平成１７年２月１３日

[流れ星]

　　　　　第１５０回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１月２３日〜２月１３日＞
［三角形の形状］

現在、学校で「数学�T」は三角比ところを、「数学Ａ」では、平面幾何を教えています。この両方の考え方でできそうな問題です。

問題：△ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭとする。∠Ｃ＝３０°、∠ＢＡＭ＝２∠ＭＡＣのとき、△ＡＢＣはどんな三角形か答えなさい。

ＮＯ１「cbc」　　 01/24: 21時52分受信 更新2/13

ＮＯ２「Toru」　　01/25: 17時59分受信 更新2/13
∠C=30度の三角形で、∠Aを２：１に分ける直線がABを二等分すると考えてよい。
この直線がABと交わる点をMとして、∠MAC=θ とすると3θ+π/6<πより0<θ<5π/18
で ∠ABC=5π/6-3θ
ΔAMCに正弦定理を使ってMC/sinθ=AM/sin(π/6)=2AM
ΔABMに正弦定理を使ってBM/sin2θ=AM/sin(5π/6-3θ)　したがって、
BM=MC⇔2sinθ=sin2θ/sin(5π/6-3θ)=sin2θ/ cos(3θ-π/3)
⇔cosθ= cos(3θ-π/3)     (sin2θ=2sinθcosθ)
⇔3θ-π/3=2nπ±θ　
⇔θ=π/12+nπ/2  or θ=π/6+nπ　
＜ここから、２月１５日に追加しました。＞
で,0<θ<5π/18を満たすものは、ともにn=0の時でθ=π/12 or π/6
すなわち、∠A=π/4 or π/2
　 直角三角形は明らかですが、∠A＝４５度でもokというところがポイントでしょう
　ペンネーム　Toru

ＮＯ３「H7K」　　 01/27: 11時29分受信 更新2/13
∠CAM=αとする．
このとき，□ACBDが平行四辺形になるようにDをとると，
(添付ファイル 150.gifにあるように)α=30°しかありえない
ことがわかる．
一方，α=30°のとき，△ABCは1:√3:2の三角定規型となり，
このときたしかに題意を満たす．
よって，△ABCは∠A=90°の1:√3:2の三角定規型である

＜水の流れ：答えは２組ありまして、
解答を拝見していましたが、推論に飛躍がありますよ。ＡＨ＝ｌcoｓα　から、HB=ｌsinα　へのところです。
HB=ｌsin（１８０゜ーα）でもいいからです。　∠BAH=α と決定できません。＞
ＮＯ８「H7K」　　 01/29: 18時29分受信 更新2/13
sin^2α=... たしかにそうでした．
3α>=60°の場合は，先の図どおり．
さて，3α<60°の場合は，
∠BAH=αから60°=4α，∴α=15°．
このとき，確かに，題意を満たす．
先入観で，「3α>=60°」の場合しかないだろうと考えてしまいました
ＮＯ１１「H7K」　　 02/05: 19時05分受信 更新2/13

ＮＯ４「Toru」　　01/28: 11時18分受信 更新2/13
初等幾何での別解を思い付きましたので、送ります。鉛筆と紙を持った時間はそれほど長くないにしても、ずっと頭にひっかかっていて、それにしてもずいぶんと時間がかかりました。慣れている人は３０度だから正三角形を作ろうとかすぐなのでしょうか？もうひらめきはなくなってしまっている年令ですが、まあ最終的には思い付いたので、自分としては満足しています。　いつもながら図がなくてすみません。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直線ACに対してMに対称な点を取って、NとするとΔNMCは正三角形になるので、
NM=BM=MC, ∠NMC=π/3 また∠MAC=θとすると∠BAM=∠MAN=2θ ΔAMNは二等辺三角形
で ∠AMN=π/2-θ
　ΔABM　とΔAMNについて　∠BAM=∠MAN, AM=AN, BM=MC が成り立つので、ΔABM≡
ΔAMN ---1)あるいは、∠ABM+∠AMN=π-----2)
 1)ΔABM≡ΔAMN時、ΔABMも頂角A =2θの二等辺三角形で
∠AMB+∠AMN+∠NMC =(π/2-θ)+(π/2-θ)+π/3=πより　θ=π/6
この時　ΔABCは∠A、∠B、∠Cが順に90度、60度、30度の三角形
 2)∠ABM+∠AMN=πの時 ∠AMB=π-∠ABM-∠BAM=∠AMN-2θ=π/2-3θ
∠AMB+∠AMN+∠NMC =(π/2-3θ)+(π/2-θ)+π/3=π　よりθ=π/12
この時　ΔABCは∠A、∠B、∠Cが順に45度、105度、30度の三角形

