平成１６年１２月１２日

[流れ星]

　　　　　第１４７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１１月２１日～１２月１２日＞
［自然数の和］

＜今回は、2002年の大阪教育大学の入試問題です。＞
　自然数ｎをそれより小さい自然数の和として表すことを考える。
ただし、１＋２＋１と１＋１＋２のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。
　例えば、自然数２は１＋１の１通りの表し方ができ、自然数３は、２＋１．１＋２，１＋１＋１の３通りの表し方ができる。

問題１：自然数４の表し方は何通りあるか。
問題２：自然数５の表し方は何通りあるか。
問題３：２以上の自然数ｎの表し方は何通りあるか。
　　　　　
NO1「H7K」     11/21: 19時31分受信 更新12/12

1.
4 = 1+3 = 3+1 = 2+2
  = 1+1+2 = 1+2+1 = 2+1+1
  = 1+1+1+1
より7通り．

2.
5 = 1+4 = 2+3 = 3+2 = 4+1
  = 1+1+3 = 1+3+1 = 3+1+1
  = 1+2+2 = 2+1+2 = 2+2+1
  = 1+1+1+2 = 1+1+2+1 = 1+2+1+1 = 2+1+1+1
  = 1+1+1+1+1
より，15通り．

3.
順序が異なるものは別の表し方とするのだから，
nの表し方の数は，n-1通りの中に|か-を入れる(重複を許して)順列，但し----...-とはならない，となる．
(|--|....-というように，|と-が計n-1こあるとき，
それとnの表し方 ( (最初の|までにあった-の数)+1 , (次の|までにあった-の数)+1 , ... )が対応するから．)
よって，求める数は2^(n-1)-1.

NO2「ヘルズバニー」11/22: 01時29分受信 更新12/12

第１４７回数学的な応募問題に投稿します。初めての投稿です。ハンドルネームはヘルズバニーでお願いいたします。
解答はjpg形式にいたしました。



NO3「toru」    11/22: 07時20分受信 更新12/12

第１４７回「自然数の和」の解答を送ります。今回は少しやさしめで、ひと休みといった感じでしょうか。　

問題１　
3+1,2+2,1+3,2+1+1,1+2+1,1+1+2,1+1+1+1の７通り－－答え

問題２
4+1,3+2,2+3,4+1,3+1+1,1+3+1,1+1+3,2+2+1,2+1+2,1+2+2,2+1+1+1,1+2+1+1,1+1+2+1,
1+1+1+2,1+1+1+1+1 の１５通り－－答え

問題３
n個のボールと左右に並べ（n―１）個あるすき間に＋を入れるか入れないか、と考えれば、2^(n-1) 、
一つも入れない場合を除いて、2^(n-1)-1通り－－答え

NO4「kashiwagi 11/22: 07時55分受信 更新12/12

147回 解答

 

問１．

自然数 ３の場合を基に変形していくと、

２＋１＋１

１＋２＋１

１＋１＋２

１＋１＋１＋１　となる、これに２のみと３と１の和を加え、

２＋２

３＋１

１＋３　　　因ってもとめるものは７通りである。

 

問２．

上記４の場合を基に変形し、更に４と１の和と２と３の和を加え、１５通りとなる。

 

問３．

自然数２～５の場合を表にしてみると、

ｎ

表し方

備考

２

１

２－１

３

３

２２－１

４

７

２３－１

５

１５

２４－１

となる。備考の考察より、求めるものは　　

　２n-1－１ となる。

正式には表し方の差をとると、２、４、８・・・と２の階乗で増えていくことが分かる。即ち階差数列が２ｎ-1である。
これより数列を計算すると２n-1－１となる。

 NO5「匿名希望」11/22: 13時53分受信 更新12/12
第１４７回数学的な応募問題に投稿します。
匿名希望です。 新しい解答ができましたので、png形式で送信いたします。

 NO6「kasama」　11/29: 14時45分受信 更新12/12

【一般化】

『自然数nをそれより小さい自然数の和として表す』とは、例えば、n個のみかんをn人より少ない人に分配することと同じと考えられます。ただし、誰もが少なくとも1個はもらえるものとします。n個の○の間に、仕切り｜を入れていると考えるとイメージし易いです。
　○○｜○・・・｜○
仕切りの個数kは1≦k≦n-1なので、そのケース数は
　Σn-1Ck
ですが、二項定理を用いて、
　上式=n-1C0+n-1C1+n-1C2+n-1C3+･･･ +n-1Cn-1-1=(1+1)n-1-1=2n-1-1
と表現することができます。

【問題１～３】

n=4の場合、24-1-1=7通り
n=5の場合、25-1-1=15通り
n≧2の場合、2n-1-1通り

【その他】

pari/gpで簡単なプログラム(補足参照)を作成して実際に自然数を分割してみました。
①n=4の場合
(00:11) gp > dai147(4)
1+1+1+1
1+1+2
･･･中略・・・
3+1
7通りです。
②n=5の場合
(00:11) gp > dai147(5)
1+1+1+1+1
1+1+1+2
･･･中略・・・
4+1
15通りです。

