平成１８年１月９日

[流れ星]

　　　　　第16５回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：12月２4日～１月９日

［西暦２００６年］

皆さんから、この１年間ご愛顧賜り誠にありがとうございます。感謝申しあげます。来年は西暦２００６年です。
因数分解をすると、２×１７×５９になります。そこで、２００６に関する問題を考えました。

問題１：１，２，３，４，５，６，７，８，９という数字に間に四則演算記号の＋、－、×、÷、さらに（　　）、
または数字に間に演算記号を入れなくても良い。すなわち二桁とか、三桁として使用して、
計算式を作り結果が２００６になるようにつくってください。＜いわゆる『小町算』と呼ばれるもの＞

問題２：４という数字を４つ使って、２００６になるようにつくってください。＜いわるる　Four Fourth 問題＞
可能な記号としては、平方根の√　、階乗の！　、小数点の「　．」例えば０.４＝.４　、０..４＝..４、
循環小数記号の「′」０．４４４・・・＝．４′　があります。

問題３：連続する幾つかの自然数の和が２００６になるようにつくってください。

問題４：数列１，３，６，10 ，・・・，n(n+1)／２　を三角数といいます。
そこで、３個の三角数の和で２００６になるようにつくってください。

問題５：数列０，１，４，９，16 ，・・・，ｎ×ｎ（ｎは整数）　を四角数といいます。
そこで、４個の四角数の和（同じ四角数を何度用いても良い）で２００６になるようにつくってください。

問題６：西暦２００６年は平成１８年にあたります。分数１８／２００６を２つの単位分数の和に分解してください。

注１：フランス人ピエール・ド・フェルマーはディファントスが書いた『算術』の余白に問題４，問題５に関しての記述をしている。

注２：太郎さんには、未だ解決していない問いもあり、不可能なこともありえます。

ＮＯ１「uchinyan」12/25　17時16分受信
「uchinyan」12/27　13時12分受信 更新1/9
第165回数学的な応募問題の解答
問題1： 2006 = 2 * 17 * 59 のヒントから、取り敢えず、
1 * 2 * (3 * 4 + 5) * (6 * 7 + 8 + 9) = 2006
問題2：
うーむ、分からん、後回し．．．
えーと、0..4 = ..4 の意味が分からないのですが、都合よく、
0.4 = .4, 0.04 = ..4, 0.004 = ...4, 0.0004 = ....4 などと解釈すれば、できました。
4/√(......4) + 4!/4 = 4/√(0.000004) + 24/4 = 4/0.002 + 6 = 2000 + 6 = 2006
問題3：
n, m を自然数として、
n-m, n-m+1, ..., n-1, n, n+1, ..., n+m-1, n+m に対して、
(n-m) + (n-m+1) + ... + (n-1) + n + (n+1) + ... + (n+m-1) + (n+m) = n * (2m+1) なので、n * (2m+1) = 2006 = 2 * 17 * 59 より、

m = 0, n = 2006 又は m = 8, n = 118 又は m = 29, n = 34 となるので、
2006 = 2006
110 + 111 + ... + 117 + 118 + 119 + ... + 125 + 126 = 2006
5 + 6 + 7 + ... + 33 + 34 + 35 + ... + 61 + 62 + 63 = 2006
問題4：
題意を満たす三つの三角数を a(a+1)/2, b(b+1)/2, c(c+1)/2 と書くことにします。
なお、題意から、0 は含めないとします。すると、
a(a+1)/2 + b(b+1)/2 + c(c+1)/2 = 2006
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 4012
1 <= a <= b <= c と仮定していいのでそうすると、
a(a+1) <= 4012/3 = 1337 + 1/3, c(c+1) >= 4012/3 = 1337 + 1/3
a(a+1) <= 1337, c(c+1) >= 1338
1 <= a <= 36, 37 <= c
また、明らかに、
c(c+1) + 2 + 2 <= 4012
c(c+1) <= 4008
37 <= c <= 62
この後、しらみつぶしに(プログラムで ^^;)チェックすると、(a, b, c) として、
( 1 , 30 , 55 )、( 1 , 39 , 49 )、( 4 , 14 , 61 )、( 4 , 40 , 48 )、( 7 , 25 , 57 )、( 7 , 37 , 50 )
( 12 , 37 , 49 )、( 14 , 19 , 58 )、( 14 , 40 , 46 )、( 16 , 34 , 50 )、( 19 , 23 , 55 )、( 22 , 32 , 49 )
( 25 , 28 , 50 )、( 25 , 40 , 41 )、( 28 , 39 , 40 )、( 30 , 34 , 43 )

