平成１７年１月３日
[流れ星]
第１４８回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１２月１２日～１月３日＞
［２００５作り］
皆さんから、この１年間ご愛顧賜り誠にありがとうございます。感謝申しあげます。来年は西暦２００５年です。
因数分解をすると、５×４０１になります。そこで、２００５に関する問題を考えました。
問題１：１，２，３，４，５，６，７，８，９という数字に間に四則演算記号の＋、－、×、÷、さらに（ ）、
または数字に間に演算記号を入れなくても良い。すなわち二桁とか、三桁として使用して、
計算式を作り結果が２００５になるようにつくってください。＜いわゆる『小町算』と呼ばれるもの＞
問題２：４という数字を４つ使って、２００５になるようにつくってください。＜いわるる Four Fourth 問題＞
可能な記号としては、平方根の√ 、階乗の！ 、小数点の「 ．」例えば０.４＝.４ 、０..４＝..４、
循環小数記号の「′」０．４４４・・・＝．４′ があります。
問題３：連続する幾つかの自然数の和が２００５になるようにつくってください。
問題４：数列１，３，６，10 ，・・・，n(n+1)／２ を三角数といいます。
そこで、３個の三角数の和で２００５になるようにつくってください。
問題５：数列０，１，４，９，16 ，・・・，ｎ×ｎ（ｎは整数） を四角数といいます。
そこで、４個の四角数の和（同じ四角数を何度用いても良い）で２００５になるようにつくってください。
注１：フランス人ピエール・ド・フェルマーはディファントスが書いた『算術』の余白に問題４，問題５に関しての記述をしている。
注２：太郎さんには、未だ解決していない問いもあり、問題１は不可能なこともありえます。
NO1「杉岡幹生」12/17: 16時25分受信 更新1/3
さて、２００５の問題を１つだけですが、送らせて頂きます。
問題３です。三つ見つけました。
1002+1003＝2005
399+400+401+402+403＝2005
196+197+198+199+200+201+202+203+204+205＝2005
以上です。
方法ですが、一例で示させてもらいますと２番目のものでは、項が５つありますから、
n+1+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)＝2005
よって、5n＝1990
よってこの場合はn＝398（整数！）となるので求まることになります。他の二つも同様に行いました。
しかし、当然他にもあると思いますが、全部を一挙に求める方法は思いつきません。とりあえず、ここで止めておきました。
他の方々の解答をたのしみにしています。
ところで、問題１の小町算、こんなの検討もつきません。可能なのか不可能なのか皆目見当がつきません。あるんですかね？（笑）
NO2「kasama」 12/17: 17時29分受信 更新1/3
いつも楽しい問題を出題して頂きありがとうございます。
2005年に関わる問題をみると、年の終わりを実感しますね。
さて、定番の小町算ですが、昨年作ったプログラムがあったので、動かしてみました。が、どうも2005年は答えがない？ようです。
で、カッコ()も含めて探せるようにプログラムを修正してやってみました。20～30分かかりましたが、添付ファイルの通り11個ありました。
【問題１】
通常の小町算はカッコ()を使用していはいけないと聞いているので答えはありません。しかし、その制約をなければ、プログラムで調べた結果、以下の11通りありました。
1-2*(3*(4-5-6*7*8)+9)
1+2*(3+4*5)*6*7+8*9
1+((2+3)*4+5/6+7)*8*9
1+2*3+(4+5*6*7+8)*9
(1-2*3)*(4-5*(6*(7+8)-9))
(1-2*3)*(4+5*(6-7-8)*9)
(1-2*3)*(4+(5-6*7-8)*9)
(1-2*3)*(4+(5+6-7*8)*9)
(1-2*3)*(4-(5*6+7+8)*9)
(1-2*3)*((4-5-6)*7*8-9)
1+(2/3+4+5*6*7+8)*9
※プログラムのステップが大きいので掲載しません。
【問題２】
例えば、4/√(0.000004)+√(4)/0.4です。他にもあると思いますが、見つけたらお知らせします。
【問題３】
プログラム(補足参照)で探しました。以下の3区間でした。
(14:32) gp > Mondai3()
[196,205]
[399,403]
[1002,1003]
(14:32) gp >
【問題４】
プログラム(補足参照)で探しました。以下の14組でした。
(14:33) gp > Mondai4(3)
{1,351,1653}
{3,406,1596}
{21,903,1081}
･･･中略･･･
{595,630,780}
(14:33) gp >
【問題５】
プログラム(補足参照)で探しました。以下の55組でした。
(14:34) gp > Mondai5(4)
{1,4,64,1936}
{1,4,400,1600}
{1,64,784,1156}
･･･中略･･･
{400,400,529,676}
(14:34) gp >
【補足】
・問題３のプログラム
Mondai3()=
{
local (m,n,d);
for (m = 1, 2005,
for (n = m+1, 2005,
d =
(n*(n+1)-m*(m-1))/2;
if (d >= 2005,
if
(d == 2005, print("[",m,",",n,"]"));
break;
);
);
);
}
・問題４のプログラム
Mondai4(n)=
{
trigNumber(n, 0, 1, 0, vector(n));
}
trigNumber(n, i, p, S,
numbers)=
{
local(a,k);
