平成１８年２月１９日

[流れ星]

　　　　　第16７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：２月１９日〜３月１２日

［ペル方程式］

皆さん、1998年のお茶の水大学入試問題から作問しました。チャレンジください。

問１：等式(ｘ^２−Ｎｙ^２)(ｓ^２−Ｎｔ^２)＝(ｘｓ＋Ｎｙｔ)^２―Ｎ(ｘｔ＋ｙｓ)^２を証明せよ。
　　　（注：この等式をブラーマグプタの恒等式という）

　ペル方程式とはＮを平方式でない自然数、ｍを０でない整数とするとき、ｘ^２−Ｎｙ^２＝ｍ という型の不定方程式をいいます。ここで、方程式 ｘ^２−Ｎｙ^２＝ｍ をＰ_ｍと書くことにします。(ｘ，ｙ)はＰ_ｍ の自然数解で、(ｓ，ｔ)はＰ_ｎ の自然数解であるとすると、問１の右辺はペル方程式の形をしています。左辺はｍｎですから、(ｘｓ＋Ｎｙｔ，ｘｔ＋ｙｓ)はペル方程式Ｐ_ｍｎの自然数解です。
　例えば、ｘ^２−２ｙ^２＝―２の自然数解とｓ^２−２ｔ^２＝ｎ（２月８日に変数の文字を訂正）の自然数解から、Ｐ_―２ｎの自然数解(ｘｓ＋２ｙｔ，ｘｔ＋ｙｓ)を作り出すことができます。
ここで、Ｐ_―２の自然数解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)とＰ_１の自然数解(ｓ，ｔ)からＰ_―２の自然数解　
　(ｘ_ｋ＋１，ｙ_ｋ＋１)＝(ｘ_ｋｓ＋２ｙ_ｋｔ，ｘ_ｋｔ＋ｙ_ｋｓ)が出てきます。ここから問題にします。

問２：Ｐ_１の最小自然数解(ｓ，ｔ)を求めよ。
問３：Ｐ_―２の最小自然数解(ｘ_１，ｙ_１)を求めよ。
問４：これらを利用して、Ｐ_―２の自然数解(ｘ_２，ｙ_２)、(ｘ_３，ｙ_３) 、(ｘ_４，ｙ_４)を求めよ。
問５：次に、Ｐ_―２の一般解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)を、ｋを用いて表せ。
問６：また、ｘ^２−２ｙ^２＝１の一般解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)を、ｋを用いて表せ。

ＮＯ１「uchinyan」1/29　15時09分受信

「uchinyan」1/31　16時13分受信 更新2/19
第167回数学的な応募問題への解答
［ペル方程式］

問1：
(x^2 - N * y^2)(s^2 - N * t^2)
= x^2 * s^2 + N^2 * y^2 * t^2 - N * (x^2 * t^2 + y^2 * s^2)
= x^2 * s^2 + 2 * N * xyst + N^2 * y^2 * t^2 - N * (x^2 * t^2 + 2 * xyst + y^2 * s^2)
= (xs + N * yt)^2 - N * (xt + ys)^2

以下では、下付き添え字を括弧に入れて書くことにします。
例えば、x^2 - 2 * y^2 = m は P(m) など。

問2：
P(1) は、s^2 - 2 * t^2 = 1 です。
「最小自然数解」の意味が若干あいまいですが、ナイーブに、t = 1, 2, ... としていって、
求まる最小の s、それに対応する t とみなし、求めました。
すると、(s,t) = (3,2)

問3：
問2と同様にして、
P(-2) は、x^2 - 2 * y^2 = -2 なので、(x(1),y(1)) = (4,3)

