平成１６年６月６日

[流れ星]

　　　　　第１３８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：５月１６日〜６月６日＞
［相加・相乗平均］

　

ＮＯ１「H7K」 5/16: 13時30分受信 更新6/6更新

「H7K」 5/16: 22時10分受信 更新6/6更新
この問題については，先に積が決まっていたから，表現に苦労しました．幸い，似た問題を先日解いていました．あとの証明方法としては，

n=4のとき：a_1+a_2>=2 sqr(a_1a_2)，a_3+a_4>=2 sqr(a_3a_4)．
よって，a_1+a_2+a_3+a_4>=2(sqr(a_1a_2)+sqr(a_3a_4))>=4 sqr(sqr(a_1a_2a_3a_4)).
同様に，n=2^kのときも成立．
さて，n=k+1のとき成立しているとすると，
a_1+a_2+...+a_k+(a_1a_2...a_k)^(1/k)>=(k+1)(a_1a_2...a_k*(a_1a_2...a_k)^(1/k))^(1/k+1)
                                     =(k+1)(a_1a_2...a_k)^(1/k)
よって，a_1+a_2+...+a_k>=k(a_1a_2...a_k)^(1/k)
であるので，n=kのときも成立．
以上より，任意のn>=2について，云々．とかがありますね．
＜水の流れ＞帰納法の証明は考えていましたが、関数としての発想は予定していませんでした。これも良し　ですね。＞
帰納法以外で証明はできるんでしょうか？
＜水の流れ＞現在は気がついていませんが。

ＮＯ２「toru」　　 5/18: 13時24分受信 更新6/6更新
問題１
数学的帰納法による。
証明すべきは、“a1a2-----an=1の時,a1+a2+-----+an≧n (n≧2)ただし、等号はa1=a2=----=an=1の時に限る”である。
1) n=2の時、a1a2=1 でa1≦1≦a2としてよい、a1+a2-2=(1-a1)(a2-1)≧0で等号はa1=a2=1の時に限る。よって成立する。
2) n=kで成り立つとして、n=k+1の時を考える、a1a2---aka(k+1)=1で適当に順番を並び変えて、ak≦1≦a(k+1)としてよい。
bk=aka(k+1)とすると、a1a2----a(k-1)bk=1だから仮定よりa1+a2+---+a(k-1)+bk≧k,（等号はa1=a2=---=bk=1の時に限る）
ak+a(k+1)-bk-1=(1-ak)(a(k+1)-1)≧0と辺辺をたすとa1+a2+---+a(k-1)+ak+a(k+1)-1≧kよりn=k+1で成り立つことが示された。
等号はa1=a2=---=a(k-1)=bk=1かつ ak=a(k+1)=1の時、すなわちa1=a2=-----=ak=a(k+1)=1に限る。

問題２
一般にa1a2----an=G の時、G^(1/n)=gとして、ak/g=bk (k=1,2---n)　とするとb1b2--bn=1　問題１より、b1+b2+----bn≧n
すなわちa1+a2+---an≧ngから(a1+a2+---an)/n≧(a1a2----an)^(1/n)

 第１３８回解答を送ります。残念ながら今回はカンニングです。普通は両辺の対数をとってy=logxが上に凸であることを使うのだと思いますが、
実に様々な証明法があるようで、興味深く思いました。またよろしくお願いします。

ＮＯ３「kashiwagi」5/19: 13時52分受信 更新6/6更新
138回 解答

問１．

ｎ≧２に於いて、a_１、・、a_nが全て正数のときa_１ a₂ ・・a_n＝１が成り立つならば、（a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_n）≧ｎ　である　

帰納法を使い証明する。　　　

まずｎ＝２で成立する事を証明する。

一般的に（√a_１−√a₂）²≧０が成立する。

即ち、a_１＋a₂−2√a_１a₂≧０

a_１＋a₂≧2√a_１a₂ = 2となり証明された。

次にn＝ｋの場合成立すると仮定すると、

a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_ｋ≧ｋ

両辺にa_ｋ＋１を加えると

a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_ｋ＋ a_ｋ＋１≧ｋ＋ a_ｋ＋１

ところで、a_１ a₂ ・・a_ｋ＋１＝１より

a_ｋ＋１＝１／a_１ a₂ ・・a_ｋであるから　a_ｋ＋１＝１

因って、a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_ｋ＋ a_ｋ＋１≧ｋ＋ １

が成立する。

問２．

（a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_n）≧ｎ　より

（a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_n）／ｎ≧１

ここでa_１ a₂ ・・a_n＝１の関係より１の乗根は何乗しても１であるから

＝　a_１ a₂ ・・a_n

＝√(a_１ a₂ ・・a_n)

＝ (a_１ a₂ ・・a_n)

＝・・・・

＝(a_１a₂ ・・a_n)

即ち、

（a_１+ a₂ +・・・・・＋ a_n）／ｎ≧(a_１a₂ ・・a_n)

が成立する。

ＮＯ４「kasama」　 5/25: 16時47分受信 更新6/6更新
【問題１】

数学的帰納法で証明します。

(1)n=2のとき
a₁a₂=1 ですから、一方が1以上で，他方が1以下で、
　(a₁-1)(a₂-1)≦0 ⇒ a₁a₂+1≦a₁+a₂ ⇒ 2≦a₁+a₂となり、成立します。
(2)n=kのとき
a₁a₂･･･ a_k=1で、a₁+a₂+･･･ +a_k≧kが成り立つと仮定します。
(3)n=k+1のとき
1以上のものと1以下のものを選び、番号を付け替えて 、a₁≧1、 a₂≦1としても構いません。すると、
　(a₁-1)(a₂-1)≦0 ⇒ a₁a₂+1≦a₁+a₂
ですから、
　(a₁+a₂)+a₃+･･･ +a_k+1≧(a₁a₂+1)+a₃+･･･ +a_k+1
です。ここで、仮定(2)より、(a₁a₂)･･･ a_ka_k+1=1 と考えてると、
　(a₁a₂)+a₃+･･･ +a_k+a_k+1≧k　なので、
　a₁+a₂+a₃+･･･ +a_k+a_k+1≧k+1　です。よって、n=k+1の場合も成り立ちます。

(1)、(2)、(3)よりすべてのnについて、a₁a₂･･･ a_n=1のとき、a₁+a₂+･･･ +a_n≧nが成り立ちます。

【問題２】

正数A₁、A₂、･･･、 A_nに対して、
　Ai/m^1/n ⇒ ai
と変換すれば、問題１の条件式に帰着できます。ただし、m=A₁A₂･･･ A_nとします。
すると、a₁a₂･･･ a_n=1のとき、a₁+a₂+･･･ +a_n≧nなので、
　(A₁+A₂+･･･ +A_n)/m^1/n≧n
　⇒ (A₁+A₂+･･･ +A_n)/n≧m^1/n
　⇒ (A₁+A₂+･･･ +A_n)/n≧(A₁A₂･･･ A_n)^1/n
です。

ＮＯ５「中川幸一」　　 6/07: 03時04分受信 更新6/7更新

＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp