平成１６年４月２５日
[流れ星]
第１３６回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：４月３日～４月２４日＞
［ナンバース４］
太郎さんは1994年秋から始まった面白い宝くじ「ナンバーズ３」や「ナンバーズ４」をときどき購入しています。今からこれを題材にしていろいろな場合を計算してみます。
ここで、「ナンバーズ」が従来の宝くじと異なるところは、購入者が自分で好きな数字を選べることです。
ところで、ナンバースには３桁の数字を申し込む「ナンバーズ３」と、４桁の数字を申し込む「ナンバーズ４」がある。一口２００円で、「ストレート」「ボックス」「セット」「ミニ」（「ナンバーズ３」のみ）という４種類の申し込みタイプがある。
「ストレート」は、３桁あるいは４桁の数字を、その並び順も含めて、当選番号そのものをずばり当てるタイプである。
「ボックス」は、数字が一致すれば、並び順は必ずしも一致しなくてもよいタイプである。例えば、「ナンバーズ３」で「１２３」が当選番号のとき、「１２３」でも「２３１」でも「３２１」でもよい。
「セット」は「ストレート」と「ボックス」両方に一口２００円のうち１００円ずつ賭けるタイプで、「ストレート」が当たらなくても、「ボックス」で当たればよいことになる。
「ミニ」は「ナンバーズ３」で下２桁を並び順も含めて当てるものです。
さて、ここからが問題です。
問題１：「ナンバーズ３」において、
（１）３個とも同じ数字である場合は何通りか。例「１１１」
（２）同じ数字が２個と異なる数字が１個の場合は何通りか。例「１１２」
（３）３個とも異なる数字である場合は何通りか。例「１２３」
問題２：「ナンバーズ４」において、
（１）４個とも同じ数字である場合は何通りか。例「１１１１」
（２）同じ数字が３個で異なる数字が１個の場合は何通りか。例「１１１２」
（３）同じ数字が２個ずつの場合は何通りか。例「１１２２」
（４）同じ数字が２個と異なる数字が２個の場合は何通りか。例「１１２３」
（５）４個ともすべて異なる数字である場合は何通りか。例「１２３４」
＜余談：３月上旬に「ナンバーズ３」において、珍しい当選番号が「０００」があった。購入するときに、起こりうる場合の数を参考にし
ましょう。＞
ＮＯ１「H7K」 4/3: 19時03分受信 更新4/25更新
以下、ストレートをS,ボックスをBと表記する．
1.
(1) 000,111,222,333,...,999の10通り，これはSでもBでも同じ．
(2) Bで考えると，112,113,...,119,221,223,...,229,...
なので，10*9=90通り．Bの1通りについてSの3通りが対応する（eg. 112->112,121,211）
ので，Sでは90*3=270通り．
(3) Bでは，10C3=10*9*8/6=120通り．Sでは10*9*8=720通り．
検算：10+270+720=1000=10^3.
2.
(1) 1(1)と同様に，BでもSでも10通り．
(2) Bは1(2)と同じ場合の数で，90通り．Bの1通りに対してSの4通りが対応．
よってSでは360通り．
(3) 「ナンバーズ2」のBを考える．これの当選番号がcdとすると，
「ナンバーズ4」のBはccddと書けるはずである．
さて，c,dの選び方は10*9/2=45通りなので，Bでは45通り．
Bの1通りに対し，Sの6通りが対応する（1122->1122,1212,2112,1221,2121,2211）
ので，Sでは45*6=270通り．
(4) B：2つダブル番号の選び方で10通り，残る番号の選び方で9C2=36通り．
よってBでは360通り．Bの1通りにSの12通りが対応するので，Sでは360*12=4320通り．
(5) Bでは10C4=210通り．Bの1通りにSの24通りが対応するので，Sでは210*24=5040通り．
検算：10+360+270+4320+5040=10000=10^4.
