令和元年10月27日

[流れ星]

　　　　第378回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：9月29日〜10月27日＞

［解の存在範囲］

　

　同志社工学部の過去問で、一部改題してあります。

NO1「スモークマン」 10/02 20時42分　受信 更新 10/27

(問題1)

x^2-1=a(x-√2) から、

右の直線は (√2,0)を通るので...

明らかに、0<=a で、

y=x^2-1 と y=a(x-√2)の接線の小さい傾きのaまで...

x^2-ax=1-a√2

(x-a/2)^2=1-a√2+a^2/4>=0

a^2-4√2*a+4>=0

(a-2√2)^2>=-4+8=4

so...

a=2√2-2 の方

so...

0<=a<=2√2-2

「スモークマン」 10/04 13時49分　受信 更新 10/27

(問題2)の回答です...

いまいち、というか、無理やりに...^^;;

√(1-x^2)*√(1-y^2)=x+y

y=xに関して対称

x=0,y=√2/2

x=y,x=y=√2-1

x=0〜√2-1まで、グラフは連続

xで微分すると…

-x√(1-y^2)/√(1-x^2)-1と負になるので…

上に凸の曲線になるしかない…

実際の図は…

 x+y=t …tはx,y切片

so…

√2/2<t<=√2(√2-1)=2-√2

スマートじゃないなぁ…^^;

NO2「浜田明巳」 10/03 16時09分　受信 更新 10/27

問題１（グラフを使ってチマチマやるのは面倒．計算でゴリゴリいきます．昔は無理方程式，無理不等式は，グラフを使わず，計算だけで解いたものです）
　　ｘ^２−ａｘ＋√２ａ−１＝０・・・(1)
(1)の判別式をＤとすると，ｘは実数なので，
　　Ｄ＝ａ^２−４(√２ａ−１)＝ａ^２−４√２ａ＋４≧０
　　∴ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ・・・(2)
　このとき，(1)の解は，
　　ｘ＝{ａ±(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２}／２
i). −１≦{ａ＋(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２}／２≦１のとき，
　　−２≦ａ＋(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２
　　∴−ａ−２≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２−ａ
　ア). (ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２−ａから，
　　　０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２−ａ
　　　∴０≦２−ａ
　　　∴ａ≦２
　　(2)から，ａ≦２√２−２・・・(3)
　　このとき，０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２−ａから，
　　　ａ^２−４√２ａ＋４≦(２−ａ)^２
　　　∴４(１−√２)ａ≦０
　　　∴ａ≧０
　　(3)から，０≦ａ≦２√２−２・・・(4)

　イ). −ａ−２≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２において，
　　(4)から，−ａ≦０
　　　∴−ａ−２＜０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２
　　これは常に成立する．
　まとめると，０≦ａ≦２√２−２

ii). −１≦{ａ−(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２}／２≦１のとき，
　　−２≦ａ−(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦２
　　∴ａ−２≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦ａ＋２
　ア). (ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦ａ＋２から，
　　　０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦ａ＋２
　　　∴０≦ａ＋２
　　　∴ａ≧−２
　　(2)から，−２≦ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ・・・(5)
　　このとき，０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２≦ａ＋２から，
　　　ａ^２−４√２ａ＋４≦(ａ＋２)^２
　　　∴４(−１−√２)ａ≦０
　　　∴ａ≧０
　　(5)から，０≦ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ・・・(6)
　イ). ａ−２≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２において，
　　１). ａ−２≦０のとき，ａ≦２
　　　(6)から，０≦ａ≦２√２−２・・・(7)
　　　このとき，ａ−２≦０≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２は常に成立する．
　　２). ａ−２＞０のとき，ａ＞２
　　　(6)から，ａ≧２√２＋２・・・(8)
　　　このとき，０＜ａ−２≦(ａ^２−４√２ａ＋４)^１／２から，
　　　　(ａ−２)^２≦ａ^２−４√２ａ＋４
　　　　∴４(√２−１)ａ≦０
　　　　∴ａ≦０
　　　これは(8)に反する．
　まとめると，０≦ａ≦２√２−２

　i)，ii)より，０≦ａ≦２√２−２

（別解）（グラフを使わず解くなんて信じられない．グラフを使って簡単に解くべきです）
　ｆ(ｘ)＝ｘ^２−ａｘ＋√２ａ−１とする．
　２次方程式ｆ(ｘ)＝０の２解をα，βとすると，解と係数の関係から，
　　α＋β＝ａ，αβ＝√２ａ−１
i). −１≦α≦β≦１のとき，グラフから，
　　ｆ(−１)≧０・・・(1)
　　ｆ(１)≧０・・・(2)
　　−１≦(α＋β)／２≦１・・・(3)
　　ｆ((α＋β)／２)≦０・・・(4)

