平成１６年７月１８日
[流れ星]
第１４１回数学的な応募問題
＜解答募集期間：７月１８日〜８月８日＞
［カプレカ数］
太郎さんは、「カプレカ数」について、質問を受けたとき、このような問題を考えました。
４桁の自然数（全数字が等しい数を除く）をａとし、その各位の数字の順を、大小順にしたものから小大順にしたものを引いた差をｆ（ａ）とする。任意のａに対して、
問題１：１回の操作 ｆ（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題２：２回の操作（ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題３：３回の操作（ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題４：４回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題５：５回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題６：６回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題７：７回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
＜１８日夜記入コメント：いずれの操作で、初めて６１７４となる最初のａを見つけてください。＞
＜１８日に「中川幸一」さんから頂いたコメントです＞
『【その１】今回の問題のタイトルは『カプレカ数』となっていましたが,今回の問題のタイトルは『カプレカルーチン』の方が良いと思われます。何故かと言いますと,
『Kaprekar Number』とは,Consider
an n-digit number k. Square it and add the right n digits tothe
left n or n-1 digits. If the resultant sum is k, then k is called aKaprekar number.
という意味で, 具体的に(20 個だけ)書き並べてみると,
Sequence:1,9,45,55,99,297,703,999,2223,2728,4879,4950,5050,5292,7272,7777,9999,17344,22222,38962,…となります。
また,『Kaprekar Routine』とは,
The Kaprekar routine is an algorithm
discovered in 1949 by D. R.Kaprekar for 4-digit
numbers, but which can be generalized to k-digitnumbers.
To apply the Kaprekar routine to a
number n, arrange the digitsin descending (n') and
ascending (n") order. Now compute K(n)≡n'-n" anditerate.
The algorithm reaches 0 (a degenerate case), a constant, or acycle, depending on the number of digits in k and the
value of n.ということです。
【その２】『４桁の自然数（全数字が等しい数を除く）をａとし…』とありましたが, 除くのは 9 つだけではなく, これらを含めて 77 個あります。
これらの数字は『Four-digit numbers that do not resolve to 6174 under the Kaprekar Routine』
と言われる数列です。(この数列の範囲はちょうど 77 個しかありません。) 具体的に全てを並べてみると,
1000,1011,1101,1110,1111,1112,1121,1211,1222, 2111,2122,2212,2221,2222,2223,2232,2322,2333,
3222,3233,3323,3332,3333,3334,3343,3433,3444, 4333,4344,4434,4443,4444,4445,4454,4544,4555,
5444,5455,5545,5554,5555,5556,5565,5655,5666, 6555,6566,6656,6665,6666,6667,6676,6766,6777,
7666,7677,7767,7776,7777,7778,7787,7877,7888, 8777,8788,8878,8887,8888,8889,8898,8988,8999,
9888,9899,9989,9998,9999 となります。
最後に今回の reference を紹介しておきます。 Kaprekar, D. R.
"An Interesting Property of the Number 6174." Scripta Math.
15, 244-245, 1955. 』
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。
待っています。実は、太郎さんは問題１の答えしか分かっていません。後、お願いします。
