平成１７年１１月１３日

[流れ星]

　　　　　第162回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：10月２３日〜１1月1３日

［累乗の和］

皆さん、2001年芝浦工業大学の問題を発展して出題しました。考えてください。

　

NO1「uchinyan」10/22　13時40分受信 更新11/13
第162回数学的な応募問題への解答、を送ります。
取り敢えず、普通に計算しましたが、何か、一工夫できるのでしょうか。
第162回数学的な応募問題

問題1：
1/4 * {(k+1)^4 - k^4} = k^3 + 3/2 * k^2 + k + 1/4
1/3 * {(k+1)^3 - k^3} = k^2 + k + 1/3
1/2 * {(k+1)^2 - k^2} = k + 1/2
(k+1) - k = 1
より
∫[x=k,k+1]{x^3 + a * x^2 + b * x + c}dx
= 1/4 * {(k+1)^4 - k^4} + a/3 * {(k+1)^3 - k^3} + b/2 * {(k+1)^2 - k^2} + c{(k+1) - k}
= (k^3 + 3/2 * k^2 + k + 1/4) + a * (k^2 + k + 1/3) + b * (k + 1/2) + c * 1
= k^3 + (3/2 + a) * k^2 + (1 + a + b) * k + (1/4 + a/3 + b/2 + c)
これが、k^3 に等しくなるには、
a = - 3/2, b = 1/2, c = 0
つまり、
∫[x=k,k+1]{x^3 - 3/2 * x^2 + 1/2 * x}dx
= k^3
そこで、
1^3 + 2^3 + ... + n^3
= ∫[x=1,n+1]{x^3 - 3/2 * x^2 + 1/2 * x}dx
= 1/4 * {(n+1)^4 - 1^4} - 3/2 * 1/3 * {(n+1)^3 - 1^3} + 1/2 * 1/2 * {(n+1)^2 - 1^2}
= 1/4 * {(n+1)^4 - 2 * (n+1)^3 + (n+1)^2}
= {1/2 * n(n+1)}^2

問題2：
1/5 * {(k+1)^5 - k^5} = k^4 + 2 * k^3 + 2 * k^2 + k + 1/5
1/4 * {(k+1)^4 - k^4} = k^3 + 3/2 * k^2 + k + 1/4
1/3 * {(k+1)^3 - k^3} = k^2 + k + 1/3
1/2 * {(k+1)^2 - k^2} = k + 1/2
(k+1) - k = 1
より
∫[x=k,k+1]{x^4 + a * x^3 + b * x^2 + c * x + d}dx
= 1/5 * {(k+1)^5 - k^5} + a/4 * {(k+1)^4 - k^4} + b/3 * {(k+1)^3 - k^3}
+ c/2 * {(k+1)^2 - k^2} + d{(k+1) - k}
= (k^4 + 2 * k^3 + 2 * k^2 + k + 1/5) + a * (k^3 + 3/2 * k^2 + k + 1/4)
+ b * (k^2 + k + 1/3) + c * (k + 1/2) + d * 1
= k^4 + (2 + a) * k^3 + (2 + 3a/2 + b) * k^2 + (1 + a + b + c) * k
+ (1/5 + a/4 + b/3 + c/2 + d)
これが、k^4 に等しくなるには、
a = - 2, b = 1, c = 0, d = - 1/30
つまり、
∫[x=k,k+1]{x^4 - 2 * x^3 + x^2 - 1/30}dx
= k^4
そこで、
1^4 + 2^4 + ... + n^4
= ∫[x=1,n+1]{x^4 - 2 * x^3 + x^2 - 1/30}dx
= 1/5 * {(n+1)^5 - 1^5} - 2 * 1/4 * {(n+1)^4 - 1^4} + 1/3 * {(n+1)^3 - 1^3} - 1/30 * {(n+1) - 1}
= 1/30 * {6 * (n+1)^5 - 15 * (n+1)^4 + 10 * (n+1)^3 - (n+1) - 6 + 15 - 10 + 1}
= 1/30 * (n+1) * {(n+1)-1} * {6 * (n+1)^3 - 9 * (n+1)^2 + (n+1) + 1}
= 1/30 * n(n+1){2(n+1)-1}{3 * (n+1)^2 - 3 * (n+1) - 1}
= 1/30 * n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n - 1)

[感想]
取り敢えず、素直に解きました。
もう少し、一般化もにらんだうまい方法もあるのでしょうか？

「uchinyan」10/23　18時38分受信 更新11/13
<水の流れ： 出題の意図は、積分をして　累乗の和が順に出てくることを 知ってもらいたいだけです。
Σ（ｋの５乗）、Σ（ｋの６乗）、Σ（ｋの７乗）、Σ（ｋの８乗）、Σ（ｋの９ 乗）、Σ（ｋの１０乗） このあたりまで知っていますが、公式とは言いませんけど。＞

昔、それこそ高校の頃、考えたのですが、漸化式は作れますよね。

S(n,k) = 1^k + 2^k + .. + n^k
とおいて、
(n+1)^(k+1) - n^(k+1)
= �納i=1,k+1]{C(k+1,i) * n^(k+1-i)}
= C(k+1,1) * n^k + C(k+1,2) * n^(k-1) + ... + C(k+1,k) * n
+ C(k+1,k+1) * 1
= (k+1) * n^k + �納i=1,k-1]{C(k+1,i+1) * n^(k-i)} + 1
なので、
(n+1)^(k+1) - 1^(k+1)
= (k+1) * S(n,k) + �納i=1,k-1]{C(k+1,i+1) * S(n,k-i)} + n
S(n,k)
= 1/(k+1) * {(n+1)^(k+1) - �納i=1,k-1]{C(k+1,i+1) * S(n,k-i)} - (n+1)}
これから、S(n,1) = n(n+1)/2 辺りから、随時、S(n,k) は求められます。

さすがに、一般式は求められないのかなぁ、と、思っていたのですが、
今回の積分で何かできないかな、と思ったり。
でも、a などの係数を一般に求めるのは簡単ではなさそうですね．．．
<水の流れ：順に積分をして求められようです＞