問題5：
題意を満たす四つの四角数を a^2, b^2, c^2, d^2 と書くことにします。
今度は、題意から、0 を含めることにします。すると、
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2006
0 <= a <= b <= c <= d と仮定していいのでそうすると、
a^2 <= 2006/4 = 501 + 1/2, d^2 >= 2006/4 = 501 + 1/2
a^2 <= 501, d^2 >= 502
0 <= a <= 22, 23 <= c
また、明らかに、d^2 <= 2006 で、
23 <= d <= 44
この後、しらみつぶしに(プログラムで ^^;)チェックすると、(a, b, c, d) として、
( 0 , 1 , 18 , 41 )、( 0 , 1 , 22 , 39 )、( 0 , 3 , 29 , 34 )、( 0 , 6 , 11 , 43 )、( 0 , 6 , 17 , 41 )
( 0 , 10 , 15 , 41 )、( 0 , 11 , 11 , 42 )、( 0 , 11 , 21 , 38 )、( 0 , 11 , 27 , 34 )、( 0 , 14 , 17 , 39 )
( 0 , 14 , 21 , 37 )、( 0 , 15 , 25 , 34 )、( 0 , 18 , 29 , 29 )、( 1 , 4 , 15 , 42 )、( 1 , 4 , 30 , 33 )
( 1 , 9 , 18 , 40 )、( 1 , 9 , 30 , 32 )、( 1 , 12 , 30 , 31 )、( 1 , 15 , 22 , 36 )、( 1 , 23 , 24 , 30 )
( 2 , 3 , 12 , 43 )、( 2 , 9 , 20 , 39 )、( 2 , 9 , 25 , 36 )、( 2 , 15 , 16 , 39 )、( 3 , 5 , 6 , 44 )
( 3 , 5 , 26 , 36 )、( 3 , 6 , 19 , 40 )、( 3 , 8 , 13 , 42 )、( 3 , 12 , 22 , 37 )、( 3 , 14 , 24 , 35 )
( 3 , 16 , 29 , 30 )、( 3 , 20 , 21 , 34 )、( 3 , 22 , 27 , 28 )、( 4 , 6 , 27 , 35 )、( 4 , 15 , 26 , 33 )
( 4 , 18 , 21 , 35 )、( 4 , 19 , 27 , 30 )、( 5 , 6 , 24 , 37 )、( 5 , 18 , 19 , 36 )、( 5 , 24 , 26 , 27 )
( 6 , 7 , 20 , 39 )、( 6 , 7 , 25 , 36 )、( 6 , 8 , 15 , 41 )、( 6 , 9 , 17 , 40 )、( 6 , 13 , 24 , 35 )
( 6 , 15 , 28 , 31 )、( 6 , 16 , 25 , 33 )、( 6 , 20 , 27 , 29 )、( 7 , 7 , 12 , 42 )、( 7 , 15 , 24 , 34 )
( 8 , 9 , 30 , 31 )、( 8 , 14 , 15 , 39 )、( 8 , 18 , 23 , 33 )、( 8 , 22 , 27 , 27 )、( 9 , 9 , 20 , 38 )
( 9 , 10 , 12 , 41 )、( 9 , 10 , 15 , 40 )、( 9 , 10 , 23 , 36 )、( 9 , 12 , 25 , 34 )、( 9 , 15 , 16 , 38 )
( 9 , 15 , 26 , 32 )、( 9 , 20 , 25 , 30 )、( 10 , 13 , 21 , 36 )、( 10 , 21 , 21 , 32 )、( 11 , 12 , 29 , 30 )
( 11 , 16 , 27 , 30 )、( 12 , 13 , 18 , 37 )、( 12 , 14 , 21 , 35 )、( 12 , 15 , 26 , 31 )、( 12 , 17 , 22 , 33 )
( 13 , 18 , 27 , 28 )、( 13 , 19 , 24 , 30 )、( 14 , 15 , 17 , 36 )、( 15 , 15 , 20 , 34 )、( 15 , 16 , 25 , 30 )