if (i >= n,
if (S == 2005,print1("{",numbers[1]);for
(k = 2, n,print1(",",numbers[k]));print("}"););
return;
);
for (k = p, 63,
a = k*(k+1)/2;
if (S+a >
2005, break);
numbers[i+1] = a;
trigNumber(n,
i+1, k+1, S+a, numbers);
)
}
・問題５のプログラム
Mondai5(n)=
{
squreNumber(n, 0, 1, 0,
vector(n));
}
squreNumber(n, i, p, S,
numbers)=
{
local(a,k);
if (i >= n,
if (S ==
2005,print1("{",numbers[1]);for (k = 2,
n,print1(",",numbers[k]));print("}"););
return;
);
for (k = p, 45,
a = k*k;
if (S+a >
2005, break);
numbers[i+1] = a;
squreNumber(n,
i+1, k, S+a, numbers);
)
問題３～５は対象とする数が2005までなので、全件数字を走査しても現実的な時間内に完了するので、プログラムにやらせました。
NO3「cbc」 12/17: 23時50分受信 更新1/3
ｃｂｃです
問3
最小数をa項数をｂとおくと、等差数列の和の公式から
b(2a+b-1)/2=2005
∴b(2a+b-1)=2・5・401
401は20以下の素数で割り切れないから素数である
a,bは自然数より
2a+b-1>b
よって
(b,2a+b-1)=(1,4010),(2,2005),(5,802),(10,401)
∴(a,b)=(2005,1),(1002,2),(399,5),(196,10)
よって
196～ 205
399～ 403
1002～ 1003
2005
以下ＶＢで求めてみました。
Sub 問3()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim s As Integer
For i = 1 To 2005
s = 0
For j = i To 2005
s = s + j
If s = 2005 Then
Debug.Print i & "～ " & j
GoTo skip
End If
If s > 2005 Then
GoTo skip
End If
Next j
skip:
Next i
End Sub
【実行結果】
196～ 205
399～ 403
1002～ 1003
2005
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Sub 問4()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim c As Integer
c = 0
For i = 1 To Sqr(4000)
For j = i + 1 To Sqr(4000)
For k = j + 1 To Sqr(4000)
If i * (i + 1) + j * (j + 1) + k *
(k + 1) = 2005 * 2 Then
Debug.Print i * (i + 1) / 2 & " " & j * (j + 1) / 2
& " " & k * (k + 1) / 2
c = c + 1
End If
Next k
Next j
Next i
Debug.Print "以上"
& c & "個"
End Sub
【実行結果】
1 351 1653
3 406 1596
21 903 1081
36 78 1891
45 190 1770
55 120 1830
55 465 1485
66 561 1378
78 496 1431
136 741 1128
190 780 1035
276 351 1378
561 703 741
595 630 780
以上14個
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Sub 問5()
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim l As Integer
Dim c As Integer
c = 0
For i = 0 To Sqr(2005
/ 4)
For j = i To Sqr(2005 / 3)
For k = j To Sqr(2005
/ 2)
For l = k To Sqr(2005)
If i * i + j * j + k * k + l * l =
2005 Then
Debug.Print i * i & " " & j * j &
" " & k * k & " " & l * l
c = c + 1
End If
Next l
Next k
Next j
Next i
Debug.Print "以上"
& c & "個"
End Sub
【実行結果】
0 0 324 1681
0 0 484 1521
0 16 225 1764
0 16 900 1089
0 81 324 1600
0 81 900 1024
0 144 900 961
0 225 484 1296
0 529 576 900
1 4 64 1936
1 4 400 1600
1 64 784 1156
1 196 784 1024
4 4 841 1156
4 16 49 1936
4 16 961 1024
4 64 256 1681
4 100 676 1225
4 169 676 1156
4 196 361 1444
4 256 784 961
4 361 484 1156