「uchinyan」11/03　14時16分受信 更新11/13
第162回数学的な応募問題への解答の追加

[考察1]
水の流れさんからのチャレンジもあったし、いい機会なので、同様にして、
S(n,k) = 1^k + 2^k + .. + n^k
としたときの、k = 5, 6, 7, 8, 9, 10 を求めてみます。
なお、詳しい計算は同様なので省略します。

* S(n,5) の場合
∫[x=k,k+1]{x^5 - 5/2 * x^4 + 5/3 * x^3 - 1/6 * x}dx = k^5
S(n,5) = 1^5 + 2^5 + ... + n^5
= ∫[x=1,n+1]{x^5 - 5/2 * x^4 + 5/3 * x^3 - 1/6 * x}dx
= ...
= 1/12 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^2 + 2n - 1)

* S(n,6) の場合
∫[x=k,k+1]{x^6 - 3 * x^5 + 5/2 * x^4 - 1/2 * x^2 + 1/42}dx = k^6
S(n,6) = 1^6 + 2^6 + ... + n^6
= ∫[x=1,n+1]{x^6 - 3 * x^5 + 5/2 * x^4 - 1/2 * x^2 + 1/42}dx
= ...
= 1/42 * n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)

* S(n,7) の場合
∫[x=k,k+1]{x^7 - 7/2 * x^6 + 7/2 * x^5 - 7/6 * x^3 + 1/6 * x}dx = k^7
S(n,7) = 1^7 + 2^7 + ... + n^7
= ∫[x=1,n+1]{x^7 - 7/2 * x^6 + 7/2 * x^5 - 7/6 * x^3 + 1/6 * x}dx
= ...
= 1/24 * n^2 * (n+1)^2 * (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)

* S(n,8) の場合
∫[x=k,k+1]{x^8 - 4 * x^7 + 14/3 * x^6 - 7/3 * x^4 + 2/3 * x^2 - 1/30}dx = k^8
S(n,8) = 1^8 + 2^8 + ... + n^8
= ∫[x=1,n+1]{x^8 - 4 * x^7 + 14/3 * x^6 - 7/3 * x^4 + 2/3 * x^2 - 1/30}dx
= ...
= 1/90 * n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n^4 - 15n^3 - n^2 + 9n - 3)

* S(n,9) の場合
∫[x=k,k+1]{x^9 - 9/2 * x^8 + 6 * x^7 - 21/5 * x^5 + 2 * x^3 - 3/10 * x}dx = k^9
S(n,9) = 1^9 + 2^9 + ... + n^9
= ∫[x=1,n+1]{x^9 - 9/2 * x^8 + 6 * x^7 - 21/5 * x^5 + 2 * x^3 - 3/10 * x}dx
= ...
= 1/20 * n^2 * (n+1)^2 * (2n^6 + 6n^5 + n^4 - 8n^3 + n^2 + 6n - 3)

* S(n,10) の場合
∫[x=k,k+1]{x^10 - 5 * x^9 + 15/2 * x^8 - 7 * x^6 + 5 * x^4 - 3/2 * x^2 + 5/66}dx = k^10
S(n,10) = 1^10 + 2^10 + ... + n^10
= ∫[x=1,n+1]{x^10 - 5 * x^9 + 15/2 * x^8 - 7 * x^6 + 5 * x^4 - 3/2 * x^2 + 5/66}dx
= ...
= 1/66 * n(n+1)(2n+1)(3n^8 + 12n^7 + 8n^6 - 18n^5 - 10n^4 + 24n^3 + 2n^2 - 15n + 5)

計算は決して楽ではありませんが、ある程度の規則性があるので、
それをチェックしながらやれば、計算違いは思ったよりなしで済みました。
原理的には、より高次の場合も可能ですね。

[考察2]
今回の問題とは離れますが、S(n,k) = 1^k + 2^k + .. + n^k は漸化式を作ることができます。
二項定理より、二項係数を C(p,q) などと書くと
n^(k+1) - (n-1)^(k+1) = �納i=0,k]{C(k+1,i) * n^i * (-1)^(k-i)}
そこで、n を 1, 2, ..., n として両辺をそれぞれ加えると、
n^(k+1) = �納i=0,k]{C(k+1,i) * S(n,i) * (-1)^(k-i)}
S(n,k) = 1/(k+1) * {n^(k+1) + �納i=0,k-1]{C(k+1,i) * S(n,i) * (-1)^(k-i+1)}
ただし、S(n,0) = n とします。
これを用いて実際に計算してみると．．．
S(n,1) = 1/2 * {n^2 + C(2,0) * S(n,0) * (-1)^2}
= 1/2 * n(n+1)
S(n,2) = 1/3 * {n^3 + C(3,0) * S(n,0) * (-1)^3 + C(3,1) * S(n,1) * (-1)^2 }
= 1/3 * {n^3 - 1 * n + 3 * 1/2 * n(n+1)}
= 1/6 * n(n+1)(2n+1)
S(n,3) = 1/4 * {n^4 + C(4,0) * S(n,0) * (-1)^4 + C(4,1) * S(n,1) * (-1)^3
+ C(4,2) * S(n,2) * (-1)^2 }
= 1/4 * {n^4 + 1 * n - 4 * 1/2 * n(n+1) + 6 * 1/6 * n(n+1)(2n+1)}
= 1/4 * n * {n^3 + 1 - 2 * (n+1) + (n+1)(2n+1)}
= 1/4 * n^2 * (n+1)^2
S(n,4) = 1/5 * {n^5 + C(5,0) * S(n,0) * (-1)^5 + C(5,1) * S(n,1) * (-1)^4
+ C(5,2) * S(n,2) * (-1)^3 + C(5,3) * S(n,3) * (-1)^2}
= 1/5 * {n^5 - 1 * n + 5 * 1/2 * n(n+1) - 10 * 1/6 * n(n+1)(2n+1) + 10 * 1/4 * n^2 * (n+1)^2}
= ...
= 1/30 * n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n - 1)
いくらでも計算可能ですが、計算自体は必ずしも容易ではないようです。