( 15 , 23 , 24 , 26 )、( 18 , 20 , 21 , 29 )
問題6：
題意を満たす二つの単位分数の分母の自然数を a, b, a <= b とすると、
1/a + 1/b = 18/2006 = 9/1003
a <= b より 1/b <= 1/a で、
2/b <= 9/1003 <= 2/a
1 <= a <= 2006/9 = 222 + 8/9 <= b
1 <= a <= 222, 223 <= b
また、
1003(a + b) = 9ab
まず、1003 は 3 を素因数にもたないので、a + b は n を自然数として a + b = 9n と書けます。そこで、
1003n = ab
17 * 59 * n = a * b
この式から、c, d を自然数として、
a = 17c or a = 59c or b = 17d or b = 59d
* a = 17c の場合
59 * n = c * b
a の大きさの制限から 1 <= c <= 13 なので、b = 59d になります。そこで、n = cd
ところが、a + b = 9n だったので、　17c + 59d = 9cd
よって、c の範囲より、c = 1 又は c | d ですが、c = 1 は d < 0 で不可なので、c | d です。
また、4 <= d なので、d not= 1 となり d | 17c です。
しかし、k を自然数として d = ck なので k | 17 で k = 1, d = c 又は k = 17, d = 17c ですが、
k = 1, d = c の場合は　17c + 59c = 9c^2　　c = 76/9　　なので不可、
k = 17, d = 17c の場合は　17c + 59 * 17c = 9 * 17c^2　c = 20/3　　なので、やはり、不可です。
* a = 59c の場合は　17 * n = c * b　　a の大きさの制限から 1 <= c <= 3 なので、b = 17d になります。
そこで、n = cd
ところが、a + b = 9n だったので、59c + 17d = 9cd
よって、c の範囲より、c = 1 又は c | d ですが、c = 1 は d < 0 で不可なので、c | d です。
また、14 <= d なので、d not= 1 となり d | 59c です。
しかし、k を自然数として d = ck なので k | 59 で k = 1, d = c 又は k = 59, d = 59c ですが、
k = 1, d = c の場合は　59c + 17c = 9c^2　　　c = 76/9　　　なので不可、
k = 59, d = 59c の場合は　59c + 17 * 59c = 9 * 59c^2　
c = 2となり、a = 2 * 59 = 118, b = 17 * 59 * 2 = 2006 が解になります。
* b = 17d の場合　　59 * n = a * d　　b の大きさの制限から 14 <= d なので、
a = 59c 又は d = 59e ただし e は自然数、になります。
前者は、a = 59c の場合に一致します。
後者は、n = ae 　　　ところが、a + b = 9n だったので、a + 17 * 59e = 9ae
そこで、k を自然数として a = ek となり　k + 17 * 59 = 9ek
(9e - 1) * k = 17 * 59
k = 1, e = 1004/9 ---> 不可
k = 17, e = 20/3 ---> 不可
k = 59, e = 2 ---> a = 59c の場合に一致
k = 17 * 59 = 1003, e = 1/9 ---> 不可
となり、新たな解は出現しません。
* b = 59d の場合
17 * n = a * d
b の大きさの制限から 4 <= d なので、a = 17c 又は d = 17e ただし e は自然数、になります。
前者は、a = 17c の場合に一致します。
後者は、n = ae
ところが、a + b = 9n だったので、
a + 59 * 17e = 9ae
となり、b = 17d の場合と同様な計算になり、新たな解は出現しません。
以上より、1/118 + 1/2006 = 18/2006 だけが、解になります。