ＮＯ５「kashiwagi」01/28:19時09分受信 更新2/13
第150回

BM=MC=2、AB=ｃ、AD=ｄと置き。△ABMと△ACMに正弦定理を適用し、

2／sin2θ＝ｄ／sin(150°−3θ)

2／sinθ＝ｄ／sin30°　　　を得る。この２式よりｄを消去し、整理する。この際、2倍角、3倍角の公式を使い、整理すると、

(4sin^２θ+1)cosθ＝√3sinθ(4cos^２θ−1)　　となる。

ここでtan(θ／2)＝ｔと置くと、sinθ＝2t／(１＋t²)、cosθ＝(1− t²)／(１＋t²)であるからこれらを代入し、整理すると、

t⁶＋6√3t⁵＋17t⁴−20√3t³−17t^２＋6√3t−1＝0

両辺をt³で割りt−1/t　をXと置いて整理すると、

X³＋6√3X²＋20X−8√3＝0　これを因数分解して、

(X＋2√3)(X²＋4√3X−4)＝0

求めたXのうち題意を満たすXは−2√3であり、t＝2−√3

これよりsinθ＝2t／(１＋t²)＝1／√3

即ち、求めるθ＝30°　これより角Aは90°となる。

因って△ABCは角Aが90°の直角三角形である。

＜水の流れ：２倍角から、cosθ＝sin（１５０°ー３θ）　となって、難しく考えないで、１５０°ー３θ＝・・・・　と導いてくだされば
　解けますよ。さらに、
(X＋2√3)(X2＋4√3X−4)＝0
求めたXのうち題意を満たすXは−2√3であり、t＝2−√3
　X=−2√3±４もでてきまして、ここからも答えがでますが、
ｔの値や　tanθからのθがわからないから　ちょっとね。　答えは２組あります。＞
ＮＯ１０「kashiwagi」01/31: 7時42分受信 更新2/13
　お世話になります。返信遅れ申し訳ございません。MAIL拝読致しました。
おっしゃる通りですね、下手な変形で難しくしてしまいました。うーん、基本中の基本が・・・。以下に略記させて頂きます。
正弦定理より求めたｄに関する二つの式よりｄを消去して、　　cosθ=sin(150°-3θ) =cos(60°-3θ)  を得る。これより、θ=±(60°-3θ)
因って、θ=15°及び30°となる。 即ち、角Ａが直角である三角形と角Ａが45°である三角形が求めるものである。

ＮＯ６「kasama」 01/28: 21時25分受信 更新2/13
いつも楽しい問題を作って頂きありがとうございます。
今回の図形問題も直感的に理解し易いので取り組んでいて楽しいですね。
いろんなやり方があると思いますが、三角関数で(正弦定理を利用して)解きまし
た。平面幾何による方法など別のやり方を思い付いたらお知らせします。

∠MAC=xとして、�僊BM、�僊CMに正弦定理を適用します。
　BM/sin(∠BAM)=AM/sin(∠ABM) ⇒ BM=AMsin(2x)/sin(∠ABM)
　CM/sin(∠MAC)=AM/sin(30ﾟ) ⇒ CM=2AMsin(x)
与えられた条件BM=CMより
　AMsin(2x)/sin(∠ABM)=2AMsin(x) ⇒ sin(∠ABM)=sin(2x)/2sin(x)
ここで、sin(2x)=2cos(x)sin(x)ですから、
　sin(∠ABM)=2cos(x)sin(x)/2sin(x)=cos(x) ⇒ ∠ABM=90ﾟ-x ⇒ ∠ABC=90ﾟ-x
です。三角形の内角の和は180ﾟなので、
　∠ABC+∠BAC+∠ACB=180ﾟ ⇒ (90ﾟ-x)+3x+30ﾟ=180ﾟ ⇒ x=30ﾟ
です。つまり、�僊BCは30ﾟ,60ﾟ,90ﾟの直角三角形です。

