平成１６年８月２９日

[流れ星]

　　　　　第１４２回数学的な応募問題解答ＮＯ２

　　　　　　＜解答募集期間：８月８日〜８月２９日＞
［ニュートンの定理］

太郎さんは、８月４日から６日まで開かれた全国算数・数学教育研究（鹿児島）大会に参加してきました。高校部会では、全部で２５会場に別れ延べ発表数１７０にもなり、暑い中盛大に行われました。さて、その中には、次のようなレポート課題を提出させる発表がありました。「平面幾何を勉強する中で、有名な人の名前が付いた定理を調べてきなさい。」資料の中にあった定理を書いてみます。
そこで、今回の問題はこの中にあった「ニュートンの定理」を証明ください。解法の手段方法は問いません。

「四角形ＡＢＣＤが円に外接するとき、２つの対角線の中点と円の中心は１直線上にある。」ことを証明ください。

ＮＯ５「kasama」　 8/19: 18時17分受信 更新8/29更新
いつも楽しい問題を出題して頂きありがとうございます。
いつもながら、良いアイデアが思いつかず座標を割り当て、数式ソフトで無理矢理やりました（とても素手では無理でした）。
「複素数平面」ですか？ベクトルはよく使うのですが、学生時代以来使ったことがないですね。もう一度勉強し直してやってみます。
　ＮＯ６「kasama」」 8/23: 09時27分受信 更新8/29更新
今回の問題を掲示板に書いてあった複素平面で考えてみました（添付リストの通り、先日お送りしたドキュメントに追加しました）．．．と言っても基本的には二次元ベクトル空間と同じなんですが、昔勉強した複素平面の本を読み直す良い機会でした。

最近の高校数学では複素平面について昔よりは詳しく習うようですね。私の時代ではベクトル空間がメインでして、入試問題にもあまり複素平面は登場しなかったように思いますね。
本格的に複素平面について習ったのは大学時代の関数論の講義だったように思います。
そして、大人になってからはベクトルを扱うことが圧倒的に多かったので、もう複素平面についてはすっかり忘れていました。

【ベクトルによる方法】

四角形ABCDに半径rの円が内接するとして、下図のような座標系を考えます。内接円の中心を原点O、 四角形と円との接点をP_1〜4として、OP₁方 向にX軸を取ります。

すると、
　P₁={r,0}
　P₂={rcos(2α₁,rsin(2α₁)}
　P₃={rcos(2α₁+2α₂),rsin(2α₁+2α₂)}
　P₄={rcos(2α₁+2α₂+2α₃),rsin(2α₁+2α₂+2α₃)}
です。

次に、図のように補助線を入れて点AをP₁、P₂で 表現します。

P₁、P₂の 中点Mは(P₁+P₂)/2 で、�儖MP₁∽�儖P₁A で各辺の比は1:cos²(α₁) ですから点Aは
　A=(P₁+P₂)/2･ 1/cos²(α₁)
　　={r, rtan(α₁)}
です。同様にして
　B=(P₂+P₃)/2･ 1/cos²(α₂)
　　={r[cos(2α₁)+cos(2α₁+2α₂)]/2cos²(α₂), r[sin(2α₁) + sin(2α₁+2α₂)]/2cos²(α₂)}
　C=(P₃+P₄)/2･ 1/cos²(α₃)
　　={r[cos(2α₁+2α₂)+cos(2α₁+2α₂+2α₃)]/2cos²(α₃), r[sin(2α₁+2α₂)+sin(2α₁+2α₂+2α₃)]/2cos²(α₃)}
　D=(P₄+P₁)/2･ 1/cos²{π-(α₁+α₂+α₃)}
　　={r[1+cos(2α₁+2α₂+2α₃)]/2cos²(α₁+α₂+α₃), rtan(α₁+α₂+α₃)}
　　={r, rtan(α₁+α₂+α₃)}
となります。

