平成１５年２月１５日
[流れ星]
第１１３回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：２月１日～２月１５日＞
［三角形の面積］
太郎さんは、次の問題を生徒から質問されました。皆さん、考えてください。
問題：△ＡＢＣにおいて、頂点Ａから対辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとし、
ＢＤ＝４，ＣＤ＝６，角ＢＡＣ＝１３５° とする。
このとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
ＮＯ１「H7K」さん 2/1: 17時13分 受信 更新2/15
AD=t，∠BAD=αとおくと，BD=t
tanα=4,CD=t tan(135°-α)=6と書ける．
α<>90°は明らか．
さて，加法定理より，tan(135°-α)=(tanα+1)/(tanα-1).
tanα=pと書くことにすると，BD:CD=p:(p+1)/(p-1)=2:3.
よって，3p(p-1)=3p^2-3p=2p+2
3p^2-5p-2=0.
これを解いて，p=1/6*(5+-7)=2,-1/3だが，p>0なので，p=2.
よって，三角形ABC=(4+6)*(4/2)/2=10.//
ＮＯ２「Kashiwagi」さん 2/1: 21時36分 受信 更新2/15
ＮＯ３「三角定規」さん 2/1: 21時45分 受信 更新2/15
高校生の教科傍用問題集にある問題のようで、生徒の質問に答
えるような気持ちで解いてみました。
ＮＯ４「hashi」さん 2/1: 21時55分 受信 更新2/15
初めて応募します。
ｈａｓｈｉ と言います。よろしくお願いします。
式の書き方がよくわからないので、自己流ですが、何とか書いてみました。
以下でよいと思いますが、表記上の誤りがあるかもしれません。
今後ともよろしくお願いします。
＜解答＞
ＡＢ＝ｘ，ＡＣ＝ｙ，ＡＤ＝ｈとし，三角形ＡＢＣの面積をＳとする．
Ｓ＝ＢＣ・ＡＤ／２＝１０ｈ／２＝５ｈ ……（ア）
また，Ｓ＝（１／２）ＡＢ・ＡＣsin角BAC＝(１／２)ｘｙsin135度＝(ルート２)ｘｙ／４
よって，４Ｓ＝(ルート2)ｘｙ ……（イ）
正弦定理から １００＝ｘ^2＋ｙ^2ー２ｘｙcos角135度
これに，ピタゴラスの定理から得られる ｘ^2＝１６＋ｈ^2，ｙ^2＝３６＋ｈ^2 を
代入して
１００＝１６＋ｈ^2＋３６＋ｈ^2＋(ルート2)ｘｙ
よって，(ルート2)ｘｙ＝４８ー２ｈ^2 ……（ウ）
（イ）に（ア），（ウ）を代入すると ２０ｈ＝４８ー２ｈ^2
ｈ^2＋１０ｈー２４＝０
これを解いて（ｈ＞０から） ｈ＝２
したがって面積は，（ア）から Ｓ＝１０
ＮＯ５「iga」さん
2/2: 14時45分 受信 更新2/15
お久しぶりです、Ｉｇａです。
いろいろな方法で求めることができるということだし、
三角形の面積なので、中学生でもできるかもと思い、考えてみました。
計算に４乗（２乗の２乗）などが出てくるのをのぞけば、中学３年生でもできそうです。