＜水の流れ：∠ABM=90゜-x ⇒ ∠ABC=90゜-x　が２とおりでてきます。
　90゜＋x　もあえますが・・・後はよろしくね。したがって、２組あるのです。>

ＮＯ７「kasama」 01/29: 17時40分受信 更新2/13
算数の試験問題に出てきそうな正三角形と二等辺三角形をつないだ良くありがち
な図形を強く意識していまして、試験なら減点の対象ですね。気を付けないと．．．
∠MAC=xとして、�僊BM、�僊CMに正弦定理を適用します。
　BM/sin(∠BAM)=AM/sin(∠ABM) ⇒ BM=AMsin(2x)/sin(∠ABM)
　CM/sin(∠MAC)=AM/sin(30ﾟ) ⇒ CM=2AMsin(x)
与えられた条件BM=CMより
　AMsin(2x)/sin(∠ABM)=2AMsin(x) ⇒ sin(∠ABM)=sin(2x)/2sin(x)
ここで、sin(2x)=2cos(x)sin(x)ですから、
　sin(∠ABM)=2cos(x)sin(x)/2sin(x)=cos(x) ⇒ ∠ABM=90ﾟ±x ⇒ ∠ABC=90ﾟ±x
です。三角形の内角の和は180ﾟなので、
　∠ABC+∠BAC+∠ACB=180ﾟ ⇒ (90ﾟ±x)+3x+30ﾟ=180ﾟ ⇒ x=30ﾟ,25ﾟ
です。つまり、�僊BCは30ﾟ,60ﾟ,90ﾟの直角三角形、または30ﾟ,75ﾟ,75ﾟの二等辺三角形です。
注：青は2005/01/29に修正した個所
ＮＯ９「ｼｬﾉﾝ」　　01/30: 02時09分受信 更新2/13
はじめまして。ネット上ではシャノンと名乗っているものです。
ふらふらネット上を彷徨っていて貴サイトに辿り着きました。

第150回…△ABC は、１辺の長さを BM とする正三角形…ですかね。
何ら論理的な考えは無く、ただ「もし正三角形だったらどうなるかな」と考えてみた
ら、上手い具合にハマってしまったというだけなのですが
…もう三角比なんか忘れてしまいましたわい

ＮＯ１２「浜田明巳」02/10: 13時32分受信 更新2/13
答が複数個あるので，苦労しましたが，何とか出来ました．いつものようにVISUAL BASICで解きました．遅れて申し訳ありません．
　答は，
　　∠ＣＡＢ＝４５°，∠ＡＢＣ＝１０５°，∠ＢＣＡ＝３０°の鈍角三角形
または，
　　∠ＣＡＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＢＣＡ＝３０°の直角三角形
です．
　Ｂ(０，０)，Ｃ(２，０)，Ｍ(１，０)，Ａのｙ座標が正として，∠ＡＢＣが９０°以上，９０°以下の２つの場合に分け，Ａのｘ座標をシラミつぶしに当てはめます．｜∠ＭＡＣ／∠ＢＡＭ−１／２｜がそれぞれ最小になる場合を求め，それを図示して，答とします．