[考察3]
ちょっと見方を変えて、階差数列を考えてみます。以下では、S(n,2) でやってみます。
 0 -  1 -  5 - 14 - 30 - 55 - ... - S(n,2) - S(n+1,2) - ...
      1 -  4 -  9 - 16 - 25 - ... -    n^2 -  (n+1)^2 - ...
           3 -  5 -  7 -  9 - ... -   2n-1 -     2n+1 - ...
                2 -  2 -  2 - ... -      2 -        2 - ...
                     0 -  0 - ... -      0 -        0 - ...
                          0 - ... -      0 -        0 - ...
これを次のように式で書いてみます。
1^2 + 2~2 + 3^3 + 4^2 + 5^2
= 55
= 30 + 25
= (14 + 16) + (16 + 9)
= (5 + 9) + 2 * (9 + 7) + (7 + 2)
= (1 + 4) + 3 * (4 + 5) + 3 * (5 + 2) + (2 + 0)
= (0 + 1) + 4 * (1 + 3) + 6 * (3 + 2) + 4 * (2 + 0) + (0 + 0)
= 1 * 0 + 5 * 1 + 10 * 3 + 10 * 2 + 5 * 0 + 1 * 0
= C(5,0) * 0 + C(5,1) * 1 + C(5,2) * 3 + C(5,3) * 2 + C(5,4) * 0 + C(5,5) * 0
ここで、0, 1, 3, 2, 0, 0 は、上記の多段の階差数列の初項になっています。
一方、その係数は、それぞれの初項から 55 までを最短で結ぶ経路の数になっています。
これは当然で、その経路の数だけ、初項が足し合わされることから明らかです。
これは一般 n でもいえるので、
S(n,2) = C(n,0) * 0 + C(n,1) * 1 + C(n,2) * 3 + C(n,3) * 2 + C(n,4) * 0 + C(n,5) * 0 + 0 + ...
= n * 1 + n(n-1)/2! * 3 + n(n-1)(n-2)/3! * 2
= 1/6 * n * (6 + 9(n-1) + 2(n-1)(n-2))
= 1/6 * n * (2n^2 + 3n + 1)
= 1/6 * n(n+1)(2n+1)

ほとんど明らかなので詳しい証明は省略しますが、この議論は一般の S(n,k) に対しても成立し、
多段の階差数列の初項を a(0), a(1), a(2), ... とすると、
a(0) = 0 で a(k+2) 以降もすべて 0 となり、
S(n,k) = �納i=1,k+1] {C(n,i) * a(i)}
と書けます。
k を与えれば、多段の階差数列は計算できるので、a(i) も計算可能で、
この式で S(n,k) を求めることができます。
ただ、a(i) の一般項を求めるのは大変そうな気がします。

[考察4]　今回の問題の背景かな？
残念ながら、考察4は私のオリジナルではなく、Webで調べたことをまとめたものです。
ただ、ちょっと不思議な？、でもよく知られているらしい、数を使って、
一応、S(n,k) の一般式が書き下せるらしいので、ご紹介します。
もっとも、皆さん、水の流れさんは、既によくご存知なのだろうと思いますが。
次の式で B(i) という数を定義します。この B(i) をベルヌーイ数というそうです。
B(0) = 1
�納i=0,m]{C(m+1,i) * B(i)} = 0
具体的には、
B(0) = 1, B(1) = -1/2, B(2i+1) = 0 for i = 1, 2, ...
B(2) = 1/6, B(4) = -1/30, B(6) = 1/42, B(8) = -1/30, B(10) = 5/66, ...
などとなります。
さらに、このベルヌーイ数と二項係数の積を係数にもつベルヌーイ多項式というものを
B(x,m) = �納i=0,m]{C(m,i) * B(i) * x^(m-i)}
と定義します。これを m = 0, 1, 2, 3, 4 で計算してみると
B(x,0) = 1
B(x,1) = x - 1/2
B(x,2) = x^2 - x + 1/6
B(x,3) = x^3 - 3/2 * x^2 + 1/2 * x
B(x,4) = x^4 - 2 * x^3 + x^2 - 1/30
なんと、今回の問題の積分に出てきた多項式に一致します！
さて、ベルヌーイ多項式の性質を調べてみます。まず、
dB(x,m)/dx
= �納i=0,m-1]{C(m,i) * B(i) * (m-i) * x^(m-i-1)}
= �納i=0,m-1]{m!/(m-i)!i! * B(i) * (m-i) * x^(m-i-1)}
= m * �納i=0,m-1]{(m-1)!/(m-1-i)!i! * B(i) * x^(m-1-i)}
= m * �納i=0,m-1]{C(m-1,i) * B(i) * x^(m-1-i)}
= m * B(x,m-1)
次に、m not= 1 のとき、
B(1,m) = �納i=0,m]{C(m,i) * B(i)}
= �納i=0,m-1]{C(m,i) * B(i)} + B(m)
= B(m)
= B(0,m)
さらに、m >= 1 で、
B(x+1,m) - B(x,m) = m * x^(m-1)
が成立します。これは、
d(B(x+1,m) - B(x,m))/dx = m * (B(x+1,m-1) - B(x,m-1))
を用いて、数学的帰納法で証明できます。
したがって、
∫[k,k+1]{B(x,m)}dx
= ∫[k,k+1]{1/(m+1) * dB(x,m+1/dx)}dx
= 1/(m+1) * {B(k+1,m+1) - B(k,m+1)}
= 1/(m+1) * (m+1) * k^m
= k^m
となり、B(x,m) は、確かに今回の問題の題意を満たします。
そこで、m >= 1 で、
S(n,m) = ∫[x=1,n+1]{B(x,m)}dx
= ∫[x=1,n+1]{1/(m+1) * dB(x,m+1)/dx}dx
= 1/(m+1) * {B(n+1,m+1) - B(1.m+1)}
= 1/(m+1) * {�納i=0,m+1]{C(m+1,i) * B(i) * (n+1)^(m+1-i)} - B(0,m+1)}
= 1/(m+1) * {�納i=0,m]{C(m+1,i) * B(i) * (n+1)^(m+1-i)}
つまり、
S(n,k) = 1/(k+1) * {�納i=0,k]{C(k+1,i) * B(i) * (n+1)^(k+1-i)}
となります。これによって、ベルヌーイ数を使って S(n,k) が求められます。
例えば、
S(n,1) = 1/2 * {C(2,1) * B(1) * (n+1) + C(2,2) * B(0) * (n+1)^2}
= 1/2 * (2 * (-1/2) * (n+1) + 1 * 1 * (n+1)^2)
= 1/2 * n(n+1)
になり、よく知られた公式と一致します。
もっとも、ベルヌーイ数を知らないと話しにならないので、これが実用上便利かどうかは、
ちょっと疑問ですが．．．
ただ、一般形が書き下せるのは「スゴイ！」と思いました。
少なくとも今回の問題の背景と思われます。
なお、さらに少し変形すると、
S(n,m) = ∫[x=1,n+1]{B(x,m)}dx
= ∫[x=0,n]{B(x+1,m)}dx
= ∫[x=0,n]{m * S(x,m-1) + B(1,m)}dx
= m * ∫[x=0,n]{S(x,m-1)}dx + B(1,m) * n
これから、
S(n,k) = k * ∫[x=0,n]{S(x,m-1)}dx + c * n
ただし、c は S(1,k) = 1 となるように決める、とできます。
この形式ならば、ベルヌーイ数は表に表れず、単に積分形式の S(n,k) の漸化式になっています。
考察2の積分版といったところでしょうか。
実用上は、これが一番便利なような気がします。