4 484 676 841
9 36 196 1764
9 196 900 900
16 16 529 1444
16 49 784 1156
16 81 144 1764
16 100 289 1600
16 144 324 1521
16 256 289 1444
16 289 676 1024
16 324 576 1089
16 529 676 784
36 36 169 1764
36 144 144 1681
36 144 225 1600
36 144 529 1296
36 169 900 900
49 100 256 1600
49 256 256 1444
49 256 676 1024
49 400 400 1156
64 64 196 1681
64 196 784 961
64 256 529 1156
81 144 484 1296
81 324 576 1024
100 100 361 1444
100 196 484 1225
100 256 625 1024
144 144 196 1521
144 196 576 1089
144 324 576 961
169 196 196 1444
169 196 484 1156
169 484 676 676
196 256 529 1024
196 400 625 784
196 484 484 841
256 289 676 784
324 529 576 576
361 484 484 676
400 400 529 676
以上64個
NO4「kiyo」 12/19: 04時11分受信 更新1/3
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。プログラムで探索しました。
問題１
括弧の使用が不可欠のようです。
9分割
1+((((((2+3)*4)+(5/6))+7)*8)*9)
1+(((((2+3)*4)+(5/6))+7)*(8*9))
1+(((((2+3)*4)+((5/6)+7))*8)*9)
1+((((2+3)*4)+((5/6)+7))*(8*9))
(1+(2*3))+(((4+((5*6)*7))+8)*9)
(1+(2*3))+((4+(((5*6)*7)+8))*9)
(1+(2*3))+(((4+(5*(6*7)))+8)*9)
(1+(2*3))+((4+((5*(6*7))+8))*9)
(1-(2*3))*(((((4-5)-6)*7)*8)-9)
(1-(2*3))*((((4-5)-6)*(7*8))-9)
(1-(2*3))*((((4-(5+6))*7)*8)-9)
(1-(2*3))*(((4-(5+6))*(7*8))-9)
(1-(2*3))*(4+(((5+6)-(7*8))*9))
(1-(2*3))*(4-((((5*6)+7)+8)*9))
(1-(2*3))*(4-(((5*6)+(7+8))*9))
(1-(2*3))*(4+((5*((6-7)-8))*9))
(1-(2*3))*(4+(5*(((6-7)-8)*9)))
(1-(2*3))*(4+(((5-(6*7))-8)*9))
(1-(2*3))*(4+((5-((6*7)+8))*9))
(1-(2*3))*(4+((5*(6-(7+8)))*9))
(1-(2*3))*(4+(5*((6-(7+8))*9)))
(1-(2*3))*(4-(5*((6*(7+8))-9)))
(1-(2*3))*(4+((5+(6-(7*8)))*9))
1+((2*3)+(((4+((5*6)*7))+8)*9))
1+((2*3)+((4+(((5*6)*7)+8))*9))
1+((2*3)+(((4+(5*(6*7)))+8)*9))
1+((2*3)+((4+((5*(6*7))+8))*9))
1+(((((2/3)+4)+((5*6)*7))+8)*9)
1+((((2/3)+4)+(((5*6)*7)+8))*9)
1+(((((2/3)+4)+(5*(6*7)))+8)*9)
1+((((2/3)+4)+((5*(6*7))+8))*9)
1+((((2/3)+(4+((5*6)*7)))+8)*9)
1+(((2/3)+((4+((5*6)*7))+8))*9)
1+(((2/3)+(4+(((5*6)*7)+8)))*9)
1+((((2/3)+(4+(5*(6*7))))+8)*9)
1+(((2/3)+((4+(5*(6*7)))+8))*9)
1+(((2/3)+(4+((5*(6*7))+8)))*9)
8分割
(1-(2*3))*(4+(5*((6-78)-9)))
(1-(2*3))*(4+(5*(6-(78+9))))
(((((1+2)*3)*4)-5)*67)-(8*9)
(1+2)+((3+4)*((5*(67-8))-9))
((((1+2)*(3*4))-5)*67)-(8*9)
((((1/2)*3)-(4*(5-67)))*8)+9
((1/2)*((((3*4)*5)*67)+8))-9
((1/2)*(((3*4)*(5*67))+8))-9
(((1/2)+(((3/4)*5)*67))*8)-9
(((1/2)+((3/4)*(5*67)))*8)-9
((1/2)*(((3*(4*5))*67)+8))-9
((1/2)*((3*((4*5)*67))+8))-9
(((1/2)+((3/(4/5))*67))*8)-9
(((1/2)+(3/((4/5)/67)))*8)-9
((1/2)*((3*(4*(5*67)))+8))-9
(((1/2)+(3/(4/(5*67))))*8)-9
1+((2*3)*(4+(5*((67+8)-9))))
1+((2*3)*(4+(5*(67+(8-9)))))
(((1/(2/3))-(4*(5-67)))*8)+9
1+(2+((3+4)*((5*(67-8))-9)))