ここで、2cos²(θ)=1+cos(2θ)なので
　B={r[cos(2α₁) + cos(2α₁+2α₂)]/[1+cos(2α₂)], r[sin(2α₁)+sin(2α₁+2α₂)]/[1+cos(2α₂)]}
　C={r[cos(2α₁+2α₂) +cos(2α₁+2α₂+2α₃)]/[1+cos(2α₃)], r[sin(2α₁+2α₂)+sin(2α₁+2α₂+2α₃)]/[1+cos(2α₃)]}
また、γ=α₁+α₂+α₃と すると、{r(1 + cos(2γ))/2cos²(γ), rtan(γ)} = {r, rtan(γ)}なので、
　D={r, rtan(α₁+α₂+α₃)}
さらに、2α₁=β₁、 2α₂=β₂、 2α₃=β₃と おくと
　A={r, rtan(β₁/2)}
　B={r[cos(β₁)+cos(β₁+β₂)]/[1+cos(β₂)], r[(sin(β₁) + sin(β₁+β₂)]/[1+cos(β₂)]}
　C={r[cos(β₁+β₂) + cos(β₁+β₂+β₃)]/[1+cos(β₃], r[(sin(β₁+β₂) + sin(β₁+β₂+β₃)]/[1+cos(β₃)]}
　D={r, rtan([β₁+β₂+β₃]/2)}

次に対角線AC、BDの中点をP_M、P_Nと すると、
　P_M=(A+C)/2
　　={r[1+(cos(β₁+β₂)+cos(β₁+β₂+β₃))/(1+cos(β₃))]/2, r[(sin(β₁+β₂)+sin(β₁+β₂+β₃))/(1+cos(β₃))+tan(β₁/2)]/2}
　P_N=(B+D)/2
　　={r[1+(cos(β₁)+cos(β₁+β₂))/(1+cos(β₂))]/2, r[(sin(β₁)+sin(β₁+β₂))/(1+cos(β₂))+tan((β₁+β₂+β₃)/2)]/2}
です。

点O、P_M、P_N同 一線上にあるかどうかを調べるには、ベクトルOP_M、OP_Nが 一次従属か否かがわかれば良いので、P_M、P_Nを 行または列にもつ行列式の値を調べれば良いのです。すると、
　Det|{P_M,P_N}|
　=r²[-tan(β₁/2) + tan((β₁+β₂+β₃)/2)
　　+{sin(β₁)+sin(β₁+β₂)-cos(β₁)tan(β₁/2)-cos(β₁+β₂)tan(β₁/2)}/(1+cos(β₂))
　　+{-sin(β₁+β₂)-sin(β₁+β₂+β₃)+cos(β₁+β₂)tan((β₁+β₂+β₃)/2)+cos(β₁+β₂+β₃)tan((β₁+β₂+β₃)/2)}/(1+cos(β₃))
　　+{-cos(β₁)sin(β₁+β₂)-cos(β₁)sin(β₁+β₂+β₃)-cos(β₁+β₂)sin(β₁+β₂+β₃)+cos(β₁+β₂)sin(β₁)+cos(β₁+β₂+β₃)sin(β₁)+cos(β₁+β₂+β₃)sin(β₁+β₂)}/(1+cos(β₂))(1+cos(β₃))
　　]/4
　=0　(補足参照)
となり、行列式の値が0なので、点O、P_M、P_N同 一線上にあります。


【複素平面による方法】

考え方自体は【ベクトルによる方法】と同じで、X軸、Y軸を実軸、虚軸に対応させて考えます。点P_M、 P_Nを複素平面上の点Z_M、 Z_Nに割り当てます。
　Z_M=r[1+(cos(β₁+β₂)+cos(β₁+β₂+β₃))/(1+cos(β₃))]/2 + jr[(sin(β₁+β₂)+sin(β₁+β₂+β₃))/(1+cos(β₃))+tan(β₁/2)]/2
　Z_N=r[1+(cos(β₁)+cos(β₁+β₂))/(1+cos(β₂))]/2 + jr[(sin(β₁)+sin(β₁+β₂))/(1+cos(β₂))+tan((β₁+β₂+β₃)/2)]/2
ここで、点O、Z_M、Z_N同 一線上にあれば
　∠Z_MOZ_N=arg(Z_M/Z_N)=0 or π ⇒ Z_M/Z_Nが 実数 ⇒ Z_M･(Z_Nの 共役複素数)の虚数部=0
です。ところが、Z_M･(Z_Nの 共役複素数)の虚数部はDet|{P_M,P_N}| と同じですから、 【ベクトルによる方法】でわかったように、Det|{P_M,P_N}| =0なので、点O、P_M、P_N同 一線上にあります。


