平成１６年２月１日
[流れ星]
第１３２回数学的な応募問題解答No1
＜解答募集期間：１月１１日～１月３１日＞
［フィボナッチ数］
１２０２年、イタリアに住んでいたフィボナッチは当時の代数学と整数論の知識を総合した内容の「算盤の書」という名の本をラテン語で出版しました。これは１０進法を用いて学習するヨーローパで最初の本の１冊となりました。
フィボナッチは当時の風習であった数学競技会（難しい問題を最高・最速で解く公開競技）に参加しました。フィボナッチの問題を解く手法はみんなを驚かせました。フィボナッチの名声は、数学グループを同行してローマ帝国のピザを訪れたフリードリッチⅡ世皇帝にまでとどろきフィボナッチとの公開試合が催されました。試合に出題された問題の一つは次に示す問題です。
「平方に５を加えても、平方から５を引いても完全平方となる数を見つけよ」
ただし、このような数は分数で、整数ではありません。また、フィボナッチは１つ数を見つけましたが、他にもありそうです。
＜問題出典：「数学センス」コルディムスキー 著 鈴木敏則 訳 （丸善株式会社）＞
ＮＯ１「H7K」
1/11: 17時11分 受信 更新2/1
問題の条件を書き直すと，
n^2-5m^2=c^2..(1
n^2+5m^2=d^2..(2
が成り立つ(n,m,c,d)を見つければよいことになる．
(n/mが求める数になる．)
以下、(n,m,c,d)=1としよう．
d^2-c^2=(d+c)(d-c)=10m^2.
さて，(c,d)が1でない整数aならば，c'=c/a,d'=d/a,m'=m/aを用いて，
(d'-c')(d'+c')=10m'^2と書けるはずであり，またn'=n/aを用いて
n'^2-5m'^2=c'^2, n'^2+5m'^2=d'^2と書ける．よって，(c,d)=1.
---mod 5
0^2==0,1^2==4^2==1,2^2==3^2==4より，n==c or -c, n=d or -d.
---mod 2
d^2とc^2の差は10m^2なので，明らかにc==d(mod 2).
---
したがって，c==d(mod 10) or c==-d(mod 10).
●d==c(mod 10)のとき：
d=10q+cと書ける．d^2-c^2=100q^2+20qc=10m^2. 10q^2+2qc=2q(5q+c)=m^2.
c^2+10qc+50q^2-n^2=0が成立する．これをcに関する2次方程式と見ると
D/4=n^2-25q^2=n^2-(5q)^2が整数であれば良い．
これは互いに素なa,bを用いて，n=a^2+b^2,5q=2ab or
n=a^2+b^2,5q=a^2-b^2と書ける．
(n,5qに公約数wがあると，cとdもwを公約数に持つため)
■前者
c=-2ab±(a^2-b^2),d=4ab+c=2ab±(a^2-b^2).
10m^2=(2ab±(a^2-b^2))^2-(-2ab±(a^2-b^2))^2)
=8ab*(a^2-b^2) ←m^2>0より
よって，a,bは「ab(a^2-b^2)/5が平方数」という条件を満たさなければならない．
■後者
c=b^2-a^2±(2ab),d=a^2-b^2±(2ab).
10m^2=(a^2-b^2±(2ab))^2-(b^2-a^2±(2ab))^2
=4(a^2-b^2)(2ab) ←m^2>0より
よって，a,bは「ab(a^2-b^2)/5が平方数」という条件を満たさなければならない．
●d==-c(mod 10)のとき：
d=10q-cと書ける．d^2-c^2=100q^2-20qc=10m^2. 10q^2+2qc=2q(5q-c)=m^2.
c^2+10qc-50q^2-n^2=0が成立する．これをcに関する2次方程式と見ると
D/4=n^2-25q^2=n^2-(5q)^2が整数であれば良い．
これは互いに素なa,bを用いて，n=a^2+b^2,5q=2ab or
n=a^2+b^2,5q=a^2-b^2と書ける．
(n,5qに公約数wがあると，cとdもwを公約数に持つため)
■前者
c=2ab±(a^2-b^2),d=4ab-c=-2ab±(a^2-b^2).