[考察5]
これも前半はWebからの受け売りで恐縮ですが、考察4とはちょっと違った方法です。
考察2の次の式から出発します。
n^(k+1) = �納i=0,k]{C(k+1,i) * S(n,i) * (-1)^(k-i)}
後の議論のために k -> m, i -> k と置き換えて、少し変形すると
1/(m+1)! * n^(m+1) = �納k=0,m]{1/(m-k+1)! * (-1)^(m-k) * 1/k! * S(n,k)} ... (1)
この両辺に x^(m+1) をかけて m で 0 から∞まで足し上げてみます。
ただし、右辺の 1/k! * S(n,k) に注目して、次の式を考えます。
P(x,n) = �納k=0,∞]{1/k! * S(n,k) * x^k}
これは、S(n,k) の一種の母関数と呼ばれるもので、級数の計算などに利用される手法です。
すると、
(1)の左辺 = �納m=0,∞]{1/(m+1)! * n^(m+1) * x^(m+1)} = exp(nx) - 1
(1)の右辺 = �納m=0,∞]{�納k=0,m]{1/(m-k+1)! * (-1)^(m-k) * 1/k! * S(n,k) * x^(m+1)}
�狽ﾌ二重和は、まず m について m=k,∞ としてから k=0,∞ としても同じなので、
= �納k=0,∞]{�納m=k,∞]{1/(m-k+1)! * (-1)^(m-k) * 1/k! * S(n,k) * x^(m+1)}
m-k -> i と置き換えて、
= �納k=0,∞]{�納i=0,∞]{1/(i+1)! * (-1)^i * x^(i+1)} * (1/k! * S(n,k) * x^k)}
= �納k=0,∞]{(1 - exp(-x)) * (1/k! * S(n,k) * x^k)}
= (1 - exp(-x)) * P(x,n)
そこで、
P(x,n) = (exp(nx) - 1) * exp(x)/(exp(x) - 1)
右辺の最初のところを再度マクローリン展開すると
P(x,n) = �納m=1,∞]{1/m! * (nx)^m * exp(x)/(exp(x) - 1)}
= �納m=1,∞]{1/m! * (nx)^(m-1) * n * (x * exp(x))/(exp(x) - 1)}
ここで、
(x * exp(x))/(exp(x) - 1) = �納i=0,∞]{b(i) * 1/i! * x^i}
とマクローリン展開し、そのときの係数を b(i) と定義します。
この b(i) と考察4のベルヌーイ数 B(i) との関係を、後で検討します。
これを用いると、
P(x,n) = �納m=1,∞]{1/m! * (nx)^(m-1) * n * �納i=0,∞]{b(i) * 1/i! * x^i}}
= �納m=1,∞]{�納i=0,∞]{1/m! * 1/i! * n^m * b(i) * x^(m+i-1)}}
m+i-1 -> k とおいて、和を m, k で表すと
= �納m=1,∞]{�納k=m-1,∞]{1/m! * 1/(k-m+1)! * n^m * b(k-m+1) * x^k}}
�狽ﾌ二重和は、まず m について m=1,k+1 としてから k=0,∞ としても同じなので、
= �納k=0,∞]{�納m=1,k+1]{1/m! * 1/(k-m+1)! * n^m * b(k-m+1) * x^k}}
= �納k=0,∞]{�納m=1,k+1]{C(k+1,m) * 1/(k+1)! * n^m * b(k-m+1) * x^k}}
= �納k=0,∞]{1/k! * �納m=1,k+1]{C(k+1,m)/(k+1) * b(k-m+1) * n^m} * x^k}
これを P(x,n) の定義と比較すると、
S(n,k) = 1/(k+1) * �納m=1,k+1]{C(k+1,m) * b(k-m+1) * n^m}
= 1/(k+1) * �納i=0,k]{C(k+1,i) * b(i) * n^(k+1-i)}
となります。
さてここで、b(i) を求めてみましょう。ここからは、私の付け足しです。
まず、
f(x) = x/(exp(x) - 1)
f(x) * (exp(x) - 1) = x
を考えます。
f(x), exp(x) - 1 をマクローリン展開して両辺の x のべきの係数を比べると、
f(x) の係数が考察4のベルヌーイ数の定義式を満たすことが分かります。
つまり、
x/(exp(x) - 1) = �納i=0,∞]{B(i) * 1/i! * x^i}
がいえます。なお、こちらをベルヌーイ数の定義とする方が主流のようです。
次に、
x/(exp(x) - 1) = (-x) * exp(-x)/(exp(-x) - 1)
となるので、実は、b(i) と B(i) とは、B(i) = (-1)^i * b(i) で、
i が偶数のときは同じ、i が奇数のときは符号だけが異なる
ことが分かります。そこで、b(1) の符号だけが B(i) と異なり、
b(0) = 1, b(1) = 1/2, b(2i+1) = 0 for i = 1, 2, ...
b(2) = 1/6, b(4) = -1/30, b(6) = 1/42, b(8) = -1/30, b(10) = 5/66, ...
となります。もちろん、これを使っても S(n,k) が求められます。例えば、
S(n,1) = 1/2 * {C(2,1) * b(1) * n + C(2,2) * b(0) * n^2}
= 1/2 * (2 * 1/2 * n + 1 * 1 * n^2)
= 1/2 * n(n+1)
になり、やはり、よく知られた公式と一致します。
これは当然で、
S(n,k) = 1/(k+1) * �納i=0,k]{C(k+1,i) * b(i) * n^(k+1-i)}
= 1/(k+1) * {C(k+1,1) * b(1) * n^k + �納i=even]{C(k+1,i) * b(i) * n^(k+1-i)}}
= 1/(k+1) * {2 * C(k+1,1) * b(1) * n^k
- C(k+1,1) * b(1) * n^k + �納i=even]{C(k+1,i) * b(i) * n^(k+1-i)}}
= 1/(k+1) * {2 * (k+1) * 1/2 * n^k
+ C(k+1,1) * B(1) * n^k + �納i=even]{C(k+1,i) * B(i) * n^(k+1-i)}}
= n^k + 1/(k+1) * �納i=0,k]{C(k+1,i) * B(i) * n^(k+1-i)}
S(n,k) - n^k = 1/(k+1) * �納i=0,k]{C(k+1,i) * B(i) * n^(k+1-i)}
S(n-1,k) = 1/(k+1) * �納i=0,k]{C(k+1,i) * B(i) * n^(k+1-i)}
がいえますが、右辺は、考察4の場合の S(n-1,k) になっており、
結局、b(i) を用いた式と B(i) を用いた式とは等価です。
なお、細かいことですが、考察4の積分による漸化式は、b(i) を使うと、
S(n,m) = m * ∫[x=0,n]{S(x,m-1)}dx + b(m) * n
と書くこともできます。
それと、Webを見る限り少数派のようですが、b(i) をベルヌーイ数と定義する流儀もあるようです。

