すべてグラフ作成ソフトGRAPESのスクリプトによって解いた．
問題１・２
０≦ｎ≦１０で，
ｘ＋ｙ≦ｎ，ｘ，ｙは非負整数
を満たす(ｘ，ｙ)の個数ｆ(ｎ)を求める．
さらに，
Ａ(０，ｆ(０))，Ｂ(１，ｆ(１))，Ｃ(２，ｆ(２))，Ｄ(３，ｆ(３))，Ｅ(４，ｆ(４))，Ｆ(５，ｆ(５))，Ｇ(６，ｆ(６))，Ｈ(７，ｆ(７))，Ｉ(８，ｆ(８))，Ｊ(９，ｆ(９))
とし，これらの点を表示し，結んでできる曲線をpath関数を使って表示する（path(x,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J)）．
その曲線上に点Ｋ(１０，ｆ(１０))があることを確認する．
cof関数を使って，その曲線の関数の各項の係数を求め，答とする（cof(4,f(x))〜cof(0,f(x))）．
このスクリプトにより，答は，
ｆ(ｎ)＝ｎ２／２＋３ｎ／２＋１＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)／２
となる．
またｆ(３)＝１０となる．
具体的なスクリプトは以下の通り．
#
for n:=0 to 10
# m:=0
# for a:=0 to n
# for b:=0 to n-a
#
m:=m+1
# next b
# next a
# if n=0 then
# A.x:=0
# A.y:=m
#
draw
# else
# if n=1 then
# B.x:=1
# B.y:=m
# draw
# else
#
if n=2 then
# C.x:=2
# C.y:=m
# draw
# else
# if n=3 then
#
D.x:=3
# D.y:=m
# draw
# else
# if n=4 then
# E.x:=4
#
E.y:=m
# draw
# else
# if n=5 then
# F.x:=5
# F.y:=m
#
draw
# else
# if n=6 then
# G.x:=6
# G.y:=m
# draw
# else
#
if n=7 then
# H.x:=7
# H.y:=m
# draw
# else
# if n=8 then
#
I.x:=8
# I.y:=m
# draw
# else
# if n=9 then
# J.x:=9
#
J.y:=m
# draw
# else
# K.x:=10
# K.y:=m
# draw
# endif
#
endif
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
#
endif
# endif
# next n
問題３
０≦ｎ≦１０で，
ｘ＋ｙ＋ｚ≦ｎ，ｘ，ｙ，ｚは非負整数
を満たす(ｘ，ｙ，ｚ)の個数ｆ(ｎ)を求める．
方法は問題１・２と同様であり，スクリプトを以下のように変えるだけである．
#
for a:=0 to n
# for b:=0 to n-a
# for c:=0 to n-a-b
# m:=m+1
# next
c
# next b
# next
a
このスクリプトにより，答は，
ｆ(ｎ)＝ｎ３／６＋ｎ２＋１１ｎ／６＋１＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)／６
となる．
問題４
０≦ｎ≦１０で，
ｘ／３＋ｙ≦ｎ，ｘ，ｙは非負整数
を満たす(ｘ，ｙ)の個数ｆ(ｎ)を求める．
方法は問題１・２・３と同様であり，スクリプトを以下のように変えるだけである．
#
for n:=0 to 10
# m:=0
# for a:=0 to 3n
# for b:=0 to n-a/3
#
m:=m+1
# next b
# next
a
このスクリプトにより，答は，
ｆ(ｎ)＝３ｎ２／２＋５ｎ／２＋１＝(ｎ＋１)(３ｎ＋２)／２
となる．
おまけ
問題１・２・３を一般化する．
０≦ｎ≦１０で，
ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｔ≦ｎ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔは非負整数
を満たす(ｘ，ｙ，ｚ，ｔ)の個数ｆ(ｎ)を求める．
方法は問題１・２・３と同様であり，スクリプトを以下のように変えるだけである．
#
for a:=0 to n
# for b:=0 to n-a
# for c:=0 to n-a-b
# for d:=0 to
n-a-b-c
# m:=m+1
# next d
# next c
# next b
# next
a
このスクリプトにより，
ｆ(ｎ)＝ｎ４／２４＋５ｎ３／１２＋３５ｎ２／２４＋２５ｎ／１２＋１＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)(ｎ＋４)／２４
となる．
さらに，０≦ｎ≦１０で，
ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｔ＋ｕ≦ｎ，ｘ，ｙ，ｚ，ｔ，ｕは非負整数
を満たす(ｘ，ｙ，ｚ，ｔ，ｕ)の個数ｆ(ｎ)を求める．
方法は，スクリプトを以下のように変えるだけである．
#
for a:=0 to n
# for b:=0 to n-a
# for c:=0 to n-a-b
# for d:=0 to
n-a-b-c
# for k:=0 to n-a-b-c-d
# m:=m+1
# next k
# next d
# next
c
# next b
# next
a
このスクリプトにより，
ｆ(ｎ)＝ｎ５／１２０＋ｎ４／８＋１７ｎ３／２４＋１５ｎ２／８＋１３７ｎ／６０＋１＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)(ｎ＋４)(ｎ＋５)／１２０
