平成１７年１月２３日
[流れ星]
第１４９回数学的な応募問題解答NO2
＜解答募集期間：１月３日〜１月２３日＞
［外接する３円］
最近、中央新書から出版された秋山仁著の「知性の織りなす数学美」という本を読んでいます。その中に、
江戸時代の和算家『関孝和』のこぼれ話が出ていました。次の問題が出ていて、生徒と一緒に解き始めましたが、
未だに解けていません。では、その問題です。
図の青の部分の面積が１２０、中円と小円の直径の差が５であるとき、大、中、小の３種類の直径を求めよ。
だだし、中円と小円は互いに外接、中円と大円は内接、２つの小円と大円は内接している。
【追記】１月３日の夜記入
実は、問題文は「知性の織りなす数学美」にある通りですが、生徒と考えていたとき気がついたのですが、図の青の部分の面積が１２０は誤記のような気がします。そこで、面積を１２０π（πは円周率）としても考えてください。
さらに、類題として、図の通りの４つの円で、大円、中円、小円の半径をそれぞれ、Ｒ，ｒ ，ｔ としたとき、ｔをＲ，ｒで表してください。（この類題が和算の本にあるものです）
NO11「浜田明巳」01/12：17時10分受信 更新1/23
類題の解答
ｘｙ座標を導入する．大円の中心を原点Ｏ１(０，０)，中円の中心をＯ２(０，−Ｒ＋ｒ)，右側の小円の中心をＯ３とし，左右の小円がｙ軸で接しているとする．
Ｏ１Ｏ３とｘ軸の正の向きとなす角をθ（０＜θ＜π／２）とすると，
Ｏ３((Ｒ−ｔ)cosθ，(Ｒ−ｔ)sinθ)
またＯ３のｘ座標はｔであるから，
(Ｒ−ｔ)cosθ＝ｔ
Ｒ−ｔ＞０から，cosθ＝ｔ／(Ｒ−ｔ)
０＜θ＜π／２から，sinθ＞０
∴sinθ＝(１−cos２θ)１／２＝[１−{ｔ／(Ｒ−ｔ)}２]１／２＝{(Ｒ−ｔ)２−ｔ２}１／２／(Ｒ−ｔ)（∵Ｒ−ｔ＞０）
∴sinθ＝(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２／(Ｒ−ｔ)
故にＯ３のｙ座標は，
(Ｒ−ｔ)sinθ＝(Ｒ−ｔ)・(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２／(Ｒ−ｔ)＝(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２
∴Ｏ３(ｔ，(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２)
∴Ｏ２Ｏ３２＝(ｔ−０)２＋{(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２−(−Ｒ＋ｒ)}２＝ｔ２＋(Ｒ２−２Ｒｔ)−２(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(−Ｒ＋ｒ)＋(−Ｒ＋ｒ)２
∴Ｏ２Ｏ３２＝ｔ２＋２Ｒ２−２Ｒｔ＋２(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(Ｒ−ｒ)−２Ｒｒ＋ｒ２………(1)
またＯ２Ｏ３＝ｒ＋ｔであるから，
Ｏ２Ｏ３２＝(ｒ＋ｔ)２＝ｒ２＋２ｒｔ＋ｔ２………(2)
(1)，(2)から，
ｔ２＋２Ｒ２−２Ｒｔ＋２(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(Ｒ−ｒ)−２Ｒｒ＋ｒ２＝ｒ２＋２ｒｔ＋ｔ２
∴２Ｒ２−２Ｒｔ＋２(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(Ｒ−ｒ)−２Ｒｒ＝２ｒｔ
∴Ｒ２−Ｒｔ＋(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(Ｒ−ｒ)−Ｒｒ＝ｒｔ
∴(Ｒ２−２Ｒｔ)１／２(Ｒ−ｒ)＝(Ｒ＋ｒ)ｔ−Ｒ(Ｒ−ｒ)
故にこの式は，次の２つと同値である．
(Ｒ２−２Ｒｔ)(Ｒ−ｒ)２＝(Ｒ＋ｒ)２ｔ２−２Ｒ(Ｒ＋ｒ)(Ｒ−ｒ)ｔ＋Ｒ２(Ｒ−ｒ)２………(3)
かつ (Ｒ＋ｒ)ｔ−Ｒ(Ｒ−ｒ)≧０………(4)
(3)から，
Ｒ２(Ｒ−ｒ)２−２Ｒ(Ｒ−ｒ)２ｔ＝(Ｒ＋ｒ)２ｔ２−２Ｒ(Ｒ２−ｒ２)ｔ＋Ｒ２(Ｒ−ｒ)２
∴−２Ｒ(Ｒ−ｒ)２ｔ＝(Ｒ＋ｒ)２ｔ２−２Ｒ(Ｒ２−ｒ２)ｔ
∴(Ｒ＋ｒ)２ｔ２＝２Ｒ(Ｒ２−ｒ２)ｔ−２Ｒ(Ｒ−ｒ)２ｔ＝２Ｒ(２Ｒｒ−２ｒ２)ｔ＝４Ｒｒ(Ｒ−ｒ)ｔ
Ｒ＋ｒ＞０，ｔ＞０から，
ｔ＝４Ｒｒ(Ｒ−ｒ)／(Ｒ＋ｒ)２………(答)
問題の解答
上記の結果から，
ｔ＝４Ｒｒ(Ｒ−ｒ)／(Ｒ＋ｒ)２………(5)
(Ｒ＋ｒ)ｔ−Ｒ(Ｒ−ｒ)≧０………(4)
問題の条件から，
２ｒ−２ｔ＝５………(6)