NO2「cbc」 10/22　23時16分受信 更新11/13

NO3「H7K｣ 10/23　19時18分受信 更新11/13
第162回問題の解答を送ります．
1. ともかく左辺を積分してみる．
(左辺)
= [ x^4/4 + ax^3/3 + bx^2/2 + cx]_k^{k+1}
= (1+4k+6k^2+4k^3)/4 + a(1+3k+3k^2)/3 + b(1+2k)/2 + c
= k^3 + ( 3/2 + a )k^2 + ( 1 + a + b )k + ( 1/4 + a/3 + b/2 + c )
これが任意のkでk^3と等しくなるのだから，
a=-3/2, b=1/2, c=0.
さて，求める 1^3+...+n^3 は，
先の式を k=1, 2,...,n として足し合わせたものである．
すなわち，
1^3+...+n^3
= ∫(x=1...n+1) (x^3-3x^2/2+x/2) dx
= [ x^4/4 - x^3/2 + x^2/4 ]_1^{n+1}
= ( n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1)/4 - ( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 )/2
  + ( n^2 + 2n + 1 )/4
= ( n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - 2n^3 - 6n^2 - 6n - 2 + n^2 + 2n + 1 )/4
= ( n^4 + 2n^3 + n^2 ) /4
= ( n(n+1)/2 )^2.

2. 同様にやってみる．
(左辺)
= [ x^5/5 + ax^4/4 + bx^3/3 + cx^2/2 + d]_k^{k+1}
= (1+5k+10k^2+10k^3+5k^4)/5 + a(1+4k+6k^2+4k^3)/4 + b(1+3k+3k^2)/3 + c(1+2k)/2 + d
= k^4 + ( 2 + a )k^3 + ( 2 + 3a/2 + b )k^2 + ( 1 + a + b + c) k + ( 1/5 + a/4 + b/3 + c/2 + d )
である．これが任意のkでk^4と等しくなるのだから，
a=-2, b=1, c=0, d=-1/30.
よって，求める和は，同様に，
1^4+...+n^4
= ∫(x=1...n+1) (x^4-2x^3+x^2-1/30) dx
= [ x^5/5 - x^4/2 + x^3/3 + x/30 ]_1^{n+1}
= ( n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n )/5 - ( n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n )/2
  + ( n^3 + 3n^2 + 3n )/3 - n/30
= n^5/5 + n^4/2 + n^3/3 - n/30.

NO4「kashiwagi｣10/24　17時28分受信 更新11/13
162回解答

問題1

　　の両辺をで微分すると、

　

因って、となる。又、上記式を積分計算しを得る。

次に・・・・・であるが、上記積分式より積分される式をと置くと、

・・・・・　＝　＋+・・・・・＋　＝

　　 ＝　であるから、これの積分計算をし、

　＝　をうまく使い、　を得る。

問題2

　問題1と全く同じ手順で計算すると、、

因って　＝　を使い計算し、面倒な式を整理すると、

　・・・・・　＝　を得る。

NO5「Toru」 10/25　16時09分受信 更新11/13
問題１

・(x=k〜k+1) (x^3+ax^2+bx+c)dx=[x^4/4+ax^3/3+bx^2/2+cx] (k,k+1)
= ((k+1)^4-k^4)/4+a((k+1)^3-k^3)/3+b((k+1)^2-k^2)/2+c((k+1)-k)
=(4k^3+6k^2+4k+1)/4+a(3k^2+3k+1)/3+b(2k+1)/2+c
=k^3+(3/2+a)k^2+(1+a+b)k+1/4+a/3+b/2+c=k^3 が恒等式
よりa=-3/2, b=1/2, c=0
1^3+2^3+-----+n^3=Σ(k=0〜n)k^3=・(x=0〜n)(x^3-3/2 x^2+1/2 x)dx+n^3
=n^4 /4-n^3 /2+n^2 /4+n^3= n^4 /4+n^3 /2+n^2 /4=1/4 n^2(n+1)^2