問4：
(x(k+1),y(k+1)) = (s * x(k) + 2t * y(k), t * x(k) + s * y(k)) より、
(x(2),y(2)) = (3 * 4 + 2 * 2 * 3, 2 * 4 + 3 * 3) = (24,17)
(x(3),y(3)) = (3 * 24 + 2 * 2 * 17, 2 * 24 + 3 * 17) = (140,99)
(x(4),y(4)) = (3 * 140 + 2 * 2 * 99, 2 * 140 + 3 * 99) = (816,577)

問5：
(x(k+1),y(k+1)) = (s * x(k) + 2t * y(k), t * x(k) + s * y(k)) より、
x(k+1) = 3 * x(k) + 4 * y(k)
y(k+1) = 2 * x(k) + 3 * y(k)
最初の式から y(k) = 1/4 * (x(k+1) - 3 * x(k)) なので、2番目の式の y を消すと、
1/4 * (x(k+2) - 3 * x(k+1)) = 2 * x(k) + 3 * 1/4 * (x(k+1) - 3 * x(k))
x(k+2) - 6 * x(k+1) + x(k) = 0
よく知られているようにこの3項漸化式の特性方程式
x^2 - 6 * x + 1 = 0
の解を
p = 3 - sqrt(8) = 3 - 2 * sqrt(2), q = 3 + sqrt(8) = 3 + 2 * sqrt(2)
とおくと、
x(k) = a * p^(k-1) + b * q^(k-1)
と書けます。x(1) = 4, x(2) = 24 より a, b を決定すると、
x(1) = a + b = 4
x(2) = ap + bq = 24
a = (24 - 4q)/(p-q) = (12 - 8 * sqrt(2))/(- 4 * sqrt(2)) = - 1/sqrt(2) * p
b = (24 - 4p)/(q-p) = (12 + 8 * sqrt(2))/(4 * sqrt(2)) = 1/sqrt(2) * q
x(k) = 1/sqrt(2) * (- p^k + q^k)
y(k) = 1/4 * (1/sqrt(2) * (- p^(k+1) + q^(k+1)) - 3/sqrt(2) * (- p^k + q^k))
= 1/(4 * sqrt(2)) * (- (p-3) * p^k + (q-3) * q^k)
= 1/(4 * sqrt(2)) * (2 * sqrt(2) * p^k + 2 * sqrt(2) * q^k)
= 1/2 * (p^k + q^k)
つまり、
x(k) = 1/sqrt(2) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k) = 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
になります。

問6：
x^2 - 2 * y^2 = - 2 において、式の形より明らかに、x = x(k) は偶数になっています。
そこで、両辺を -2 で割ると、
y^2 - 1/2 * x^2 = 1
y -> x, x -> 2 * y と置き換えると、新しい x, y はやはり自然数となり、
x^2 - 2 * y^2 = 1
を満たします。したがって、x^2 - 2 * y^2 = 1 の解は問5より構成できて、
x(k) = 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k) = 1/(2 * sqrt(2)) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)
になります。

(問6の別解1)
問6は、次のようにやってもできます。
題意より、P(1) と P(-2) との積で構成される P(-2) の解は、
P(1) の解 (s,t)、P(-2) の解 (x,y) を用いて (sx + 2ty, tx + sy) と書けますが、
これは、問5とは反対に、x, y が最小解で s, t が一般解の場合でも成立します。
そこで、一般に (s(k),t(k)) に対して、
(x(k+1),y(k+1)) = (s(k) * x(1) + 2 * t(k) * y(1), t(k) * x(1) + s(k) * y(1)) より、
s(k) * x(1) + 2 * t(k) * y(1) = x(k+1)
t(k) * x(1) + s(k) * y(1) = y(k+1)
つまり、
4 * s(k) + 6 * t(k) = x(k+1) = 1/sqrt(2) * (q^(k+1) - p^(k+1))
3 * s(k) + 4 * t(k) = y(k+1) = 1/2 * (q^(k+1) + p^(k+1))
これを s(k), t(k) について解いて、
s(k) = 3 * y(k+1) - 2 * x(k+1) 
= 1/2 * (3 * q^(k+1) + 3 * p^(k+1) - 2 * sqrt(2) * q^(k+1) + 2 * sqrt(2) * p^(k+1))
= 1/2 * pq * (p^k + q^k)
= 1/2 * (p^k + q^k)
t(k) = 1/2 * (3 * x(k+1) - 4 * y(k+1))
= 1/(2 * sqrt(2)) * (3 * q^(k+1) - 3 * p^(k+1) - 2 * sqrt(2) * q^(k+1) - 2 * sqrt(2) * p^(k+1))
= 1/(2 * sqrt(2)) * (pq) * (q^k - p^k)
= 1/(2 * sqrt(2)) * (q^k - p^k)
題意に合わせて s(k) -> x(k), t(k) -> y(k) と置き換えて、
x(k) = 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k) = 1/(2 * sqrt(2)) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)

