令和７年３月２日

[流れ星]

　　第452回数学的な連続応募問題

　　　＜解答募集期間：３月２日～３月３０日＞

［単位分数］

　分子が１の分数を単位分数といい、分数を異なる単位分数の和で表すことを単位分数分解という。

実は、単位分数分解の方法は無限通りあり、証明することも可能です。

後述にある参考を参照ください。

単位分数分解の方法は、2通りあります。

１　分解したい分数から、最大の単位分数をひいていく方法

２　不等式によって、分母にあてはまる自然数をしぼっていく方法

単位分数分解の方法１

①　もとの分数から、それより小さい最大の単位分数をひく。

②　その結果が単位分数なら終了。単位分数でないなら、その分数より小さい最大の単位分数をひく。

③　②を繰り返す。

＊　有限回の計算で必ず単位分数が登場する。

例　 の単位分数分解

①　 　より小さい最大の単位分数は、 　なので、

∴　

②　 は単位分数のため、分解終了。

単位分数分解の方法２

①　もとの分数    (x<y) とおく。

②　x にあてはまる可能性のある自然数を求める。

③　 x をそれぞれ代入し、そのときのy の値が自然数（が単位分数)なら終了し、そうでなければその分数について(1)から同じ作業を行っていく。

＊ x にあてはまる可能性のある自然数は、n より大きく、2n より小さい分数となります。

ここで、問題です

問題　 のように３個の単位分数に分解できます。

１を４個の単位分数に分解してください。

余力問題　１を５個の異なる単位分数に分解すると。何組になりますか。

紙の上で、解を見つけるには、相当な時間がかかり、途中で諦めました。　

誰か、PCで求めて頂けませんか。

　　　　　　

参考文献　BLUEBACKS　大学受験で語る数論の世界　清水健一　講談社

参考に

追加問題（出題者は「ジョーカー」）　新作シリーズ11,12問目

　今回で終了です。

問題1

問題２

　

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから, 解答とペンネームを添えて, メールで送ってください。待っています。