令和５年２月５日

[流れ星]

　　第423回数学的な連続応募問題

　　　　＜解答募集期間：２月５日〜３月５日＞

［剰余の周期性］

整式f(x)＝ｘ^ｍを整式P_ｎ(x)で割った商をQ_ｎ(x)，余りをR_ｎ(x)とする。

ただし，ｍ，ｎは自然数，Q_ｎ(x)＝0も可とする。

問１　ｍ＝2023のとき，次の問に答えよ。

（１）P_１(x)＝ｘ^２＋１のとき，R_１(x)を求めよ。

（２）P_２(x)＝ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R₂(x)を求めよ。

（３）P_３(x)＝ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R₃(x)を求めよ。

（４）P_４(x)＝ｘ^４＋ｘ^２＋１のとき，R₄(x)を求めよ。

（５）P_５(x)＝ｘ^４＋１のとき，R₅(x)を求めよ。

（６）P_６(x)＝ｘ^４＋ｘ^３＋ｘ^２＋ｘ＋１のとき，R_６(x)を求めよ。

問２　R_ｎ(x)の周期性を発見して，次の問に答えよ。

（１）R_１(x)＝R_３(x)となるｍの値を求めよ。

（２）R_２(x)＝R_４(x)となるｍの値を求めよ。

（３）R_３(x)＝R_５(x)となるｍの値を求めよ。

（４）R_４(x)＝R_６(x)となるｍの値を求めよ。

（５）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)となるｍの値を求めよ。

（６）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)＝R_５(x)となるｍの値を求めよ。

（７）R_１(x)＝R_２(x)＝R_３(x)＝R_４(x)＝R_５(x) ＝R_６(x)となるｍの値を求めよ。

参考にした過去の大学入試問題です。

2021年早稲田大学ではx²⁰²¹をx^４―ｘ^２＋１で割った余りを求めよ。

2004年大分大学ではｎを正の整数とする。整式ｘ^ｎをｘ^５−１で割った余りを求めよ。

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

第417回からの「正三角形の辺や円弧によって囲まれた図形内の４円」

シリーズの第５問目になります。

追加問題２

図のように，円Oに２直線PACとPBDが垂直に交わっているとき，△OABと△OCDの面積が等しいことを証明せよ。

ただし，点Pは円外にあり，点Oは円Oの中心とする。

　

出典「パズルでひらめく補助線の幾何学」中村義作著　

BLUE BACKS

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