(問6の別解2)
さらに、問6は、次のようにやってもできます。
題意より、P(m) と P(n) との積で構成される P(mn) の解は、
P(m) の解 (s,t)、P(n) の解 (x,y) を用いて (sx + 2ty, tx + sy) と書けますが、
m = n = 1 とすると、mn = 1 なので、s, t が最小解 (3,2) で x, y が P(1) の一般解の場合でも
成立します。そこで、一般に (x(k),y(k)) に対して、
(x(k+1),y(k+1)) = (s * x(k) + 2 * t * y(k), t * x(k) + s * y(k)) より、
x(k+1) = 3 * x(k) + 4 * y(k)
y(k+1) = 2 * x(k) + 3 * y(k)
これは、問5の漸化式と同じです。ただし、今回は、x(1) = 3, y(1) = 2, x(2) = 17, y(2) = 12 になります。
問5の場合は、x(1) = 4, y(1) = 3, x(2) = 24, y(2) = 17 でした。
つまり、初期条件からすると、x と y とが入れ替わって y が半分になってます。
これに注意して解くと、結局、
x(k) = 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k) = 1/(2 * sqrt(2)) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)
が得られます。

(感想)
一般に x^2 - N * y^2 = 1 or -1 の解は、(x,y) = (a,b) を最小解として、
x(k) = 1/2 * ((a + b * sqrt(N))^k + (a - b * sqrt(N))^k)
y(k) = 1/(2 * sqrt(N)) * ((a + b * sqrt(N))^k - (a - b * sqrt(N))^k)
であることは、(大学レベル？の)整数論の本やWebサイトを見れば証明されています。
(Webサイトでは、http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node61.html など。)
また、誘導の感じからして、本文の程度の解答でよさそうに思いました。
しかし、厳密には、x^2 - N * y^2 = m の解が、題意の構成法で尽きていることを、
別途、証明する必要がありそうな気がします。
もちろん、この感想の最初の仮定を認めてしまえば、m = N 又は -N の場合、今回の問題の場合、ならば、
x^2 - N * y^2 = N or -N
より、問6と同じようにして、x は N の倍数なので、
y -> x, x -> N * y 
と変換すれば、
x^2 - N * y^2 = 1 or -1
に帰着して、別途の証明は不要なのですが．．．でも、これでは、今回の構成法の意味がないですよね。
これに関しては、何か分かりましたら、また、報告したいと思います。
ただし、分かるかどうかは自信なし (^^;、

