平成１６年２月２１日

[流れ星]

　　　　　　　　第１３３回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：２月１日〜２月２１日＞

［長方形］

　　　

現在太郎さんは平面幾何を教えています。平面幾何の問題は多様なアプローチが可能です。
ここで、問題です。

　長方形ABCDにおいて、頂点Dから、対角線ACに引いた垂線の足をEとすると、
　∠AEB＝３０゜である。AB=1として、BC=a　を求めよ。

ＮＯ１「中川幸一」 1/31: 21時50分 受信 更新2/21

ＮＯ２「toru」　　 1/31: 23時27分 受信　更新2/21
「長方形」の解答を送ります。前回のような難しい問題もよいですが、今回ぐらいの取っつきやすい問題もこれはこれでなかなか楽しめます。取りあえずふた通りのやり方を考えてみました。一番目の方が計算がやさしくて、よりよいかと思います。よろしくお願いします。

BからACに引いた垂線の足をF、BDとACの交点をOとすると、三角形FBEについてFB：BE：
EF＝１：２：√３、FO：FB＝EF／２：FB＝√３／２：１、直角三角形FBOを考えれ
ばFB：BO：OF＝１：√７／２：√３／２、これとFC＝FO+OC＝FO+BOよりBF：FC＝１：
（√７＋√３）／２　三角形ABCと三角形BFCの相似を使えばAB：BC＝BF：FCだからa=
（√７＋√３）／２―答え

別解）ベクトルで強引に解く
ベクトルADをADなどとあらわす。
AE=(AD,AD+AB)/(AD+AB) ^2(AD+AB)=a^2/(1+a^2) (AB+AD)
BE= AE―AB=1/(1+a^2) (-AB+a^2AD)
AE^2=a^4/(1+a^2), BE^2=(1-a^2+a^4)/(1+a^2) ,(AE,BE)=a^2(-1+a^2)/(1+a^2)
AE,BEのなす角が30度であることから、(AE,BE)=|AE||BE|cos30°を両辺２乗してa>1
に注意して解くと、a^2=(5+√21)/2よりa=(√7+√3)/2

Ｎｏ３「kashiwagi」2/01: 14時32分 受信　更新2/21
133回解答

題意より△ACD∽△ADE∽△DCE

因って、AE＝a²/√a²＋１、CE＝１/√a²＋１即ち長さの比はa²：１である。

ここでBE＝Xとおき、△ABEの面積をSとすると、△ABCの面積のa²/a²＋１であるから、S＝a^３/2(a²＋１)となる。

因って、S＝a^３/2(a²＋１)＝Xa²/4(√a²＋１)　

即ち、2a/√a²＋１となる。

ここで、△ABEに余弦定理を適用し、整理すると

a^４−2√3 a^３＋3a²−1　＝0

この式を因数分解すると、

（a^２−√3 a＋1）（a^２−√3 a−1）＝0

ここでa^２−√3 a＋1＞0であるから、

a^２−√3 a−1＝0を解けばよい。この方程式を解いて、二つの値を得るが、aは正であるから、

a =(√7＋√3)/2が求めるものである。

ＮＯ４「UnderBird」2/02: 14時25分 受信　更新2/21
何か出題の奥にありそうな気はするのですが、見えてきませんでした
＜水の流れ：今回は解法が幾通りの考えられるのではないかと思っています。いろいろなアプローチを考えてください＞

ＮＯ５「Enpei」 2/02: 16時21分 受信更新2/21
はじめてお便りします。高校数学を解析�T、�U、幾何と称していた頃、幾何を習いました。
No.１３３解答
問題図において、
線分DE＝ｍ、線分CE＝ｎ　とおく。
B点から対角線ACに降ろした垂線の足をFとする
と、
△ABF≡△CDE、であるので
線分AF＝線分CE＝ｎ
また、△BEF≡△DFE　であるので、
線分FD〃線分BE　
∴　∠DFE＝∠BEF＝３０°
∴　線分FE＝√３・ｍ
△ACDは直角三角形であり、また線分DEは線分ACに
対する垂線であるので
線分DE＾２＝線分AE・線分CE
が成り立つ。
∴　ｍ＾２＝（ｎ＋√３・ｍ）・ｎ
ｍ＞０であることに注意して本式をといて
ｍ＝（√３＋√７）・ｎ/２
を得る。
つぎに、△ABC∽△CED　であるので
線分BC＝線分DE・線分AB/線分CE
∴　a＝ｍ・１/ｎ＝（√３＋√７）/２
を得る。
答。（√３＋√７）/２　即ち　約２．１８９

