平成１６年３月１３日
[流れ星]
第１３４回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：２月２１日～３月１３日＞
［正ｎ面体］
太郎さんは今まで考えていなかったことがあります。それは３次元空間では正ｎ面体といわれているものは
ｎ＝４，６，８，１２、２０の５個があります。それでは、このほかにあるのでしょうか、それとも５個の限るのでしょうか、考えてみます。最初に、オイラーの多面体定理を示します。
「１つの多面体の頂点の個数をＶ、辺（稜または線）の個数をＥ 、面の個数をＦとすると、
Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２ が成り立つ。
各正多面体の頂点・辺・面の個数を書き上げてみると、次の表のようになる。
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|
Ｖ |
Ｅ |
Ｆ |
Ｖ－Ｅ＋Ｆ |
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正４面体 |
４ |
６ |
４ |
２ |
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正６面体 |
８ |
１２ |
６ |
２ |
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正８面体 |
６ |
１２ |
８ |
２ |
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正１２面体 |
２０ |
３０ |
１２ |
２ |
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正２０面体 |
１２ |
３０ |
２０ |
２ |
次に、必要な事実があります。
「事実１」：１つの頂点に集まる面の数は３以上である。
「事実２」：１つの頂点に集まる角の大きさは、３６０゜未満である。
ここで、問題です。３次元空間では正ｎ面体は何個あるでしょうか。
「３次元空間では正ｎ面体は何種類あるでしょうか。」に修正します。（22日記入）
ＮＯ１「H7K」 2/21: 16時10分受信
本当はEulerの多面体定理も示さないといけないが，ここではこれの成立を認めておく．
正n面体とは，「合同な正m角形(m>=3)がn面集まってできる立体」のことであるが，
事実1,2より，各面の1内角は120度未満．⇔m<=5である．
各頂点には同じx個の面が集まるはずであるので，頂点の個数はmn/x.
各面の1内角は(m-2)180/mなので，，事実1,2より，3<=x<360/((m-2)180/m)=2m/(m-2).
また，各辺にはどれも2面が集まるので，辺の個数はmn/2.
よって，mn/x-mn/2+n=2.
■m=3のとき：2m/(m-2)=6より，x=3,4,5.
x=3のとき，3n/3-3n/2+n=n/2=2.⇔n=4.
x=4のとき，3n/4-3n/2+n=n/4=2.⇔n=8.
x=5のとき，3n/5-3n/2+n=n/10=2.⇔n=20.
■m=4のとき：2m/(m-2)=4より，x=3.
∴4n/3-4n/2+n=2.⇔n=6.
■m=5のとき：2m/(m-2)=3.333...より，x=3.
∴5n/3-5n/2+n=2.⇔n=12.
以上より，3次元空間の正n面体はn=4,6,8,12,20の5種類に限る．
さて，Eulerの多面体定理の話に移る．
n面体（の表面）から面を1つ取り除いたものを，「頂点と辺のつながり方を変えずに」平面に移せる．
以下，説明の為にそれが図のa)のような形であったとしよう．当然，この図形にはn-1面入っている．
この図形のV-E+Fの値をk_aとおく．
これから，b)の青線で示された頂点・辺を取り去る．頂点がx個取り去られるならば，当然辺はx+1個取り去られ，
また残った図形の面の数は当然1減少する．よって，この図形でのV-E+F=k_bの値はk_aと等しい．
同様に，b)の黒線部の図形からc)の青線部の頂点・辺を取り去ると，これでのV-E+F=k_cはk_bに等しい．
以下同様に，この操作をn-2回続けることで，j)のような一つの多角形のみの図形を得るが，
このときのV-E+F=k_j=1はk_iと等しい．よって，k_a=1.