ＣＡの延長とＢから下ろした垂線の交点をＥとする。
∠ＢＡＣの外角だから、 角ＢＡＥ＝１８０°－１３５°＝４５°
よって三角形ＥＡＢは直角二等辺三角形になるので、
ＥＡ＝ＥＢ
また、三角形ＣＡＤと三角形ＣＢＥは
角Ｃ共通、角ＡＤＣ＝角ＢＥＣ＝９０°
２角がそれぞれ等しいので、 三角形ＣＡＤ相似三角形ＣＢＥ
ここで、ＡＣ＝ｘ、ＡＥ＝ｙとおく。
ＣＤ：ＣＥ＝ＣＡ：ＣＢ＝ＡＤ：ＢＥ より
６：（ｘ＋ｙ）＝ｘ：１０ …(1) 、 ｘ：１０＝ＡＤ：ｙ …(2)
(1)より ｘ（ｘ＋ｙ）＝６０
ｘｙ＝６０－ｘ＾２
また(2)より ＡＤ＝ｘｙ／１０
よって ＡＤ＝（６０－ｘ＾２）／１０ …(3)
三角形ＣＡＤは直角三角形だから三平方の定理より
ＡＤ＾２＝ＣＡ＾２－ＣＤ＾２
＝ｘ＾２－６＾２
(3)式を代入すると
｛（６０－ｘ＾２）／１０｝＾２＝ｘ＾２－６＾２
（ｘ＾４－１２０ｘ＾２＋３６００）／１００＝ｘ＾２－３６
ｘ＾４－１２０ｘ＾２＋３６００＝１００ｘ＾２－３６００
ｘ＾４－２２０ｘ＾２＋７２００＝０
（ｘ＾２－１８０）（ｘ＾２－４０）＝０
ｘ＾２＝１８０、ｘ＾２＝４０
(3)式に代入すると
ｘ＾２＝１８０は不適、ｘ＾２＝４０のとき
ＡＤ＝（６０－４０）／１０＝２
三角形ＡＢＣは底辺ＢＣ＝１０，高さＡＤ＝２の三角形なので、
面積は 三角形ＡＢＣ＝１０×２／２
＝１０
と求められました。
ｘ＾２＝Ｘとでもおけば中学生でも何とかＯＫだと思います。
数学好きの生徒にでもやらせてみようと思います。
また楽しい問題をよろしくお願いします。
ＮＯ６「udonko」さん 2/3: 03時11分 受信 更新2/15
こんばんは。ｕｄｏｎｋｏです。
今回は何も芸がない、力技ですみません。
ＢＣ＝４＋６＝１０
また ＡＤ＝ｘ とすると、
ＡＢ＝ｓｑｒｔ（ｘ*ｘ＋１６）、ＡＣ＝ｓｑｒｔ（ｘ*ｘ＋３６）
従って三角形ＡＢＣに余弦定理を適用して、
１００＝（ｘ*ｘ＋１６）＋（ｘ*ｘ＋３６）－２*ｓｑｒｔ（ｘ*ｘ＋１６）*ｓｑｒｔ（ｘ*ｘ＋３６）*cos135
－２ｘ*ｘ＋４８＝ｓｑｒｔ（２（ｘ*ｘ＋１６）（ｘ*ｘ＋３６））
・・・・・（ア）
この両辺を２乗して
４ｘ*ｘ*ｘ*ｘ－９６ｘ*ｘ＋２３０４＝２ｘ*ｘ*ｘ*ｘ＋１０２ｘ*ｘ＋１１５２
ｘ*ｘ*ｘ*ｘ－１４８ｘ*ｘ＋５７６＝０
ｘ*ｘ＝１４４ or ４
ここで （ア）の左辺は０以上 より ｘ*ｘ＝４
従って ｘ＝２
よって求める面積は Ｓ=２*10/2=10
ＮＯ７「BossF(^o^)」さん 2/4：05時08分 受信 更新2/15
AD=h とおきます
すると三平方より
AB=(16+h^2)^(1/2)
AC=(36+h^2)^(1/2)
またＣからABに下ろした垂線の足をＨとすると
三角形ACHは直角二等辺ですから
CH=AC/√2={(36+h^2)/2}^(1/2)
以上より
2三角形ABC=10h=(16+h^2)^(1/2)x{(36+h^2)/2}^(1/2)
これより ｈ=2,12
h=12は明らかに不適ですから
三角形ABC=5
ＮＯ８「toru」さん 2/4: 12時05分 受信 更新2/15