(考察1)
その後、(感想)で気にした、題意の構成法で解は尽きているかどうか、について、
分かったことを少し報告しておきます。
一応、証明できたことは、次のとおりです。なお、今回の問題に対しては、これで十分です。
[命題]
N を平方数でない自然数、m を N の約数である自然数とする。
x^2 - N * y^2 = m の自然数の一般解は、その最小自然数解 x(1) = a, y(1) = b と
x^2 - N * y^2 = 1 の最小自然数解 x(1) = s, y(1) = t とが求まる場合には、それらを用いて、
x(k) = 1/2 * ((a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1)
　　　+ (a - b * sqrt(N))(s - t * sqrt(N))^(k-1))
y(k) = 1/(2 * sqrt(N)) * ((a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1)
　　　- (a - b * sqrt(N))(s - t * sqrt(N))^(k-1))
と書ける。しかも、一般解は、これですべてである。
[命題終]
[証明＋解説]
以降、この命題を証明していきますが、今回の問題での構成法の提示で、
若干意味があいまいな点があるので、最初に、それらの意味を明確にするために、
整理をしておきます。そして、この整理が証明でのキーポイントになります。
まず、ブラーマグプタの恒等式
(s^2 - N * t^2)(x^2 - N * y^2) = (sx + N * ty)^2 - N * (tx + sy)^2
を変形すると、
(s + t * sqrt(N))(s - sqrt(N) * t)(x + sqrt(N) * y)(x - sqrt(N) * y)
= ((sx + N * ty) + sqrt(N) * (tx + sy))((sx + N * ty) - sqrt(N) * (tx + sy))
これをよく見ると、実は、
(s + t * sqrt(N))(x + sqrt(N) * y) = (sx + N * ty) + sqrt(N) * (tx + sy)
という恒等式が成立していることが分かります。これを、以下では、sqrt(N)の恒等式と呼びます。
ペル方程式との関わりではブラーマグプタの恒等式の方が分かりやすいですが、
sqrt(N) の入った式を考えた方がはっきりすることがあります。
それは、最小自然数解の「最小」の意味です。
今回の問題では何となく小さな x, y だろうと分かりますが、解は自然数の組なので、
その順序は、実はあいまいです。そこで、sqrt(N)の恒等式の中の x + y * sqrt(N) を使って、
x + y * sqrt(N) の大小関係で解 (x,y) の大小関係を定義することにします。
実際、x^2 - N * y^2 = m の解に対して、x + y * sqrt(N) = sqrt(N * y^2 + m) + y * sqrt(N) で、
y について単調増加なので、問2、問3の解釈とここでの定義は矛盾しません。
すると、最小自然数解とは、x + y * sqrt(N) を最小にするような自然数解 x, y のことです。
さて、今回の問題で提示された漸化式
(x(k+1),y(k+1)) = (s * x(k) + N * t * y(k), t * x(k) + s * y(k))
は、sqrt(N)の恒等式に従って解釈し直すと、
x(k+1) + y(k+1) * sqrt(N) = (s + t * sqrt(N))(x(k) + y(k) * sqrt(N))
x(1) = a, y(1) = b なので、これから、容易に、
x(k) + y(k) * sqrt(N) = (a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1)
が導けます。この式から、sqrt(N) -> - sqrt(N) とすると
x(k) - y(k) * sqrt(N) = (a + b - sqrt(N))(s - t * sqrt(N))^(k-1)
が導けるので、命題の式が得られます。ここまでは容易です。
命題のポイントは、一般解がこれしかないことです。この証明で最小性が重要になります。
まず、m = 1 の場合を考えます。このときは、a = s, b = t です。
さて、任意の自然数解 x = p, y = q を考えます。s, t は最小自然数解なので、
(s + t * sqrt(N))^k <= p + q * sqrt(N) < (s + t * sqrt(N))^(k+1)
となる自然数 k が存在するはずです。そこで、
1 <= (p + q * sqrt(N))/(s + t * sqrt(N))^k < s + t * sqrt(N)
先の議論より、x(k) + y(k) * sqrt(N) = (s + t * sqrt(N))^k に注意すると、
1 <= (p + q * sqrt(N))/(x(k) + y(k) * sqrt(N)) < s + t * sqrt(N)
ここで、
(p + q * sqrt(N))/(x(k) + y(k) * sqrt(N))
= ((p + q * sqrt(N))(x(k) - y(k) * sqrt(N)))/((x(k) + y(k) * sqrt(N))(x(k) - y(k) * sqrt(N)))
= ((p * x(k) - N * q * y(k)) + (q * x(k) - p * y(k)) * sqrt(N))/((x(k))^2 - N * (y(k))^2)
= (p * x(k) - N * q * y(k)) + (q * x(k) - p * y(k)) * sqrt(N)
で、x = p * x(k) - N * q * y(k), y = q * x(k) - p * y(k) とおくと、x, y は整数で、
1 <= x + y * sqrt(N) < s + t * sqrt(N)
しかも、
x^2 - N * y^2
= (p * x(k) - N * q * y(k))^2 - N * (q * x(k) - p * y(k))^2
= ((x(k))^2 - N * (y(k))^2) * p^2 - N * ((x(k))^2 - N * (y(k))^2) * q^2
= p^2 - N * q^2
= 1
なので、x, y は、x^2 - N * y^2 = 1 の解です。
ここで、1 <= x + y * sqrt(N) < s + t * sqrt(N) に注意して、
・x < 0 及び y < 0
x + y * sqrt(N) < -1 < 0 なので、ありえません。
・x < 0 及び y > 0
x - y * sqrt(N) < -1 ですが、x^2 - N * y^2 = (x + y * sqrt(N))(x - y * sqrt(N)) = 1 より、
-1 < x + y * sqrt(N) < 0 なので、ありえません。
・x > 0 及び y < 0
x - y * sqrt(N) > 1 ですが、x^2 - N * y^2 = (x + y * sqrt(N))(x - y * sqrt(N)) = 1 より、
0 < x + y * sqrt(N) < 1 なので、ありえません。
・x > 0 及び y > 0
x, y は自然数になりますが、s, t は最小自然数解だったので、
1 <= x + y * sqrt(N) < s + t * sqrt(N) と矛盾します。
・x = 0
- N * y^2 = 1 となりますが、これは明らかにありえません。
・y = 0
x^2 = 1 となりますが、x = 1 ならば矛盾しません。
以上で場合はすべてなので、結局、x + y * sqrt(N) = 1、すなわち、
p + q * sqrt(N) = (s + t * sqrt(N))^k
になります。つまり、m = 1 の場合のすべての解は、(s + t * sqrt(N))^k から構成されます。
次に、m not= 1 の場合を考えます。ただし、仮定より m は N の約数です。
任意の自然数解 x = p, y = q を考えます。a, b は最小自然数解なので、同様にして、
(a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1) <= p + q * sqrt(N) < (a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^k
となる自然数 k が存在するはずです。そこで、
(s + t * sqrt(N))^(k-1) <= (p + q * sqrt(N))/(a + b * sqrt(N)) < (s + t * sqrt(N))^k
ここで、
(p + q * sqrt(N))/(a + b * sqrt(N))
= ((p + q * sqrt(N))(a - b * sqrt(N)))/((a + b * sqrt(N))(a - b * sqrt(N)))
= ((p * a - N * q * b) + (q * a - p * b) * sqrt(N))/(a^2 - N * b^2)
a^2 - N * b^2 = m で、N は m の倍数なので、a, p も m の倍数になります。そこで、
= (p/m * a - N/m * q * b) + (q * a/m - p/m * b) * sqrt(N)
で、x = p/m * a - N/m * q * b, y = q * a/m - p/m * b とおくと、x, y は整数で、
(s + t * sqrt(N))^(k-1) <= x + y * sqrt(N) < (s + t * sqrt(N))^k
しかも、
x^2 - N * y^2
= (p/m * a - N/m * q * b)^2 - N * (q * a/m - p/m * b)^2
= (a^2 - N * b^2)/m * p^2/m - N/m * (a^2 - N * b^2)/m * q^2
= p^2/m - N/m * q^2
= (p^2 - N * q^2)/m
= 1
なので、x, y は、x^2 - N * y^2 = 1 の解です。
x, y の正負及び 0 の判定を m = 1 の場合と同じように行うと、1 <= (s + t * sqrt(N))^(k-1) に注意して、
今回は、x > 0 及び y > 0 か、x = 1 及び y = 0 が可能です。
前者は、x, y が自然数なので、結局、m = 1 の場合に帰着します。後者は、k = 1 です。
したがって、m = 1 の結果と先ほどの不等式とから、
x + y * sqrt(N) = (s + t * sqrt(N))^(k-1)
がいえて、結局、
p + q * sqrt(N) = (a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1)
つまり、すべての解は、(a + b * sqrt(N))(s + t * sqrt(N))^(k-1) から構成されることが分かりました。
[証明＋解説終]
この証明では、最小自然数解の意味を x + y * sqrt(N) が最小になるような自然数解 (x,y) と
解釈し直したことがポイントになっています。
しかし、そのために、ブラーマグプタの恒等式から離れたことが、若干不満ですが、
他にうまい証明を思いつきませんでした。
なお、今回の問題では、N = 2, m = -2 になっているので、この命題をそのまま使用できます。
s = 3, t = 2, a = 4, b = 3 で、
x^2 - 2 * y^2 = 1 の一般解は、
x(k) = 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k) = 1/(2 * sqrt(2)) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)
x^2 - 2 * y^2 = -2 の一般解は、
x(k)
= 1/2 * ((4 + 3 * sqrt(2))(3 + 2 * sqrt(2))^(k-1) + (4 - 3 * sqrt(2))(3 - 2 * sqrt(2))^(k-1))
= 1/sqrt(2) * ((2 * sqrt(2) + 3)(3 + 2 * sqrt(2))^(k-1) + (2 * sqrt(2) - 3)(3 - 2 * sqrt(2))^(k-1))
= 1/sqrt(2) * ((3 + 2 * sqrt(2))^k - (3 - 2 * sqrt(2))^k)
y(k)
= 1/(2 * sqrt(2)) * ((4 + 3 * sqrt(2))(3 + 2 * sqrt(2))^(k-1) - (4 - 3 * sqrt(2))(3 - 2 * sqrt(2))^(k-1))
= 1/2 * ((2 * sqrt(2) + 3)(3 + 2 * sqrt(2))^(k-1) - (2 * sqrt(2) - 3)(3 - 2 * sqrt(2))^(k-1))
= 1/2 * ((3 + 2 * sqrt(2))^k + (3 - 2 * sqrt(2))^k)
となって、当然ですが、一致します。

