平成１７年１２月２４日

[流れ星]

　　　　　第164回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：12月3日〜12月25日

［遺言書］

皆さん、2005年慶応義塾大学総合政策学部の入試問題に昔からある有名な問題が出題されていました。考えてください。
　

Ｐ氏はＮ頭のらくだを３人の息子に分けるように遺言して亡くなった。その遺言書によればＮのｘ分の１，ｙ分の１、ｚ分の１
（ｘ、ｙ、ｚは自然数で、ｘ＞ｙ＞ｚとする）が息子たちの相続するらくだの数である。ただし、Ｎはｘ、ｙ、ｚのいずれの倍数でもない。
１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＝１　でないので３人は悩んでいると、通りがかりの旅人が良い工夫を思い付いた。
　旅人のらくだを１頭を加えてＮ＋１を遺言の率に従って分割すれば、うまく分割でき、１頭余る。

したがって、旅人はなんの損得を受けないとう案である。３人は喜んでこの提案を受け入れた。ここで問題です。（質問を改題）

問題１：一番小さい自然数Ｎとｘ、ｙ、ｚを求めよ。

問題２：２番目に小さい自然数Ｎとｘ、ｙ、ｚを求めよ。

問題３：１００以下の自然数で題意を満たすＮとｘ、ｙ、ｚを求めよ。

問題４：何か考察できたら教えてください。

ＮＯ１「uchinyan」12/04　13時42分受信 更新12/24
最初に、「問題0」として、一般的な場合を考察します。

問題0：
条件から、x, y, z は x > y > z となる自然数、N は自然数で x, y, z の倍数でなく、
N+1 は x, y, z の倍数、として
(N+1)/x + (N+1)/y + (N+1)/z + 1 = N+1
を満たします。変形すると
1/x + 1/y + 1/z = N/(N+1)
です。この式より、明らかに、
x > y > z >= 2
です。そこで、条件とも合わせて、
・N+1 は、2 以上の異なる約数 x, y, z を少なくとも三つもつ。
・N+1 は素数でなく、N は 5 以上。
などが分かります。
さて、x > y > z より、
3/z > 1/x + 1/y + 1/z = N/(N+1)
そこで、N >= 5 なので、
2 <= z < 3 * (N+1)/N = 3 * (1 + 1/N) < 4
となり、z = 2 又は 3 になります。
しかし、z = 3 の場合は、
1/x + 1/y = N/(N+1) - 1/3 = (2N-1)/3(N+1)
で、x > y > z、N >= 5 より
2/y > 1/x + 1/y = (2N-1)/3(N+1)
z = 3 < 4 <= y < 3 * (2N+2)/(2N-1) = 3 * (1 + 3/(2N-1)) <= 4
となり、y は存在しません。したがって、z = 2 に確定します。
z = 2 の場合、
1/x + 1/y = N/(N+1) - 1/2 = (N-1)/2(N+1)
で、x > y > z、N >= 5 より
2/y > 1/x + 1/y = (N-1)/2(N+1)
z = 2 < 3 <= y < 4 * (N+1)/(N-1) = 4 * (1 + 2/(N-1)) <= 6
なので、y = 3, 4, 5 です。しかし、y = 5 の場合は、
1/x = N/(N+1) - 1/2 - 1/5 = (3N-7)/10(N+1)
x = 10 * (N+1)/(3N-1) = 10/3 * (1 + 4/(3N-1))
で、x > y > z、N >= 5 より
y = 5 < 6 <= x < 10/3 * (1 + 4/(3N-1)) <= 30/7 < 5
で、これは矛盾です。したがって、y = 3 又は 4 になります。
そこで、
・y = 4, z = 2 の場合
1/x = N/(N+1) - 1/2 - 1/4 = (N-3)/4(N+1)
x = 4 * (N+1)/(N-3) = 4 * (1 + 4/(N-3)) = 4 + 16/(N-3)
x, N は自然数で、N >= 5 なので、N-3 >= 2 で、
N-3 = 2, 4, 8, 16
x, y, z が N+1 の異なる約数でなければならないことも考慮すると、
N = 7, x = 8, y = 4, z = 2
N = 11, x = 6, y = 4, z = 2
N = 19, x = 5, y = 4, z = 2
になります。そして、確かに、これらは解になっています。
・y = 3, z = 2 の場合
1/x = N/(N+1) - 1/2 - 1/3 = (N-5)/6(N+1)
x = 6 * (N+1)/(N-5) = 6 * (1 + 6/(N-5)) = 6 + 36/(N-5)
x, N は自然数で、N >= 5 なので、N-5 >= 0 で、
N-5 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
x, y, z が N+1 の異なる約数でなければならないことも考慮すると、
N = 11, x = 12, y = 3, z = 2
N = 17, x = 9, y = 3, z = 2
N = 23, x = 8, y = 3, z = 2
N = 41, x = 7, y = 3, z = 2
になります。そして、確かに、これらは解になっています。
以上で、解はすべてです！
まとめると、
N = 7, x = 8, y = 4, z = 2
N = 11, x = 6, y = 4, z = 2
N = 11, x = 12, y = 3, z = 2
N = 17, x = 9, y = 3, z = 2
N = 19, x = 5, y = 4, z = 2
N = 23, x = 8, y = 3, z = 2
N = 41, x = 7, y = 3, z = 2
になります。