【補足】

数式ソフトを利用して、以下の通り計算しました。cos(β₁)=c₁、 cos(β₂)=c₂、 cos(β₃)=c₃、 sin(β₁)=s₁、 sin(β₂)=s₂、 sin(β₃)=s₃と すると、
tan(β₁/2)=(1-cos(β₁))/sin(β₁)=(1-c₁)/s₁
tan((β₁+β₂+β₃)/2)
=(((cos(β₁)sin(β₃)+cos(β₃)sin(β₁)+sin(β₁)sin(β₃)(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃))-cos(β₁)cos(β₃)(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃)))cos(β₂)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)sin(β₂)sin(β₃)(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃))+cos(β₃)sin(β₁)sin(β₂)(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃)))/(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃))/(cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃)))
=(((c₁s₃+c₃s₁+s₁s₃(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃)-c₁c₃(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃))c₂+c₁c₃s₂-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃)+c₃s₁s₂(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃))/(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃)/(c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃))
sin(β₁+β₂)=cos(β₁)sin(β₂)+cos(β₂)sin(β₁)=c₁s₂+c₂s₁
sin(β₁+β₂+β₃) =cos(β₁)cos(β₂)sin(β₃)+cos(β₁)cos(β₃)sin(β₂)+cos(β₂)cos(β₃)sin(β₁)-sin(β₁)sin(β₂)sin(β₃) =c₁c₂s₃+c₁c₃s₂+c₂c₃s₁-s₁s₂s₃
cos(β₁+β₂)=cos(β₁)cos(β₂)-sin(β₁)sin(β₂)=c₁c₂-s₁s₂
cos(β₁+β₂+β₃) =cos(β₁)cos(β₂)cos(β₃)-cos(β₁)sin(β₂)sin(β₃)-cos(β₂)sin(β₁)sin(β₃)-cos(β₃)sin(β₁)sin(β₂) =c₁c₂c₃-c₁s₂s₃-c₂s₁s₃-c₃s₁s₂
なので、Det|{P_M,P_N}| に代入して、
Det|{P_M,P_N}|=-(1-c₁)/s₁-(1-c₁)c₁/s₁-(1-c₁)c₂/s₁-(1-c₁)c₃/s₁-(1-c₁)c₁c₃/s₁-(1-c₁)c₂c₃/s₁+s₁+c₃s₁+s₁(c₁c₂-s₁s₂)+c₃(c₂s₁+c₁s₂)-c₁(c₂s₁+c₁s₂)-c₂(c₂s₁+c₁s₂)-(1-c₁)/s₁(c₁c₂-s₁s₂)-(1-c₁)c₃/s₁(c₁c₂-s₁s₂)-(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+s₁(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)+(c₂s₁+c₁s₂)(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)-c₁(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-c₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