平成１６年８月８日
[流れ星]
第１４１回数学的な応募問題解答ＮＯ１
＜解答募集期間：７月１８日〜８月８日＞
［カプレカ数］
太郎さんは、「カプレカ数」について、質問を受けたとき、このような問題を考えました。
４桁の自然数（全数字が等しい数を除く）をａとし、その各位の数字の順を、大小順にしたものから小大順にしたものを引いた差をｆ（ａ）とする。任意のａに対して、
問題１：１回の操作 ｆ（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題２：２回の操作（ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題３：３回の操作（ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題４：４回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題５：５回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題６：６回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
問題７：７回の操作（ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ○ｆ）（ａ）＝６１７４となるａを大小順にした数を求めよ。
＜１８日夜記入コメント：いずれの操作で、初めて６１７４となる最初のａを見つけてください。＞
＜１８日に「中川幸一」さんから頂いたコメントです＞
『【その１】今回の問題のタイトルは『カプレカ数』となっていましたが,今回の問題のタイトルは『カプレカルーチン』の方が良いと思われます。何故かと言いますと,
『Kaprekar Number』とは,Consider
an n-digit number k. Square it and add the right n digits tothe
left n or n-1 digits. If the resultant sum is k, then k is called aKaprekar number.
という意味で, 具体的に(20 個だけ)書き並べてみると,
Sequence:1,9,45,55,99,297,703,999,2223,2728,4879,4950,5050,5292,7272,7777,9999,17344,22222,38962,…となります。
また,『Kaprekar Routine』とは,
The Kaprekar routine is an algorithm
discovered in 1949 by D. R.Kaprekar for 4-digit
numbers, but which can be generalized to k-digitnumbers.
To apply the Kaprekar routine to a
number n, arrange the digitsin descending (n') and
ascending (n") order. Now compute K(n)≡n'-n" anditerate.
The algorithm reaches 0 (a degenerate case), a constant, or acycle, depending on the number of digits in k and the
value of n.ということです。
【その２】『４桁の自然数（全数字が等しい数を除く）をａとし…』とありましたが, 除くのは 9 つだけではなく, これらを含めて 77 個あります。
これらの数字は『Four-digit numbers that do not resolve to 6174 under the Kaprekar Routine』
と言われる数列です。(この数列の範囲はちょうど 77 個しかありません。) 具体的に全てを並べてみると,
1000,1011,1101,1110,1111,1112,1121,1211,1222, 2111,2122,2212,2221,2222,2223,2232,2322,2333,
3222,3233,3323,3332,3333,3334,3343,3433,3444, 4333,4344,4434,4443,4444,4445,4454,4544,4555,
5444,5455,5545,5554,5555,5556,5565,5655,5666, 6555,6566,6656,6665,6666,6667,6676,6766,6777,
7666,7677,7767,7776,7777,7778,7787,7877,7888, 8777,8788,8878,8887,8888,8889,8898,8988,8999,
9888,9899,9989,9998,9999 となります。
最後に今回の reference を紹介しておきます。 Kaprekar, D. R.
"An Interesting Property of the Number 6174." Scripta Math.