[考察2]
今回の問題に関しては、[考察1]の範囲で十分なのですが、実際には、実用面、理論面などの点から、
少なくとも、次の課題が残っていると思われます。
(1)　最小自然数解の求め方
今回の問題のように目の子で求まる場合にはいいのですが、そうでない場合が問題になります。
これに関しては、整数論の本やWebなどを見ると、少なくとも、x^2 - N * y^2 = 1 or -1 に関しては、
連分数展開を使った求め方が知られているようです。
例えば、http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node77.html を参照。
x^2 - N * y^2 = N or -N に関しては、x^2 - N * y^2 = 1 or -1 の最小自然数解 (a,b) に対して、
x = b, y = N * a で最小自然数解が求まります。
これ以外の場合は、私は、よく知りません。うまい方法があるのでしょうか？
例えば上記のWebの方法を改良できるのでしょうか？
(2) 一般の N に対する、P(m), P(n), P(mn) の解の一般的な構成
今回の構成法を使って、P(m), P(n) の具体的な解から、確かに P(mn) の解を求めることができます。
しかし、一般に、P(m), P(n) の一般解から、P(mn) の一般解を求めることができるかどうか、
などに関しては、今一つよく分からないです。
例えば、一般に、P(A) の解は、A の約数の分だけ、幾つかのルートで求めることが可能ですが、
それらがすべて一致するかどうか、とか、途中の解がない場合にはどうなるのか、などです。
また、こうした分解が矛盾なく行えれば、結局、P(A) の A は素数だけを考えれば十分になります。
理論的にも興味深いところです。
恐らくこうしたことは、sqrt(N) に基づく整数論、代数的整数論？、の範疇なのだろうと思いますが、
＜コメント：当然といえば当然なのですが、奥が深そうですね。少し、勉強して知識を増やしてから、再度考察してみたい気もします。＞