-(c₁c₂-s₁s₂)(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+c₂(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+c₃(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+(c₁c₂-s₁s₂)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+c₂c₃(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+c₂(c₁c₂-s₁s₂)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2+c₂(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)^-2
とやって、分母を共通化して
Det|{P_M,P_N}|=
{ (-(1-c₁)-(1-c₁)c₁-(1-c₁)c₂-(1-c₁)c₃-(1-c₁)c₁c₃-(1-c₁)c₂c₃-(1-c₁)(c₁c₂-s₁s₂)-(1-c₁)c₃(c₁c₂-s₁s₂))(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)²
+(+s₁+c₃s₁+s₁(c₁c₂-s₁s₂)+c₃(c₂s₁+c₁s₂)-c₁(c₂s₁+c₁s₂)-c₂(c₂s₁+c₁s₂)-(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+s₁(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)+(c₂s₁+c₁s₂)(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)-c₁(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-c₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-(c₁c₂-s₁s₂)(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃))s₁(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)²
+s₁(+(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+c₂(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+c₃(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+(c₁c₂-s₁s₂)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+c₂c₃(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+c₂(c₁c₂-s₁s₂)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))+c₂(c₁c₂c₃-c₃s₁s₂-c₂s₁s₃-c₁s₂s₃)(c₁c₃s₂+c₃s₁s₂(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)-s₁s₂s₃+c₁s₂s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₂(c₃s₁-c₁c₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)+c₁s₃+s₁s₃(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)))) }/s₁(c₂c₃s₁+c₁c₃s₂+c₁c₂s₃-s₁s₂s₃)²
そして、分子について考えます。ここで、c₁²=1-s₁²、 c₁³=c₁(1-s₁²)、 c₁⁴=1-2s₁²+s₁⁴、 c₂²=1-s₂²、 c₂³=c₂(1-s₂²)、 c₂⁴=1-2s₂²+s₂⁴、 c₃²=1-s₃²、 c₃³=c₃(1-s₃²)、 c₃⁴=1-2s₃²+s₃⁴な ので、