(1/(2/((((3*4)*5)*67)+8)))-9
(1/(2/(((3*4)*(5*67))+8)))-9
(1/(2/(((3*(4*5))*67)+8)))-9
(1/(2/((3*((4*5)*67))+8)))-9
1+(2*((3*((4+(5*67))-8))+9))
(1/(2/((3*(4*(5*67)))+8)))-9
1+(2*((3*(4+((5*67)-8)))+9))
1+(2*(3*(4+(5*((67+8)-9)))))
1+(2*(3*(4+(5*(67+(8-9))))))
(((1+2)*3)-4)*(((56-7)*8)+9)
(((1+2)/3)+4)*(((56-7)*8)+9)
((((1/2)-3)+(4*(56+7)))*8)+9
(((1/2)-(3-(4*(56+7))))*8)+9
(1-((2-3)*4))*(((56-7)*8)+9)
(1-((((2-3)-45)*6)*7))+(8*9)
1-(((((2-3)-45)*6)*7)-(8*9))
(1-(((2-3)-45)*(6*7)))+(8*9)
1-((((2-3)-45)*(6*7))-(8*9))
(1+((((2*3)*45)+6)*7))+(8*9)
1+(((((2*3)*45)+6)*7)+(8*9))
(1+(((2*3)+(45*6))*7))+(8*9)
1+((((2*3)+(45*6))*7)+(8*9))
(1-(((2-(3+45))*6)*7))+(8*9)
1-((((2-(3+45))*6)*7)-(8*9))
(1-((2-(3+45))*(6*7)))+(8*9)
1-(((2-(3+45))*(6*7))-(8*9))
(1+(((2*(3*45))+6)*7))+(8*9)
1+((((2*(3*45))+6)*7)+(8*9))
(1-2)+(34*(5-((6*(7-8))*9)))
(1-2)+(34*(5-((6/(7-8))*9)))
(1-2)+(34*(5-(6*((7-8)*9))))
(1-2)+(34*(5-(6/((7-8)/9))))
((((1+(2*34))*5)*6)+7)-(8*9)
((((1+(2*34))*5)*6)-(7*8))-9
(((1+(2*34))*5)*6)-((7*8)+9)
(((1+(2*34))*5)*6)+(7-(8*9))
(((1+(2*34))*(5*6))+7)-(8*9)
(((1+(2*34))*(5*6))-(7*8))-9
((1+(2*34))*(5*6))-((7*8)+9)
((1+(2*34))*(5*6))+(7-(8*9))
1+((((2*34)*5)-6)*((7+8)-9))
1+((((2*34)*5)-6)*(7+(8-9)))
1+(((2*(34*5))-6)*((7+8)-9))
1+(((2*(34*5))-6)*(7+(8-9)))
1-(2-(34*(5-((6*(7-8))*9))))
1-(2-(34*(5-((6/(7-8))*9))))
1-(2-(34*(5-(6*((7-8)*9)))))
1-(2-(34*(5-(6/((7-8)/9)))))
(1+(((23-4)*5)*((6+7)+8)))+9
1+((((23-4)*5)*((6+7)+8))+9)
(1+(((23-4)*5)*(6+(7+8))))+9
1+((((23-4)*5)*(6+(7+8)))+9)
(1+((23-4)*(5*((6+7)+8))))+9
1+(((23-4)*(5*((6+7)+8)))+9)
(1+((23-4)*(5*(6+(7+8)))))+9
1+(((23-4)*(5*(6+(7+8))))+9)
7分割
((1+((2/3)*45))*67)-(8*9)
((1+(2/(3/45)))*67)-(8*9)
(1+((((2+3)*456)*7)/8))+9
1+(((((2+3)*456)*7)/8)+9)
(1+(((2+3)*456)*(7/8)))+9
1+((((2+3)*456)*(7/8))+9)
(1+(((2+3)*(456*7))/8))+9
1+((((2+3)*(456*7))/8)+9)
(1+((2+3)*((456*7)/8)))+9
1+(((2+3)*((456*7)/8))+9)
(1+((2+3)*(456*(7/8))))+9
1+(((2+3)*(456*(7/8)))+9)
(1-2)-((34*(5-(67*8)))/9)
(1-2)-(34*((5-(67*8))/9))
((((1*2)+34)-5)*67)-(8*9)
(((1*2)+(34-5))*67)-(8*9)
(((1/2)-34)*(5-67))-(8*9)
(((1*(2+34))-5)*67)-(8*9)
((1*((2+34)-5))*67)-(8*9)
(1*(((2+34)-5)*67))-(8*9)
1*((((2+34)-5)*67)-(8*9))
((1*(2+(34-5)))*67)-(8*9)
(1*((2+(34-5))*67))-(8*9)
1*(((2+(34-5))*67)-(8*9))
1-(2+((34*(5-(67*8)))/9))
1-(2+(34*((5-(67*8))/9)))
((((12-3)*4)-5)*67)-(8*9)
((12-3)-4)*(((56-7)*8)+9)
(12-(3+4))*(((56-7)*8)+9)
((12*(((34-5)*6)-7))-8)+9
(12*(((34-5)*6)-7))-(8-9)
6分割
(((12-345)*6)-7)*(8-9)
(((12-345)*6)-7)/(8-9)
問題２
未解決。
問題３
196+・・・・・・+205=2005
399+・・・・・・+403=2005
1002+1003=2005