ＮＯ２「kashiwagi｣12/27　07時32分受信 更新1/9

お世話になります。早いもので本年もおしまいですね。一年間大変お世話になりました。
今回の問題は3～6は理論的に解けましたが、1,2は思い付きです。この様な問題はどの 様に解けば良いのか分かりません。
それでは良いお年をお迎え下さい。
165回解答

問題1

23×45＋978－1－6

1987＋4×5＋2＋3－6

問題2

4/√……4+4+√4

問題3

　　5,6・・・・・・34・・・・・・・62,63

　110,111・・・・・・118・・・・・・125,126

 501,502,503,504

問題4

　　　10+105+1891

問題5

   81+400+625+900

問題6

  1/118 +1/2006

ＮＯ３「kasama」　12/27  14時37分受信
「kasama」　12/29  04時49分受信
「kasama」　01/05  17時00分受信 更新1/9
明けましておめでとうございます。本年もよろしくお願い致します。
未解決だった問題６の数学的解法ができました。も少し効率的に解答に辿り着く方法があると思いますが、
その辺りは公開された解答を見て勉強させてもらいます。

【問題１】
通常の小町算はカッコ()を使用していはいけないと聞いているので答えはありません。しかし、その制約がなければ、プログラムで調べた結果、以下の33通りありました。

No

計算式

No

計算式

No

計算式

1

(1+(2*(3+4)-5)*(6+7))*(8+9)

12

((1+(2+3)*4)*5+6+7)*(8+9)

23

1-2+(3+4*(5-6+7*8))*9

2

(1+(2+3*4-5)*(6+7))*(8+9)

13

(1*(2+3)+4*5*6-7)*(8+9)

24

1-2+((3*(4+5)+6)*7-8)*9

3

(1-(2-3*4)*(5+6)+7)*(8+9)

14

(1-(2-3)*(4+5)*(6+7))*(8+9)

25

(1-2+(3+4*5-6)*7)*(8+9)

4

1-(2+3)*(4-5*(6*(7+8)-9))

15

(1-((2-3)*4-5)*(6+7))*(8+9)

26

(1-2+(3+4)*5)*(6*7+8+9)

5

1-(2+3)*(4+5*(6-7-8)*9)

16

(1+(2*3+4)*(5+6)+7)*(8+9)

27

1-2-(3-4-5)*6*7*8-9

6

1-(2+3)*(4+(5-6*7-8)*9)

17

(1+(2/3+4*5)*6-7)*(8+9)

28

1*2*(3-4*5)*(6-7*8-9)

7

1-(2+3)*(4+(5+6-7*8)*9)

18

((1+2)*(3+4+5*6)+7)*(8+9)

29

1*2*(3-4*5)*(6+7-8*9)

8

1-(2+3)*(4-(5*6+7+8)*9)

19

((1+2)*(3+4)*5+6+7)*(8+9)

30

1*2*(3*4+5+6*7)*(8+9)

9

1-(2+3)*((4-5-6)*7*8-9)

20

((1+2)/3+(4+5)*(6+7))*(8+9)

31

1*2*(3*4+5)*(6*7+8+9)

10

1*(2+3+4*5*6-7)*(8+9)

21

1-2+(3+4*(5+6*7+8))*9

32

1*2*(3*4*5+6-7)*(8+9)

11

(1*(2+3+4*5*6)-7)*(8+9)

22

1-2+3*(4*(5+6)*(7+8)+9)

33

(1*2+3+4*5*6-7)*(8+9)

※プログラムのステップが大きいので掲載しません。
【問題２】

0.000004などを含んでよいなら、例えば、4+4/√0.000004+√4、4+(0.004+4)/√0.000004です。他にもあると思いますが、見つけたらお知らせします。
【問題３】

プログラム(補足参照)で探しました。以下の3区間でした。
　(14:32) gp > Mondai3()
　 [5,63]
　[110,126]
　[500,503]
　(14:32) gp >