15, 244-245, 1955. 』
ＮＯ１「中川幸一」 7/18: 22時28分受信 更新8/8更新
ただ今, 今回の解いています。
2 年ほど前に, 汚いながらも 4 桁及び 3 桁については全ての数は必ず routineにおちいるという証明を演繹的に考えたことがあります。
今回の場合も以前考えた方法で導けると思うので, 思い出しながら考えてみようと思います。
「中川幸一」
8/08: 07時29分受信 更新8/8更新
今回も大変ギリギリでスミマセン。
解答が, 問題に書かれたものと多少違いますが, こちらの方が見やすいと思いこのようにしました。宜しくお願いします。
ＮＯ２「toru」 7/22: 11時47分受信 更新8/8更新
第１４１回解答を送ります。長大なものになってしまいました。きっとみなさんはコンピュータでさっさっとやっておられるのかもしれませんが、手計算で頑張ってみました。フ−ッ疲れた。 ペンネーム Toru
４桁の自然数aを大小順に並べた数をK≧L≧M≧NとするとK＞N
この時f(a)を考える。K-N=b、L-M=cとして
ア） L=M(c=0)の時、f(a)は(K-1-N),9,9,(10+N-K)すなわち、
(b-1),9,9,(10-b) (b=1,----,9)、
イ）L>M(c>0)の時、f(a)は(K-N), (L-1-M),(9+M-L),(10+N-K)
すなわち b,(c-1),(9-c),(10-b) (c=1,2,----,9 b≧c)
よって任意の４桁の自然数a（４桁の数が全て等しい数は除く）に対してf(a)はア）
イ）のいずれかの形になる。
問題１.f(a)=6174 とするとb=6,c=2 すなわちK-N=6,L-M=2これを満たす(N,M)の組はK
≧L に注意して(0,0〜4) (1,1〜5) (2,2〜6) (3,3〜7) の２０通り、 すなわちKLMN
としては
6200,6310,6420,6530,6640,7311,7421,7531,7641,7751,8422,8532,8642,8752,8862,9533,9643,9753,9863,9973
f(a)を大小順に並べかえた数は、
ア） でb=1--5として 999,9981,9972,9963,9954,
イ） でc=1,b=1---5 として9810,8820,8730,8640,8550,
c=2,b=2---5,9 として8721,7731,7641,7551,9711
c=3,b=3--5,8,9として7632,6642,6552,8622,9621
c=4,b=4,5,7,8,9として6543, 5553,7533,8532,9531
c=5,b=5,6,7,8,9 として5544,6444,7443,8442,9441
それぞれについてfをくり返すと
999-0(0999-8991-8082-8532-6174(5))
9981-8082-8532-6174(4) 9972-7173-6354-3087-8352-6174(6)
9963-6264-4176-6174(4) 9954-5355-1998-8082-8532-6174(6)
9810-9621-8352-6174(4) 8820-8532-6174(3) 8730-8352-6174(3)
8640-8172-7443-3996-6264-4176-6174(7) 8550-7992-7173-6354-3087-8352-6174(7)
8721-7443-3996-6264-4176-6174(6) 7731-6354-3087-8352-6174(5) 7641-6174(2)
7551-5994-5355-1998-8082-8532-6174(7) 9711-8532-6174(3)
7632-5265-3996-6264-4176-7164(6) 6642-4176-6174(3)
6552-3996-6264-4176-6174(5) 8622-6354-3087-8352-6174(5) 9621-8352-6174(3)
6543-3087-8352-6174(4) 5553-1998-8082-8532-6174(5) 7533-4176-6174(3)
8532-6174(2) 9531-8172-7443-3996-6264-4176-6174(7)
5544-1089-9621-8352-6174(5) 6444-1998-8082-8532-6174(5)
7443-3996-6264-4176-6174(5) 8442-5994-5355-1998-8082-8532-6174(7)
9441-7992-7173-6354-3087-8352-6174(7)
と999以外はいずれも6174になる。（（）内はfの施行回数）これを整理して、イ）の形の場合にはb＞c-1などに注意して並べかえ前のものを（）内に示す。
(1) 6174
(2) 8532,7641 (8532,8352,4176(3))
(3) 8820,8730,9711,6642,9621,7533
(8082,2088,7083,3087,9711,9171,6264,4266,9621,9261,7533,7353(12))
(4) 9981,9963,9810,6543
(8991,1998,3996,6993,9801,9081,1089,6534,6354,4356(10))
(5) 7731,6552,8622,5553,5544,6444,7443
(7173,3177,5265,8622,8262,5355,5445,6444,7443(9))
(6) 9972,9954,8721,7632,
(7992,2997,4995,5994,8712,8172,2178,7623,7263,3267(10))
(7)8640,8550,7551,8442,9441,9531(6084,4086,5085,5175,8442,9441,9531,9351(8))
問題２ 上の考察よりf(a)=8532,8352,4176 を考えればよい。各b,cについて
KLMNが(b-c+1)(10-b)通りあることを参考に数える。
8532：b=8,c=6 8600, 8710, 8820,9711,9821,9931 （６通り）
8352：b=8,c=4 8400,8510,8620,8730,8840,9511,9621,9731,9841,9951（１０通り）
4176：b=4,c=2 4200,4310,4420,5311,5421,5531,6422,6532,6642,7533,7643,7753,8644,8754,8864,9755,9865,9975（１８通り）合計３４通り
問題３ 問題２と同様に