問題４
1) 1 351 1653
2) 3 406 1596
3) 21 903 1081
4) 36 78 1891
5) 45 190 1770
6) 55 120 1830
7) 55 465 1485
8) 66 561 1378
9) 78 496 1431
10) 136 741 1128
11) 190 780 1035
12) 276 351 1378
13) 561 703 741
14) 595 630 780
問題５
1) 0 0 324 1681
2) 0 0 484 1521
3) 0 16 225 1764
4) 0 16 900 1089
5) 0 81 324 1600
6) 0 81 900 1024
7) 0 144 900 961
8) 0 225 484 1296
9) 0 529 576 900
10) 1 4 64 1936
11) 1 4 400 1600
12) 1 64 784 1156
13) 1 196 784 1024
14) 4 4 841 1156
15) 4 16 49 1936
16) 4 16 961 1024
17) 4 64 256 1681
18) 4 100 676 1225
19) 4 169 676 1156
20) 4 196 361 1444
21) 4 256 784 961
22) 4 361 484 1156
23) 4 484 676 841
24) 9 36 196 1764
25) 9 196 900 900
26) 16 16 529 1444
27) 16 49 784 1156
28) 16 81 144 1764
29) 16 100 289 1600
30) 16 144 324 1521
31) 16 256 289 1444
32) 16 289 676 1024
33) 16 324 576 1089
34) 16 529 676 784
35) 36 36 169 1764
36) 36 144 144 1681
37) 36 144 225 1600
38) 36 144 529 1296
39) 36 169 900 900
40) 49 100 256 1600
41) 49 256 256 1444
42) 49 256 676 1024
43) 49 400 400 1156
44) 64 64 196 1681
45) 64 196 784 961
46) 64 256 529 1156
47) 81 144 484 1296
48) 81 324 576 1024
49) 100 100 361 1444
50) 100 196 484 1225
51) 100 256 625 1024
52) 144 144 196 1521
53) 144 196 576 1089
54) 144 324 576 961
55) 169 196 196 1444
56) 169 196 484 1156
57) 169 484 676 676
58) 196 256 529 1024
59) 196 400 625 784
60) 196 484 484 841
61) 256 289 676 784
62) 324 529 576 576
63) 361 484 484 676
64) 400 400 529 676
「kiyo」 12/19: 05時58分受信
更新1/3
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。なんとか１個見つけました。
問題２ 4/srqt(0.000004)+sqrt(4)/0.4=4/0.002+2/0.4
=2000+5
=2005
NO5「kashiwagi」12/19: 09時40分受信 更新1/3
148回
解答
問1．
問2．
問3．
1002+1003
399+400+401+402+403
問4．
0+465+1540
問5．
1+4+64+1936
4+16+49+1936
「kashiwagi」12/24: 19時45分受信 更新1/3
148回 解答
問1．
問2．
√4 + ...4 + 4/4
問3．
1002+1003
399+400+401+402+403
196+197+198+199+200+201+202;203+204+205
問4．
0+465+1540
問5．
1+4+64+1936
4+16+49+1936
NO6「BossF」 12/21:01時41分受信 更新1/3
問題１
345x6=2070 をつかって、なんとかなりました。
(-1+2)x(345x6+7-8x9)
問題2
これは、Four Fourth 問題なる物が初見でよくわからないので、質問させていただきます。
①例にある0..4＝..4とはどういう意味か?
②44とか444としてつかえるのか？（この場合はあまり関係なさそうですが…(^^;;）
③括弧は使えないんですよね?
④4則演算はいいんですよね?
以上、申し訳ありませんが、お願いします
問題3
[補題]等差数列の連続2n-1項の和Sは、その中央の項をAとすると、
S=A(2n-1) である (証明略）
[解]2005=5x401だから、補題より容易に
2005=1002+1003
=399+400+401+402+403
=196+197+198+199+200+201+202+203+204+205
問題3 三角数なので解答例を3個＜謎
2005=61x62/2+12x13/2+8x9/2
=60x61/2+15x16/2+10x11/2
=59x60/2+19x20/2+9x10/2
問題4 四角数だから解答例を4個 (^^;; 2005=44^2+8^2+2^2+1^2
=44^2+7^2+4^2+2^2
=42^2+14^2+6^2+3^2
=41^2+17^2+7^2+2^2
問題3，4はプログラムで解くしかないんでしょうかね?