10m^2=(-2ab±(a^2-b^2))^2-(2ab±(a^2-b^2))^2)
=8ab*(a^2-b^2) ←m^2>0より
よって，a,bは「ab(a^2-b^2)/5が平方数」という条件を満たさなければならない．
■後者
c=a^2-b^2±(2ab),d=b^2-a^2±(2ab).
10m^2=(b^2-a^2±(2ab))^2-(a^2-b^2±(2ab))^2
=4(a^2-b^2)(2ab) ←m^2>0より
よって，a,bは「ab(a^2-b^2)/5が平方数」という条件を満たさなければならない．
どちらにしても，ab(a^2-b^2)/5が平方数...(*)でなければならない．
反対に，ab(a^2-b^2)=5c^2と書けるならば，2(a^2-b^2)(2ab)
(a^2+b^2)^2+5*(2c)^2=(a^2+b^2)^2+4ab(a^2-b^2)=(2ab+(a^2-b^2))^2
(a^2+b^2)^2-5*(2c)^2=(a^2+b^2)^2+4ab(a^2-b^2)=(2ab-(a^2-b^2))^2
が成立するので，(a^2+b^2)/(2c)は条件を満たす．
さて，p=(a^2+b^2)^2,x=sqrt(ab(a+b)(a-b)/5)，q=5*(2x)^2=4ab(a+b)(a-b)とする．
p,xが整数である，則ちp/xが問題の条件を満たす数であるならば，
p+qもp-qも上より平方数で，それぞれs^2,t^2と書ける．したがって，
pq(p^2-q^2)/5=(a^2+b^2)^2(2x)^2s^2t^2より平方数．
よって，aとbが(*)を満たすならば、(a^2+b^2)^2と4ab(a+b)(a-b)も(*)を満たす．
BASICでプログラムを組んだ結果，a,b<=2000の範囲には(a,b)=(5,4)(9,1)(1681,720)しかなく，
かつ(5,4)も(9,1)もn/mを求めると41/12となる．
また(1681,720)は上の漸化式？より生成されるので，ひょっとしたらこの系列だけ……
なお，下に41/12系列で得られた物を書いておきます．
(a,b)=( 5 , 4 )
-> 41 / 12 が条件を満たす．
引いたものの平方根： 31 / 12
足したものの平方根： 49 / 12
(a,b)=( 1681 , 720 )
-> 3344161 / 1494696 が条件を満たす．
引いたものの平方根： 113279 / 1494696
足したものの平方根： 4728001 / 1494696
(a,b)=( 11183412793921 , 11170580662080 )
-> 249850594047271558364480641 / 5354229862821602092291248 が条件を満たす．
引いたものの平方根： 249563579992463717493803519 / 5354229862821602092291248
足したものの平方根： 250137278774864229623059201 / 5354229862821602092291248
(a,b)=(
62425319345774489875576913540908007654663493663770881 , 143338887119653159795649950418764541981332286987520
)
->
3896941041458487485320832722469963686366256264486004169772710584821176712668535259971051251201565099266561
/
167019439477564254804819333692197516475269570978824403519721702282259070147808848039273138602363503527584
が条件を満たす．
引いたものの平方根：
3879003997779141543494334729212494409541643481203682190099361528773630968811107453857812241981709854955521
/
167019439477564254804819333692197516475269570978824403519721702282259070147808848039273138602363503527584
足したものの平方根： 3914795900991590624465264315322159582677229072432966937735388495529033628971288541170127075160953800576001
/
167019439477564254804819333692197516475269570978824403519721702282259070147808848039273138602363503527584
(a,b)=(
1518614948060356107787348695117374955952547930221199682740512721767887073203210853718104447789887340831051449739161863743161425733364210316401312765801267283711828
0294149649202051220990692972277960589780132766721 ,
1394774658169987453798778834326583090225123363719514312222753823283795672651962719079089757161504971360390907011034889119840237056953344697027798181835146562365211
05364484283763544448551884296048510059244385280 )
->
2306385900107065399516526913217656497973179787190051970914544749940231133165568966459624936952240427335080507113489298393332689754250767061907185713681145658326060
3733788592858214835247475067012075204087972447569086140469050175522347067514855846658516254927121282076960727429930445531334310601888279678615913980749455732140064
8575572140308309262269361197814735557256648342299738920538361329361569876924074413836967285770241
/
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711922323655329431163056521539026966524894292297835633278041218875500423507726283581550665