【補足】

dai147(n)=
{
    local(count);
    dividNumber(n, 0, 1, vector(n));
    print(count,"通りです。");
}
dividNumber(n, total, i, numbers)=
{
    local(j);
    if (total >= n,
        print1(numbers[1]); for (j = 2, i-1, print1("+", numbers[j])); print();
        count++;
        return;
    );
    for (j = 1, n-1,
        if (total+j > n, break);
        numbers[i] = j;
        dividNumber(n, total+j, i+1, numbers);
    );
}

NO7「cbc」　　 12/02: 23時45分受信 更新12/12

(3)だけでよろしいでしょうか。

aのb乗をa^bで表すことにします。

 

○をｎ個その間にｖをｎ-1個並べておく

○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ○ｖ・・・・・・ｖ○ｖ○

ｎ-１個のｖに+を何個か入れて（もちろん１このＶには高々１個）

+と+にはさまれた○の個数を数字におきかえればよい。

入れる+の個数で場合わけすると

ｎ-1Ｃ1+n-1C2+・・・・・+n-1Cn-1

=(1+1)^(n-1)-1

=2^(n-1 )-1

 

 NO8 「Iga」　　 12/04: 01時40分受信 更新12/12

お久しぶりです、Ｉｇａです。今回のは以前に同様の問題を考えたことがあるので、思い出しながら解答しました。
問題１：自然数４の表し方は何通りあるか。
自然数４を「１１１１」と表して、１と１の間に＋を入れるか入れないかを考えます。
＋が入っていないところは合計して１つの数として考えます。すると
　１　１　１　１＝４
  １＋１　１　１＝１＋３
  １　１＋１　１＝２＋２
　１＋１＋１　１＝１＋１＋２
　１　１　１＋１＝３＋１
　１＋１　１＋１＝１＋２＋１
　１　１＋１＋１＝２＋１＋１
　１＋１＋１＋１＝１＋１＋１＋１
４つの１の間は３カ所で、そこに＋を入れるか入れないかの場合の数は２＾３
１個も＋を入れない場合は元の自然数４なので除外すると、自然数４の表し方は　２＾３－１＝７通り

問題２：自然数５の表し方は何通りあるか。
同様に考えると、自然数５を「１１１１１」と表せば、間は４カ所、＋を入れるか入れないかの場合の数は２＾４で、
＋を１個も入れない場合を除くと自然数５の表し方は、　２＾４－１＝１５通り

問題３：２以上の自然数ｎの表し方は何通りあるか。
同様に考えて、自然数ｎをｎ個の１で表せば、間は(ｎ－１)カ所、＋を入れるか入れないかの場合の数は２＾(ｎ－１)で、
＋を１個も入れない場合を除くと自然数ｎの表し方は、｛２＾(ｎ－１)－１｝通り

自然数３の場合の１＋２と２＋１を、自然数４の場合の１＋１＋２と１＋２＋１と２＋１＋１を同じものと見て（つまり組み
合わせで）考えたとき、複雑になって手こずった記憶があるのですが、そのときの記録が今手元にありません。最終的にあっ
さりでたかもしれないのですが…。

またできそうだったら挑戦します。これからもよろしくお願いします。

NO9 「K9」　　 12/05: 00時19分受信 更新12/12
自然数ｎの表し方をｆｎとする。
（１）ｆ４について
４の分割の最初の数で分類すると、
１となるものは、１＋３か、後の３を分割したものだから、１＋ｆ３通り。
２となるものは、２＋２か、後の２を分割したものだから、１＋ｆ２通り。
３となるものは、３＋１の１とおり。
ｆ４＝（４－１）＋ｆ３＋ｆ２
ｆ２＝１、ｆ３＝３だから、全部で７通り。
（２）ｆ５について
（１）と同様に考えると、
ｆ５＝４＋ｆ４＋ｆ３＋ｆ２＝１５
（３）ｆｎについて
ｆｎ＝ｎ－１＋ｆ(ｎ－１)＋ｆ(ｎ－２)・・・＋ｆ２
ｆ(ｎ－１)＝ｎ－２＋ｆ(ｎ－２)＋・・・＋ｆ２
上から下をひくと、
ｆｎ－ｆ(ｎ－１)＝１＋ｆ(ｎ－１)
ｆｎ＝１＋２ｆ(ｎ－１)
ｆｎ＋１＝２（ｆ(ｎ－１)＋１）
ｆｎ＝２＾（ｎ－２）＊（ｆ２＋１）－１
　　＝２＾（ｎ－１）－１

いかにうまく分類して、より小さい数の場合を活用できるようにするかということでしょうね。
最初、分割の項数で分類しましたが、これでは小さい数の場合を活用しにくいと分かり、解答のようにしました。

 

NO１０ 「ＢｏｓｓＦ」　　 12/05: 00時19分受信 更新12/12
ごぶさたしてます、早いものでもう師走ですね

 

 [解] n の表し方は、n個の物の間に仕切りを入れるのに対応するから

 

2n-1-1 通り…(3)の答

 

∴(1) 24-1-1=7通り　(2)25-1-1=15通り

NO１１ 「中川幸一」　　 12/12: 18時07分受信 更新12/12

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