　(1)より，１−ａ＋√２ａ−１＝(√２−１)ａ≧０
　　∴ａ≧０・・・(1)'
　(2)より，１＋ａ＋√２ａ−１＝(１＋√２)ａ≧０
　　∴ａ≧０
　(1)'と一致する．
　(3)より，−１≦ａ／２≦１
　　∴−２≦ａ≦２
　(1)'より，０≦ａ≦２・・・(5)
　 　(4)より，ｆ(ａ／２)＝ａ^２／４−ａ^２／２＋√２ａ−１≦０
　　∴ａ^２−４√２ａ＋４≧０
　　∴ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ
　(5)より，０≦ａ≦２√２−２・・・(6)

ii). α≦−１≦β≦１，または，−１≦α≦１≦βのとき，グラフから，
　　ｆ(１)ｆ(−１)≦０

　　∴(√２−１)ａ・(１＋√２)ａ≦０
　　ａ^２≦０
　　∴ａ＝０

　i)，ii)より，０≦ａ≦２√２−２

問題２（チマチマやるのは面倒．計算でゴリゴリすべきです）
　ａ＝cosｘ，ｂ＝sinｙとすると，
　　ｔ＝ａｂ＝±(１−ａ^２)^１／２±(１−ｂ^２)^１／２＞０
　故にａｂ＞０であり，
　　ａｂ±(１−ａ^２)^１／２＝±(１−ｂ^２)^１／２
　両辺を２乗すると，
　　ａ^２ｂ^２±２ａ(１−ａ^２)^１／２ｂ＋(１−ａ^２)＝１−ｂ^２
　　∴(１＋ａ^２)ｂ^２±２ａ(１−ａ^２)^１／２ｂ−ａ^２＝０・・・(1)
　１＋ａ^２≠０であるので，これはｂの２次方程式である．
　判別式をＤとすると，
　　Ｄ／４＝ａ^２(１−ａ^２)＋(１＋ａ^２)ａ^２＝２ａ^２
　(1)を解くと，
　　ｂ＝{±ａ(１−ａ^２)^１／２±√２・ａ}／(１＋ａ^２)＝{±(１−ａ^２)^１／２±√２}・ａ／(１＋ａ^２)

　−１≦ａ≦１で，−１≦ｂ≦１，ａｂ＞０のときに点(ａ，ａｂ)をプロットし，ｔ＝ａｂの値の範囲を求める．

　グラフより，０＜ｔ≦０.８２８４２７（≒２√２−２）であることが分かる．

（別解）（数学の問題なのだから，問題１の結果を使わないのは信じられない）
　　cosｘsinｙ＝ｔ・・・(1)
　　sinｘ＋cosｙ＝ｔ・・・(2)
とする．
　(1)より，
　　cos^２ｘsin^２ｙ＝ｔ^２
　　∴(１−sin^２ｘ)(１−cos^２ｙ)＝ｔ^２
　　∴１−(sin^２ｘ＋cos^２ｙ)＋sin^２ｘcos^２ｙ＝ｔ^２・・・(1)'
　(2)より，
　　sin^２ｘ＋２sinｘcosｙ＋cos^２ｙ＝ｔ^２・・・(2)'
　(1)'＋(2)'より，
　　１＋sin^２ｘcos^２ｙ＋２sinｘcosｙ＝２ｔ^２
　　∴(１＋sinｘcosｙ)^２＝２ｔ^２・・・(3)
　−１≦sinｘ≦１，−１≦cosｙ≦１より，−１≦sinｘcosｙ≦１
　　∴１＋sinｘcosｙ≧０
　またｔ＞０から，(3)より，
　　１＋sinｘcosｙ＝√２ｔ
　　∴sinｘcosｙ＝√２ｔ−１・・・(4)
　(2)，(4)から，sinｘ，cosｙは，ｚの２次方程式
　　ｚ^２−ｔｚ＋(√２ｔ−１)＝０
の２解である．
　−１≦sinｘ≦１，−１≦cosｙ≦１，ｔ＞０であるので，問題１の結果から，
　　０＜ｔ≦２√２−２

