平成１５年７月６日
[流れ星]
第１２１回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：６月１５日～７月６日＞
［５乗根・１０乗根］
今回は、１の５乗根や１０乗根に関係の深い３角関数の積の問題です。
ＮＯ１「H7K」さん 6/16: 23時04分 受信 更新７月６日
いまだに「ピラピッド問題２」は解決できていません，というか，時間がなくてあまり考えられなかったのですが...
さて，第121回ですが，大まかには次の感じです．
(1) sin 5x=sin(2x+3x)=...(計算略)=16sin^5 x-20sin^3 x+5sin x
sin 5x=0なる0<=x<2 piはk*pi/5(k=0...9)だが，それのsin xをとってみると値は0,+- sin pi/5,+-
sin 2pi/5の5種，
よって，この0,+- sin pi/5,+- sin 2pi/5は16x^2-20x^3+5x=0の解，
解と係数の関係より，5/16=sin pi/5 * -sin pi/5 * sin 2pi/5 * -sin 2pi/5=sin^2 pi/5 * sin^2
2pi/5...(1).
ここで，sin 4pi/5=sin pi/5，sin 3pi/5=sin 2pi/5より，sin pi/5 * sin 2pi/5 * sin 3pi/5 *
sin 4pi/5=5/16.
(2) cos x=sin x+pi/2を活用すると，結局この式は容易にsin pi/5 * sin
2pi/5 * sin 3pi/5 * sin 4pi/5に変形できるので，当然値も5/16.
ＮＯ２「Kashiwagi」さん 6/17: 08時00分 受信 更新７月６日
今朝問題を見せて頂きました。表題が５乗根とありましたので、eとiを使えば良いなと
想像したのですが、色々やっているうちに５倍角を使ってみたらと閃き、計算してみると 綺麗な値になるので驚嘆致しました。しかも、両方とも同じ値とは自然界の不思議さを 垣間見させて頂きました。
第121回解答
問１.
今sin5θ
をsinθで表すと、
今sin5θ＝sin(３θ＋２θ)＝sin３θcos２θ＋cos３θsin２θとなる。
ここで３倍角や２倍角の公式を使い変形すると、
sin5θ＝16sin5θ－20 sin3θ＋5sinθとなる。
即ち、sin5θ＝ｆ(sinθ)である。
ここでθにπ/５、２π/５、３π/５、４π/５、を代入すると5θは各々
π、２π、３π、４πであり、その値はゼロ（０）である。
因ってこれら４個の値は上記５乗方程式の解であり、夫々の値は異なり、sin(π／5)など
全てゼロ（０）でない。
即ち、上記方程式のsinθ＝０以外の４個の解である。
これより16sin4θ－20 sin2θ＋5 ＝０に解と係数の関係を適用し、５/1６が求めるものである。
問２.
上記と全く同様の計算をすると求めるものは５/1６と同じ値になる。
ＮＯ３「toru」さん 6/17: 16時01分 受信 更新７月６日
問題１α=cosπ/5+ｉsinπ/5とおくとα^5=-1 ここで、a=-(α+1/α),b=α^2+1/α^2
とするとα^4-α^3+α^2-α^1+1=0, より (α^2+1/α^2)-(α+1/α)+1=0からa+b=-1,
またab=-(α^2+1/α^2)(α+1/α)=-(α^3+1/α^3+α+1/α)=((α^2+1/α^2)-(α+1/
α))=a+b=-1これらから、sinπ/5 sin2π/5 sin3π/5
sin4π/5=(α-1/α) (α^2-1/
α^2)(α^3-1/α^3)(α^4-1/α^4))／(2ｉ)^4= (-2-(α+1/α))(-2-(α^3+1/α^3))
／16=(-2-(α+1/α))(-2+(α^2+1/α^2))／16=((-2+a)(-2+b))／16=(4-2(a+b)+ab)
／16=5/16--------答え ついでにαを求めてみると、a,bは方程式 t^2+t-1=0の２
解だからa= -cosπ/5<0と合せて考えて、a=(-1-√5)／2, b=(-1+√5)／2 これから
αは実部も虚部も正であることを考えて、α=(-a+√(4-a^2) ｉ)／2=(√5+1)／4 +
√(10-2√5)／4 ｉ、つまりsinπ/5=√(10-2√5)／4、同様にα^2=(b+√(4-b^2) ｉ)
／2=(√5-1)／4 +√(10+2√5)／4 ｉ α^3=-1/α^2=(-√5+1)／4 +√(10+2√5)／4