問題１１３の解答を送ります。いろいろな解法が可能ですとのことでいくつか考えて
みました。とりあえず１）の解法で答はすぐでたのですが、考えるとだんだんにいろ
いろ思いついてなかなか楽しめました。図を書いていないのでわかりにくく読むのが
やや苦痛かと思われますが、おつきあいのほどお願いします。ペンネーム Ｔｏｒｕ
問題１１３の解答
１） 三角関数を使う場合
角ABC＝θ(0<θ<π/4)とすると角ACB＝(π／４)―θ、BDtanθ＝DCtan((π／４)―θ)=AD
ここで tanθ＝t とすると0<t<1でtan(（π／４）―θ)＝(sin（π／４）cosθ―sinθcos(π／４))／(cos(π／４)cosθ＋sin(π／４)sinθ)
＝（１―t）／（１＋t）
これらから４t＝６（１－t）／（１＋t） これを計算して、（２t―１）（t＋３）＝０
よってt＝１／２、AD＝４×１／２＝２で求める面積は（４＋６）×２×１／２＝１０
２） 図形で考える場合
三角形ABCの外接円を考えて中心をＯとすると角ABC＝１３５°
だからＯは直線BCに対してAの反対側にあって四角形ABOCを考えれば（円周角と考えてもよいが）、
角BOC＝３６０°―１３５°×２＝９０°
よって三角形BOCは直角二等辺三角形でBC＝１０だから
OB＝OC＝OA＝５√２、Ｏを通りBCに平行な直線を引きADを延長した直線との交点をEとすると
DE＝５ 直角三角形AEOを考えればOE＝（４＋６）／２―４＝１だから
AE＾２＝OA＾２―OE＾２＝５０―１＝４９
よってAE＝７、AD＝AE―DE＝２
従って求める面積は（４＋６）×２×１／２＝１０
３） ベクトルを使う場合
ベクトルAB＝ベクトルAD＋ベクトルDB、ベクトルAC＝ベクトルAD＋ベクトルDC
（以下ベクトルを省略） AB＾２＝AD＾２＋DB＾２＝AD＾２＋１６、
AC＾２＝AD＾２＋DC＾２＝AD＾２＋３６ AB・AC＝AD・AD＋DB・DC＝AD＾２―２４
ABとＡCのなす角が１３５°だからAB・AC＝|AB||AC|cos１３５°の両辺を２乗して
AD＾２＝xとすると（x―２４）＾２＝（x＋１６）（x＋３６）／２
これを計算すると（x―４）（x―１４４）＝０
AB・ACは負だから１４４は不適でX＝４
従ってAD＝２となり面積は（４＋６）×２×１／２＝１０
４） 複素数を使う場合
三角形ABCの頂点Ａを原点として複素平面を考え
B：―４―ｉαの１３５°回転を行うと
（―４―ｉα）（cos135°＋ｉsin135°）＝（４＋α）／√２＋ｉ（α―４）／√２
これがC：６―αｉの方向に重なるから（４＋α）：６＝（α―４）：―α
（ただし４＋α＞０）これを計算して（α―２）（α＋１２）＝０ よってα＝２となり
面積は（４＋６）×２×１／２＝１０
ＮＯ９「ﾆｰｽｹﾝｽ」さん 2/6：08時27分 受信 更新2/15
第113回応募問題の解答を考えましたので、お送りします。
"Weekend Mathematics"に投稿された美しい解答に較べると
だいぶ見劣りしますが、枯れ木も山の賑わいということでご容赦ください。
ＮＯ１０｢中学生」さん 2/7：14時34分 受信 更新2/15
