平成１８年１月９日

[流れ星]

　　　　　第16６回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：1月９日〜１月２９日

［平面幾何］

皆さん、今月の２１日２２日大学入試センター試験が全国各地で行われ、新課程の最初の生徒が受験生します。
その中で数学�T・Ａの科目に「平面幾何」があります。
前日、次のような問題を「上様」から受け取りました。解いてみてください。

問１：三角形ABCの内心をDとしてできる三角形ABD、三角形DBCの内心をそれぞれP,Qとし、
AB=４　BC=８ 角B＝９０としたときPQの長さを　解き方を添えて答えよ。

問２：三角形ABCの内心をIとし、角A＝６０゜、直線CIの延長とABの交点をE、直線BIの延長とACの交点をDとした時
EI＝IDを証明せよ。

問３（難）：三角形ABCの内心をI　外心をO　外接円の半径をR　内接円の半径をｒとした時

　　　　　　２Rｒ＝R2乗―OI２乗　　になることを証明せよ。

問４（有名：円に内接する正三角形ABCがあり弧BC（とりあえず短いほうと設定します）上に勝手な点Pを取るとき

　　　　　　PA＝PB+PC　であることを二通りの証明をせよ。

問５：半径２の円周上に４点ABCDを弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝４：４：３：１となるようにとるとき

　　　ADの長さを答えよ。

　　以上、１問２０点で１００点満点。

＜訂正：１月２６日夜に「上様」からありました。問１の問題で、内心を重心にという訂正です。締め切りが間近ということですが、修正前の問題も有効としておきます。この点については、深くお詫びします。＞

問１：三角形ABCの重心をDとしてできる三角形ABD、三角形DBCの重心（ここは１月２９日訂正）をそれぞれP,Qとし、
AB=４　BC=８ 角B＝９０としたときPQの長さを　解き方を添えて答えよ。

＜問題に関しては、問題３は有名な定理でして、平面図形のオイラーの定理と言われています。２００２年のセンター試験にありました。問題２は鹿児島大学の入試問題（何年かは分かっていないけど）

　
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。