Option Explicit
Const WAKU As Double = 1
Sub Form_Load()
    Picture1.BackColor = vbWhite
    Picture1.Scale (-WAKU, 2 + WAKU)-(2 + WAKU, -WAKU)
    Picture2.BackColor = vbWhite
    Picture2.Picture = LoadPicture("zu150.gif")
    Picture3.BackColor = vbWhite
    Picture4.BackColor = vbWhite
End Sub
Sub Command1_Click()
    Dim Ax As Double
    Dim Ay As Double
    Dim Bx As Double
    Dim By As Double
    Dim Cx As Double
    Dim Cy As Double
    Dim Mx As Double
    Dim My As Double
    Dim Ax_min As Double
    Dim Ax_max As Double
    Dim Ax_min0 As Double
    Dim Ax_max0 As Double
    Dim Axx1 As Double
    Dim Ayy1 As Double
    Dim Axx2 As Double
    Dim Ayy2 As Double
    Dim kizami As Double
    Dim sa As Double
    Dim min As Double
    Dim kaku0 As Double
    Dim kaku1 As Double
    Dim kaku2 As Double
    Dim dankai As Integer
Bx = 0
    By = 0
Mx = Bx + 1
    My = By
Cx = Bx + 2
    Cy = By
    '∠ABCが90°以上の場合
    Picture4.Cls
kizami = 0.01
    Ax_min0 = -WAKU + Bx
    Ax_max0 = 0
    min = 1000000
    For dankai = 1 To 14
      If dankai = 1 Then
Ax_min = Ax_min0
Ax_max = Ax_max0
      Else
Ax_min = max2(Axx1 - kizami, Ax_min0)
Ax_max = min2(Axx1 + kizami, Ax_max0)
kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Ax = Ax_min To Ax_max Step kizami
        Ay = Tan(rad(180 - 30)) * (Ax - Cx) + Cy
sa = Abs(kaku(Mx, My, Ax, Ay, Cx, Cy) / kaku(Bx, By, Ax, Ay, Mx, My) - 1 / 2)
        If min > sa Then
          min = sa
          Axx1 = Ax
          Ayy1 = Ay
          kaku0 = kaku(Cx, Cy, Ax, Ay, Bx, By)
          kaku1 = kaku(Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy)
          kaku2 = kaku(Bx, By, Cx, Cy, Ax, Ay)
          Picture3.Cls
          Picture3.Print "∠CAB="; kaku0; "°，∠ABC="; kaku1; "°，∠BCA="; kaku2; "°，｜∠MAC/∠BAM-1/2｜="; min
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Bx, By)-(Axx1, Ayy1), vbGreen
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbGreen
        Picture1.Line (Axx1, Ayy1)-(Mx, My), vbGreen
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line -(Mx, My), vbBlack
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A1"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Mx
        Picture1.CurrentY = My
        Picture1.Print "M"
      Next Ax
    Next dankai
    '∠ABCが90°以下の場合
kizami = 0.01
    Ax_min0 = 0
    Ax_max0 = Cx - kizami
    min = 1000000
    For dankai = 1 To 14
      If dankai = 1 Then
Ax_min = Ax_min0
Ax_max = Ax_max0
      Else
Ax_min = max2(Axx2 - kizami, Ax_min0)
Ax_max = min2(Axx2 + kizami, Ax_max0)
kizami = kizami * 0.1
      End If
      For Ax = Ax_min To Ax_max Step kizami
        Ay = Tan(rad(180 - 30)) * (Ax - Cx) + Cy
sa = Abs(kaku(Mx, My, Ax, Ay, Cx, Cy) / kaku(Bx, By, Ax, Ay, Mx, My) - 1 / 2)
        If min > sa Then
          min = sa
          Axx2 = Ax
          Ayy2 = Ay
          kaku0 = kaku(Cx, Cy, Ax, Ay, Bx, By)
          kaku1 = kaku(Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy)
          kaku2 = kaku(Bx, By, Cx, Cy, Ax, Ay)
          Picture4.Cls
          Picture4.Print "∠CAB="; kaku0; "°，∠ABC="; kaku1; "°，∠BCA="; kaku2; "°，｜∠MAC/∠BAM-1/2｜="; min
        End If
        Picture1.Cls
        Picture1.Line (Axx1, Ayy1)-(Bx, By), vbBlue
        Picture1.Line (Cx, Cy)-(Axx1, Ayy1), vbBlue
        Picture1.Line -(Mx, My), vbBlue
        Picture1.Line (Bx, By)-(Axx2, Ayy2), vbGreen
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbGreen
        Picture1.Line (Axx2, Ayy2)-(Mx, My), vbGreen
        Picture1.Line (Ax, Ay)-(Bx, By), vbBlack
        Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
        Picture1.Line -(Ax, Ay), vbBlack
        Picture1.Line -(Mx, My), vbBlack
        Picture1.CurrentX = Axx1
        Picture1.CurrentY = Ayy1
        Picture1.Print "A1"
        Picture1.CurrentX = Ax
        Picture1.CurrentY = Ay
        Picture1.Print "A2"
        Picture1.CurrentX = Bx
        Picture1.CurrentY = By
        Picture1.Print "B"
        Picture1.CurrentX = Cx
        Picture1.CurrentY = Cy
        Picture1.Print "C"
        Picture1.CurrentX = Mx
        Picture1.CurrentY = My
        Picture1.Print "M"
      Next Ax
    Next dankai
    Picture1.Cls
    Picture1.Line (Axx1, Ayy1)-(Bx, By), vbBlue
    Picture1.Line (Cx, Cy)-(Axx1, Ayy1), vbBlue
    Picture1.Line -(Mx, My), vbBlue
    Picture1.Line (Axx2, Ayy2)-(Bx, By), vbBlack
    Picture1.Line -(Cx, Cy), vbBlack
    Picture1.Line -(Axx2, Ayy2), vbBlack
    Picture1.Line -(Mx, My), vbBlack
    Picture1.CurrentX = Axx1
    Picture1.CurrentY = Ayy1
    Picture1.Print "A1"
    Picture1.CurrentX = Axx2
    Picture1.CurrentY = Ayy2
    Picture1.Print "A2"
    Picture1.CurrentX = Bx
    Picture1.CurrentY = By
    Picture1.Print "B"
    Picture1.CurrentX = Cx
    Picture1.CurrentY = Cy
    Picture1.Print "C"
    Picture1.CurrentX = Mx
    Picture1.CurrentY = My
    Picture1.Print "M"
End Sub
Sub Command2_Click()
    Unload Me
End Sub
Private Function rad(ByVal x As Double) As Double
rad = 4 * Atn(1) / 180 * x
End Function
Private Function min2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x < y Then
      min2 = x
    Else
      min2 = y
    End If
End Function
Private Function max2(ByVal x As Double, ByVal y As Double) As Double
    If x > y Then
      max2 = x
    Else
      max2 = y
    End If
End Function
Private Function kaku(ByVal Px As Double, ByVal Py As Double, ByVal Qx As Double, ByVal Qy As Double, ByVal Rx As Double, ByVal Ry As Double) As Double
    Dim x(2) As Double
    Dim y(2) As Double
    Dim hen(2) As Double
    Dim cos As Double
    Dim j As Integer
    Dim j1 As Integer
    Dim j2 As Integer
    x(0) = Px
    y(0) = Py
    x(1) = Qx
    y(1) = Qy
    x(2) = Rx
    y(2) = Ry
    For j = 0 To 2
      j1 = (j + 1) Mod 3
      j2 = (j1 + 1) Mod 3
      hen(j) = Sqr((x(j2) - x(j1)) * (x(j2) - x(j1)) + (y(j2) - y(j1)) * (y(j2) - y(j1)))
    Next j
cos = (hen(2) * hen(2) + hen(0) * hen(0) - hen(1) * hen(1)) / (2 * hen(2) * hen(0))
    If cos = 0 Then
kaku = 90
    Else
kaku = Atn(Sqr(1 / cos / cos - 1)) / rad(1)
      If cos < 0 Then
kaku = 180 - kaku
      End If
    End If
End Function