【問題４】
プログラム(補足参照)で探しました。以下の16組でした。

No

組

No

組

No

組

No

組

1

1,465,1540

5

28,325,1653

9

105,820,1081

13

325,406,1275

2

1,780,1225

6

28,703,1275

10

136,595,1275

14

325,820,861

3

10,105,1891

7

78,703,1225

11

190,276,1540

15

406,780,820

4

10,820,1176

8

105,190,1711

12

253,528,1225

16

465,595,946

【問題５】
プログラム(補足参照)で探しました。以下の64組でした。

No

組

No

組

No

組

No

組

1

1,16,225,1764

17

9,196,576,1225

33

36,225,784,961

49

81,400,625,900

2

1,16,900,1089

18

9,256,841,900

34

36,256,625,1089

50

100,169,441,1296

3

1,81,324,1600

19

9,400,441,1156

35

36,400,729,841

51

100,441,441,1024

4

1,81,900,1024

20

9,484,729,784

36

49,49,144,1764

52

121,144,841,900

5

1,144,900,961

21

16,36,729,1225

37

49,225,576,1156

53

121,256,729,900

6

1,225,484,1296

22

16,225,676,1089

38

64,81,900,961

54

144,169,324,1369

7

1,529,576,900

23

16,324,441,1225

39

64,196,225,1521

55

144,196,441,1225

8

4,9,144,1849

24

16,361,729,900

40

64,324,529,1089

56

144,225,676,961

9

4,81,400,1521

25

25,36,576,1369

41

64,484,729,729

57

144,289,484,1089

10

4,81,625,1296

26

25,324,361,1296

42

81,81,400,1444

58

169,324,729,784

11

4,225,256,1521

27

25,576,676,729

43

81,100,144,1681

59

169,361,576,900

12

9,25,36,1936

28

36,49,400,1521

44

81,100,225,1600

60

196,225,289,1296

13

9,25,676,1296

29

36,49,625,1296

45

81,100,529,1296

61

225,225,400,1156

14

9,36,361,1600

30

36,64,225,1681

46

81,144,625,1156

62

225,256,625,900

15

9,64,169,1764

31

36,81,289,1600

47

81,225,256,1444

63

225,529,576,676

16

9,144,484,1369

32

36,169,576,1225

48

81,225,676,1024

64

324,400,441,841


問題６(2006.01.05追記)】
題意を満足する単位分数を1/a、1/bとする。明らかにa≠bなのでa<bとしても一般性を失いません。すると、
　1/a+1/b=18/2006⇒1/a+1/a>18/2006⇒a<2006/9<222⇒a<222
また、
　1/a+1/b=18/2006⇒b=1003a/(9a-1003)⇒9a-1003>0⇒a>1003/9>111
ですから、111<a<222です。さらに、
　1/a+1/b=18/2006⇒(a+b)/ab=9/1003
で、1003=17×59だから、abは17,59を素因数に持ちますが、111<a<222ですから、aは17と59の両方を素因数に持つことはありません。
①aが17を素因数に持つ場合
 　a=119,136,153,170,187,204,221
が候補となりますが、そのときのbの値は、
　b=7021/4,8024/13,9027/22,10030/31,11033/40,12036/49,13039/58
となり不都合です。
②aが59を素因数に持つ場合
　a=118,177
が候補となりますが、そのときのbの値は、
　b=2006,3009/10
ですから、適当なものはa=118、b=2006です。
以上より、題意を満足する単位分数は1/118、1/2006であることがわかります。

【補足】

・問題３のプログラム
Mondai3()=
{
    local (m,n,d);
    for (m = 1, 2006,
        for (n = m+1, 2006,
            d = (n*(n+1)-m*(m-1))/2;
            if (d >= 2006,
                if (d == 2006, print("[",m,",",n,"]"));
                break;
            );
        );
    );
}
・問題４のプログラム
Mondai4(n)=
{
    trigNumber(n, 0, 1, 0, vector(n));
}
trigNumber(n, i, p, S, numbers)=
{
    local(a,k);
    if (i >= n,
        if (S == 2006,print1("{",numbers[1]);for (k = 2, n,print1(",",numbers[k]));print("}"););
        return;
    );
    for (k = p, 63,
        a = k*(k+1)/2;
        if (S+a > 2006, break);
        numbers[i+1] = a;
        trigNumber(n, i+1, k+1, S+a, numbers);
    )
}
・問題５のプログラム
Mondai5(n)=
{
    squreNumber(n, 0, 1, 0, vector(n));
}
squreNumber(n, i, p, S, numbers)=
{
    local(a,k);
    if (i >= n,
        if (S == 2006,print1("{",numbers[1]);for (k = 2, n,print1(",",numbers[k]));print("}"););
        return;
    );
    for (k = p, 45,
        a = k*k;
        if (S+a > 2006, break);
        numbers[i+1] = a;
        squreNumber(n, i+1, k, S+a, numbers);
    )
}

ＮＯ４「Toru」    12/27　16時47分受信 更新1/9
はやいもので「２００５年の問題」がつい最近のような気がしますが、もう一年たったのですね。プログラムの勉強は今年も結局せずじまいで、問題１、２、４、５は、
パズル的に例を作ることに徹しました。来年もまたよろしくお願いします。　