「浜田明巳」 10/05 09時46分　受信 更新 10/27

問題１
（別解その２）
（とことんグラフを使うのが苦手で，２次関数の問題は，２次方程式の解と係数の関係を使って解くのが好きです．ただしこの問題では「少なくとも１つの解」となっており，α≦−１≦β≦１または−１≦α≦１≦βの場合は，どうしてもグラフを使わざるを得ないので，あきらめていますが）
　２次方程式ｘ^２−ａｘ＋√２ａ−１＝０の２解をα，βとする．
　−１≦α≦β≦１または−１≦β≦α≦１の場合のみを考える．
　実数解を持つので，判別式をＤとすると，
　　Ｄ＝ａ^２−４(√２ａ−１)＝ａ^２−４√２ａ＋４≧０
　　∴ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ・・・(1)
　解と係数の関係から，
　　α＋β＝ａ，αβ＝√２ａ−１・・・(2)
　−１≦α≦１，−１≦β≦１より，
i). α≦１かつβ≦１
ii). α≧−１かつβ≧−１
　i)のとき，α−１≦０かつβ−１≦０
　これは，次と同値である．
　　(α−１)＋(β−１)≦０かつ(α−１)(β−１)≧０
　　∴α＋β≦２・・・(3)　かつ　αβ−(α＋β)＋１≧０・・・(4)
　(2)，(3)より，ａ≦２
　(1)より，ａ≦２√２−２・・・(5)
　(2)，(4)より，(√２ａ−１)−ａ＋１≧０
　　∴(√２−１)ａ≧０
　　∴ａ≧０
　(5)より，０≦ａ≦２√２−２・・・(6)

　ii)のとき，α＋１≧０かつβ＋１≧０
　これは，次と同値である．
　　(α＋１)＋(β＋１)≧０かつ(α＋１)(β＋１)≧０
　　∴α＋β≧−２・・・(7)　かつ　αβ＋(α＋β)＋１≧０・・・(8)
　(2)，(7)より，ａ≧−２
　これは(6)を満たす．
　(2)，(8)より，(√２ａ−１)＋ａ＋１≧０
　　∴(√２＋１)ａ≧０
　　∴ａ≧０
　これは(6)を満たす．

　まとめると，
　　０≦ａ≦２√２−２

「浜田明巳」 10/07 09時56分　受信 更新 10/27

問題１
（別解その３）（理系はやっぱり微積で解かなければ！）
　ｘ^２−ａｘ＋√２ａ−１＝０（−１≦ｘ≦１）から，
　　ａ(ｘ−√２)＝ｘ^２−１
　ｘ≠√２から，
　　ａ＝(ｘ^２−１)／(ｘ−√２)
　　∴ｄａ／ｄｘ＝{２ｘ・(ｘ−√２)−(ｘ^２−１)・１}／(ｘ−√２)^２
　　　　　　　　＝(ｘ^２−２√２・ｘ＋１)／(ｘ−√２)^２
　ｄａ／ｄｘ＝０，−１≦ｘ≦１から，ｘ＝√２−１
　−１＜ｘ＜√２−１のとき，ｄａ／ｄｘ＞０
　√２−１＜ｘ＜１のとき，ｄａ／ｄｘ＜０
　故にａは，ｘ＝√２−１のとき，最大値
　　ａ＝{(√２−１)^２−１}／{(√２−１)−√２}＝２√２−２
をとる．
　また，ｘ＝±１のとき，ａ＝０
　まとめると，０≦ａ≦２√２−２