ｉ,α^4=-1/α=-(√5+1)／4 +√(10-2√5)／4 ｉこの４つの虚部をまじめにかけあわ
せても5/16 がもとまります。
問題２ cosπ/10=sin(π/10+π/2)=sin3π/5, cos3π/10=sin(3π/10+π/2)=sin4
π/5, cos7π/10=sin(7π/10+π/2)=sin6π/5=-sinπ/5, cos9π/10=sin(9π/10+
π/2)=sin7π/5=-sin2π/5, これらからcosπ/10 cos3π/10 cos7π/10 cos9
π/10=sinπ/5 sin2π/5 sin3π/5 sin4π/5=5/16――――答え
本当は1/αなどのかわりにαの共役複素数α（バー）としたかったのですが記号がう
まく書けませんでした。α= cos2π/5+ｉsin2π/5 とすれば１の５乗根を求めること
になりますが、あまり計算が簡単になりませんでしたので上記のままにしました。もっ
とスッキリした解答がありそうですが、時間があまり取れず今回はこれで諦めました。
問題２は単位円周上に正五角形を書いてながめていると明らかなのですが、図を書い
て説明するのもうまくできず、いろいろ不満は残るところですが、他の人たちの解法
を楽しみにしています。
ＮＯ４「三角定規」さん 6/21: 22時23分 受信 更新７月６日
ＮＯ５「ニースケンス」さん 6/23: 12時06分受信 更新７月６日
ＮＯ６「UnderBird」さん 6/24: 16時20分 受信 更新７月６日
ＮＯ７「kibomasa」さん 7/02: 21時28分 受信 更新７月６日
問題１
π/5＝３６度なので、底角が７２度、頂角３６度の二等辺三角形において、頂角
を挟む辺の長さを１として底辺の長さを求めました。余弦定理によりcos３６度
の値がわかります。２倍角の定理よりcos72度もわかります。よって、それぞれ
のsinの値もわかります。ここで半円をかき、５等分すると、「sinπ/5＝sin4π
/5、sin2π/5＝sin3π/5」なので予式は「 {(sinπ/5)^2}{sin3π/5)^2} 」と
なります。よって、答えは「5/16」
π/5 のcosの値の分子は「1+√5」、2π/5 のcosの値の分子は「-1+√5」、こ
のことと、図形的に対称なことから、3π/5 のcosの値の分子は「1-√5」、4π
/5 のcosの値の分子は「-1-√5」である。（これらのことは倍角を使っても求
められる。）
問題２
問題１の利用をします。
「π/5＝2*π/10」、「3π/5＝2*3π/10」であることがわかる。ここでまた、半
円をかき、10等分する。図形的に見て、「cos(π/10)＝-cos(9π/10)」、
「cos(3π/10)＝-cos(7π/10)」より、
予式は [ {cos(π/5)}^2 ]*[ {cos(3π/5)}^2
] をもとめればよい。ここで、
それぞれの値は倍角より求まります。よって答えは「5/16」
ＮＯ８「kasama」 さん 7/4：22時17分 受信 更新７月６日
■問題１：sinπ/5×sin2π/5×sin3π/5×sin4π/5
①図的解釈
最近、息子の算数を見てやっているせいで、図的に解釈する癖が付いてしいま
して・・・
y軸に対して、sinπ/5×sin2π/5とsin3π/5×sin4π/5は対象です。よって、
sinπ/5×sin2π/5を計算して自乗すれば良いと考えられます。
高校生風に考えると、sin(π-α)＝sinαを利用するのでしょうか。
②sinπ/5×sin3π/5の自乗の計算
上記の考察を基に式を変形します。
与式＝{sinπ/5×sin2π/5}^2＝{2×(cosπ/5-cos^3π/5)}
ちょっとサボって、cosπ/5=(√5+1)/4は既知のもさせて下さい。これを上式に
入れて整理すると、√5/4となります。
答え・・・５/１６
■問題２：cosπ/10×cos3π/10×cos7π/10×cos9π/10
直感的に問題１の答えと同じ気がしますが・・・やってみると、
①図的解釈
こちらも同様に、cosπ/10×cos3π/10を計算して自乗すれば良いと考えられ
ます。
②cosπ/10×cos3π/10の自乗の計算
問題１の結果を有効に利用します。
cosπ/10＝sin(π/2-π/10)＝sin2π/5
cos3π/10＝sin(π/2-3π/10)＝sinπ/5
となりますから、計算するまでもなく、答えが得られます。
答え・・・５/１６