8082： b=8,c=1： 8100,8210,8320,8430,8540,8650,8760,8870,9211,9321,9431,9541,9651,9761,9871,9981 （１６通り）
2088： b=2,c=1 2100,2210,3211,3321,4322,4432,5433,5543,6544,6654,7655,7765,8766,8876,9877,9987（１６通り）
7083：b=7,c=1：
7100,7210,7320,7430,7540,7650,7760,8211,8321,8431,8541,8651,8761,8871,9322,9432,9542,9652,9762,9872,9982（２１通り）
3087：b=3,c=1 ：
3100,3210,3320,4211,4321,4431,5322,5432,5542,6433,6543,6653,7544,7654,7764,8655,8765,8875,9766,9876,9986
（２１通り）
9711：b=9,c=8： 9800,9910（２通り）
9171：b=9,c=2： 9200,9310,9420,9530,9640,9750,9860,9970 （８通り）
6264： b=6,c=3：
6300,6410,6520,6630,7411,7521,7631,7741,8522,8632,8742,8852,9633,9743,9853,9963
（１６通り）
4266：b=4,c=3：4300,4410,5411,5521,6522,6632,7633,7743,8744,8854,9855,9965 （１２通り）
9621：b=9,c=7 ：9700,9810,9920 （３通り）
9261：b=9,c=3：9300,9410,9520,9630,9740,9850,9960（７通り）
7533：b=7,c=6： 7600,7710,8711,8821,9822,9932 （６通り）
7353：b=7,c=4,：7400,7510,7620,7730,8511,8621,8731,8841,9622,9732,9842,9952 （１２通り）
合計 １４０通り
問題４
8991：b=9 ：9000,9110,9220,9330,9440,9550,9660,9770,9880,9990 （１０通り）
1998：b=2 2000,2110,2220,3111,3221,3331,4222,4332,4443,5333,5443,5553,6444,6554,6664 ,7555,
7665,7775,8666,8776,8886,9777,9887,9997 （２４通り）
3996：b=4 4000,4110,4220,4330,4440,5111,5221,5331,5441,5551,6222,6332,6442,6552,6662 ,7333,7443,7553,7663,7773,8444,8554,8664,8774,8884,9555,9665,9775,9885,9995 （３０通り）
6993：b=7
7000,7110,7220,7330,7440,7550,7660.7770,8111,8221,8331,8441,8551,8661,8771 ,8881,9222,9332,9442,9552,9662,9772,9882,9992
（２４通り）
9801：b=9,c=9：9900 （１通り）
9081：b=9,c=1：9100,9210,9320,9430,9540,9650,9760,9870,9980 （９通り）
1089：b=1,c=1：1100,2211,3322,4433,5544,6655,7766,8877,9988 （９通り）
6534：b=6,c=6：6600,7711,8822,9933（４通り）
6354：b=6,c=4：
6400,6510,6620,7511,7621,7731,8622,8732,8842,9733,9843,9953（１２通り）
4356：b=4,c=4 ：4400,5511,6622,7733,8844,9955 （６通り）
合計 １２９通り
問題５
7173：b=7,c=2：
7200,7310,7420,7530,7640,7750,8311,8421,8531,8641,8751,8861,9422,9532,9642,9752,9862,9972（１８通り）
3177：b=3,c=2：
3200,3310,4311,4421,5422,5532,6533,6643,7644,7754,8755,8865,9866,9976（１４通り）
5265：b=5,c=3：
5300,5410,5520,6411,6521,6631,7522,7632,7742,8633,8743,8853,9744,9854,9964、（15通り）
8622：b=8,c=7 ：8700,8810,9811,9921 （４通り）
8262：b=8,c=3 ：8300,8410,8520,8630,8740,8850,9411,9521,9631,9741,9851,9961（１２通り）
5355：b=5,c=4： 5400,5510,6511,6621,7622,7732,8733,8843,9844,9954の10通り
5445：b=5,c=5 5500,6611,7722,8833,9944 （５通り）
6444：b=6,c=5 ：6500.6610,7611,7721,8722,8832,9833,9943 （８通り）
7443：b=7,c=5： 7500,7610,7720,8611,8721,8831,9722,9832,9942（９通り）
合計９５通り
問題６
7992：b=8：
8000,8110,8220,8330,8440,8550,8660,8770,8880,9111,9221,9331,9441,9551,9661,9771,9881,9991（１８通り）
2997：b=3,
3000,3110,3220,3330,4111,4221,4331,4441,5222,5332,5442,5552,6333,6443,6553,6663,7444,7554,7664,7774,8555,8665,8775,8885,9666,9776,9886,9996（２８通り）
4995：b=5：
5000,5110,5220,5330,5440,5550,6111,6221,6331,6441,6551,6661,7222,7332,7442,7552,7662,7772,8333,8443,8553,8663,8773,8883,9444,9554,9664,9774,9884,9994（３０通り）
5994：b=6：
