kadai78

平成１５年９月７日

[流れ星]

　　　　　　　　第１２４回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：８月１７日～９月７日＞

［指数型母関数］

太郎さんは、８月５日に全国算数・数学教育研究（愛知）大会に参加しました。このとき、2003年国際算数・数学能力検定ガイドという冊子をもらいました。この中で指数型母関数について、興味深い問題を見つけました。これを参考にして、今回は作成しました。皆さん！チャレンジください。

ＮＯ１「中川幸一」さん 8/17: 23時08分受信更新9/7

ＮＯ２「toru」さん　　　8/19: 16時19分受信更新9/7

第１２４回数学的応募問題に応募いたします。　添付ファイルは使っていませんので多分大丈夫かと思いますが、ＭＡＣからなのでいつものように文字化けはあるやもし
れません。よろしくお願いします。

問題１～３　f(x)=e^(e^x-1)とするとf'(x)=e^x f(x), f''(x)=(1e^x+1e^2x)f(x),
f'''(x)=(1e^x+3e^2x+1e^3x)f(x), f(4)(x)=((1e^x+7e^2x+6e^3x+1e^4x)f(x)
　となって、第２種スターリング数があらわれる。数学的帰納法を使って、
f(n)(x)=(S(n,1)e^x+S(n,2)e^2x+-+S(n,k)e^kx+---+S(n,n)e^nx)f(x)　---(A)
（f(n)(x) はn回微分）が成り立つと仮定すると、
f(n+1)(x)=(S(n,1)e^x+2S(n,2)e^2x+-+kS(n,k)e^kx---+nS(n,n)e^nx)f(x)
+(S(n,1)e^x+S(n,2)e^2x+-+S(n,k)e^kx+---+S(n,n)e^nx)e^x f(x)　から
　S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k), S(n+1,1)=S(n,1)=1, S(n+1,S+1)=S(n,n)=1となり、
一般に成り立つことがわかる。f(n)(0)=S(n,1)+S(n,2)+----+S(n,n)=B(n)とすると、
f(x)のマクローリン展開、F(x)=1+B(1)x+B(2)/2!x^2+B(3)/3!x^3+--+B(n)/n!x^n+---
でa(n)=B(n)= S(n,1)+S(n+2)+-------+S(n,n) はベル数となる。

問題４　e^y=1+y+y^2／2+y^3／3!+---においてy=e^xとすると
f(x)=e^y/e=(1+e^x+e^2x／2+e^3x／3!+-----)／e これは項別に任意回微分できて、
f(n)(x)=(e^x+2^n/2 e^2x+3^n/3! e^3x+--+k^n/k! e^kx+---)／e －--(B) x=0とすれ
ば、a(n)=f(n)(0)=1/eΣk^n/k! (k=1～∞) が得られる。（k=0の時はk^n=０で同じ）

おまけ　e^(-y)=1-y+y^2／2-y^3／3!+--------において、y=e^xとすることにより、
1／f(x)= e^(1-y) =e(1-e^x+e^2x／2-e^3x／3!+--------)が得られる。これと(B)を
かけ合わせると、おのおのは任意のxについて絶対収束で分配律が成り立つから、展
開できて、e^xの係数はΣ(-1)^r/r!・(k-r)^n/(k-r)!=Σ(-1)^r kCr (k-r)^n／k!
(r=0～k)、これをyについてのべき級数展開と考えれば、展開の仕方は一意であるか
ら、 (A)とくらべればこれがS(n,k)の一般項となる。

　毎回面白い問題をありがとうございます。スターリング数、いつもながらこんなところにも出てくるのかと感動を覚えます。高校生のレベルでは、無限級数を項別に微
分してよいのか、無限級数どうしの積を有限級数と同様に展開してよいのかというところが疑問になると思われますが、（私は解析概論をチェックしてわかったつもり？）
高校生を相手にした時はどのように扱っておられるのでしょうか？（最近の高校生は解析概論ぐらい読んでいる？）

＜水の流れコメント：うまくて凄い解答です。スムーズにいっています。感動しました。さて、最近の高校生は　解析概論はまだ、知りません。
ただ、優秀な私立の高校では、解析概論そのものは知らないけれども（私の推測）
無限級数を項別に微分してよいのか、無限級数どうしの積を有限級数と同様に展開してよいのかという質問ですが、
　この点は　入試問題を解く中で、技法的に行っているでしょう。＞

ＮＯ３「H7K」さん 8/20: 11時53分受信更新9/7

e^(e^x)=1+e^x/1!+e^{2x}/2!+e^{3x}/3!+e^{4x}/4!+...
=1+(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...)/1!+(1+2x/1!+2^2x^2/2!+2^3x^3/3!+2^4x^4/4!+...)/2!+(1+3x/1!+3^2x^2/2!+3^3x^3/3!+3^4x^4/4!+...)/3!+(1+4x/1!+4^2x^2/2!+4^3x^3/3!+4^4x^4/4!+...)/4!+...
=(1+1/1!+1/2!+1/3!+....)+(1/1!+2/2!+3/3!+4/4!+...)x/1!+(1/1!+2^2/2!+3^2/3!+4^2/4!+...)x^2/2!+(1/1!+2^3/2!+3^3/3!+4^3/4!+...)x^3/3!+(1/1!+2^4/2!+3^4/3!+4^4/4!+...)x^4/4!+...
=sum{n=0 to inf.}sum{m=0 to inf.}{m^n/m! x^n/n!}.