となる．
一般化すると，
ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋………＋ｘｍ≦ｎ，ｘｉは非負整数（ｉ＝１，２，３，………，ｍ）
を満たす(ｘ１，ｘ２，ｘ３，………，ｘｍ)の個数ｆ(ｎ)は，
ｆ(ｎ)＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)………(ｎ＋ｍ)／ｍ！
である．
おまけ２
問題４を一般化する．
０≦ｎ≦１０で，
ｘ／ｍ＋ｙ≦ｎ，ｘ，ｙは非負整数，１≦ｍ≦８
を満たす(ｘ，ｙ)の個数ｆ(ｎ)を求め，ｆ(ｎ)の係数を求める．
結果は，
ｍ＝１のとき，
ｆ(ｎ)＝ｎ２／２＋３ｎ／２＋１＝(ｎ２＋３ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)／２
ｍ＝２のとき，
ｆ(ｎ)＝ｎ２＋２ｎ＋１＝(２ｎ２＋４ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)２
ｍ＝３のとき，
ｆ(ｎ)＝３ｎ２／２＋５ｎ／２＋１＝(３ｎ２＋５ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(３ｎ＋２)／２
ｍ＝４のとき，
ｆ(ｎ)＝２ｎ２＋３ｎ＋１＝(４ｎ２＋６ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(２ｎ＋１)
ｍ＝５のとき，
ｆ(ｎ)＝５ｎ２／２＋７ｎ／２＋１＝(５ｎ２＋７ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(５ｎ＋２)／２
ｍ＝６のとき，
ｆ(ｎ)＝３ｎ２＋４ｎ＋１＝(６ｎ２＋８ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(３ｎ＋１)
ｍ＝７のとき，
ｆ(ｎ)＝７ｎ２／２＋９ｎ／２＋１＝(７ｎ２＋９ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(７ｎ＋２)／２
ｍ＝８のとき，
ｆ(ｎ)＝４ｎ２／２＋５ｎ＋１＝(８ｎ２＋１０ｎ＋２)／２＝(ｎ＋１)(４ｎ＋１)
故に
ｆ(ｎ)＝{ｍｎ２＋(ｍ＋２)ｎ＋２}／２＝(ｎ＋１)(ｍｎ＋２)／２
となる．
スクリプトは以下の通り．
# for
k:=1 to 8
# for n:=0 to 10
# m:=0
# for a:=0 to k*n
# for b:=0 to
n-a/k
# m:=m+1
# next b
# next a
# if n=0 then
# A.x:=0
#
A.y:=m
# draw
# else
# if n=1 then
# B.x:=1
# B.y:=m
#
draw
# else
# if n=2 then
# C.x:=2
# C.y:=m
# draw
# else
#
if n=3 then
# D.x:=3
# D.y:=m
# draw
# else
# if n=4 then
#
E.x:=4
# E.y:=m
# draw
# else
# if n=5 then
# F.x:=5
#
F.y:=m
# draw
# else
# if n=6 then
# G.x:=6
# G.y:=m
#
draw
# else
# if n=7 then
# H.x:=7
# H.y:=m
# draw
# else
#
if n=8 then
# I.x:=8
# I.y:=m
# draw
# else
# if n=9 then
#
J.x:=9
# J.y:=m
# draw
# else
# K.x:=10
# K.y:=m
# draw
#
endif
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
#
endif
# endif
# endif
# next n
# if k=1 then
#
P.x:=cof(2,f(x))
# P.y:=cof(1,f(x))
# P.r:=cof(0,f(x))
# draw
#
else
# if k=2 then
# Q.x:=cof(2,f(x))
# Q.y:=cof(1,f(x))
#
Q.r:=cof(0,f(x))
# draw
# else
# if k=3 then
# R.x:=cof(2,f(x))
#
R.y:=cof(1,f(x))
# R.r:=cof(0,f(x))
# draw
# else
# if k=4 then
#
S.x:=cof(2,f(x))
# S.y:=cof(1,f(x))
# S.r:=cof(0,f(x))
# draw
#
else
# if k=5 then
# T.x:=cof(2,f(x))
# T.y:=cof(1,f(x))
#
T.r:=cof(0,f(x))
# draw
# else
# if k=6 then
# L.x:=cof(2,f(x))
#
L.y:=cof(1,f(x))
# L.r:=cof(0,f(x))
# draw
# else
# if k=7 then
#
M.x:=cof(2,f(x))
# M.y:=cof(1,f(x))
# M.r:=cof(0,f(x))
# draw
#
else
# N.x:=cof(2,f(x))
# N.y:=cof(1,f(x))
# N.r:=cof(0,f(x))
#
draw
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
# endif
#
endif
# next k
# ---