問題1：
問題0より、
N = 7, x = 8, y = 4, z = 2

問題2：
問題0より、
N = 11, x = 6, y = 4, z = 2
N = 11, x = 12, y = 3, z = 2

問題3：
問題0より、
N = 7, x = 8, y = 4, z = 2
N = 11, x = 6, y = 4, z = 2
N = 11, x = 12, y = 3, z = 2
N = 17, x = 9, y = 3, z = 2
N = 19, x = 5, y = 4, z = 2
N = 23, x = 8, y = 3, z = 2
N = 41, x = 7, y = 3, z = 2

問題4：
問題0より、問題3の解ですべてであることが分かります。
なお、一応、十進BASICのプログラムでも、1 <= N <= 10000 の範囲でチェックしました。
次がそのプログラム及び結果です。ナイーブなコーディングなので、効率はよくありません。
なお、見栄えのために、一部空白に全角スペースを使用しています。

LET a = 10000
FOR N = 1 TO a
　FOR x = 1 TO N+1
　　IF (MOD(N,x) <> 0) AND (MOD(N+1,x) = 0) THEN
　　　FOR y = 1 TO x-1
　　　　IF (MOD(N,y) <> 0) AND (MOD(N+1,y) = 0) THEN
　　　　　FOR z = 1 TO y-1
　　　　　　IF (MOD(N,z) <> 0) AND (MOD(N+1,z) = 0) THEN
　　　　　　　IF (N+1)/x + (N+1)/y + (N+1)/z = N THEN
　　　　　　　　PRINT "N ="; N; ", x ="; x; ", y ="; y; ", z ="; z
　　　　　　　END IF
　　　　　　END IF
　　　　　NEXT z
　　　　END IF
　　　NEXT y
　　END IF
　NEXT x
NEXT N
END

出力結果

N = 7 , x = 8 , y = 4 , z = 2
N = 11 , x = 6 , y = 4 , z = 2
N = 11 , x = 12 , y = 3 , z = 2
N = 17 , x = 9 , y = 3 , z = 2
N = 19 , x = 5 , y = 4 , z = 2
N = 23 , x = 8 , y = 3 , z = 2
N = 41 , x = 7 , y = 3 , z = 2

[感想]
最初見たときは、今回は難しそうだな、と思ったのですが、やってみたら以外に簡単でした。
問題4の考察は、問題を変形してみるなども考えられますが、取り敢えず。