（別解その４）（水野先生のアドバイスより）
　与方程式を，ｘ^２−１＝ａ(ｘ−√２)と変形する．
　故に曲線ｙ＝ｘ^２−１（−１≦ｘ≦１）のグラフと，直線ｙ＝ａ(ｘ−√２)のグラフが共有点をもつときのａの値の範囲を求めればよい．
i). ａ＝０のとき，共有点が存在する．

ii). 与２次方程式は，ａ＝２√２±２のとき，重解をもつ．
　ａ＝２√２−２のとき，共有点が存在する．

iii). ０＜ａ＜２√２−２のとき，共有点が存在し，他の場合には，共有点は存在しない．

　以上より，ａの値の範囲は，０≦ａ≦２√２−２

「浜田明巳」 10/07 11時50分　受信 更新 10/27

問題１
（別解その５）（「少なくとも」があれば，やることはひとつ．排反事象）
　排反事象を考える．実数解α，βをもち，それらがいずれも−１未満，または１より大であると仮定する．
　判別式をＤとすると，
　　Ｄ＝ａ^２−４(√２ａ−１)≧０
　　∴ａ≦２√２−２，２√２＋２≦ａ・・・(1)
　また解と係数の関係より，α＋β＝ａ，αβ＝√２ａ−１・・・(2)
i). α＞１，β＞１のとき，
　　α−１＞０，β−１＞０
　　∴(α−１)＋(β−１)＞０，(α−１)(β−１)＞０
　　∴α＋β＞２・・・(3)　αβ−(α＋β)＋１＞０・・・(4)
　(2)，(3)より，ａ＞２
　(1)より，ａ≧２√２＋２・・・(5)
　(2)，(4)より，(√２ａ−１)−ａ＋１＞０
　　∴(√２−１)ａ＞０
　　∴ａ＞０
　これは(5)を満たす．
ii). α＜−１，β＜−１のとき，
　　α＋１＜０，β＋１＜０
　　∴(α＋１)＋(β＋１)＜０，(α＋１)(β＋１)＞０
　　∴α＋β＜−２・・・(6)　αβ＋(α＋β)＋１＞０・・・(7)
　(2)，(6)より，ａ＜−２
　(1)より，ａ＜−２・・・(8)
　(2)，(7)より，(√２ａ−１)＋ａ＋１＞０
　　∴(√２＋１)ａ＞０
　　∴ａ＞０
　これは(8)に反する．
iii). α＜−１，β＞１のとき，ｆ(ｘ)＝ｘ^２−ａｘ＋√２ａ−１とすると，
　　ｆ(１)＜０，ｆ(−１)＜０
となればよい．
　　ｆ(１)＝１−ａ＋√２ａ−１＝(√２−１)ａ＜０
　　∴ａ＜０
　(1)より，ａ＜０・・・(9)
　また，
　　ｆ(−１)＝１＋ａ＋√２ａ−１＝(√２＋１)ａ＜０
　　∴ａ＜０
　これは(9)と一致する．

　以上をまとめると，
　　ａ＜０　または　２√２＋２＜ａ

　(1)より，求める範囲は，
　　０≦ａ≦２√２−２
NO3「早起きのおじさん」 10/07 17時13分　受信 更新 10/27

問題1

左辺をyとおきます。

この2次関数の頂点は、

より、 を下の式に入れると、

頂点は、下の上に凸の赤いグラフ上にあります。

赤のグラフ上に頂点を持つグラフをいくつか調べます。

順に頂点を、�@は、�Aは、�Bは、�Cは、�Dは とします。

順に、�@は 、�Aは 、�Bは 、�Cは 、�Dは です。

式は、

元の２次関数は、

とすると、aの値によらず、

でこの式が成立します。（aについての恒等式です）

（�@ ら�Dのすべてグラフが、点 を通ります）

の範囲の解を考えると、

�@はありません。（範囲に条件がなければ、2つの実数解です）

�Aは が解です。

�Bは、 が解です。(重解)