元の立体についてのV-E+Fの値は，これに「最初に取り除いた1面」の分を加え，1+1=2である．//
%%↑このことは実は中1の1学期に授業で行われたものです．
%% >３次元空間では正ｎ面体は何個あるでしょうか。
%% ここは「何種類」の方が適切のような気もします．「何個」だと「そんなの無限個じゃない．」とかいう
%% 解答も（ないとは思うが）想定されてしまいます……．
ＮＯ２「中川幸一」 2/21: 21時44分受信
ＮＯ３「kashiwagi」2/23: 08時20分受信
「kashiwagi」3/02: 08時04分受信 再考のを掲載
134回解答
各面が正ｎ角形で１頂点に集まる面の数がｍなる正多面体に於いて
面の数をF、頂点の数をV、辺の数をEとすると
F/２ｍ＝V/2n＝E/mn＝2/〔2(m+n)－mn〕が成立する。
即ち、1/E=1/m + 1/n －1/2 ・・・・①
又、題意の事実より
(1)
一つの頂点に集まる辺の数は等しい
(2)
一つの頂点に集まる角の大きさは360°未満である
(3)
一つの頂点に集まる面の数は３以上である
この(3)より ｍ≧３・・・・②
この①と②より
1/E=1/m + 1/n －1/2＞０
即ち、1/m ＞1/2－1/n＝(n－2)/２ｎ
m＜2n/(ｎ－２)となる。
ところで②よりｍ≧３であるから
2n/(ｎ－２) ＞３である。
因って、ｎ＜６となる。
即ち、正多面体を形成する正多角形は５角形までで、６角形以上では正多面体を形成できないことが証明された。
そこでｎ＝３，４，５の場合を検討すると、それぞれに応じてｍの数が3種類、１種類
及び１種類に決まる。
因って、３次元空間に於ける正多面体の種類は５に限られる。
ＮＯ４「toru」 2/24: 11時04分受信
正n面体の各面が
1)正３角形の時 １つの頂点に集まる面の数は3,4,5の可能性がある。（6以上は事実２に反す）
３の時 これで正n面体ができたとすると、１つの頂点に集まる面が３で、面１つに頂点が３つ対応することから、
F=3V/3=V, １つの頂点に集まる線が３で線１本に頂点が２つ対応することから、
E=3V/2 これとV-E+F=2からF=4
4の時、同様にF=4V/3,E=4V/2=2V,V-E+F=2よりF=8
5の時、F=5V/3,E=5V/2,V-E+F=2よりF=20
2)正方形（正４角形）の時、1つの頂点に集まる面の数の可能性は3のみで、この時F=3V/4, E=3V/2,V-E+F=2よりF=6
3)正５角形の時、１つの頂点に集まる面の数の可能性は3のみで、この時、F=3V/5,E=3V/2,V-E+F=2より、F=12
4)正６角形以上では１つの角が１２０度以上となり、１つの頂点に３つ以上集められず、不適。
以上のことから、正n面体の可能性としてはn=4,6,8,12,20の５種類のみであることが示された。これが実際にできるかどうかは、
作ってみればよいわけですが、正１２面体や正２０面体を頭の中で組み立てるのは、私にはなかなか難しいですが、これがあることは問題文にもありますし、よく知られていることで、私にもできたということにしておきます。
正多面体はギリシャ時代から知られていたそうですが、やはり美しいですね。いつのことだったかは忘れましたが、各面が正５角形でできている正１２面体の存在をはじめて知った時、なにか不思議な感動を覚えたことは、今でも記憶に残っています
ＮＯ５「kasama」 2/24: 21時08分受信 「kasama」
3/01: 18時39分受信 ２回目のを掲載
正多面体の正確な定義はよくわかりませんが、問題文より、
○どの面も正m(m≧3)角形で、どの頂点にもn(n≧3)個の面が集まっている
と直感的に解釈して良いのではないかと思います。これが正しいとして、正多面体が何種類あるかを考えてみました。
①条件 正多面体であるための必要条件を考えてみると、以下の３つの条件を満足するものと考えられます。
1.面と辺の数の関係
F個の面はすべて正m角形であり（つまり、m個の辺があり）、ある正多角形の辺は他の正多角形の辺と共有されていますから、
mF = 2E ･･･(1) です。
2.面と頂点の数の関係
どの頂点にもn個の面が集まっていますので、 mF = nV ･･･(2) です。
3.多面体定理
問題文にあるオイラーの多面体定理より、 V - E + F = 2 ･･･(3) です。
②整数組の範囲