問題１　
-1+2+345x6+7-8x9=2006
(1x2+34)x56+7-8-9=2006
問題２　(4/√……4 )+4+√4=2006 (最初のルート内は4x10^(-6)です。..が細かくて見えない！？）
問題３　連続する自然数M～Nの和（M＜N）とすると
(M+N)(N-M+1)/2=2006=2x17x59
よりM+N=A  N-M+1=BとするとAB=2^2x17x59
A>B>1かつ A,Bの片方が偶数で片方は奇数であることに注意すると
(A,B)= (2^2x59,17),(2^2x17,59) (17x59,2^2)
     = (236,17),(68,59),(1003,4)
この時(M,N)= (110,126),(5,63),(500,503)
すなわち5+6+7+-----+63=2006
        110+111+-----+126=2006
        500+501+502+503=2006　　　　の３通り
問題4　たとえば、４６５＋５９５＋９４６＝２００６で
465=30x31/2  595=34x35/2  946=43x44/2
問題５　たとえば　４＋９＋１４４＋１８４９＝２００６
4=2^2,9=3^3,144=12^12,1849=43^2
問題６
18/2006=9/1003=1/n+1/m とすると　9mn-1003(m+n)=0
(9m-1003)(9n-1003)=1003^2=59^2 x 17^2
9m-1003=X, 9n-1003=Y とするとX,Yは整数で　X,Y≧-994
X≧Yとすれば　
(X,Y)=(59^2 x 17^2,1), (59^2 x 17,17),(59 x 17^2,59), (59^2, 17^2),(59 x 17,
59x 17)の可能性があるが、このうちm,nが自然数になるものは　
(X,Y)=(59 x 17^2,59)のみでこの時　(m,n)=(2006,118)  すなわち
　18/2006=1/118+1/2006 ----答え）

ＮＯ５「浜田明巳」12/28　14時14分受信 更新1/9
問題１，２はプログラムの問題ではなく，また正月にじっくりと考えたいものなので，後回しにさせて下さい．

問題３：連続する整数の最初の数をｍ，最後の数をｎとすると，条件から，
　　(ｎ－ｍ＋１)(ｍ＋ｎ)／２＝２００６
　　∴(ｎ－ｍ＋１)(ｍ＋ｎ)＝４０１２＝２^2×１７×５９………(1)
　ｎ－ｍ＋１，ｍ＋ｎは自然数であり，………(2)
　　(ｍ＋ｎ)－(ｎ－ｍ＋１)＝２ｍ－１＞０
　　∴ｍ＋ｎ＞ｎ－ｍ＋１………(3)
　また，差が奇数なので，ｍ＋ｎ，ｎ－ｍ＋１の偶奇は一致しない．………(4)
　(1)～(4)から，
　　(ｎ－ｍ＋１，ｍ＋ｎ)＝(１，４０１２)，(４，１００３)，(１７，２３６)，(５９，６８)
　　∴(２ｍ－１，ｎ－ｍ＋１)＝(４０１１，１)，(９９９，４)，(２１９，１７)，(９，５９)
　　∴(ｍ，ｎ－ｍ)＝(２００６，０)，(５００，３)，(１１０，１６)，(５，５８)
　　∴(ｍ，ｎ)＝(２００６，２００６)，(５００，５０３)，(１１０，１２６)，(５，６３)
　故に答は，
　　２００６
　　５００＋５０１＋５０２＋５０３
　　１１０＋１１１＋１１２＋………＋１２６
　　５＋６＋７＋………＋６３
の４通りある．

　エクセルのマクロでも求めてみた．
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim m As Integer
    Dim n As Integer
    Dim wa As Integer
    Dim j As Integer
    For m = 1 To 2006
      wa = m
      n = m
      While wa < 2006
        n = n + 1
        wa = wa + n
      Wend
      If wa = 2006 Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
        For j = m To n
          Cells(Cells(1, 1).Value, j - m + 2).Value = j
        Next j
        Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
      End If
    Next m
    Range("A1").Select
End Sub

問題４：エクセルのマクロで解いた．
　６２×６３／２＝１９５３＜２００６＜６３×６４／２＝２０１６であるから，ｎは６２以下である事が分かる．
　答は次の１６通り．
1,465,1540(1,30,55
1,780,1225(1,39,49)
10,105,1891(4,14,61)
10,820,1176(4,40,48)
28,325,1653(7,25,57)
28,703,1275(7,37,50)
78,703,1225(12,37,49)
105,190,1711(14,19,58)
105,820,1081(14,40,46)
136,595,1275(16,34,50)
190,276,1540(19,23,55)
253,528,1225(22,32,49)
325,406,1275(25,28,50)
325,820,861(25,40,41)
406,780,820(28,39,40)
465,595,946(30,34,43)