ＮＯ２「Toru」　　2/02　11時13分受信 更新2/19　
問１ (x^2-Ny^2)(s^2-Nt^2)=(x+√Ny)(x-√Ny)(s+√Nt)(s-√Nt)
=(x+√Ny)(s+√Nt)(x-√Ny)(s-√Nt)=(xs+Nyt+√N (xt+ys))(xs+Nyt-√N(xt+ys))
=(xs+Nyt)^2-N(xt+ys)^
問２
P１：x^2-2y^2=1 , y=1,2,--とするとx^2=3,9,--より最小自然数解は(s,t)=(3,2)
問３
P-2：x^2-2y^2=-2, y=1,2,3,--とするとx^2=0,6,16,--より最小自然数解
は(x1,y1)=(4,3)
問４  (s,t)=(3,2) ,(x1,y1)=(4,3)
x2=x1s+2y1t=24, y2= x1t+y1s=17より (x2,y2)=(24,17)
同様に(x3,y3)=(x2s+2y2t, x2t+y2s)=(140,99)
      (x4,y4)=(x3s+2y3t, x3t+y3s)=(816,577)
問５　xk=xk-1s+2yk-1t=3xk-1+4yk-1
      yk=xk-1t+yk-1s=2xk-1+3yk-1
からxk+√2yk=(3+2√2)(xk-1+√2yk-1)=(3+2√2)^k-1(x1+√2y1)=√2(3+2√2)^k
またxk-√2yk=-√2(3-√2)^k　より
xk=√2( (3+2√2)^k-(3-2√2)^ k)/2
yk=( (3+2√2)^k+(3-2√2)^ k)/2