ＮＯ６「kasama」 2/02: 22時09分 受信更新2/21
今回は平面幾何の問題ですね。図を眺めながらあれこれと工夫しながら取り組める楽しいトピックだと思います。学校の授業で講義されているそうですが、直感的に判り易いので、生徒さんも興味を持って取り組めるのではないかと思います。
ご指摘のように色んなアプローチが考えられると思いますが、まずは素直にというか単純に計算して長方形の長さを求めてみましたので、ご報告致します。計算ミスがなければ、求める長さは　(√3 + √7)/2でしょうか？
もう少しユニークなやり方はこれから検討します。完成したらお知らせ致します
ご指摘のように、いろんなアプローチがあると思いますが、まずは思い付くままに、力まかせに単純に計算してみました。

�@座標の割当て
各点の座標を以下のように割り当てます。
　B = {0, 0}、A = {0, 1}、C = {a, 0}、D = {a, 1}、E = {x, 1-x/a}

�AベクトルECとEDが直交
　EC = C-E
　ED = D-E
とすると、ベクトルEC、EDの内積が0なので、
　(EC,ED) = (C-E, D-E) = (a-x)(a³-x-a²x)/a² = 0
ここで、0＜x＜aなので、
　a³-x-a²x = 0 ⇒ x = a³/(1+a²) ･･･ (1)
です。

�BベクトルEAとEBのなす角度
　EA = A-E
　EB = B-E
とすると、EAとEBのなす角度が30ﾟなので
　(EA,EB) = |EA||EB|cos(30ﾟ)
⇒(A-E,B-E)² - |A-E|²|B-E|²cos(30ﾟ)² = 0
です。(1)式を代入して整理すると、
⇒a⁴(1-5a²+a⁴)/{2(1+a²)}²
⇒1-5a²+a⁴ = 0 ･･･ (2)
です。

�Caの算出
(2)式を解くと
　a² = (5±√21)/2
となりますが、(5-√(21))/2＜1なので、有効な解は
　a² = (5+√21)/2
となりますから、
　a = (√3 + √7)/2
です。

注：太文字斜体はベクトルです。

ＮＯ７「GoBack」 2/03: 00時38分 受信更新2/21
第133回　数学的な応募問題　解答
初めて解答させていただきます．このHPはUnderBirdさんから教えていただきました． a=(√3+√7)/2

BからACに垂線を下ろし，BFとするとBC^2＝BF^2＋FC^2
ここでBC=a，BFは長方形ABCDの面積がaであることと対角線AC=√a^2+1であることを
用いるとBF=2a/√a^2+1と求まる．またFE=BF/tan30゜．さらにAC=AF+FE+EC=2EC+FE
からEC=（a^2-√3+1)/2√a^2+1が求まり，相似な三角形ABCと三角形BFCの相似比をも
ちいることによりa=(√3+√7)/2

ＮＯ８「toru」　　 2/03: 10時53分 受信更新2/21
別解をもう少しだけ、

1)∠BAC＝θとすると、tanθ=a, BDとACの交点をO、BからACへ下ろした垂線の足を
Fとして、∠BOF=π-2θ、FE=2FOから　tan(π-2θ)=2tan30°
tan(π-2θ)=-tan2θ=-2a/(1-a^2)とから整理してa^2-√3a-1=0, a=(√3+√7)/2
(a>0)

2)図でAC=√(1+a^2)、ΔDECとΔCBAの相似からCE=1/√(1+a^2),DE=a/√(1+a^2) 上と
同じ記号を使って、FE=√3 BF=√3 DE=√3a/√(1+a^2)
AC=2CE+FEに代入して整理すると上と同じ式になり、a=(√3+√7)/2

ＮＯ９「Jun」　　 2/05: 11時10分 受信更新2/21
寄せられた解答は「Weekend　Mathematics」ここをクリックください。

ＮＯ10「三角定規」 2/14: 23時18分 受信 更新2/21

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