9105445580231649936579080522908031488946828462887996197678521722654938999680797825342526121209669440715850601892780380379639408683936548011786316379398615750442050
564981848672414014688547764279613609774414409259731125380750385761077840796163600017039055654208
が条件を満たす．
引いたものの平方根：
2263634307936196429608249438731032028736335667329238990550814794730843742170877744451670352626137006823295107620435880647713713014070252528102884106627469793330915
0895851847851244720409562551935617389197623628161449991859580051182931148948106612917189194693310553491370067937798762400998186154625749552338612304846141772378653
9135648691430194042633787159849428857456296263482629149044717889542328474909975184600214551879681
/
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711922323655329431163056521539026966524894292297835633278041218875500423507726283581550665
9105445580231649936579080522908031488946828462887996197678521722654938999680797825342526121209669440715850601892780380379639408683936548011786316379398615750442050
564981848672414014688547764279613609774414409259731125380750385761077840796163600017039055654208
足したものの平方根：
2348359333739105087285003643370928971550540836470525750847847874250891189507080426734650229417600619610546722500677152622171501316520619170943069747827677193229601
4002112020014060193814284313401066910243331504305158999107863197032772611889581142446801794679702658156775928326345156104934462128943936410193414195487604411472001
1737767373459772548157522202525995791756072646492664074148455864317490242860054591924899696947201
/
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711922323655329431163056521539026966524894292297835633278041218875500423507726283581550665
9105445580231649936579080522908031488946828462887996197678521722654938999680797825342526121209669440715850601892780380379639408683936548011786316379398615750442050
564981848672414014688547764279613609774414409259731125380750385761077840796163600017039055654208
%ここで桁あふれ
「H7K」
1/11: 21時35分 受信 更新2/1
さて，p=(a^2+b^2)^2,x=sqr(ab(a+b)(a-b)/5)，q=5*(2x)^2=4ab(a+b)(a-b)とする．
p,xが整数である，則ちp/xが問題の条件を満たす数であるならば，
p+qもp-qも上より平方数で，それぞれs^2,t^2と書ける．したがって，
pq(p^2-q^2)/5=(a^2+b^2)^2(2x)^2s^2t^2=(2stx*sqr(x))^2より平方数．
よって，aとbが(*)を満たすならば、(a^2+b^2)^2と4ab(a+b)(a-b)も(*)を満たす．
以上より，(a,b)=(5,4)(9,1)から，(1681,720)(11183412793921,11170580662080)などができる．
また，r=(2ab+(a^2-b^2))^2,u=(2ab-(a^2-b^2))^2とすると，
(r=s^2,u=t^2)
ru(r^2-u^2)/5=(2ab+(a^2-b^2))^2(2ab-(a^2-b^2))^2*2(a^2+b^2)^2*2*5*(2x)^2/5
=(4stx*sqr(p))^2より平方数．
よって，aとbが(*)を満たすならば、(2ab+(a^2-b^2))^2と(2ab-(a^2-b^2))^2も(*)を満たす．
しかし，2(p^2+q^2)=r^2+s^2,2sqr(pq(p^2-q^2))=sqr(ru(r^2-u^2))より，
この2つから生まれる数は結局同じ．
「10進BASIC」というソフトを利用しました．
普通の(倍精度までしか無理なものでは)ケタ落ちが起きて(a,b)=(18809,9151)という不適当なものまで出てきてしまいます．
PCを使っているだけです．手計算では絶対にミスるでしょう……．
今，PCで全検索をかけていますが，まだ新しいものは見つかってません．
ところで，なんか気にかかるものがあったので、あるブルーバックスを開いたら，
この問題に関連した話が載っていました．この問の解が存在する⇔「5が合同数である」ということだったんですね．
また楕円曲線の話にも絡んできそうです．
ＮＯ２「kiyo」 1/11: 20時48分
受信 更新2/1
新年明けましておめでとうございます。（kiyo）です。
一組見つけました。
(41/12)^2+5=(49/12)^2
(41/12)^2-5=(31/12)^2
ＮＯ３「中尾」 1/11: 22時49分 受信 更新2/1
中尾(H.Nakao)です。
問題文があいまいで、題意を満たす平方数x^2を求めるのか、その平方根xを求めるかがはっきりしないので、平方数x^2を求めるものとしました。
例えば、「ある数の平方に５を加えても、その数の平方から５を引いても完全平方となる数を見つけよ」なら、
平方数の平方根xを求める問題とはっきり分かります。
「５を加えても完全平方となり、５を引いても完全平方となるような平方数を見つけよ」なら、平方数x^2を求める問題とはっきり分かります。
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第１３２回数学的な応募問題(解答)