Option Explicit
Sub Macro2()
    Sheets("Sheet2").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim a(3) As Integer
    Call saiki3(1, a())
    Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki3(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer)
    Dim wa As Integer
    Dim j As Integer
    If n = 1 Then
      a(1) = 1
    Else
      a(n) = a(n - 1)
    End If
    While a(n) <= 62 '62*63/2=1953, 63*64/2=2016
      wa = 0
      For j = 1 To n
        wa = wa + sankakusuu(a(j))
      Next j
      If n < 3 And wa < 2006 Then
        Call saiki3(n + 1, a())
      ElseIf n = 3 And wa = 2006 Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
        For j = 1 To 3
          Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
          Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1 + 3).Value = sankakusuu(a(j))
        Next j
        Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
      End If
      a(n) = a(n) + 1
    Wend
End Sub
Private Function sankakusuu(ByVal n As Integer) As Integer
    sankakusuu = n * (n + 1) \ 2
End Function

問題５：これもエクセルのマクロで解いた．
　　４４×４４＝１９３６＜２００６＜４５×４５＝２０２５
なので，ｎは４４以下である事が分かる．
　答は次の７７通り．
0,1,324,1681(0,1,18,41)
0,1,484,1521(0,1,22,39)
0,9,841,1156(0,3,29,34)
0,36,121,1849(0,6,11,43)
0,36,289,1681(0,6,17,41)
0,100,225,1681(0,10,15,41)
0,121,121,1764(0,11,11,42)
0,121,441,1444(0,11,21,38)
0,121,729,1156(0,11,27,34)
0,196,289,1521(0,14,17,39)
0,196,441,1369(0,14,21,37)
0,225,625,1156(0,15,25,34)
0,324,841,841(0,18,29,29)
1,16,225,1764(1,4,15,42)
1,16,900,1089(1,4,30,33)
1,81,324,1600(1,9,18,40)
1,81,900,1024(1,9,30,32)
1,144,900,961(1,12,30,31)
1,225,484,1296(1,15,22,36)
1,529,576,900(1,23,24,30)
4,9,144,1849(2,3,12,43)
4,81,400,1521(2,9,20,39)
4,81,625,1296(2,9,25,36)
4,225,256,1521(2,15,16,39)
9,25,36,1936(3,5,6,44)
9,25,676,1296(3,5,26,36)
9,36,361,1600(3,6,19,40)
9,64,169,1764(3,8,13,42)
9,144,484,1369(3,12,22,37)
9,196,576,1225(3,14,24,35)
9,256,841,900(3,16,29,30)
9,400,441,1156(3,20,21,34)
9,484,729,784(3,22,27,28)
16,36,729,1225(4,6,27,35)
16,225,676,1089(4,15,26,33)
16,324,441,1225(4,18,21,35)
16,361,729,900(4,19,27,30)
25,36,576,1369(5,6,24,37)
25,324,361,1296(5,18,19,36)
25,576,676,729(5,24,26,27)
36,49,400,1521(6,7,20,39)
36,49,625,1296(6,7,25,36)
36,64,225,1681(6,8,15,41)
36,81,289,1600(6,9,17,40)
36,169,576,1225(6,13,24,35)
36,225,784,961(6,15,28,31)
36,256,625,1089(6,16,25,33)
36,400,729,841(6,20,27,29)
49,49,144,1764(7,7,12,42)
49,225,576,1156(7,15,24,34)
64,81,900,961(8,9,30,31)
64,196,225,1521(8,14,15,39)
64,324,529,1089(8,18,23,33)
64,484,729,729(8,22,27,27)
81,81,400,1444(9,9,20,38)
81,100,144,1681(9,10,12,41)
81,100,225,1600(9,10,15,40)
81,100,529,1296(9,10,23,36)
81,144,625,1156(9,12,25,34)
81,225,256,1444(9,15,16,38)
81,225,676,1024(9,15,26,32)
81,400,625,900(9,20,25,30)
100,169,441,1296(10,13,21,36)
100,441,441,1024(10,21,21,32)
121,144,841,900(11,12,29,30)
121,256,729,900(11,16,27,30)
144,169,324,1369(12,13,18,37)
144,196,441,1225(12,14,21,35)
144,225,676,961(12,15,26,31)
144,289,484,1089(12,17,22,33)
169,324,729,784(13,18,27,28)
169,361,576,900(13,19,24,30)
196,225,289,1296(14,15,17,36)
225,225,400,1156(15,15,20,34)
225,256,625,900(15,16,25,30)
225,529,576,676(15,23,24,26)
324,400,441,841(18,20,21,29)

