平成１６年１０月１０日
[流れ星]
第１４４回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：９月１９日〜１０月１０日＞
［３本のくじ］
太郎さんは、ＮＨＫ人間講座「数学の愛しかた」ピーター・フランクルを聴いています。その中のテキストにこんな問題があります。「ロトくじには、１から90までの数字が順に並んでいます。この中から隣り合う数字がないように５個の数字を選ぶ選び方な何通りあるでしょう。つまり選んだ数字に差が１にならないようにします。」
さて、この問題の解答を観ていて、次の問題を思いつきました。
「ｎ個の整数１，２，３，・・・、ｎが書いてあるくじがあります。この中から３本のくじを引くとき、次のようなくじの引く方は何通りあるか。（ただし、ｎ≧７とする）
問題１： ３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も０以上となる場合。
この場合は、くじを１本引いたあと、このくじを元に戻してください。
問題２：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も１以上となる場合。
問題３：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も２以上となる場合。
問題４：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も３以上となる場合。
さて、「浜田明巳」さんから、送られてきた問題文です。（９月28日記入）
ｎ個の整数１、２、３、・・・、ｎが書いてあるくじがそれぞれ沢山あり、区別がつかないとします。
この中から同時に３本のくじを引くとき、次のようなくじの引き方は何通りありますか。ただし、ｎ≧７とします。
問題５：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も０以上となる場合。
問題６：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も１以上となる場合。
問題７：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も２以上となる場合。
問題８：３本のくじに書いてある数字のうち、どの２つの数の差も３以上となる場合。
NO1「Toru」 9/21: 16時33分受信 更新10/10
第１４４回解答を送ります。
問題１ n個から３個選ぶ重複組み合わせで
nＨ3=n+3-1Ｃ3=(n+2)(n+1)n/6
以下と同様に考えるには1〜(n+2)の(n+2)個から３個選びa<b<cとしてこれに、a,b-1,c-2を対応させればこの組み合わせと1:1の対応となり、
n+2Ｃ3=(n+2)(n+1)n/6
問題２ n個から３個選ぶ組み合わせ nＣ3=n(n-1)(n-2)/6
問題３ 1〜(n-2)の(n-2)個から３個選びa<b<cとして、これにa,b+1,c+2を対応させれば題意の組み合わせと1:1の対応となるから
n-2Ｃ3=(n-2)(n-3)(n-4)/6
問題４ 1?n-4)の(n-4)から３個を選びa<b<cとして、これにa,b+2,c+4を対応させれば題意の組み合わせと1:1の対応となるから
n-4Ｃ3=(n-4)(n-5)(n-6)/6
ロトくじの問題も同様に考えれば１から８６から５つえらんでa<b<c<d<eとしてこれをa,b+1,c+2,d+3,e+4とすると考えれば、86Ｃ5=34,826,302
NO2「H7K」 9/21: 17時35分受信 更新10/10
1. n^3通り
2. これは，n個のものから3つ選ぶ順列となるので，n(n-1)(n-2)通り．
3. k,k+1をともに引いてはいけない．ともに引いてしまった場合を考える．
・k=1 or n-1のとき．それぞれについて，6*(n-3)通り．
・その他．それぞれについて，6*(n-4)通り．
・k,k+1,k+2とひいたとき：6*(n-2)
よって，n*(n-1)*(n-2)-12*(n-3)-6*(n-3)*(n-4)=(n-2)(n-3)(n-4).