問題２

・(x=k〜k+1) (x^4+ax^3+bx^2+cx+d)dx=[x^5/5+ax^4/4+bx^3/3+cx^2/2+dx](k,k+1)
=
((k+1)^5-k^5)/5+a((k+1)^4-k^4)/4+b((k+1)^3-k^3)/3+c((k+1)^2-k^2)/2+d((k+1)-k
)
=(5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)/5+a(4k^3+6k^2+4k+1)/4+b(3k^2+3k+1)/3+c(2k+1)/2+d
=k^4+(2+a)k^3+(2+3/2 a+b)k^2+(1+a+b+c)k+1/5+a/4+b/3+c/2+d
=k^4 が恒等式
よりa=-2, b=1, c=0,d=-1/30
1^4+2^5+--------+n^5=Σ(k=0〜n)k^4=・(x=0〜n) (x^4-2x^3+x^2-1/30)dx+n^4
=n^5 /5-n^4 /2+n^3 /3-n/30+n^4
= n^5 /5+n^4 /2+n^3 /3-n/30
=1/30 n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)

 遅くなりましたが、第１６２回解答を送ります。
一般のべき和、1^k+2^k+------+n^k に関連して、ベルヌイの多項式やベルヌイの数
について、この機会に解析概論を見直してみました。
＜水の流れ：この問題の奥行きには　、ベルヌイの多項式やベルヌイの数が背景にあります。＞

NO6「浜田明巳」10/27　12時08分受信 更新11/13
問題１：任意の自然数ｋに対して，
　　∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ)ｄｘ＝ｋ^３（ａ，ｂ，ｃは定数）
とするとき，この式を利用して，
　　１^３＋２^３＋……＋ｎ^３
を求めよ．

問題２：任意の自然数ｋに対して，
　　∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^４＋ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ)ｄｘ＝ｋ^４（ａ，ｂ，ｃ，ｄは定数）
とするとき，この式を利用して，
　　１^４＋２^４＋……＋ｎ^４
を求めよ．

問題１：
　　ｋ^３＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ)ｄｘ
　＝[ｘ^４／４＋ａｘ^３／３＋ｂｘ^２／２＋ｃｘ]_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}
　＝{(ｋ＋１)^４−ｋ^４}／４＋ａ{(ｋ＋１)^３−ｋ^３}／３＋ｂ{(ｋ＋１)^２−ｋ^２}／２＋ｃ{(ｋ＋１)−ｋ}
　＝(４ｋ^３＋６ｋ^２＋４ｋ＋１)／４＋ａ(３ｋ^２＋３ｋ＋１)／３＋ｂ(２ｋ＋１)／２＋ｃ
　＝ｋ^３＋(３／２＋ａ)ｋ^２＋(１＋ａ＋ｂ)ｋ＋(１／４＋ａ／３＋ｂ／２＋ｃ)
　これがｋの恒等式なので，係数を比較して，
　　３／２＋ａ＝０……(1)
　　１＋ａ＋ｂ＝０……(2)
　　１／４＋ａ／３＋ｂ／２＋ｃ＝０……(3)
　(1)から，ａ＝−３／２
　(2)から，ｂ＝−１−ａ＝−１＋３／２＝１／２
　(3)から，ｃ＝−１／４−ａ／３−ｂ／２＝−１／４＋１／２−１／４＝０
　　∴ｋ^３＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^３−３ｘ^２／２＋ｘ／２)ｄｘ
　ｋ＝１，２，……，ｎを代入して，辺々を加えると，
　　１^３＋２^３＋……＋ｎ^３＝∫_{１＜ｘ＜ｎ＋１}(ｘ^３−３ｘ^２／２＋ｘ／２)ｄｘ
　＝[ｘ^４／４−ｘ^３／２＋ｘ^２／４]_{１＜ｘ＜ｎ＋１}
　＝{(ｎ＋１)^４−１}／４−{(ｎ＋１)^３−１}／２＋{(ｎ＋１)^２−１}／４
　＝(ｎ^４＋４ｎ^３＋６ｎ^２＋４ｎ)／４−(ｎ^３＋３ｎ^２＋３ｎ)／２＋(ｎ^２＋２ｎ)／４
　＝ｎ{(ｎ^３＋４ｎ^２＋６ｎ＋４)−２(ｎ^２＋３ｎ＋３)＋(ｎ＋２)}／４
　＝ｎ(ｎ^３＋２ｎ^２＋ｎ)／４
　＝ｎ^２(ｎ＋１)^２／４……(答)