6000,6110,6220,6330,6440,6550,6660,7111,7221,7331,7441,7551,7661,7771,8222,8332,8442,8552,8662,8772,8882,9333,9443,9553,9663,9773,9883,9993
（２８通り）
8712：b=8,c=8：8800,9911（２通り）
8172：b=8,c=2：
8200,8310,8420,8530,8640,8750,8860,9311,9421,9531,9641,9751,9861,9971
（１４通り）
2178：b=2,c=2：2200,3311,4422,5533,6644,7755,8866,9977 （８通り）
7623：b=7,c=7 ：7700,8811,9922（３通り）
7263：b=7,c=3： 7300,7410,7520,7630,7740,8411,8521,8631,8741,8851,9522,9632,9742,9852,9962 （１５通り）
3267：b=3,c=3：3300,4411,5522,6633,7744,8855,9966（７通り）
合計 １５３通り
問題７
6084：b=6,c=1：
6100,6210,6320,6430,6540,6650,7211,7321,7431,7541,7651,7761,8322,8432,8542,8652,8762,8872,9433,9543,9653,9763,9873,9983
（２４通り）
4086：b=4,c=1：
4100,4210,4320,4430,5211,5321,5431,5541,6322,6432,6542,6652,7433,7543,7653,7763,8544,8654,8764,8874,9655,9765,9875,9985
（２４通り）
5085：b=5,c=1：
5100,5210,5320,5430,5540,6211,6321,6431,6541,6651,7322,7432,7542,7652,7762,8433,8543,8653,8763,8873,9544.9654.9764.9874.9984（２５通り）
5175：b=5,c=2：
5200,5310,5420,5530,6311,6421,6531,6641,7422,7532,7642,7752,8533,8643,8753,8863,9644,9754,9864,9974（２０通り）
8442：b=8,c=5：8500,8610,8720,8830,9611,9721,9831,9941（８通り）
9441：b=9,c=5：9500,9610,9720,9830,9940 （５通り）
9531：b=9,c=6：9600,9710,9820,9930 （４通り）
9351：b=9,c=4：9400,9510,9620,9730,9840,9950 （６通り）
合計１１６通り
不適の場合はb=0,c=0の時 0000,1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777,8888,9999
b=1,c=0の時、
1000,1110,2111,2221,3222,3332,4333,4443,5444,5554,6555,6665,7666,7776,8777,8
887,9888,9998 (999を0999と考えて9990-0999=8991とすればokですが、)
合計２８通り
全部たすと20+34+140+129+95+153+116+28=715=10Ｈ4で多分数え落としはなさそうですが、書き間違いはあるやもしれません。
ＮＯ３「kashiwagi」7/23: 08時15分受信 更新8/8更新
お世話になります。今回の問題は非常に愉しく且つ面白く考えさせて頂きました。 こんなことを考えた人がいたとは・・・。どういう構造の頭をしているのでしょう。本当 に驚嘆致しました。世の中には大天才と言うか凄い人が一杯いるのですね。 ところで、私は1回で６１７４となる数７６４１を求めた後は、順次1回ずつ戻り引き算 をした際の値が６，１，７，４の４数で形成される数をだし、引く数と引かれる数をエクセル で計算してみました
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大小順の数をABCDとすると、小大順はDCBAである。 |
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これらの引き算の結果が6174であるので、仮にA=７、D=１ |
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としてみる。するとC-B＝７、B-C=1より位取りを考えると、 |
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B=6,C=4が求めるものである。 |
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因って、１回の操作で6174となる大小順の数は7641である。 |
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以下、２回、３回で6174となる数を今の計算の逆算を実施する。 |
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これは面倒なので7641付近の数でEXCELL計算を致しました。 |
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求めるものは、 |
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１回 |
7641 |
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２回 |
7643 |
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３回 |
7654 |
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４回 |
7663 |
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５回 |
7644 |
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６回 |
7661 |
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７回 |
7642 |
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