Det|{P_M,P_N}| の分子=c₂s₁²-c₂(1-s₂²)s₁²+c₃s₁²+c₁c₃s₁²+c₂c₃s₁²+c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁²-c₃(1-s₃²)s₁²-c₁c₃(1-s₃²)s₁²-c₂(1-s₂²)c₃(1-s₃²)s₁²-c₁c₂(1-s₂²)c₃(1-s₃²)s₁²-c₁s₁s₂+c₁(1-s₁²)s₁s₂-c₁c₂s₁s₂+2c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂-c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁s₂+c₃s₁s₂+c₁c₃s₁s₂+c₂c₃s₁s₂+c₁c₂c₃s₁s₂-c₃(1-s₃²)s₁s₂-2c₁c₃(1-s₃²)s₁s₂+c₁(1-s₁²)c₃(1-s₃²)s₁s₂-c₂c₃(1-s₃²)s₁s₂-2c₁c₂c₃(1-s₃²)s₁s₂+2c₁(1-s₁²)c₂c₃(1-s₃²)s₁s₂-c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)c₃(1-s₃²)s₁s₂+c₁s₁³s₂+2c₁c₂s₁³s₂-c₁c₂(1-s₂²)s₁³s₂-2c₃s₁³s₂-2c₂c₃s₁³s₂+2c₃(1-s₃²)s₁³s₂+c₁c₃(1-s₃²)s₁³s₂+2c₂c₃(1-s₃²)s₁³s₂+2c₁c₂c₃(1-s₃²)s₁³s₂-c₁c₂(1-s₂²)c₃(1-s₃²)s₁³s₂-c₂s₁²s₂²+2c₁c₂s₁²s₂²-2c₁(1-s₁²)c₂s₁²s₂²-c₃s₁²s₂²-2c₁c₃s₁²s₂²-c₁c₂c₃s₁²s₂²+c₃(1-s₃²)s₁²s₂²+2c₁c₃(1-s₃²)s₁²s₂²-c₂c₃(1-s₃²)s₁²s₂²+3c₁c₂c₃(1-s₃²)s₁²s₂²-2c₁(1-s₁²)c₂c₃(1-s₃²)s₁²s₂²-2c₁c₂s₁⁴s₂²-2c₁c₂c₃(1-s₃²)s₁⁴s₂²+2c₁s₁s₂³-2c₁(1-s₁²)s₁s₂³-c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂³-c₃s₁s₂³+c₃(1-s₃²)s₁s₂³+2c₁c₃(1-s₃²)s₁s₂³-2c₁(1-s₁²)c₃(1-s₃²)s₁s₂³-c₁(1-s₁²)c₂c₃(1-s₃²)s₁s₂³-2c₁s₁³s₂³-c₁c₂s₁³s₂³+2c₃s₁³s₂³-2c₃(1-s₃²)s₁³s₂³-2c₁c₃(1-s₃²)s₁³s₂³-c₁c₂c₃(1-s₃²)s₁³s₂³-c₁s₁s₃+c₁(1-s₁²)s₁s₃+c₁c₂s₁s₃-2c₁c₂(1-s₂²)s₁s₃+c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁s₃-c₁c₃s₁s₃+c₁(1-s₁²)c₃s₁s₃+c₁c₂c₃s₁s₃-2c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁s₃+c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)c₃s₁s₃+c₁s₁³s₃+c₁c₂(1-s₂²)s₁³s₃+c₁c₃s₁³s₃+c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁³s₃+4c₁s₁²s₂s₃-4c₁(1-s₁²)s₁²s₂s₃-c₂s₁²s₂s₃+2c₁c₂s₁²s₂s₃+c₂(1-s₂²)s₁²s₂s₃-2c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁²s₂s₃+2c₁c₃s₁²s₂s₃-2c₁(1-s₁²)c₃s₁²s₂s₃-c₂c₃s₁²s₂s₃+c₂(1-s₂²)c₃s₁²s₂s₃-4c₁s₁⁴s₂s₃-2c₁c₂(1-s₂²)s₁⁴s₂s₃-2c₁c₃s₁⁴s₂s₃+3c₁s₁s₂²s₃-3c₁(1-s₁²)s₁s₂²s₃+2c₁c₂s₁s₂²s₃-3c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂²s₃+3c₁c₃s₁s₂²s₃-3c₁(1-s₁²)c₃s₁s₂²s₃+2c₁c₂c₃s₁s₂²s₃-3c₁(1-s₁²)c₂c₃s₁s₂²s₃-3c₁s₁³s₂²s₃-3c₁c₂s₁³s₂²s₃-3c₁c₃s₁³s₂²s₃-3c₁c₂c₃s₁³s₂²s₃-6c₁s₁²s₂³s₃+6c₁(1-s₁²)s₁²s₂³s₃+c₂s₁²s₂³s₃-2c₁(1-s₁²)c₂s₁²s₂³s₃-4c₁c₃s₁²s₂³s₃+4c₁(1-s₁²)c₃s₁²s₂³s₃+c₂c₃s₁²s₂³s₃+6c₁s₁⁴s₂³s₃-2c₁c₂s₁⁴s₂³s₃+4c₁c₃s₁⁴s₂³s₃-c₂s₁²s₃²+c₂(1-s₂²)s₁²s₃²-c₃s₁²s₃²+c₁c₃s₁²s₃²-2c₁(1-s₁²)c₃s₁²s₃²-c₂(1-s₂²)c₃s₁²s₃²+c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁²s₃²-2c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)c₃s₁²s₃²-2c₁c₃s₁⁴s₃²-2c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁⁴s₃²+3c₁s₁s₂s₃²-3c₁(1-s₁²)s₁s₂s₃²+3c₁c₂s₁s₂s₃²-4c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂s₃²+c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁s₂s₃²-c₃s₁s₂s₃²+2c₁c₃s₁s₂s₃²-3c₁(1-s₁²)c₃s₁s₂s₃²+c₂c₃s₁s₂s₃²+2c₁c₂c₃s₁s₂s₃²-2c₁(1-s₁²)c₂c₃s₁s₂s₃²-2c₂(1-s₂²)c₃s₁s₂s₃²-c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)c₃s₁s₂s₃²-3c₁s₁³s₂s₃²-4c₁c₂s₁³s₂s₃²+c₁c₂(1-s₂²)s₁³s₂s₃²+2c₃s₁³s₂s₃²-3c₁c₃s₁³s₂s₃²-2c₂c₃s₁³s₂s₃²-2c₁c₂c₃s₁³s₂s₃²+4c₂(1-s₂²)c₃s₁³s₂s₃²-c₁c₂(1-s₂²)c₃s₁³s₂s₃²+c₂s₁²s₂²s₃²-4c₁c₂s₁²s₂²s₃²+4c₁(1-s₁²)c₂s₁²s₂²s₃²+c₃s₁²s₂²s₃²-2c₁c₃s₁²s₂²s₃²+4c₁(1-s₁²)c₃s₁²s₂²s₃²-c₂c₃s₁²s₂²s₃²-3c₁c₂c₃s₁²s₂²s₃²+4c₁(1-s₁²)c₂c₃s₁²s₂²s₃²+4c₁c₂s₁⁴s₂²s₃²+4c₁c₃s₁⁴s₂²s₃²+4c₁c₂c₃s₁⁴s₂²s₃²-4c₁s₁s₂³s₃²+4c₁(1-s₁²)s₁s₂³s₃²+c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂³s₃²+c₃s₁s₂³s₃²-2c₁c₃s₁s₂³s₃²+2c₁(1-s₁²)c₃s₁s₂³s₃²-2c₂c₃s₁s₂³s₃²-c₁(1-s₁²)c₂c₃s₁s₂³s₃²+4c₁s₁³s₂³s₃²+c₁c₂s₁³s₂³s₃²-2c₃s₁³s₂³s₃²+2c₁c₃s₁³s₂³s₃²+4c₂c₃s₁³s₂³s₃²-c₁c₂c₃s₁³s₂³s₃²+2c₁s₁s₃³-2c₁(1-s₁²)s₁s₃³+2c₁c₂(1-s₂²)s₁s₃³-2c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁s₃³-2c₁s₁³s₃³-2c₁c₂(1-s₂²)s₁³s₃³-6c₁s₁²s₂s₃³+6c₁(1-s₁²)s₁²s₂s₃³-4c₁c₂s₁²s₂s₃³+4c₁(1-s₁²)c₂(1-s₂²)s₁²s₂s₃³+6c₁s₁⁴s₂s₃³+4c₁c₂(1-s₂²)s₁⁴s₂s₃³-4c₁s₁s₂²s₃³+4c₁(1-s₁²)s₁s₂²s₃³-2c₁c₂s₁s₂²s₃³+2c₁(1-s₁²)c₂s₁s₂²s₃³+4c₁s₁³s₂²s₃³+2c₁c₂s₁³s₂²s₃³+8c₁s₁²s₂³s₃³-8c₁(1-s₁²)s₁²s₂³s₃³+4c₁(1-s₁²)c₂s₁²s₂³s₃³-8c₁s₁⁴s₂³s₃³+4c₁c₂s₁⁴s₂³s₃³=0