ＮＯ２「ドンキー」12/05 23時22分受信 更新12/24
＜解答＞

まず準備をします。

Ｎはｘ、ｙ、ｚのいずれの倍数でもなく（★）、またＮ+1はｘ、ｙ、ｚの倍数である（☆）ことに注意しておく。

題意より

　　（Ｎ＋１）／ｘ＋（Ｎ+1）/ｙ+（Ｎ+1）/ｚ＝Ｎ

すなわち

　　1/ｘ+1/ｙ+1/ｚ＝Ｎ/（Ｎ+1）　　・・・�@

また、ｘ、ｙ、ｚのいずれかが１だと�@が成り立たないので

　　ｘ＞ｙ＞ｚ＞1　　・・・�A

となります。

（☆）と�Aから、Ｎ+1は１より大きい異なる３つの約数をもつことになるので、

　　Ｎ+1≧6　　∴Ｎ≧5

したがって

　　Ｎ/（Ｎ+1）＝1-1/（Ｎ+1）≧4/5

ゆえに�@から

　　1/ｘ+1/ｙ+1/ｚ≧4/5　・・・�B

また�Aから

　　1/ｘ+1/ｙ++1/ｚ＜1/ｚ+1/ｚ+1/ｚ＝3/ｚ　・・・�C

�B�Cより

　　4/5＜3/ｚ　　∴ｚ＜15/4＝3.75

ｚは自然数で１より大きいので　ｚ＝2　または　ｚ＝3

（�@）ｚ＝2のとき

　�Aから　ｙ≧3　・・・�D

　また�Cと同様に考えれば　1/ｘ+1/ｙ＜2/ｙ　だから

　�Bとｚ＝2より　4/5-1/2＜2/ｙ　　∴ｙ＜20/3＝6.66

　�Dと合わせて、ｙは3,4,5,6のいずれか。

　

　（ア）ｙ＝3のとき

　　（☆）よりＮ+1は６の倍数なので　Ｎ+1＝6ｍ（ｍは整数）とおける。

　　このとき�@より

　　　1/ｘ＝（6ｍ-1）/6ｍ-1/2-1/3＝（ｍ-1）/6ｍ

　　∴　ｘ＝6ｍ/（ｍ-1）＝6+6/（ｍ-1）

　　ｘが自然数であることから　ｍ＝2,3,4,7　でこのとき　ｘ＝12,9,8,7

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（7,3,2）のとき　�@より　Ｎ＝41　となり、これは（★）（☆）を満たす。

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（8,3,2）のとき　�@より　Ｎ＝23　となり、これは（★）（☆）を満たす。

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（9,3,2）のとき　�@より　Ｎ＝17　となり、これは（★）（☆）を満たす。

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（12,3,2）のとき �@より　�@を満たすＮは無く、不適。

　

　（イ）ｙ＝4のとき

　　（☆）よりＮ+1は４の倍数なので　Ｎ+1＝4ｍ（ｍは整数）とおける。

　　このとき�@より

　　　1/ｘ＝（4ｍ-1）/4ｍ-1/2-1/4＝（ｍ-1）/4ｍ

　　∴　ｘ＝4ｍ/（ｍ-1）＝4+4/（ｍ-1）

　　ｘは自然数で�Aより　ｘ＞ｙ＝4　だから　ｍ＝3、5　でこのとき　ｘ＝6、5

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（5,4,2）のとき　�@より　Ｎ＝19　となり、これは（★）（☆）を満たす。

　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（6,4,2）のとき　�@より　Ｎ＝12　となり、これは（★）（☆）を満たす。

　　

　（ウ）ｙ＝5のとき

　　�Bより　1/ｘ≧4/5-1/2-1/5＝1/10　　∴ｘ≦10

　　ｘ＞ｙ＝5と合わせると、ｘは6,7,8,9,10のいずれかだが、このとき�@（★）（☆）を同時に満たすＮは存在せず不適。

　