�Cは、ありません。（範囲に条件がなければ、重解です）

�Dは、ありません。（範囲に条件がなければ、2つの解です）

以上から、 が解となります。

問題2

あるxが与えられたとき、どんなyでこの式が成立するかを考えます。

を上の式に代入します。

で整理して2次方程式を解きます。

根号の中は、

よって、

∴

ここで、は、負なので複合のところは、正のものを用います。

∴

1周期分 [0, 2π) で、tの増減を調べます。

分子は、

ここで、因数定理等を用いて分解すると、

∴

上の式で、黄緑の部分は正、水色の部分は負です。

より、

の解をα、βとします。

x	0	･･･	α	･･･	π/2	･･･	β	･･･	3π/2	･･･	2π
dt/dx	＋	＋	0	−	0	＋	0	−	0	＋
t		↗増加	A	↘減少	B	↗増加	C	↘減少	D	↗増加

A、B、C、Dの極値を調べます。

・A、Cについては、 より、

・B、Dについては、 より、

よって、

NO4「二度漬け白菜」 10/13 10時51分　受信 更新 10/27

[問題1]

x^2-a*x+(√2)*a-1=0

⇔

x^2-1=a*(x-√2).

放物線 y=x^2-1 と 定点 (√2,0) を通る直線 y=a*(x-√2) が，

少なくとも 1 個の交点をもち，その交点のx座標が

-1 以上 かつ 1 以下 となるような a の値の範囲を求めればよい．

0≦a≦2*(√2 - 1) (答)

[問題2]

t=cos(x)*sin(y)＞0 ---(1)

t=sin(x)+cos(y)＞0 ---(2)

(1)の両辺を二乗して，

t^2=((cos(x))^2)*((sin(y))^2)．

よって，

t^2=(1-(sin(x))^2)*(1-(cos(y))^2) ---(3)

(2)より，

cos(y)=t-sin(x)．

これと(3)より，

t^2=(1-(sin(x))^2)*(1-(t-sin(x))^2)．

sin(x)=u とおいて展開して整理すると，

(u^2-1-(u-√2)*t)*(1-u^2+(u+√2)*t)=0．

よって，

u^2-1-(u-√2)*t=0 ---(4)

(ここで，1-u^2+(u+√2)*t=0となることは無い．

なぜなら，-1≦u≦1，t＞0 より， 1-u^2+(u+√2)*t＞0 )

uについての二次方程式(4)が，-1≦u≦1の範囲に少なくとも

一つの解をもつような  tの値の範囲は，先の問題により，

0≦t≦2*(√2 - 1)．

これと t＞0 とから，

0＜t≦2*(√2 - 1) ---(5)

以上より，(1)，(2)が同時に成り立つとするとき，

(5)が成り立つことがわかった．

次に，(5)が成り立つとき，(1)，(2)を同時に成り立たせるような

cos(x)，sin(y)，sin(x)，cos(y) が存在することを示す．

tを，0＜t≦2*(√2 - 1)を満たすような任意の実数とする．

uについての二次方程式(4)は -1＜u＜1 の範囲に少なくとも

1個の解をもつ．これらの解のうち，大きくない方の解を

u=α とする．

α^2-1-(α-√2)*t=0 より，

t=(1-α^2)/(√2-α)．

sin(x)=α かつ -π/2＜x＜π/2 となるように x をとることができる．

このとき，cos(x)=√(1-α^2)．

また，-1＜t-α＜1 である．　

(なぜなら，1-(t-α)^2=1-((1-α^2)/(√2-α)-α)^2=(1-α^2)/(√2-α)^2 ＞ 0)

よって，cos(y)=t-α かつ 0＜y＜π となるように y をとることができる．

このとき，sin(y)=√(1-(t-α)^2)=(√(1-α^2))/(√2-α)．

sin(x)+cos(y)=α+(t-α)=t であるから，(2)を満たしている．

さらに，

cos(x)*sin(y)

=(√(1-α^2))*(√(1-α^2))/(√2-α)

=(1-α^2)/(√2-α)

=t

であるから，(1)も満たしている．

以上より，tのとりうる値の範囲は，0＜t≦2*(√2 - 1) であると

結論できる．

(以上)

NO5「ジョーカー」 　 10/13 22時49分　受信 更新 10/27

問題2を解いたとき，問題1と同じ関数が現れ、不思議でした。

一見、似ても似つかぬ問題なのに、

解き方によって同じ問題に帰着できるとは。

きっと出題者の意図なのかなと思いました。

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。