問６　問５と同様にただx1=3 ,y1=2 とすると
xk+√2yk=(3+2√2)^k-1(x1+√2y1)=(3+2√2)^k
xk-√2yk=(3-2√2)^k
よりxk=((3+2√2)^k+(3-2√2)^k)/2
    yk=√2((3+2√2)^k-(3-2√2)^k)/4

　問５,問６について、一般解というにはこの方法で得られる解で全てを尽くしてい
ることの確認が必要だと思われますので、ちょっと触れておきます。
問6よりx^2-2y^2=1を(x+√2y)(x-√2y)=1 と書いて、 E=x+√2y ,Eの共役をE’=x-√2yとしてEE’=1とすればx,yの自然数解を求めることはE>1なるEを求めることに対応する。Ek=xk+yk√2=(3+2√2)^k 　(k=1,2,3,--)とすると Ekは単調増加で→∞、また
問２よりE1が E>1の最小解であることから、Ek以外の解E＞１があれば、あるkについてEk<E<Ek+1。
この時、(E/Ek)(E/Ek)’=EE’/EkEk’=1よりE/Ekも解となるが、1 <E／Ek <Ek/Ek+1=E1=3+2√2　から E1が最小解であることに矛盾する。
問５　F=x+√2y としてFF’=-2 とすると　F（E^n） (n=0,±1,±2,--)もx>0,y>0を満たせば解となる。これらを同伴の解とすると、同伴の解のグループは　F0=√2=(0+1√2)とF1=F0E=4+3√2から0<x≦4, 1<y≦3の範囲の解を必ず含む。
この範囲の解は、問３より、x=4,y=3のみで一般解としてxk+yk√2=(4+3√2)(3+2√2)^k-1=√2(3+2√2)^k