ＮＯ７「Toru」　　 8/23: 18時20分受信 更新8/29更新　ＮＯ１に

ＮＯ８「H7K」 8/26: 19時49分受信 更新8/29更新
ベクトルで解いてみました．外積を使うので，念のため定義を最初に．あと，ベクトルは小文字のボールドで表す流儀ですが，ここではそれはできませんから，
大文字で書いておきます．（位置ベクトルと頂点の記号を同じ文字で表すので，余計混乱するけど）あと，ABベクトルとかは，A~Bと書くことにします．

def(外積)　A×B:=|A||B|sinθ (θ:AからBへ反時計回りを正としてはかった角．以後，A×BをA*Bと書く）
この定義から，直ちに，A*(nA)=0, A*B=-(B*A), n(A*B)=(nA)*B=A*(nB). (n∈R)
また，A*BはA,Bの作る平行四辺形の面積であることや，(A+B)*C=A*C+B*Cもわかる．

点A,B,C,Dがこの順で反時計回りにあるとしてよい．
□ABCDは円に内接するので，その円の中心をOとおけば，
�儖AB+�儖CD = �儖BC+�儖DA.
両辺を2倍，さらにベクトルを用いた表現にすると，これは次のようになる：
O~B*O~C+O~D*O~A = O~A*O~B+O~C*O~D ……(*).
線分ACと線分BDの交点を点Xとする．なお，Xの存在は□ABCDは円に内接することより保証される．
以後，位置ベクトルはすべて点Xを基準とする．
X=AC∩BDより，ある実数c,dを用いて，C=cA, D=dBと書ける．
さらに，AとBは線形独立であるはずなので，ある実数p,qを用いて，O=pA+qBと一通りに書き表せる．
さて，
(*) ⇔ {pA+(q-1)B}*{(p-c)A+qB}+{pA+(q-d)B}*{(p-1)A+qB}
　      = {(p-1)A+qB}*{pA+(q-1)B}+{(p-c)A+qB}*{pA+(q-d)B}
⇔ {(q-1)(p-c)+(q-d)(p-1)-2pq}B*A+{2pq-(p-1)(q-1)-(p-c)(q-d)} A*B = 0
⇔ (p+q-1+cq+pd-cd+p+cq-c+q+dp-d) A*B = 0
⇔ A*B=0 ∨ 2(p+q+pd+cq)=1+cd+c+d
⇔ A*B=0 ∨ q(1+c)/2+p(1+d)/2={(1+c)/2}{(1+d)/2} ……(**).
一方，
点P,Q,Oが一直線上 ⇔ P~O*Q~O=0
だが，
P~O*Q~O = (O-P)*(O-Q)
= (Q-P)*O+P*Q
= {B(1+d)/2-A(1+c)/2}*{pA+qB}+{(1+d)/2}{(1+c)/2}A*B
= A*B[{(1+d)/2}{(1+c)/2}-q(1+c)/2-p(1+d)/2]
より，
点P,Q,Oが一直線上
⇔ A*B=0 ∨ q(1+c)/2+p(1+d)/2={(1+c)/2}{(1+d)/2}
⇔ (**)
であるので，点P,Q,Oは一直線上にある．//

ＮＯ９「H7K」 8/27: 19時19分受信 更新8/29更新
αの複素共役を_αと書くことにする．

A,B,C,Dはこの順に反時計回りにあるものとし，□ABCDがOを中心とする円に外接しているとする．
点Aの表す複素数をα，以下，B(β), C(γ), D(δ)とする．

Lemma 1  複素平面上の点A(α), B(β) (A,Bはこの順に反時計回りとする)について，△OAB=(_αβ-α_β)/(4i).
△OAB = (O~A*O~B)/2=(Reα*Imβ-Imα*Reβ)/2 = {(α+_α)(β-_β)-(α-_α)(β+_β)}/(8i)
= (_αβ-α_β)/(4i). //

さて，□ABCDはOを中心とする円に外接しているので，
△OAB+△OCD = △OBC+△ODA.
Lemma 1より，
△OAB+△OCD = △OBC+△ODA
⇔ _αβ-α_β+_γδ-γ_δ = _βγ-β_γ+_δα-δ_α
⇔ _αβ+β_γ+_γδ+δ_α = α_β+_βγ+γ_δ+_δα
⇔ (β+δ)(_α+_γ) = (_β+_δ)(α+γ)
⇔ (β+δ)(_α+_γ) ∈ R. ……(*)
一方，
ACの中点P，BDの中点Q，それとOが一直線上にある
⇔ ∃n∈{0,1}; arg((α+γ)/2) = arg((β+δ)/2) + nπ
⇔ ∃n∈{0,1}; arg(α+γ) = -arg(_β+_δ) + nπ
⇔ ∃n∈{0,1}; arg((α+γ)(_β+_δ)) = nπ
⇔ arg((α+γ)(_β+_δ)) ∈ R.
であるので，(*)から，ACの中点P，BDの中点Q，それとOが一直線上にある．//

もうひとつの方の「ニュートンの定理」も示しましたが，それは後で．

ＮＯ１０「H7K」 8/28: 12時19分受信 更新8/29更新

　

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