4：(n-4)(n-5)(n-6)と推測される． 3.,4.とも帰納法で解けるはずだが，詳細は次に回す．
NO3「kiyo」 9/22: 07時00分受信 更新10/10
いつもお世話になっています。（kiyo）です。
問題１ N^3通り。
問題２ C(n,3)通り。
問題３ C(n-2,3)通り。
問題４ C(n-4,3)通り。
NO４「kashiwagi」9/24:
08時02分受信 更新10/10
144回
解答
問１． どの数字を選んでも良いのでｎ×ｎ×ｎ＝ｎ３
問２． ｎ個の中から３個選ぶ組み合わせなのでｎC３＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）/６
問３． 例えば１−３−５、１−３−６、・・・は（ｎ−４）個、１−４−６，１−４−７、・・・は（ｎ−５）個、
２−４−６、２−４−７、・・・は（ｎ−５）個、２−５−７（ｎ−６）個、・・・と言うように選べばよいのでこれらのΣ計算をして、
求めるものは（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）/６
問４．問３と同様に考えると、１−４−７、１−４−８、・・・と言うように問３より
2個づつ少なくなることが分かる。 因って、求めるものは（ｎ−４）（ｎ−５）（ｎ−６）/６
NO５「Jun」 9/23: 23時31分受信 更新10/10
第１４４回応募問題についてです。
問題１ これは必ず成立するから確率は１、場合の数は、n^3
問題２ こちらは一端引いたくじは元に戻さないと考えると、 _n C _3=n(n-1)(n-2)/6
問題３ _n-2 C _3
問題４ _n-4 C _3
NO６「浜田明巳」9/25: 14時25分受信 更新10/10
ここをクリック下さい。「解答」です。
NO７「三角定規」9/26: 13時09分受信 更新10/10
ご無沙汰しておりました。５月に「137回格子点の数」を応募した以来ですから，実に４ヶ月になってしまいました。
実は，「138回相加・相乗平均」は下書き段階ではできたと思っていたのですが，ワープロ清書中に思い込みによる論理ミスを発見し，それを克服できずに応募を断念しました。解答を拝見し，ご常連中川幸一さんの鮮やかな解に感動したりしておりました。
その後ですが，応募したかったのですが，解けなかったのです。
前々回「ニュートンの定理」は夏休み中でもあり，初等幾何・座標計算両方で戦いを挑んだのですが，残念ながら敵を攻め落とすことができませんでした。
これまた，初等幾何を用いた kashiwagi さんの解に感動いたしました。
今回，ようやく解くことができました。応募できることがとても嬉しく思います。
ところで， 9/25 の日記を拝見してしまいました。私も「順列」で考えていたのですが，解答を「組み合わせ」での解に修正しました。
考えて面白くするために，問題の状況に現実味をもたせると，思わぬ副産物をも抱え込んでしまうことはよくあるものです。私も，そんなことがしょっちゅうあります。
NO８「浜田明巳」9/28: 14時06分受信 更新10/10
ここをクリック下さい。「解答」です。
NO９「中川幸一」9/29: 17時54分受信 更新10/10
最後に一般化の解答を載せておきましたが, 考え方は省略します。
私の語彙不足なのかなかなか文字として説明するのが難しかったもので…。ですが,
問題 2〜4 を解いた後に自分で +α の問題を解けばこの式の意味が理解できると思っています。
NO１０「H7K」 9/29: 22時43分受信 更新10/10
最初の問題文を組合せで考えた場合(各番号のくじは1つずつしかない，と考える)
1. nH3=(n+2)C3=(n+2)(n+1)n/6.
2. nC3=n(n-1)(n-2)/6 [通り]．以下単位省略
3. 選んだ数を小さい順からa,b,cとする．
・a+1=bのとき：(n-1)(n-2)/2.
・b+1=cのとき：同じ
・a+2=b+1=cのとき：n-2通り
であるから，n(n-1)(n-2)/6-(n-1)(n-2)+(n-2)=(n-2)(n-3)(n-4)/6.
4. 3.の状況のもとで
a+2=bのとき：(n-3)(n-4)/2.
b+2=cのとき：同じ
a+4=b+2=cのとき：n-4通り
であるから，(n-2)(n-3)(n-4)/6-(n-3)(n-4)+(n-4)=(n-4)(n-5)(n-6)/6.
(5.)以下同様に，どの2つの数の差もm以上になる場合は(n-2m+2)(n-2m+1)(n-2m)/6通りになると推測できる．証明は帰納法による．
NO１１「BossF
」10/02: 17時19分受信 更新10/10
おひさしぶり、BossF です。
問題1〜4は籤がｎ枚、問題5〜8は籤が充分に沢山あるとして解きます。
[問題1]および[問題5]
ｎ個の数から重複を許して3個選ぶのに対応 nＨ3=n-2Ｃ3 通り…答
[問題2]および[問題6]
ｎ枚の籤から異なる3個選ぶのに対応されるから共に nＣ3 通り…答
[問題3]および[問題7]
2〜ｎ-1 の ｎ-2個の数から異なる3個（小、中、大）を選び小−１、中、大+１なる３数を作れば、これが、題意の場合に対応するから n-2Ｃ3 通り…答
[問題4]および[問題8]
3と同様に 3〜n-2 の ｎ-4個の数から異なる3個を選べばいいから n-4Ｃ3 通り…答
人間講座…知ったのが遅く、見ていません（TT)
ピーターさんのお話、一回東京出版のセミナーで聞きましたが、面白いですよね。（その会場で出された問題、中島さちこさんなんかはすらすら解いていました。