高木貞治先生の「初等整数論講議」に、本問に関連したおもしろい内容がいっぱい載っていて、とてもお勧めです。
（最後のところ少しわかりにくいですが、P223あたりを参考にしましたので参照いただければ幸いです。）　

ＮＯ３「kashiwagi｣2/10　08時31分受信 更新2/19
お世話になります。問5をじっくり考えていたのですが、どうしても綺麗にKで表すに 至りませんでした。
問4までで御容赦下さい。
167回解答

問1

(x²-N・y²)(s²-N・t²) = (x+√Ny)(x-√Ny) (s+√Nt)(s-√Nt)

= (xs+Nyt+√N(ys+xt)) )・(xs+Nyt-√N(ys+xt))

= ( xs+Nyt)²-N(ys+xt)²

問2

（3,　2）

問3

（4、3）

問4

計算を重ねて

（x₂、ｙ₂）　＝（24、17）

（x₃、ｙ₃）　＝（140、99）

（x₄、ｙ₄）　＝（816、577）

ＮＯ４「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　2/11　00時25分受信 更新2/19
久しぶりの参加です。分かるところまで．．．

問１：等式(ｘ^２-Ｎｙ^２)(ｓ^２-Ｎｔ^２)＝(ｘｓ＋Ｎｙｔ)^
２-Ｎ(ｘｔ＋ｙｓ)^２　を証明せよ。

解答
与式は、
(x-√N*y)(s-√N*t)(x+√N*y)(s+√N*t)
=((xs+√N*yt)-(√N*ys+√N*xt))((xs+√N*yt)+(√N*xt+√N*ys))
=(xs+√N*yt)^2-N(ys+xt)^2

問２：Ｐ１の最小自然数解(ｓ，ｔ)を求めよ。

解答
x^2-2y^2=1
明らかに、(x,y)=(3,2)

問３：Ｐ-２の最小自然数解(ｘ１，ｙ１)を求めよ。

解答
x^2-2y^2=-2
x^2=2(y+1)(y-1)
右辺は、2^2*m^2
y-1=2,y+1=m^2 から、(y,m)=(3,2)
y-1=m,y+1=2m から、(y,m)=(3,2)
y-1=2m,y+1=m から、(y,m)=(-3,-2)
題意を満たすものは、(x,y)=(4,3)

最初の式を見つけた人は閃いたんでしょうねえ？

ＮＯ５「MK」　　　2/16　00時39分受信 更新2/19
問２．（s，t）＝（３，２）
問３．（X₁，Y₁）＝（４，３）
問４．（X₂，Y₂）＝（２４，１７）　（X₃，Y₃）＝（１４０，９９）
　（X₄，Y₄）＝（８１６，５７７）
問５．問４を漸化式に直すと
　　　X_k+2−６X_k+1−X_k＝０　　となり、これを解いて

　　　X_k＝｛（３＋２√２）^k＋（３−２√２）^k｝／√２　　　k＝１のときも成立
　　同様にして、
　　　Y_k+2−６Y_k+1−Y_k＝０　　となり、これを解いて
　　　Y_k＝｛（４＋３√２）（３＋２√２）^k−1＋（４−３√２）（３−２√２）^k−1｝／２√２　　　k＝１のときも成立
問６．

　問５と同様にして、

　　（X₁，Y₁）＝（３，２）
　　（X₂，Y₂）＝（１７，１２）
　　（X₃，Y₃）＝（９９，７０）
　　（X₄，Y₄）＝（５７７，４０８）
よって、　X_k+2 −６X_k+1＋X_k＝０
　　X_k＝｛（４＋３√２）（３＋２√２）^k−1−（４−３√２）（３−２√２）^k−1｝／２√２
　　　　　Y_k+2 −６Y_k+1＋Y_k＝０
　　　　　　　Y_k＝√２｛（３＋２√２）^k−（３−２√２）^k｝／４
本来は、漸化式は数学的帰納法で証明するべきと思いますが、、、

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。