ＮＯ１３「大田誠」　02/10: 18時51分受信 更新2/13
はじめまして。大田といいます。

このようなページがあることをはじめて知って、メールさせていただきました。よろしくお願いします。

間違っていたらすいません。

〜解　答〜

図をｘｙ平面で考える。Ｍ（a、０）、Ｂ（２a、０）

点Ｃを原点Ｏにおくと、線分ＡＣは、ｙ＝ｘ･･･�@上にあるので（∠Ｃ＝３０°より）

点Ａ（ｔ、）とおける。

点Ａを中心に�@をθ回転移動した直線�Aとｘ軸との交点はＭ、点Ａを中心に�@を

３θ回転した直線�Bとｘ軸との交点はＢであることから、

�Aはｙ＝tan(30°＋θ)・ｘ−a・tan(30°＋θ)　・・・�C

またはｙ＝tan(30°＋θ)・ｘ−t・tan(30°＋θ)　＋ｔ・・・�D

�Bはｙ＝tan(30°＋３θ)・ｘ−２a・tan(30°＋３θ)・・・�E

またはｙ＝tan(30°＋３θ)・ｘ−t・tan(30°＋３θ)　＋ｔ・・・�F

切片が同じであることから

�C�Dより、

−a・tan(30°＋θ)　＝−t・tan(30°＋θ)　＋ｔ・・・�G

�E�Fより

−２a・tan(30°＋３θ)＝−t・tan(30°＋３θ)　＋ｔ・・・�H

�G�Hより

a＝ｔ−ｔ・　、　a＝ｔ−・ｔ・　

ｔ−ｔ・＝ｔ−・ｔ・　

−２・＝−

θについての方程式を解くとθ＝３０°

ゆえに、題意の△ABCは直角三角形となる。

No14「中川幸一」 02/14:22時24分受信 更新2/16

「解答」です。