　（エ）ｙ＝6のとき

　　�Bより　1/ｘ≧4/5-1/2-1/6＝2/15　　∴ｘ≦15/2＝7.5

　　ｘ＞ｙ＝6と合わせると　ｘ＝7　となるが、このとき�@を満たすＮは存在せず不適。

（�A）ｚ＝3のとき

　　�Bより　1/ｘ+1/ｙ≧4/5-1/3＝7/15

　　また�Aから　１／ｘ+1/ｙ＜1/ｙ+1/ｙ＝2/ｙ

　　よって　2/ｙ＞7/15　　∴ｙ＜30/7＝4.3

　　ｙ＞ｚ＝3と合わせると　ｙ＝4

　　このとき�Bより　1/ｘ≧4/5-1/3-1/4＝13/60　　∴ｘ≦60/13＝4.6

　　ｘ＞ｙ＝4なので、これを満たすｘは存在せず不適。　

以上の考察で全てのＮが求められました。以下は問題の答え。

問題１

　　Ｎ＝12、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（6,4,2）

問題２

　　Ｎ＝17、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（9,3,2）

問題３

　　問題１、２の答え意外に

　　Ｎ＝19、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（5,4,2）　Ｎ＝23、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（8,3,2）

　　Ｎ＝41、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（7,3,2）

問題４

　　題意の性質を満たすＮ、および（ｘ、ｙ、ｚ）の組は上での考察で全て求められました。

　　今回のような完成された問題の場合、類題を作ることは難しく、

　　一般化といっても息子の人数を変えるぐらいで、たいしたことは考えられないと思います。

　　（息子が増えるとさらに場合わけが煩雑になり、きれいな性質が得られそうにもありません。）

　　というわけで、僕の頭では何も浮かびません（笑）

　

ＮＯ３「Toru」 12/08　11時47分受信 更新12/24
はやいものでもう師走ですね。文字どおり、お忙しいこととは思いますが、毎回、問題を楽しみにしております。今後ともよろしくお願いします。

問題１
N+1 が１以外の約数をすくなくとも３つ持つ必要があるが、これは6,8,10,12---
N+1=6は6/6+6/3+6/2=6で不適
N+1=8の時　8/8+8/4+8/2=7で適　　N=7  x=8,y=4,z=2
問題２
N+1=10は10/2+10/5+10/10=8で不適
N+1=12は12/12+12/3+12/2=11 or 12/6+12/4+12/2=11で適　N=12 x=12,y=3,z=2
またはx=6,y=4,z=2
問題３
条件が成り立つ時　1/x+1/y+1/z=N/(N+1)　
z≧3の時 1/x+1/y+1/z≦1/5+1/4+1/3=47/60 ＜7/8
N/(N+1)は単調増加で問題１からN≧7だから不適
よってz=2
z=2,y≧5の時1/x+1/y+1/z≦1/6+1/5+1/2=26/30＜7/8　同様に不適で
y=3 or 4
z=2,y=3の時　x=6(N+1)/(N-5)=6+36/(N-5)
x：（x≧４の自然数）かつ（N+1の約数）を満たす(N,x)の組は (N,x)=(41,7),(23,8),(17,9),(11,12)
z=2,y=4の時　x=4(N+1)/(N-3)=4+16/(N-3)
x：（x≧５の自然数）かつ（N+1の約数）を満たす(N,x)の組は (N,x)=(19,5),(11,6),(7,8)
答
(N,x,y,z)=(41,7,3,2),(23,8,3,2),(19,5,4,2)(17,9,3,2),(11,12,3,2),(11,6,4,2),(7,8,4,2)