Option Explicit
Sub Macro3()
    Sheets("Sheet3").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim a(4) As Integer
    Call saiki4(1, a())
    Range("A1").Select
End Sub
Sub saiki4(ByVal n As Integer, ByRef a() As Integer)
    Dim wa As Integer
    Dim j As Integer
    If n = 1 Then
      a(1) = 0
    Else
      a(n) = a(n - 1)
    End If
    While a(n) <= 44 '44*44=1936, 45*45=2025
      wa = 0
      For j = 1 To n
        wa = wa + shikakusuu(a(j))
      Next j
      If n < 4 And wa < 2006 Then
        Call saiki4(n + 1, a())
      ElseIf n = 4 And wa = 2006 Then
        Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
        For j = 1 To 4
          Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1).Value = a(j)
          Cells(Cells(1, 1).Value, j + 1 + 4).Value = shikakusuu(a(j))
        Next j
        Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
      End If
      a(n) = a(n) + 1
    Wend
End Sub
Private Function shikakusuu(ByVal n As Integer) As Integer
    shikakusuu = n * n
End Function

問題６：１／ａ＋１／ｂ＝１８／２００６＝９／１００３，ａ，ｂは自然数，ａ≦ｂ
とする．
　　１／ａ＜９／１００３
であるから，
　　ａ＞１００３／９＝１１１.４………
　　∴１１２≦ａ≦ｂ………(1)
　１／ａ＋１／ｂ＝９／１００３から，
　　９ａｂ＝１００３(ａ＋ｂ)
　　∴ａ(９ｂ－１００３)－１００３ｂ＝０
　　∴ａ(９ｂ－１００３)－１００３／９(９ｂ－１００３)＝１００３^2／９
　　∴(９ａ－１００３)(９ｂ－１００３)＝１００３^2＝１７^2×５９^2
　９ａ－１００３，９ｂ－１００３は自然数，９ａ－１００３≦９ｂ－１００３から，
　　(９ａ－１００３，９ｂ－１００３)＝(１，１００３^2)，(１７，１７×５９^2)，(５９，１７^2×５９)，(１７^2，５９^2)，(１７×５９，１７×５９)
　　(９ａ，９ｂ)＝(１００４，１００３^2＋１００３)，(１０２０，１７×５９^2＋１００３)，(１０６２，１７^2×５９＋１００３)，(１２９２，５９^2＋１００３)，(２００６，２００６)
　ａ，ｂは自然数なので，
　　(ａ，ｂ)＝(１１８，２００６)
　　∴１８／２００６＝１／１１８＋１／２００６

　また，分数計算を要するので，UBASICでも解いてみた．
   10   'asave "m165.ub"
   20   for A=2006\18 to 10000000
   30     B=1//(18//2006-1//A):'1//A+1//B=18//2006
   40     if int(B)=B and A<=B then print A;B
   50   next A
   60   end

ＮＯ６「たけｸｼﾞﾗ」01/01  04時49分受信
「たけｸｼﾞﾗ」01/03  01時17分受信 更新1/9　
二回目の投稿です。よろしくおねがいします。
問題１
1*2*(-3+4*5)*(6*7+8+9)=2006
問題２
4/sqrt(......4)+sqrt(4)+4=2006
問題３
2006=2*1003
よって、隣り合った足して1003となる数の左右一個ずつをとる。
500,501,502,503
2006=17*118
奇数の時は中心の数がでてくるので、
110,111・・・125,126
2006=59*34
5,6,7・・・61,62,63
以上三通り。
（例外として[2006]も解となる）
問題４
7*8/2+25*26/2+57*58/2=28+325+1653=2006ですね。
ってことで、ｎ＝7,25,58　でした。

問題５
44^2+6^2+5^2+3^2=1936+36+25+9=2006で
ｎ＝44,6,5,3ですね。
効率の良い見つけ方・他の答えも続いて探そうと思います。

問題６
18/2006=9/1003
9/1003 - 1/x
で、正となる最小のｘは112。
この時、分子は５。
よって、ｘ＝１１８のとき、分子が５９になる。

18/2006=9/1003=1/118+59/118354=1/118+1/2006　
＜コメント：３角数問題の証明（３平方和を使った証明）を使おうと思いましたが、逆に桁数の多い３平方和問題になってしまって、むしろ大変のようですね。＞