『第121回の応募問題「５乗根・10乗根」の問題を一般化したものが解けました。
(1)nが2以上の整数とすると、
Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)} = n/{2^(n-1)} となる。
(2)nが3以上の奇数とすると、
Π_{i=1}^{(n-1)/2} {cos((2i-1)π/(2n))}
Π_{i=(n+1)/2}^{n} {cos((2i-1)π/(2n))}= ((-1)^{(n-1)/2})n/{2^(n-1)} となる。
[証明]
(1)ζを1の虚2n乗根 cos(π/n)+sqrt(-1)*sin(π/n)とする。
ζ^(2n) = 1, ζ^n = -1 は容易に得られる。
ζ^i(i=1,2,...,2n-1)は互いに異なるので、
x^(2n-1)+x^(2n-2)+...+x+1=(x-ζ)(x-ζ^2)(x-ζ^3)...(x-ζ^(2n-1)) ----- (*) となる。
(*)にx=1を代入すると、
2n=(1-ζ)(1-ζ^2)(1-ζ^3)...(1-ζ^(2n-1))
つまり、Π_{i=1}^{2n-1} {(1-ζ^i)} = 2n を得る。
i=1,2,...,n-1に対して、
ζ^i = cos(iπ/n)+sqrt(-1)*sin(iπ/n)
ζ^(-i) = cos(iπ/n)-sqrt(-1)*sin(iπ/n) なので、
sin(iπ/n)=(ζ^i-ζ^(-i))/(2*sqrt(-1)) となる。
ζ^i-ζ^(-i)=-ζ^(-i)(1-ζ^(2i))=-ζ^(-i)(1-ζ^i)(1+ζ^i)
=-ζ^(-i)(1-ζ^i)(1-ζ^(n+i)) より、
Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)}
=(1/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})Π_{i=1}^{n-1}{ζ^i-ζ^(-i)}
= ({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*Π_{i=1}^{n-1}{ζ^(-i)}
*(1/2)*Π_{i=1}^{n-1}{1-ζ^i}*(1-ζ^n)*Π_{i=1}^{n-1}{1-ζ^(n+i)}
=({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*ζ^{-n(n-1)/2}*(1/2)*Π_{i=1}^{2n-1}{1-ζ^i}
= ({(-1)^(n-1)}/{(2*sqrt(-1))^(n-1)})*{sqrt(-1)^(n-1)}*(1/2)*(2n)
= n/{2^(n-1)} を得る。
(2)nは3以上の奇数なので、n=2m+1(m>=1)とおく。
i=1,2,...,mに対して、
cos((2i-1)π/(2n))=cos((2i-1+n)π/(2n)-π/2)=sin((2i-1+n)π/(2n))
=sin((i+m)π/n)
i=m+2,m+3,...,2m+1に対して、
cos((2i-1)π/(2n))=cos((2i-1-n)π/(2n)+π/2)=-sin((2i-1-n)π/(2n))
=-sin((i-1-m)π/n) なので、(1)より、
Π_{i=1}^{(n-1)/2} {cos((2i-1)π/(2n))} Π_{i=(n+1)/2}^{n}
{cos((2i-1)π/(2n))}= Π_{i=1}^{m} {sin((i+m)π/n)} Π_{i=m+2}^{2m+1} {-sin((i-1-m)π/n)}
= Π_{i=m+1}^{2m} {sin(iπ/n)} *{(-1)^m}*Π_{i=1}^{m} {sin(iπ/n)}
= {(-1)^m}*Π_{i=1}^{2m}{sin(iπ/n)}
= {(-1)^((n-1)/2)}*Π_{i=1}^{n-1}{sin(iπ/n)}
= ((-1)^{(n-1)/2})*n/{2^(n-1)} を得る。
[追記] 以下もおそらく証明できると思います。
(3)nが2以上の偶数とすると、
Π_{i=1}^{n/2} {cos((2i-1)π/(2n))} Π_{i=(n/2)+1}^{n} {cos((2i-1)π/(2n))}
= {(-1)^(n/2)}/{2^(n-1)} となる。』
<水の流れ：コメント＞一般化なんて考えもしなかったけれども、「中尾」さんのおかげです。ありがとうございます。