NO7「Toru」 12/21：11時22分受信 更新1/3
No.148の解答を送ります。月日のたつのは速いもので、もう年末ですね。今年もいろいろ面白い問題を本当にありがとうございました。
来年もよろしくお願いします。この手の問題は苦手ですが、数え落とし等は余り気にせず、とりあえず気軽に答を送っておきます。
問題１ (－1+2)×345×6-7×8-9 １の前に－（マイナス）をつけたら反則ですか？
問題２ ４÷√（．．．．．．４）＋√４÷．４
問題３ 自然数n～N（n<N）の和、
(N+n)(N-n+1)/2=2005としてNについて解くと
N=(-1+√(4n^2-4n^+16041))/2
n=1,2,3,------としてエクセルで計算してみたら、Nが自然数となるものは
（n,N）=(196,205),(399,403),(1002,1003)で
196+197+198+199+200+201+202+203+204+205
399+400+401+402+403
1002+1003
（2005だけというのは含めないことにしました）
(N+n)(N-n+1)=2005×2=401×2×5, 401は素数に注意すれば、N+nが401の倍数になる
ことがわかるので（N-n+1が401の倍数の時は不適）N+n=401とするとこの時N-n+1=10
でn=196,N=205 、N+n=401×2の時 N-n+1=5でN=403,n=399、N+n=401×5の時N-n+1=2
でN=1003,n=1002 これならエクセルなくてもできました。
問題４ x(x+1)/2+y(y+1)/2+z(z+1)/2=2005としてこれをxについて解く
とx^2+x+y(y+1)+z(z+1) -4010=0よりx=(-1+sqrt(16041-4 (y(y+1)+z(z+1)))/2
y=1,2,--z=1,2,---として、エクセルだのみでただ計算してxが正整数になるものを拾っ
てみました。
1+351+1653 (1,26,57) ,3+406+1596(2,28,56) , 21+903+1081(6,42,46) ,
36,78,1891 (8,12,61) , 45+190+1770(9,19,59), 55+120+1830(10,15,60)
55+465+1485(10,30,54) 66+561+1378(11,33,52), 78+496+1431(12,31,53)
136+741+1128(16,38,47) 190+780+1035(19,39,45), 276+351+1378(23,26,52),
561+703+741(33,37,38) 595+630+780(34,35,39) の１４とおり、
０も含めれば0+465+1540(0,30,55)も可能
問題５ 恒等式
(x1^2+x2^2+x3^2+x4^2)(y1^2+y2^2+y3^2+y4^2)=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)^2
+(x1y2-x2y1+x3y4-x4y3)^2
+(x1y3-x2y4-x3y1+x4y2)^2
+(x1y4+x2y3-x3y2-x4y1)^2
を使うと
2005=401×5 で401=20^2+1^2+0^2+0^2 , 5=2^2+1^2+0^2+0^2より
x1=20,x2=1,x3=0,x^4=0 ,y1=2,y2=1,y3=0,y4=0とおけば
（右辺）=(40+1+0+0)^2+(20-2+0-0)^2+(0+0+0+0)^2+(0+0+0+0)^2
=41^2+18^2+0^2+0^2
ととりあえず、一個は手計算でも作れました。
x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=2005=5×401 ５の剰余系で考えるとx^2≡0,1,-1だから
４つたして５の倍数になる組み合わせは1)0,0,0,0 2) 0,0,1,-1 3)1,-1,1,-1の3
通りが考えられるが1)の時は和が２５の倍数になって不適よって2),3)の場合を考え
る。
2)の時、x1=5y1,x2=5y2と置くとy1=0,1,2,---y2=0,1,2,---としてエクセル
でx1^2+x2^2を計算すると0,25,50,100,--------,2000
x3=5y3+1or 5y4+4, x4=5y4+2 or 5y4+3 としてエクセルでx3^2+x4^2を計算すると
5,10,20,25-------,2005
この２つの和が2005になる組み合わせを探して、それに対応するx1～x4を求めれば
(0,0,18,41)(0,0,22,39)(10,10,19,38)(0,15,22,36)(0,15,4,42)(10,25,16,32)(20,20,7,34)(20,20,23,26)(0,30,23,24)(0,30,12,31)(0,30,9,32)
(0,30,4,33)(20,25,14,28)(10,35,14,22)(10,35,2,26)(0,4,9,18)(10,41,4,17)(10,40,7,16)(30,30,3,14)(30,30,6,13)(15,40,6,12)(20,40,1,2)
２２通り
(1,1)(-1,-1)の二組に分けて同様に
A=x1^2+x2^2 (x1,x2=1,4,6,9,11,-----)
B=x3^2+x4^2 (x3,x4=2,3,7,8,12,13,----)
計算して、Aと2005-Bが一致するものを拾ってみましたら、
(4,4,23,38)(6,6,13,42)(4,9,12,42)(1,14,28,32)(6,14,3,42)(4,16,17,38)(14,14,1
3,38)(14,16,23,32)(16,16,7,38)(14,19,2,38)(4,24,18,33)(9,24,18,32)(4,26,23,2
8)(4,26,17,32)(14,24,12,33)(16,26,17,28)(16,26,7,32)(4,31,2,32)(19,26,22,22)
(14,29,22,22)(24,24,18,23)(1,34,8,28)(14,31,8,28)(4,34,7,28)(16,31,2,28)(6,3
6,12,23)(14,34,13,22)(26,26,13,22)(9,36,12,22)(16,34,8,23)(19,34,2,22)(26,29