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求める(有理数の)平方数をx^2とする。ここで、xは有理数である。
題意より、ある有理数u,vに対して、
x^2+5=u^2 ------- (1)
x^2-5=v^2 ------- (2)
を得る。
(1),(2)より、
x^4-25=(x^2+5)(x^2-5)=(uv)^2
を得る。y=uvとすると、(x,y)は、楕円曲線
C: y^2=x^4-25 ------- (3)
の有理点である。
曲線Cは双有理変換φ:(x,y)→(X,Y)
X={-50}/{y-x^2},
Y={-100x}/{y-x^2}
[逆変換ψ:(X,Y)→(x,y)は、
x=Y/{2X},
y={-200X+Y^2}/{4X^2}
である。]によって、楕円曲線
E: Y^2=X^3+100X ----- (4)
にQ-同型である。
よって、楕円曲線Eの有理点(X,Y)を求めれば良い。
Eのねじれ点群は、Z/2Z={(0,0), O}である。ただし、Oは無限遠点とする。
2-descentにより、Eの有理点群のrankは1であり、その生成元は(5,25)であるこ
とが分かる。
つまり、
E(Q)=Z×(Z/2Z)
={ n(5,25) : n \in Z }∪{ n(5,25)+(0,0) : n \in Z
}
である。
E(Q)の元(X,Y)をいくつか計算する。
n n(5,25)
n(5,25)+(0,0)
-- -------------------------------------
-------------------------------
0
O
(0,0)
1 (5,
25)
(20, -100)
2 (9/4, -123/8)
(400/9, 8200/27)
3 (25205/121,
-4006175/1331)
(2420/5041, 2482700/357911)
4 (2307361/242064, 5079780559/119095488) (24206400/2307361,
-164532721200/3504881359)
.....
C(Q)の元(x,y)=ψ(X,Y)をいくつか計算する。
n ψ(n(5,25))
ψ((5,25)+(0,0))
-- -------------------------------------
------------------------------
0
O
O
1 (5/2,
-15/4)
(5/2, 15/4)
2 (-41/12,
-1519/144)
(41/12, 1519/144)
3 (-11285/1562,
126765585/2439844) (11285/1562,
-126765585/2439844)
4 (3344161/1494696, -535583225279/2234116132416)
(-3344161/1494696,
535583225279/2234116132416)
.....
簡単な計算で、(x,y)=ψ(X,Y)のとき、
ψ((X,Y)+(0,0))=(-x,-y),
ψ(-(X,Y))=(-x,y)
であることが分かる。
整数n(ただし、n!=0)に対して、有理数x_n,y_nを
(x_n,y_n)=ψ(n(5,25))
で定義する。
ただし、C(Q)の元(x,y)より得られた有理数xが全て(1),(2)を満たすわけではない。
例えば、x=±41/12, ±3344161/1494696のとき、x^2±5は平方数になるが、
x=±5/2, ±11285/1562のとき、x^2±5は平方数の5倍になる。
一般に、nが奇数ならは、(x_n)^2±5は平方数の5倍であるので、x=x_nは(1),(2)
を満たさない。また、nが(0でない)偶数ならは、(x_n)^2±5は平方数であるので、
x=x_nは(1),(2)を満たすことが分かる。
よって、条件(1),(2)を満たすxを求めるには、偶数n(n!=0)に対して、
(x_n,y_n)=ψ(n(5,25))のx座標x_nを計算すれば十分である。
n=2,4,6,...に対してψ(n(5,25))のx座標x_nを求めると、以下のようになる。
[x=x_nが(1),(2)を満たせば、x=x_{-n}=-x_nも(1),(2)を満たすことは明らかで
ある。]
-41/12,
3344161/1494696,
-654686219104361/178761481355556,
-249850594047271558364480641/5354229862821602092291248,
160443526614433014168714029147613242401001/50016678000996026579336936742637753055940,
-209239116668342644167838867143329714389679018137228536721441/93092380947563478644577555596900542802151091304399908363272,
653152954009158143378427536560733420320797953915756014095625317096936904977985961/165212943236364556817454960196622119200395589469467839738735336681091141974929836,
3896941041458487485320832722469963686366256264486004169772710584821176712668535259971051251201565099266561/167019439477564254804819333692197516475269570978824403519721702282259070147808848039273138602363503527584,
-39237885850430493626909674952750943784591172430352517285024742033896533808220451105238021689439529973471632789306928489835884212163241/12952454930469561017859054695383398376216914979916496971716496296075783109382658016757987519838824348906938668524076790678410751270508,
819115590828533344363410662412264643379752066019183683929303651124586853669504387320308409413889983068897449835893620439166082535269226761968418573264897156499604001/361099956694584921325844298628071074932266255535444467758581806245113643624628862872331108319421687852576797589404506630373073554588284615643777818720192420057751880,
....