問題２：
　　ｋ^４＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^４＋ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ)ｄｘ
　＝[ｘ^５／５＋ａｘ^４／４＋ｂｘ^３／３＋ｃｘ^２／２＋ｄｘ]_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}
　＝{(ｋ＋１)^５−ｋ^５}／５＋ａ{(ｋ＋１)^４−ｋ^４}／４＋ｂ{(ｋ＋１)^３−ｋ^３}／３＋ｃ{(ｋ＋１)^２−ｋ^２}／２＋ｄ{(ｋ＋１)−ｋ}
　＝(５ｋ^４＋１０ｋ^３＋１０ｋ^２＋５ｋ＋１)／５＋ａ(４ｋ^３＋６ｋ^２＋４ｋ＋１)／４＋ｂ(３ｋ^２＋３ｋ＋１)／３＋ｃ(２ｋ＋１)／２＋ｄ
　＝ｋ^４＋(２＋ａ)ｋ^３＋(２＋３ａ／２＋ｂ)ｋ^２＋(１＋ａ＋ｂ＋ｃ)ｋ＋(１／５＋ａ／４＋ｂ／３＋ｃ／２＋ｄ)
　これがｋの恒等式なので，係数を比較して，
　　２＋ａ＝０……(1)
　　２＋３ａ／２＋ｂ＝０……(2)
　　１＋ａ＋ｂ＋ｃ＝０……(3)
　　１／５＋ａ／４＋ｂ／３＋ｃ／２＋ｄ＝０……(4)
　(1)から，ａ＝−２
　(2)から，ｂ＝−２−３ａ／２＝−２＋３＝１
　(3)から，ｃ＝−１−ａ−ｂ＝−１＋２−１＝０
　(4)から，ｄ＝−１／５−ａ／４−ｂ／３−ｃ／２＝−１／５＋１／２−１／３＝−１／３０
　　∴ｋ^４＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^４−２ｘ^３＋ｘ^２−１／３０)ｄｘ
　ｋ＝１，２，……，ｎを代入して，辺々を加えると，
　　１^４＋２^４＋……＋ｎ^４＝∫_{１＜ｘ＜ｎ＋１}(ｘ^４−２ｘ^３＋ｘ^２−１／３０)ｄｘ
　＝[ｘ^５／５−ｘ^４／２＋ｘ^３／３−ｘ／３０]_{１＜ｘ＜ｎ＋１}
　＝{(ｎ＋１)^５−１}／５−{(ｎ＋１)^４−１}／２＋{(ｎ＋１)^３−１}／３−{(ｎ＋１)−１}／３０
　＝(ｎ^５＋５ｎ^４＋１０ｎ^３＋１０ｎ^２＋５ｎ)／５−(ｎ^４＋４ｎ^３＋６ｎ^２＋４ｎ)／２＋(ｎ^３＋３ｎ^２＋３ｎ)／３−ｎ／３０
　＝ｎ{６(ｎ^４＋５ｎ^３＋１０ｎ^２＋１０ｎ＋５)−１５(ｎ^３＋４ｎ^２＋６ｎ＋４)＋１０(ｎ^２＋３ｎ＋３)−１}／３０
　＝ｎ(６ｎ^４＋１５ｎ^３＋１０ｎ^２−１)／３０
　＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)(３ｎ^２＋３ｎ−１)／３０……(答)

（参考）次数を１つ上げ，解いてみる．
　　ｋ^５＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^５＋ａｘ^４＋ｂｘ^３＋ｃｘ^２＋ｄｘ＋ｅ)ｄｘ
　＝[ｘ^６／６＋ａｘ^５／５＋ｂｘ^４／４＋ｃｘ^３／３＋ｄｘ^２／２＋ｅｘ]_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}
　＝{(ｋ＋１)^６−ｋ^６}／６＋ａ{(ｋ＋１)^５−ｋ^５}／５＋ｂ{(ｋ＋１)^４−ｋ^４}／４＋ｃ{(ｋ＋１)^３−ｋ^３}／３＋ｄ{(ｋ＋１)^２−ｋ^２}／２＋ｅ{(ｋ＋１)−ｋ}
　＝(６ｋ^５＋１５ｋ^４＋２０ｋ^３＋１５ｋ^２＋６ｋ＋１)／６＋ａ(５ｋ^４＋１０ｋ^３＋１０ｋ^２＋５ｋ＋１)／５＋ｂ(４ｋ^３＋６ｋ^２＋４ｋ＋１)／４＋ｃ(３ｋ^２＋３ｋ＋１)／３＋ｄ(２ｋ＋１)／２＋ｅ
　＝ｋ^５＋(５／２＋ａ)ｋ^４＋(１０／３＋２ａ＋ｂ)ｋ^３＋(５／２＋２ａ＋３ｂ／２＋ｃ)ｋ^２＋(１＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)ｋ＋(１／６＋ａ／５＋ｂ／４＋ｃ／３＋ｄ／２＋ｅ)
　これがｋの恒等式なので，係数を比較して，
　　５／２＋ａ＝０……(1)
　　１０／３＋２ａ＋ｂ＝０……(2)
　　５／２＋２ａ＋３ｂ／２＋ｃ＝０……(3)
　　１＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝０……(4)
　　１／６＋ａ／５＋ｂ／４＋ｃ／３＋ｄ／２＋ｅ＝０……(5)
　(1)から，ａ＝−５／２
　(2)から，ｂ＝−１０／３−２ａ＝−１０／３＋５＝５／３
　(3)から，ｃ＝−５／２−２ａ−３ｂ／２＝−５／２＋５−５／２＝０
　(4)から，ｄ＝−１−ａ−ｂ−ｃ＝−１＋５／２−５／３＝−１／６
　(5)から，ｅ＝−１／６−ａ／５−ｂ／４−ｃ／３−ｄ／２＝−１／６＋１／２−５／１２＋１／１２＝０
　　∴ｋ^５＝∫_{ｋ＜ｘ＜ｋ＋１}(ｘ^５−５ｘ^４／２＋５ｘ^３／３−ｘ／６)ｄｘ
　ｋ＝１，２，……，ｎを代入して，辺々を加えると，
　　１^５＋２^５＋……＋ｎ^５＝∫_{１＜ｘ＜ｎ＋１}(ｘ^５−５ｘ^４／２＋５ｘ^３／３−ｘ／６)ｄｘ
　＝[ｘ^６／６−ｘ^５／２＋５ｘ^４／１２−ｘ^２／１２]_{１＜ｘ＜ｎ＋１}
　＝{(ｎ＋１)^６−１}／６−{(ｎ＋１)^５−１}／２＋５{(ｎ＋１)^４−１}／１２−{(ｎ＋１)^２−１}／１２
　＝(ｎ^６＋６ｎ^５＋１５ｎ^４＋２０ｎ^３＋１５ｎ^２＋６ｎ)／６−(ｎ^５＋５ｎ^４＋１０ｎ^３＋１０ｎ^２＋５ｎ)／２＋５(ｎ^４＋４ｎ^３＋６ｎ^２＋４ｎ)／１２−(ｎ^２＋２ｎ)／１２
　＝ｎ{２(ｎ^５＋６ｎ^４＋１５ｎ^３＋２０ｎ^２＋１５ｎ＋６)−６(ｎ^４＋５ｎ^３＋１０ｎ^２＋１０ｎ＋５)＋５(ｎ^３＋４ｎ^２＋６ｎ＋４)−(ｎ＋２)}／１２
　＝ｎ(２ｎ^５＋６ｎ^４＋５ｎ^３−ｎ)／１２
　＝ｎ^２(２ｎ^４＋６ｎ^３＋５ｎ^２−１)／１２
　＝ｎ^２(ｎ＋１)^２(２ｎ^２＋２ｎ−１)／１２
No7「kasama」　10/27 16時39分受信 更新11/13
【問題１】
与えられた条件より、
　(x³+ax²+bx+c)dx=k³⇒6(2a+3)k²+12(a+b+1)k+4a+6b+12c+3=0
kの値に関係なく上式が成り立つには、kの係数が0であれば良いので、
　2a+3=0、a+b+1=0、4a+6b+12c+3=0
これを解いて、
　a=-3/2、b=1/2、c=0 ･･･(答)
です。次に、f(x)=x³- 3x²/2+x/2とすると、
　1³+2³+･･･+n³=f(x)dx+f(x)dx+･･･+f(x)dx=f(x)dx
ここで、
　f(x)dx=(x³- 3x²/2+x/2)dx={n(n+1)}²/4
なので、
　1³+2³+･･･+n³={n(n+1)}²/4 ･･･(答)
です。