,2,22)(24,31,12,18)(4,39,12,28)(14,39,12,12)(6,41,12,12)(26,34,2,13)(14,41,8
,8)(1,44,2,8)(16,41,2,8)(4,44,2,7)(29,34,2,2)で計４２個
２）の２２個とあわせて６４個となりました。
NO8「浜田明巳」12/23：08時24分受信 更新1/3
大変申し訳ありませんが、問題５を除いて同じですから、割愛します。
「浜田明巳」12/25：17時04分受信 更新1/3
２００５作り解答
問題１，２．
私の範疇にないので．．．
問題３．
次の４通りあります．
2005
1002+1003
399+400+401+402+403
196+197+198+199+200+201+202+203+204+205
最初の2005は，「連続するいくつかの和」とは解釈出来ないという人もいますので，答としては微妙ですが，数学的にはこれでもいいはずです．
和の最初の数をｎ（≧１），足す数の個数をｋとすると，
ｋ{ｎ＋(ｎ＋ｋ－１)}／２＝２００５
∴ｋ(２ｎ＋ｋ－１)＝２×２００５＝２×５×４０１
ｋ，２ｎ＋ｋ－１は自然数であり，ｋ＜２ｎ＋ｋ－１であるから，
(ｋ，２ｎ＋ｋ－１)＝(１，４０１０)，(２，２００５)，(５，８０２)，(１０，４０１)
∴(ｋ，２ｎ－１)＝(１，４００９)，(２，２００３)，(５，７９７)，(１０，３９１)
∴(ｋ，ｎ)＝(１，２００５)，(２，１００２)，(５，３９９)，(１０，１９６)
よって上記の解答を得ます．
問題４．
次の１４通りあります．
1+351+1653
3+406+1596
21+903+1081
36+78+1891
45+190+1770
55+120+1830
55+465+1485
66+561+1378
78+496+1431
136+741+1128
190+780+1035
276+351+1378
561+703+741
595+630+780
問題５．
次の６４通りあります．
0+0+324+1681
0+0+484+1521
0+16+225+1764
0+16+900+1089
0+81+324+1600
0+81+900+1024
0+144+900+961
0+225+484+1296
0+529+576+900
1+4+64+1936
1+4+400+1600
1+64+784+1156
1+196+784+1024
4+4+841+1156
4+16+49+1936
4+16+961+1024
4+64+256+1681
4+100+676+1225
4+169+676+1156
4+196+361+1444
4+256+784+961
4+361+484+1156
4+484+676+841
9+36+196+1764
9+196+900+900
16+16+529+1444
16+49+784+1156
16+81+144+1764
16+100+289+1600
16+144+324+1521
16+256+289+1444
16+289+676+1024
16+324+576+1089
16+529+676+784
36+36+169+1764
36+144+144+1681
36+144+225+1600
36+144+529+1296
36+169+900+900
49+100+256+1600
49+256+256+1444
49+256+676+1024
49+400+400+1156
64+64+196+1681
64+196+784+961
64+256+529+1156
81+144+484+1296
81+324+576+1024
100+100+361+1444
100+196+484+1225
100+256+625+1024
144+144+196+1521
144+196+576+1089
144+324+576+961
169+196+196+1444
169+196+484+1156
169+484+676+676
196+256+529+1024
196+400+625+784
196+484+484+841
256+289+676+784
324+529+576+576
361+484+484+676
400+400+529+676
すべてエクセルのマクロで解きました．
Option Explicit
Sub Macro3()
Sheets("Sheet3").Select
Cells(1, 1).Value = 0
Range("A1").Select
'
Dim m As Integer
Dim n As Integer
Dim wa As Long
Dim owari As Integer
Dim j As Integer
For m = 1 To 2005
owari = 0
n = 1
While owari = 0 And n
<= 2005 - (m - 1)
wa = 0
For j = 0 To m - 1
wa
= wa + n + j
Next j
If wa =
2005 Then
Cells(1, 1).Value =
Cells(1, 1).Value + 1
For j = 1 To m
Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = n + j - 1
Next j
Range("B"
& Cells(1, 1).Value).Select
owari
= 1
ElseIf wa > 2005 Then
owari
= 1
Else
n = n + 1
End If
Wend
Next m
Range("A1").Select
End Sub
'
Sub Macro4()
Sheets("Sheet4").Select
Cells(1, 1).Value = 0
Range("A1").Select
'
Dim a(2005) As Integer
Call saiki4(1, a())
Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki4(ByVal n As Integer, ByRef
a() As Integer)
Dim wa As Integer
Dim j As Integer
If n = 1 Then
a(1) = 1
Else
a(n) = a(n - 1)
End If
While sankaku(a(n)) <= 2005