ＮＯ４「kashiwagi｣12/08　12時35分受信 更新12/24
164回解答

問題1

題意より以下の方程式が成り立つ

　（N+1）（）　＝N　　これより　＜＜　が成り立つ。

　　因って、Nを順次変えて、ｘ、ｙ、ｚを求めると、

N=7、ｘ＝8、ｙ＝4、ｚ＝2　が求めるものである。

問題2

全く同様にして、N=11、ｘ＝6、ｙ＝4、ｚ＝2　が求めるものである。

問題3

　　後は同じなので、

　　　N=17、ｘ＝9、ｙ＝3、ｚ＝2

N=19、ｘ＝5、ｙ＝4、ｚ＝2

N=23、x=8、y=3、z=2

N=41、ｘ＝7、ｙ＝3、ｚ＝2 となる。

問題4

　　　求めるNは素数である。

ＮＯ５「cbc」 12/11　14時39分受信 更新12/24
164回の解答です。よろしくお願いします。

解は有限個しか有りませんでした。200以下という条件は不要に思えます。

ＮＯ６「浜田明巳」12/13　16時05分受信 更新12/24
エクセルのマクロで解いたところ，Ｎ≦２００の場合の答は以下の7通りであった．おそらくすべてのＮについても同じ答だろう．
　　(N,x,y,z)=(7,8,4,2),(11,12,3,2),(11,6,4,2),(17,9,3,2),(19,5,4,2),(23,8,3,2),(41,7,3,2)
　Ｎは奇数，ｙ＝３，４とｚ＝２以外に，残念ながら規則性は見いだせなかった．

Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim x As Integer
    Dim y As Integer
    Dim z As Integer
    Dim N As Integer
    Dim max As Integer
    max = 200 '********
    For N = 5 To max
      For z = 2 To N - 1
        For y = z + 1 To N
          For x = y + 1 To N + 1
            If 1 / x + 1 / y + 1 / z <> 1 Then
              If N Mod x > 0 And N Mod y > 0 And N Mod z > 0 Then
                If (N + 1) Mod x = 0 And (N + 1) Mod y = 0 And (N + 1) Mod z = 0 Then
                  If (N + 1) / x + (N + 1) / y + (N + 1) / z = N Then
                    Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
                    Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = N
                    Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = x
                    Cells(Cells(1, 1).Value, 4).Value = y
                    Cells(Cells(1, 1).Value, 5).Value = z
                    Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
                  End If
                End If
              End If
            End If
          Next x
        Next y
      Next z
    Next N
    Range("A1").Select
End Sub

ＮＯ７「kasama」　12/22 17時43分受信
「kasama」　12/26 17時50分受信 更新12/27　

【問題１〜３】
自然数Nの約数の集合をM(N)とすると、
　M(3+1)={1,2,4}
　M(4+1)={1,5}
　･･･
　M(7+1)={1,2,4,8}
なので、題意を満たすには、N≧7でなければなりませんから、
　1/x+1/y+1/z=N/(N+1)>7/8
です。ここで、z≧3とすると、
　1/x+1/y+1/z≦1/5+1/4+1/3=47/60<7/8
ですから、z=2です。y≧5とすると、
　1/x+1/y+1/z≦1/6+1/5+1/2=13/15<7/8
となるので、y=3,4です。以下、yとzで場合分けして考えます。
�@y=3,z=2の場合
　1/x+1/3+1/2=N/(N+1)⇒x=6{1+6/(N-5)}
なので、(N,x)=(11,12),(17,9),(23,8), (41,7)です。
�Ay=4,z=2の場合
　1/x+1/4+1/2=N/(N+1)⇒x=4{1+4/(N-3)}
なので、(N,x)=(7,8),(11,6),(19,5) です。
�@�Aを整理すると、
　(N,x,y,z)=(7,8,4,2),(11,12,3,2),(11,6,4,2),(17,9,3,2),(19,5,4,2),(23,8,3,2),(41,7,3,2)
となります。
簡単なプログラムで、100以下のNについて確かめてみると、
(16:36) gp > dai164(100)
7: [2, 4, 8]
11: [2, 3, 12]
11: [2, 4, 6]
17: [2, 3, 9]
19: [2, 4, 5]
23: [2, 3, 8]
41: [2, 3, 7]
となり、上記の値が正しいことがわかります。

【プログラム】
dai164(m)=
{
    local(n);
    for (n=0, m, divide(n, 1, 0, vector(3)));
}
divide(n, i, p, v)=
{
if (i <= n+1,
        if (p >= length(v),
            if (sum(i=1, length(v), (n+1)/v[i]) == n, print(n, ": ", v));
        ,
            if (((n+1) % i == 0) && (gcd(n, i) == 1),
                v[p+1] = i;
                divide(n, i+1, p+1, v);
            );
            divide(n, i+1, p, v);
     ,
        if (p >= length(v),
            if (sum(i=1, length(v), (n+1)/v[i]) == n, print(n, ": ", v));
        );
   );
}
※青字:2005.12.26修正