π(Ｒ２−ｒ２−２ｔ２)＝１２０π………(7)
(6)から，ｒ＝５／２＋ｔ………(6)'
(7)から，Ｒ２＝ｒ２＋２ｔ２＋１２０………(7)'
この連立方程式(5)，(4)，(6)'，(7)'を次のVBSRIPTで解く．
option explicit
dim S
dim dankai1
dim dankai2
dim Rr
dim r2
dim t
dim t_min
dim t_max
dim kotae_Rr
dim kotae_r2
dim kotae_t
dim kizami
dim sa
dim min
for dankai1=1 to 2
if dankai1=1 then
S=120
else
S=120*pi
end if
for dankai2=1 to 14
if dankai2=1 then
t_min=1
t_max=20
kizami=.1
min=1000000
else
t_min=kotae_t-kizami
t_max=kotae_t+kizami
kizami=kizami*.1
end if
for t=t_min to t_max step kizami
r2=2.5+t
Rr=sqr(r2*r2+2*t*t+S/pi)
if (Rr+r2)*t-Rr*(Rr-r2)>=0 then
sa=abs(t-4*Rr*r2*(Rr-r2)/(Rr+r2)/(Rr+r2))
if min>sa then
min=sa
kotae_Rr=Rr
kotae_r2=r2
kotae_t=t
end if
end if
next
next
if dankai1=2 then
S="120π"
end if
document.write("S="&S&"のとき，大円の直径="&(kotae_Rr*2)&",
中円の直径="&(kotae_r2*2)&", 小円の直径="&(kotae_t*2)&",
誤差="&min&"< br>")
next
function pi()
pi=4*atn(1)
end function
S=120のとき，大円の直径=20.6479929272978, 中円の直径=12.586876796801, 小円の直径=7.586876796801,
誤差=1.77635683940025E-15
S=120πのとき，大円の直径=36.6242151082522, 中円の直径=20.1129486013588, 小円の直径=15.1129486013588,
誤差=1.77635683940025E-15
NO12「三角定規」01/12: 22時00分受信 更新1/23
ところで，添付の一太郎文書に分数関数のグラフを貼り付けましたところ，サイズが３Mを超え，１回で送信できなくなりました。
そこでグラフのみ別送しますので，お手数ですが，そちらで文書右下の空所に縮小して貼り付けてくださいませんでしょうか。
その際，文書中に残っている２つの数式をグラフ上適所に置いてください。
y＝1−x^2−… が青線，y＝x(1−… が緑線です。
よろしくお願いします。
＜水の流れ： そうしてあげたいのですが、ちょっと トラブって いまして、今回はお許しください。＞
ＮＯ１３「kashiwagi」01/14:18時36分受信
更新1/23
本当ですね。面積の関係式から値を出して、それに代入し合っているという基本 的な間違いを犯しておりました。早速Excel計算を致しました。
R＝18.30、ｒ＝10.05、ｔ＝7.55となりました。
うーんー、コンピュータの偉大さを垣間見させて頂きました。宜しくお願い申し上げ ます。
ＮＯ１４「kiyo」
01/18:04時09分受信 更新1/23
いつもお世話になっています。清川（kiyoI）です。
今後とも宜しくお願いします。
REM へロンの公式による。１２０πとする。
REM 16*X^6-144*X^5+1152*X^4-7780*X^3+33680*X^2-35850*X-23225=0 Xは小円の半
径。
LET X=2.214915159043
LET Y=SQR(12*X^2+20*X+505)/2-2*X
PRINT "面積";(2*X+Y)^2-2*X^2-(X+2.5)^2;"π"
PRINT "小円の直径";2*X
PRINT "中円の直径";2*X+5
PRINT "大円の直径";2*(2*X+Y)
出力
面積 120 π
小円の直径 4.429830318086
中円の直径 9.429830318086
大円の直径 24.6610724244093
＜水の流れ：この値ではなさそうです＞
No１５「中川幸一」
01/23:23時34分受信 更新1/25