wa = 0
For j = 1 To n
wa = wa + sankaku(a(j))
Next j
If wa < 2005 And n
< 3 Then
Call saiki4(n + 1, a())
ElseIf wa = 2005 And n = 3 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1,
1).Value + 1
For j = 1 To 3
Cells(Cells(1, 1).Value,
j + 1).Value = a(j)
Next j
For j = 1 To 3
Cells(Cells(1, 1).Value,
j + 1 + 3 + 1).Value = sankaku(a(j))
Next j
Range("B" & Cells(1,
1).Value).Select
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function sankaku(ByVal
n As Integer)
sankaku = n * (n + 1) / 2
End Function
'
Sub Macro5()
Sheets("Sheet5").Select
Cells(1, 1).Value = 0
Range("A1").Select
'
Dim a(2005) As Integer
Call saiki5(1, a())
Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki5(ByVal n As Integer, ByRef
a() As Integer)
Dim wa As Integer
Dim j As Integer
If n = 1 Then
a(1) = 0
Else
a(n) = a(n - 1)
End If
While shikaku(a(n)) <= 2005
wa = 0
For j = 1 To n
wa = wa + shikaku(a(j))
Next j
If wa < 2005 And n
< 4 Then
Call saiki5(n + 1, a())
ElseIf wa = 2005 And n = 4 Then
Cells(1, 1).Value = Cells(1,
1).Value + 1
For j = 1 To 4
Cells(Cells(1, 1).Value,
j + 1).Value = a(j)
Next j
For j = 1 To 4
Cells(Cells(1, 1).Value,
j + 1 + 4 + 1).Value = shikaku(a(j))
Next j
Range("B" & Cells(1,
1).Value).Select
End If
a(n) = a(n) + 1
Wend
End Sub
Private Function shikaku(ByVal
n As Integer)
shikaku = n * n
End Function
NO9「三角定規」01/01：17時10分受信 更新1/3
● 第148回 解答（三角定規）
(1) 小町算 数の間に（ ）が入らないもの は，自作のエクセルマクロで 58＝390,625通りを調べ上げ，＝2005 に該当するものはありませんでした。
（ ）が入るもの は，数式の構文解析が格段に難しくなるため，マクロのアルゴリズムを考えあぐねております。
(2) Four Fours
これから，研究します。
(3) 連続自然数和
2005＝1002＋1009
2005＝399＋400＋401＋402＋403
2005＝196＋197＋198＋199＋200＋201＋202＋203＋204＋205
の3通り
(4) 三角数和
(i，j，k ) で i(i＋1)/2＋j(j＋1)/2＋k(k＋1)/2 を表すことにして，
2005＝( 1，26，57)＝( 2，28，56)＝( 6，42，46)＝( 8，12，61)＝( 9，19，59)
＝(10，15，60)＝(10，30，54)＝(11，33，52)＝(12，31，53)＝(16，38，47)
＝(19，39，45)＝(23，26，52)＝(33，37，38)＝(34，35，39)
の14通り
(5) 四角数
(h，i，j，k ) で
h2＋i 2＋j 2＋k 2 を表すことにして，
2005＝( 1， 2， 8，44)＝( 1， 2，20，40)＝( 1， 8，28，34)＝( 1，14，28，34)
＝( 2， 2，29，34)＝( 2， 4， 7，44)＝( 2， 4，31，32)＝( 2， 8，16，41)
＝( 2，10，26，35)＝( 2，13，26，34)＝( 2，14，19，38)＝( 2，16，28，31)
＝( 2，19，22，34)＝( 2，22，26，29)＝( 3， 6，14，42)＝( 3，14，30，30)
＝( 4， 4，23，38)＝( 4， 7，28，34)＝( 4， 9，12，42＝( 4，10，17，40)
＝( 4，12，18，39)＝( 4，16，17，38)＝( 4，17，26，32)＝( 4，18，24，33)
＝( 4，23，26，28)＝( 6， 6，13，42)＝( 6，12，12，41)＝( 6，12，15，40)
＝( 6，12，23，36)＝( 6，13，30，30)＝( 7，10，16，40)＝( 7，16，16，38)
＝( 7，16，26，32)＝( 7，20，20，34)＝( 8， 8，14，41)＝( 8，14，28，31)
＝( 8，16，23，34)＝( 9，12，22，36)＝( 9，18，24，32)＝(10，10，19，38)
＝(10，14，22，35)＝(10，16，25，32)＝(12，12，14，39)＝(12，14，24，33)
＝(12，18，24，31)＝(13，14，14，38)＝(13，14，22，34)＝(13，22，26，26)
＝(14，16，23，32)＝(14，20，25，28)＝(14，22，22，29)＝(16，17，26，28)
＝(18，23，24，24)＝(19，22，22，26)＝(20，20，23，26)
の55通り
NO10「中川幸一」01/03：13時14分受信 更新1/3
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