2+6*(n-1)*a+(n-1)*(2*n-1))=2^3*3*491 --- (★)

1964は平方数ではないから，2≦n．

また，Σ[k=0〜18-1](1+k)^2 = 2109 ＞ 1964 より，n≦17．

よって，2≦n≦17--- (★★)．

平方数を順に並べ，それらを4で割った余りに着目すると，

1と0が交互に繰り返し出現する．

1964が4の倍数であることを考えれば，n個の平方数

a^2，(a+1)^2，…，(a+n-1)^2

の中には，4で割った余りが 1 となるようなものが

4の倍数個だけある．

これと，(★)および(★★)とから，nの値として可能性

のあるものは，aの値にかかわらず，n=8 のみ．

さらに，n=8 のときに(★)を満たす 自然数 a は存在する．

(★)において n=8 を代入すると a=12 を得る．

答は次のようになる．

12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+17^2+18^2+19^2 = 1964．

以上

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。