【問題２】
与えられた条件より、
　(x⁴+ax³+bx²+cx+d)dx=k⁴⇒60(a+2)k³+30(3a+2b+4)k²+60(a+b+c+1)k+12+15a+20b+30c+60d=0
問題１と同様にして、
　a+2=0、3a+2b+4=0、a+b+c+1=0、12+15a+20b+30c+60d=0
これを解いて、
　a=-2、b=1、c=0、d=-1/30 ･･･(答)
です。同様にして、
　1⁴+2⁴+･･･+n⁴=(x⁴-2x³+x²-1/30)dx=n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30
なので、
　1⁴+2⁴+･･･+n⁴=n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30 ･･･(答)
です。


【その他 2005/10/31追記】
Σ(kの5乗)、Σ(kの6乗)、Σ(kの7乗)、Σ(kの8乗)、Σ(kの9乗)、Σ(kの10乗)について調べてみました。
　f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+･･･+a_nxⁿ
とすると、各累乗の和は以下の表のようになります。

n	a0	a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8	a9	a10	和の数式
5	0	-1/6	0	5/3	-5/2	1						n^2(n+1)^2(2n^2+ 2n-1)/12
6	1/42	0	-1/2	0	5/2	-3	1					n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)/42
7	0	1/6	0	-7/6	0	7/2	-7/2	1				1n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)/24
8	-1/30	0	2/3	0	-7/3	0	14/3	-4	1			n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)/90
9	0	-3/10	0	2	0	-21/5	0	6	-9/2	1		1n^2(n^2+n-1)(n+1)^2(2n^4+4n^3-n^2-3n+3)/20
10	5/66	0	-3/2	0	5	0	-7	0	15/2	-5	1	n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5)/66

「kasama」　11/01 14時54分受信 更新11/13
Σ(kの1１乗)　n²(1+n)²(10-20n-3n²+26n³-5n⁴-16n⁵+4n⁶+8n⁷+2n⁸)/24
Σ(kの1２乗)　 n(1+n)(1+2n)(-691+2073n-287n²-3285n³+1420n⁴+2310n⁵-1190n⁶-1050n⁷+525n⁸+525n⁹+105n¹⁰)/2730
Σ(kの1３乗)　 n²(1+n)²(-691+1382n+202n²-1786n³+367n⁴+1052n⁵-326n⁶-400n⁷+125n⁸+150n⁹+30n¹⁰)/420
Σ(kの1４乗)　 n(1+n)(1+2n)(105-315n+44n²+498n³-217n⁴-345n⁵+182n⁶+144n⁷-81n⁸-45n⁹+24n¹⁰+18n¹¹+3n¹²)/90
Σ(kの1５乗)　 n²(1+n)²(420-840n-122n²+1084n³-226n⁴-632n⁵+203n⁶+226n⁷-83n⁸-60n⁹+21n¹⁰+18n¹¹+3n¹²)/48
Σ(kの1６乗)
n(1+n)(1+2n)(-3617+10851n-1519n²-17145n³+7485n⁴+11835n⁵-6275n⁶-4845n⁷+2775n⁸+1365n⁹-805n¹⁰-315n¹¹+175n¹²+105n¹³+15n¹⁴)/510
Σ(kの1７乗)
n²(1+n)²(-10851+21702n+3147n²-27996n³+5857n⁴+16282n⁵-5271n⁶-5740n⁷+2165n⁸+1410n⁹-565n¹⁰-280n¹¹+105n¹²+70n¹³+10n¹⁴)/180
Σ(kの1８乗)
n(1+n)(1+2n)(219335-658005n+92162n²+1039524n³-454036n⁴-716940n⁵+380576n⁶+292152n⁷-167958n⁸-80430n⁹+48132n¹⁰+16464n¹¹-9996n¹²-2940n¹³+1680n¹⁴+840n¹⁵+105n¹⁶)/3990
Σ(kの1９乗)
n²(1+n)²(438670-877340n-127173n²+1131686n³-236959n⁴-657768n⁵+213337n⁶+231094n⁷-87665n⁸-55764n⁹+22835n¹⁰+10094n¹¹-4263n¹²-1568n¹³+616n¹⁴+336n¹⁵+42n¹⁶)/840
Σ(kの２０乗)
n(1+n)(1+2n)(-3666831+11000493n-1540967n²-17378085n³+7591150n⁴+11982720n⁵-6362660n⁶-4877460n⁷+2806470n⁸+1335510n⁹-801570n¹⁰-266310n¹¹+163680n¹²+41580n¹³-25740n¹⁴-5940n¹⁵+3465n¹⁶+1485n¹⁷+165n¹⁸)/6930
＜水の流れ：「kasama」さんにお願いして、Σ(kの２０乗)までのものを頂ました。感謝しています。ありがとうございました。＞