ＮＯ２「三角定規」 4/4: 12時23分受信 更新4/25更新
そうですか，ナンバーズが発売になってから10年になるのですか。毎回ではありませんが，結構買っています。
今日の今日まで数の分析など１度もしたことがなかったのですが，新聞で見る当選番号からは，わりと「ぞろ目」含みが頻度高く出ているという印象を持ち，買うときも結構そうしていました。今回初めて計算し，ぞろ目ありが 4,590通り，なしが 5,040通りで，印象が間違っていなかったことを確認しました
● 第136回解答（三角定規）
1.(1) ○○○型 ○にあてはまる数は0～9の 10 通り …［答］
(2) ○○△型
<ⅰ> ○にあてはまる数は0～9の 10通り。
<ⅱ> △にあてはまる数は，○に使った数を除いた9通り。
<ⅲ> △の場所が3通り。
<ⅰ><ⅱ><ⅲ>より，10×9×3＝270 通り …［答］
(3) ○△×型 10P3＝10×9×8＝720 通り …［答］
２.(1) ○○○○型 ○にあてはまる数は0～9の 10 通り …［答］
(2) ○○○△型
<ⅰ> ○にあてはまる数は0～9の 10通り。
<ⅱ> △にあてはまる数は，○に使った数を除いた9通り。
<ⅲ> △の場所が4通り。
<ⅰ><ⅱ><ⅲ>より， 10×9×4＝360 通り …［答］
(3) ○○△△型
<ⅰ> ○，△にあてはまる数の選び方が 10C2＝45通り
<ⅱ> ○の場所の選び方が 4C2＝6通り
<ⅰ><ⅱ>より，
45×6＝270 通り … [答]
(4) ○○△×型
<ⅰ> ○にあてはまる数の選び方が 10通り
<ⅱ> ○の場所の選び方が 4C2＝6通り
<ⅲ> △，×の数の並べ方が 9×8＝72通り
<ⅰ><ⅱ><ⅲ>より，
10×6×72＝4,320 通り … [答]
(5) ○△×※型 10P4＝10×9×8×7＝5,040 通り … [答]
ＮＯ３「kashiwagi」4/6:
07時20分受信 更新4/25更新
136回解答
問１．
（１） ０～９の１０種類であるから求めるものは10通り
（２） １０種類の中から２種類を選び、その数のうちどちらが2個になっても良く、これら３数の並べ方が求めるものであるから、
10C２×２×３！/２！＝270通り
（３） １０種類の中から３種類を選び、それの並べ方が求めるものであるから、
10P３＝720通り
問２．
（１） 問１の（１）と同様に10通り
（２） 問１の（２）と同様の考えで
10C２×２×４！/３！＝360通り
（３）２種類の数を選び、それら４数の並べ方だから
10C２×４！/（２！×２！）＝270通り
（４） 問１の（２）を少々発展させて考え、
３種類の数を選びそのうち２数はどれでも良く、それら４数の並べ方だから
10C３×３×４！/２！＝4320通り
（５） 問１の（３）と同様の考えで
10P４＝5040通り
ＮＯ４「toru」
4/6: 11時13分受信 更新4/25更新
ナンバーズ４の解答を送ります。奥の深そうな問題で、まだなにかありそうですね？
問題１
（１） 000,111,222,------,999までの10通り
（２） ２個の数字が１０通りそれぞれに対して、１個の数字が９通り、並べ方が、
それぞれ３通りで10x9x3=270通り
（３） 10x9x8=720通り
問題２
（１） 0000,1111,2222,----,9999までの10通り
（２） ３個の数字が10通りそれぞれに１個の数字が９通り、並べ方が４通り
で10x9x4=360通り
（３） 数字の組み合わせが10x9/2=45通り、その並べ方が4!/2!2!=6通り、
で45x6=270通り
（４） 数字の組み合わせは、３つ選んでどれかを２つにすると考えて(10x9x8
／(3x2x1)) x3=360通り、その並べ方が、4!/2!=12通り、で360x12=4320通り
（５） 10x9x8x7=5040通り
問題２ （別解）ナンバズ３に１つ数字を付け加えると考える。
（１） 問題１の（１）に同じ数字を付け加える場合のみで10通り
（２） （１）に異なる数字を付け加える場合10x9=90と（２）に２個の方の数字を付
け加える場合270を加えて360通り
（３） （２）に１個の方の数字を付け加える場合のみで270通り
（４） （２）に異なる数字を付け加える場合270x8=2160と（３）に３個のどれかの
数字を付け加える場合720x3=2160で 4320通り
（５） （３）に異なる数字を付け加える720x7=5040通り
ＮＯ５「kasama」 4/6: 19時35分受信 更新4/25更新
今回は宝くじの問題ですね。私は生まれてから未だ宝くじを買ったことがありません。宝くじの売店で「ナンバーズ」とうい看板をよく見かけますが、
自分で番号を決められるものだったんですね。知りませんでした。
さて、「ナンバーズ」の場合数を求めることで、何らかのシーケンスを発見できるような気がして、いろいろと考えてみましたが、結局わからず、
単純に数え上げました。
次のように、単純に数え上げてみました。
①考え方
「ナンバーズ」の場合数は、それを構成する数字の選び方と並べ方によって、
数字の選び方×数字の並べ方
で求めることができると考えました。例えば、問題1の(2)では、「ナンバーズ」を構成する数字は2種類でその選び方は10×9=90通りで、それらの並べ方は○○□、○□○、□○○の3通りですから、
90×3 = 270通り
となります。
②「ナンバーズ３」、「ナンバーズ４」
①考え方にしたがって、場合数を計算すると、以下のようになります。
|
問題 |
種類 |
選び方 |
並べ方 |
ナンバーズの例 |
場合数 |
|
1-(1) |
1 |
10 |
1 |
○○○ |
1×10 = 10 |
|
1-(2) |
2 |
10×9
= 90 |
3 |
○○□、○□○、□○○ |
3×90
= 270 |
|
1-(3) |
3 |
10×9×8
= 720 |
1 |
○□△ |
1×720
= 720 |
|
2-(1) |
1 |
10 |
1 |
○○○○ |
1×10
= 10 |
|
2-(2) |
2 |
10×9
= 90 |
4 |
○○○□、○○□○、○□○○、□○○○ |
4×90
= 360 |
|
2-(3) |
2 |
10×9
= 90 |
3 |
○○□□、○□○□、□○○□ |
3×90
= 270 |
|
2-(4) |
3 |
10×9×8
= 720 |
6 |
○○□△、○□○△、○□△○、□○○△、□○△○、□△○○ |
6×720
= 4320 |
|
2-(5) |
4 |
10×9×8×7
= 5040 |
1 |
○□△◇ |
1×5040
= 5040 |
③一般化(2004.04.20追加)
第i種類の数字の個数がni(i=1,2,･･･,k)から構成されるナンバーズの形式を
[n1,n2,･･･,nk]
と表現します。例えば、ナンバーズ4において、
同じ数字が２個と異なる数字が２個の場合 ･･･ [2,1,1]
同じ数字が２個ずつの場合 ･･･ [2,2]
と表現します。ここで、j(j=1,2,･･･,l)個からなるniの個数をmjとすると、[n1,n2,･･･,nk]
の場合数は
10Ck × k!/(m1!･m2!･･･ml!)