条件式(1)、(2)、(3)を満たすような正整数組(V,E,F,m,n)が正多面体ですから、その組を調べれば良いと考えられます。
m≧3、n≧3を意識しながら、正整数組を調べるのに都合が良い形になるように、(1)、(2)、(3)式を変形・統合します。
まず、(1)より
E = mF/2
と変形して、(3)式に代入して整理すると、
2F + 2V - mF = 4 ･･･(4)
です。(2)式を(4)式に代入すると、
2F + 2V - nV = 4 ･･･(5)
です。
ここで、(4)+(5)から、
4F + 4V - mF - nV = 8 ⇒ (4-m)F + (4-n)V = 8
とやって、上式を満足するような正整数組について考えます。
明らかに、m＞4かつn＞4では不都合ですが、m≧3、n≧3なので、
m=3 または n=3 のいずれか一方が成立 ･･･(6)
です。
また、(4)×2+(5)から、
6F + 6V - 2mF - nV = 12 ⇒ 2(3-m)F + (6-n)V = 12
とやって、同様に正整数組を考えます。3-m≦0なので、6-n＞0でなければ不都合です。つまり、
n=3,4,5 ･･･(7)
さらに、(4)+(5)×2から、
6F + 6V - mF - 2nV = 12 ⇒ (6-m)F + 2(3-n)V = 12
とやって、同様に正整数組を考えます。3-n≦0なので、6-m＞0でなければ不都合です。つまり、
m=3,4,5 ･･･(8)
以上、(6)、(7)、(8)式から、候補となる正整数組(m,n)は
(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,3)、(5,3) ･･･(9)
ということになります。
③正多面体の個数
(1)、(2)、(3)をV、E、Fについて解くと
V = 4m/(2m + 2n - mn)
E = 2mn/(2m + 2n - mn)
F = 4n/(2m + 2n - mn)
となります。正整数組(m,n)の候補である(9)式の値を代入して、V、E、Fが正整数かどうかを調べれば、条件式(1)、(2)、(3)を満たすような正整数組(V,E,F,m,n)がわかります。計算過程は省略しますが、この正整数組の組み合せは問題に記載された表そのものです。
よって、３次元空間で正多面体といわれているものは4、6、8、12、20の5個に限ります。
ＮＯ６「浜田明巳」
3/02: 11時40分受信
ここをクリック下さい。「実践報告」です。
最後に式で示します．点Ｏに正ｎ角形がｍ個集まるとします．ただしｍ≧３，ｎ≧３です．
正ｎ角形の１個の内角の大きさは
１８０°×(ｎ－２)÷ｎ
であり，それがｍ個集まると，３６０°未満になるはずなので，
１８０°×(ｎ－２)÷ｎ×ｍ＜３６０°
ｎ＞０なので，
ｍ(ｎ－２)＜２ｎ
ｎ＝３のとき，
ｍ＜６ ∴ｍ＝３，４，５
ｎ＝４のとき，
２ｍ＜８ ∴ｍ＝３
ｎ＝５のとき，
３ｍ＜１０ ∴ｍ＝３
ｎ≧６のとき，
ｍ＜２ｎ／(ｎ－２)＝２{(ｎ－２)＋２}／(ｎ－２)＝２＋４／(ｎ－２)
ｎ－２≧４から，１／(ｎ－２)≦１／４
∴ｍ＜２＋４／(ｎ－２)≦２＋１＝３
これはｍ≧３に矛盾します．
故に存在し得るｍ，ｎは
(ｍ，ｎ)＝(３，３)，(４，３)，(５，３)，(３，４)，(３，５)
の５種類のみです．
ＮＯ７「ペンネーム：(・o・)」 3/0７:
００時００分受信
解答
正多面体になる条件は、
①全て合同な面である。
②１つの頂点に３つ以上の面が同じ数だけ集まる。
③１つの頂点に集まる角の合計は３６０゜未満である。
正ｍ角形が１つの頂点にｎ個集まるとすると、
条件② ③ より、３≦ｍ＜６，３≦ｎ＜６でなければならない。
正ｍ角形の1つの内角は180°(m-2)/mであり、条件③より、これらがn個集まって３６０゜未満でなければならないので、
これを満たす（ｍ、ｎ）の組は（ｍ、ｎ）＝（３，３）、（３，４）、（３，５）、（４，３）、（５，３）の５つのみである。
（３，３）のとき、正四面体になり、
（３，４）のとき、正八面体になり、
（３，５）のとき、正二十面体になり、
（４，３）のとき、正六面体になり、
（５，３）のとき、正十二面体になるので5種類存在する。
以上です。
＜コメント：この正多面体の問題は私が中学生の時に担任の先生が教えてくれた
問題で、解き方が頭の中に残っていたので挑戦してみました。
もう10年以上前のことなので間違っているかも知れませんが・・・。＞
ＮＯ８「「Jun」：」 3/29:
００時０３分受信