g(k):=sum{m=1 to inf.}{m^k/m! x^{m-1}}とする．
すると，(x g(k))'=sum{m=0 to inf.}{m^{k+1}/m! x^{m-1}}=g(k+1)となる．
g(1)=e^xであることを考えると，g(2)=(x+1)e^x，g(3)=(x^2+3x+1)e^x,…となる．
すなわち．g(k)は，第2種Stirling数をS(n,k)を用いて，g(k)=e^x sum(n=1 to k){S(k,n)x^{n-1}}と書ける．
よって，
e^(e^x)=sum{n=0 to inf.}sum{m=0 to inf.}{m^n/m! x^n/n!}=sum{n=0 to inf.}{g(n)(1)x^n/n!}.
=sum{n=0 to inf.}{e B(n) x^n/n!}.(B(n)はBell number.) .

問題1:いまいち意味が良く分かりません．nCrとかを使って表せということでしょうか？
問題2:上より，a_n=B(n)．(但し，a_0=1．) 具体的な値は，a_0=1, a_1=1, a_2=2, a_3=5, …
問題3:ベル数．
問題4:上より明らか．//

ＮＯ４「kasama」さん　 8/20: 23時53分受信更新9/7

さて、「第124回応募問題」についてです。第２種スターリング数について、先生のHPやその他文献で調査して、何とか回答できるレベルに達しました。前回
のフィボナッチ数列は結構ポピュラーな話題ですから、１から調べる必要はほとんどありませんでしたが、今回は見るものほとんどが新しいもので、問題を解く
というより勉強させて頂いたという方が適当だったと思います。専門家にとっては目新しいくはないでしょうけど、私にとっては新鮮な知識がたくさん詰まった
良いトピックでありました。
　先生が教える生徒さんには、興味深い話題に出会える機会がたくさんあり、本当に羨ましい限りです。

問題１
n回微分を計算するのに少し工夫が必要ですね。f(x)=exp{ex-1}を直接微分するのは手間がかかるので、対数をとって

　log{f(x)} = ex-1

と変形して微分すると、

　f(x)(1)/f(x) = ex ⇒ f(x)(1) = exf(x)

となりますが、exは何回微分してもexですので有り難いですね。
Libnizの公式を利用して、上式をn回微分すると、

　f(x)(n+1)　=　∑nCr exf(x)(r) (r=0,1,2,・・・,n)
　f(0)(n+1)　=　∑nCr f(0)(r) (r=0,1,2,・・・,n)

となります。ここで、f(0)=1です。先生が指示されている「指数型母関数」
(http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/toukou18.html)の「分配の方法からの発見」の記載を参考にすると、上記の∑中のnCr f(0) (r)は第２種スターリン
グ数です（名前は聞いたことがありますが、内容はほんど理解していませんでした）。先生の記述ではS(n,r)と表されていましたので、この表記方法を利用
すると、F(x)つまりf(x)のマクローリン展開は
　F(x) ＝ ∑∑{S(k,r)}xk/k! (内側r=0,1,2,・・・,n)、(外側k=0,1,2,・・・,∞) ・・・ (1)　となります。

問題２、３

F(x)を指数型母関数とすると、一般項anは上記(1)式の内側の∑です。これは第２種スターリング数S(n,1)、S(n,2)、・・・S(n,n)の和ですが、「ベル指数の漸
化式の発見」によるとベル指数B(n)です。漸化式は「定理６」より

B(n+1) = ∑nCr B(r) (r=0,1,2,・・・,n)・・・ (2)　で、｛1,2,5,15,51,203,877,・・・｝です。

問題４

一般項がベル指数なので、その漸化式を利用して、数学的帰納法で証明します。

①n=0の場合
B(0)=1
一方、
　a0 = 1/e ∑k0/k! = e/e = 1
ですから、両者は等しいです。

②n≦rの場合
　ar= B(r) = 1/e ∑kr/k! (k=0,1,2,・・・,∞)
が成り立つと仮定します。

③n=r+1の場合
ar+1= B(r+1) =∑rCjB(j)　　(ｊ=0,1,2,・・・,r)
= ∑rCj1/e∑kj/k! (内側k=0,1,2,・・・,∞)、(外側j=0,1,2,・・・,r)
=1/e∑1/k!∑rCjkj (内側k=0,1,2,・・・,∞)、(外側j=0,1,2,・・・,r) ←外側と内側の∑を入替え
= 1/e∑(k+1)r/k! (k=0,1,2,・・・,∞) ←二項定理の適用
= 1/e∑(k+1)r+1/(k+1)! (k=0,1,2,・・・,∞) ←分子、分母にk+1を掛ける
= 1/e∑kr+1/k! (k=0,1,2,・・・,∞)

①、②、③より
an= 1/e∑kn/k! (k=0,1,2,・・・,∞) 　が成り立ちます。