× (n1+n2+･･･ +nk)!/(n1!･n2!･･･nk!)
と表されます。
表現力が人より劣っているので、上手に表現できず申し訳ありません。以下の通り具体例を挙げます。
|
ナンバーズ |
表現 |
計算式 |
場合数 |
|
4 |
[4] |
10C1 × 1!/1! ×
4!/4! |
10 |
|
[3,1] |
10C2 × 2!/(1!･1!)
× 4!/(3!･1!) |
360 |
|
|
[2,2] |
10C2 × 2!/2! ×
4!/(2!･2!) |
270 |
|
|
[2,1,1] |
10C3 × 3!/(1!･2!)
× 4!/(2!･1!･1!) |
4320 |
|
|
[1,1,1,1] |
10C4 × 4!/4! ×
4!/(1!･1!･1!･1!) |
5040 |
|
|
5 |
[5] |
10C1 × 1!/1! ×
5!/5! |
10 |
|
[4,1] |
10C2 × 2!/(1!･1!)
× 5!/(4!･1!) |
450 |
|
|
[3,2] |
10C2 × 2!/(1!･1!)
× 5!/(3!･2!) |
900 |
|
|
[3,1,1] |
10C3 × 3!/(1!･2!)
× 5!/(3!･1!･1!) |
7200 |
|
|
[2,2,1] |
10C3 × 3!/(2!･1!)
× 5!/(2!･2!･1!) |
10800 |
|
|
[2,1,1,1] |
10C4 × 4!/(1!･3!)
× 5!/(2!･1!･1!･1!) |
50400 |
|
|
[1,1,1,1,1] |
10C5 × 5!/5! ×
5!/(1!･1!･1!･1!･1!) |
30240 |
|
|
6 |
[6] |
10C1 × 1!/1! × 6!/6! |
10 |
|
[5,1] |
10C2 × 2!/(1!･1!) × 6!/(5!･1!) |
540 |
|
|
[4,2] |
10C2 × 2!/(1!･1!) × 6!/(4!･2!) |
1350 |
|
|
[4,1,1] |
10C3 × 3!/(1!･2!) × 6!/(4!･1!･1!) |
10800 |
|
|
[3,3] |
10C2 × 2!/2! × 6!/(3!･3!) |
900 |
|
|
[3,2,1] |
10C3 × 3!/(1!･1!･1!) ×
6!/(3!･2!･1!) |
43200 |
|
|
[3,1,1,1] |
10C4 × 4!/(1!･3!) × 6!/(3!･1!･1!･1!) |
100800 |
|
|
[2,2,2] |
10C3 × 3!/3! × 6!/(2!･2!･2!) |
10800 |
|
|
[2,2,1,1] |
10C4 × 4!/(2!･2!) × 6!/(2!･2!･1!･1!) |
226800 |
|
|
[2,1,1,1,1] |
10C5 × 5!/(1!･4!) × 6!/(2!･1!･1!･1!) |
453600 |
|
|
[1,1,1,1,1,1] |
10C6 × 6!/6! × 6!/(1!･1!･1!･1!･1!) |
151200 |
「kasama」 4/20:14時55分受信 更新4/25更新
場合数は添付リストのように一般化できそうです（数式の表現方法に問題はありますが・・・）。
数列サイトThe On-Line Encyclopedia of Integer Sequences（http://www.research.att.com/~njas/sequences/）で数列を探ってみました。
検索方法が悪いのか第１、２種スターリング数やカタラン数と言ったポピュラーなシーケンスではなさそうです。
ＮＯ６「BossF」 4/20:09時05分受信 更新4/25更新
問題1
(1)10C1=10通り
(2)10C2 x3C1x2=270通り
(3)10P3=720通り
問題2
(1)10C1=10通り
(2)10C2 x4C1x2=360通り
(3)10C2 x4C2=270通り
(4)10C3 x3C1x(4!/2!)=4320通り
(5)10P4=5040通り
ＮＯ７「中川幸一」
4/23:04時27分受信 更新4/25更新
