平成１５年３月３１日
[流れ星]
第１１６回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：３月１６日〜３月３１日＞
［絵画鑑賞］
太郎さんは、以前次のような入試問題を生徒と一緒に考えました。
問題１．縦１．４ｍの絵が垂直な壁に掛かっていて、絵の下端が目の高さより１．８ｍ上方の位置にある。
この絵を、縦方向に見込む角が最大となる位置は、壁から何ｍの所か。
求められた答えが一体どんな数字か知りたくて、文字に置き換えて考えました。
問題２．縦（ｂ−ａ）ｍの絵が垂直な壁に掛かっていて、絵の下端が目の高さよりａｍ上方の位置にある。
この絵を、縦方向に見込む角が最大となる位置は、壁から何ｍの所か。
ただし、ｂはａより大きい数とする。また、参考に下のような画像を作ってあります。
NO1「H7K」さん 3/15: 12時49分 受信 更新3/31
NO2「午年のうりぼう」さん3/16：03時04分 受信更新3/31
NO3「Kashiwagi」さん
3/16: 18時28分 受信 更新3/31
お世話になります。今回の問題は問２の図で助かりました。問２の一般解を求め具体値を代入して問１を求めました。
しかし、面白い結果になるのですね。何かレンズや鏡の関係と似ていますね。
第116回解答
今回の問題は問2が一般解なのでこちらを先に解き、その解に具体的な値を代入し、問1の解とする。
問2.
図のKOをｘとすると、tanα＝ａ／ｘ，tanβ＝ｂ／ｘ
又、tanθ＝tan(β−α)＝(tanβ−tanα)／(１＋tanα･tanβ) ＝(ｂ−a)ｘ／(ｘ２＋ａｂ)となる。
ここで見込む角が最大になるとは、角βが最大になることであり、αは定角であるからθを最大にすれば良い。題意よりθは0°と90°の範囲にある。
そこで先程のｘの関数であるtanθ式をｘで微分すると、
〔(ｂ−a)(ｘ２＋ａｂ)−2ｘ(ｂ−a)ｘ〕／(ｘ２＋ａｂ)２
分子を整理すると−(ｂ−a)(ｘ２−ａｂ)＝−(ｂ−a)(ｘ＋√ab)(ｘ−√ab)となる。
そこで増減を確認すると、ｘ＝√abで極大値をとることがわかり、この値が最大値でもある。以上より求めるものは壁から√abｍである。
問1.
問2の解にa= 1.8ｍ、ｂ＝1.4＋a=3.2ｍを代入して2.4ｍが求めるものである。
NO4「午年のうりぼう」さん別解3/17：23時37分受信更新3/31
NO5「toru」さん
3/18: 11時57分 受信 更新3/31
問題２
解答１ 0<θ<π/2 であるから、tanθはこの範囲で単調増加であり、tanθが最大と
なる点を求めればよい。OK=xとすると、tanθ=tan(β-α)=(tanβ-tanα)／(1+tan
αtanβ)=(b/x-a/x)／(1+(ab)/(x^2))=(b-a)／(x+(ab/x))≦(b-a)／2√(x・(ab/x))
=(b-a)／2√(ab) 等号はx=ab/xの時に成り立つからこの時、x=√(ab) (m) 答え
解答２ ABの中点をM、３点Ｏ,A,Bを通る円の中心をPとするとPM⊥AB、円周角と中心
角の関係から、角APB＝２×角AOBだから、角APBが最大になるように考えればよい。
このためにはこの円の半径rが最小となればよいが、これは円がOKに接する時で、PO
⊥OKとなるから、r=PO=MK=(b+a)/2 この時、OK^2=PM^2=PA^2−AM^2=((b+a)/2)^2
−((b-a)/2)^2=ab でOK=√(ab)
(m)答え
問題１ a=1.8 b=3.2 とすれば√(1.8×3.2)=2.4(m) 答え
解答１ではなんとなく計算して行けばできてしまうので、ふつうはこちらだと思いますが、解答２の方が個人的には好きです。
NO6「浜田」さん 3/18: 12時21分 受信 更新3/31
問題２．
ＯＫ＝ｘ（ｘ＞０）とする．
θ＝β−α
tanα＝ａ／ｘ
tanβ＝ｂ／ｘ
であるから，
tanθ＝tan(β−α)
＝(tanβ−tanα)／(１＋tanαtanβ)
＝(ｂ／ｘ−ａ／ｘ)／(１＋ａ／ｘ×ｂ／ｘ)
＝(ｂ−ａ)×ｘ／(ｘ^2＋ａｂ)
tanθ（０＜θ＜π／２）は増加関数であり，ｂ−ａ＞０であるから，θが最大となるのは，tanθが最大，すなわち
ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ^2＋ａｂ)
が最大になるときである．
ｆ'(ｘ)＝{(ｘ^2＋ａｂ)−ｘ×２ｘ}／(ｘ^2＋ａｂ)^2
＝−(ｘ^2−ａｂ)／(ｘ^2＋ａｂ)^2
ａｂ＞０であるから，増減表は，
ｘ ０ … (ａｂ)^(1/2) …
ｆ'(ｘ) ＋ ０ −
ｆ(ｘ) ／ ＼
故にｘ＝(ａｂ)^(1/2)のとき最大となる．
答．(ａｂ)^(1/2)ｍ
問題１．
問題２において，ａ＝１.８，ｂ＝１.４＋１.８＝３.２とすればよいので，
ＯＫ＝(１.８×３.２)^(1/2)＝２.４
答．２.４ｍ
NO7「UnderBird」さん 3/18:
13時20分 受信 更新3/31
NO8「浜田」さん別解 3/19: 14時25分 受信 更新3/31
NO9「UnderBird」さん別解3/24:
10時25分受信 更新3/31
No10「中川幸一」さん 3/26: 01時36分 受信 更新3/31
NO11「三角定規」さん 3/29: 20時57分 受信 更新3/31