求める有理数の平方数x^2は、
1681/144,
11183412793921/2234116132416,
428614045485163378013009218321/31955667216432795403292069136,
62425319345774489875576913540908007654663493663770881/28667777423930631959129990083752908396266457397504,
25742125232476274945600804344670821085186747239792972834270694018194679471285802001/2501668078255319881397266106072508369628265230233648767096664663655320808769283600,
43781007944148304548244210396281989964103136439445456775192309124306675701466399112933759276955808140583881001229116481/8666191390486279754082343551208369565243342312911502069880314222532921884497792974334497667304622471072390889918545984,
426608781330889452801634842349311903911234872598242992095908202911520460074823221702666116328171946744340015074718237397239762331073242631060353386066027913093521/27295316612822217161273099207575492045965455960163391163605190041343587975559930961845574372758947682450233333730822269136896257920943624483822742853937122986896,
15186149480603561077873486951173749559525479302211996827405127217678870732032108537181044477898873408310514497391618637431614257333642103164013127658012672837118280294149649202051220990692972277960589780132766721/27895493163399749075975576686531661804502467274390286244455076465675913453039254381581795143230099427207818140220697782396804741139066893940555963636702931247304221072896856752708889710376859209702011848877056,
1539611686011413542083853952876101197813720598928842362281142122759999414139721553168823583530573400260628057642251722956499411322456242317077763749152723454622785137872066217490415494927685153231297369778666247288095457938486721045156630353438379089460093328831624081/167766088725845240741629149618209524558953232824585954175859084429812231591512275744978565038525417963266067181939823910059627946958305306445772534813068796160387217063376062654475164246390564601247792814781346570898903010493898213658424521601656058055071936190578064,
670950351138377259092284101030243992075735187961753049569437576149342919163534134400715328304041011837130473979926268744958367991476835308684797605148274351463092401046820105830147087240950183114781656537205018150428604021899028891442218330614015805991732344436245975625469537413578241893861017592120388948596840231846469815208001/130393178724831105540499888728123964993760914585113543805532300725628752816193378723210058935003671538698505176647864287100113923212470726672664068391983522571009534051653751290362266567203731273645568902122686257417548425629372093443265825101539026315379232291183634502413110016687819238877658951167400492237012436834479643534400,
....
である。
ＮＯ４「中川幸一」 1/11: 23時41分 受信 更新2/1
ＮＯ５「toru」 1/15: 11時03分 受信 更新2/1
ＮＯ６「kasama」 1/15: 18時24分 受信 更新2/1
ＮＯ７「中尾」 1/15: 22時57分 受信 更新2/1
ＮＯ８「kasama」 1/20: 20時03分 受信 更新2/1
ＮＯ９「kiyo」 1/21: 01時09分 受信 更新2/1
ＮＯ10「森原」 1/22: 21時58分 受信 更新2/1
ＮＯ11「三角定規」 1/25: 00時29分 受信 更新2/1
＜水の流れ：ＮＯ４からＮＯ１１までは解答ＮＯ２に載せさせて頂きます＞