こんにちは、Ｉｇａです。
早速ですが、中学３年生の選択数学の生徒にやらせてみました。
「三平方の定理と相似を使うよ」や解の値の大きさに関するヒントは与えたものの、
一人の生徒が正解を出しました。
それも相似比を使わず、文字もｘ１種類だけで解いていました。
解けないながらも取り組んだ生徒たちも、同様の傾向がありました。
中学生にとっては、文字数が増えることや相似などの扱いや考え方がまだ苦手なのかなと思いました。
以下はその生徒の解答を整理して書き直したものです。
ＣＡの延長とＢから下ろした垂線の交点をＥとする。
∠ＢＡＣの外角だから、 ∠ＢＡＥ＝１８０°－１３５°＝４５°
よって△ＥＡＢは直角二等辺三角形になる。
ここで、ＥＡ＝ＥＢ＝ｘとおくと、 ＡＢ＝√２・ｘ
△ＡＢＤで、三平方の定理より ＡＤ＝√(２ｘ＾２－１６)
△ＡＤＣで、三平方の定理より ＡＣ＝√(２ｘ＾２＋２０)
△ＡＢＣの面積をＡＣを底辺とした場合と、ＢＣを底辺とした場合を考えると、
ＡＣ×ＢＥ＝ＢＣ×AD
√(２ｘ＾２＋２０)×ｘ＝１０×√(２ｘ＾２－１６)
ｘ＾２(２ｘ＾２＋２０) ＝１００(２ｘ＾２－１６)
２ｘ＾４＋２０ｘ＾２＝２００ｘ＾２－１６００
ｘ＾４－９０ｘ＾２＋８００＝０
(ｘ＾２－１０)(ｘ＾２－８０)＝０
ｘ＾２＝１０ 、 ｘ＾２＝８０
「※生徒にはｘ＾２＝８０が適さない理由がすぐに見つけられませんでした。
｜ また、不等式も指導内容から削除されていますので、以下は私が付け加えました。
｜ ここで、ＢＥ＞ＡＤだから
｜ ｘ＞√(２ｘ＾２－１６)
｜ ｘ＾２＞２ｘ＾２－１６
｜－ｘ＾２＞－１６
｜ ｘ＾２＜１６
｜＿ （ここまで）
ｘ＾２＜１６より ｘ＾２＝１０
よって、 ＡＤ＝√(２ｘ＾２－１６)
＝√(２×１０－１６)
＝√４
＝２
以上より △ＡＢＣ＝ＢＣ×ＡＤ÷２
＝１０×２÷２
＝２
ＮＯ１１「午年のうりぼう」さん2/8：01時32分 受信 更新2/15
第１１３回数学的な応募問題［三角形の面積］解答
ＡＤ＝ａ（＞０）とすると、ＡＢ＝√（ａ２＋１６）， ＡＣ＝√（ａ２＋３６）
△ＡＢＣにおいて、余弦定理より、
（４＋６）２ ＝｛√（ａ２＋１６）｝２ ＋｛√（ａ２＋３６）｝２－２√（ａ２＋１６）√（ａ２＋３６）cos１３５゜
⇔ －２（ａ２－２４）＝ √｛２（ａ４＋５２ａ２＋５７６）｝……①
両辺を２乗して、整理すると、
ａ４－１４８ａ２＋５７６＝０
⇔ （ａ２－４）（ａ２－１４４）＝０
⇔ ａ２ ＝ ４ または １４４
よって、ａ２ ＝ ４ または １４４ であることが必要である。
この２つのａの値は、三角形の成立条件を満たす。
①により、 ａ２ ＝ ４ で十分である。
ａ＞０より、 ａ＝２
よって、△ＡＢＣ ＝ １／２ ×（４＋６）×２＝ １０ ……（答）
（ちなみに、ａ＝１２ のとき、∠ＢＡＣ＝４５゜ で、△ＡＢＣ＝６０）
初めて送らせて頂きます。よろしくお願いします。 ペンネーム：午年のうりぼう
ＮＯ１２「中川幸一」さん 2/12: 22時31分 受信 更新2/15
ＮＯ１３「スモークマン」さん 2/14: 21時24分 受信 更新2/15
