平成１８年３月１２日

[流れ星]

　　　　　第16８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：２月１９日〜３月１２日

［平方数の和と差］

皆さん、次のような自然数Ｎに関する定理を知っていますか。

定理１：自然数Ｎ＝２^ｋ（ｋ＝０，１，２，・・・）は連続する自然数の和で表されない。これを証明せよ。

定理２：自然数Ｎを連続する自然数の和で表す方法の数は、その自然数の奇数の約数の個数である。これを証明せよ。

問題１：例えば、１＝１−４＋９−１６−２５＋３６
　　　　　　　　２＝−１−４−９＋１６
　　　　　　　　３＝−１＋４
　　　　　　　　４＝−１−４＋９・・・
　　　　ようにある自然数は連続する平方数の和と差で表すことができます。
　　　では、５から１０までの自然数を連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか調べてください。

問題２：すべての自然数は連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか。正しければ証明を、正しくなければ反例を挙げてください。

問題３：特に、自然数２００６は平方数の和と差で表すことができるかどうか。教えてください。

ＮＯ１「H7K」　　 2/19　23時52分受信 更新3/12
Th1. 2^k = a+(a+1)+...+(a+n-1)ならば，2^{k+1}=n(2a+n-1)である．
ここで，n: 偶数なら，2a+n-1 が奇数であるから，n>=2であれば，
どちらにしてもn(2a+n-1)は3以上の素因数を含むことになる．よって，n=1しかありえず，
これは連続する自然数の和でもなんでもない．

Th2. 前段落と同じ記法でいこう．Nの任意の奇数の約数m，ただし3以上N-1以下，をとる．
項数側にmが来る場合は，2N/m=2a+m-1>=m+1であれば良いから，2N>=m(m+1)となる．
一方，2N<m(m+1)のときを考える．s:=2N/mとすると，(m-s+1)/2+...+(m+s-1)/2=Nである．
逆に，(m-s+1)/2+...+(m+s-1)/2=Nが成り立つためには2N<m(m+1)が必要である．
よって，3以上N-1以下の奇数の約数について，1通りずつ足し方がある．
これに，N: 奇数のときの(N-1)/2+(N+1)/2を加えると，後者の場合に入る．

一方，任意にa+...+(a+n-1)=Nが与えられたとき，Th1の証明を見ると，
n,(2a+n-1)は少なくとも片方が2Nの奇数の約数(not 1)，つまりNの奇数の約数(not 1)
でなければならないから，題意が示された．

問1. 5=4+1=-4+9, 6=1-4+9, 7=-9+16, 8=(検討中), 9=-16+25, 10=-1+4-9+16
問2. 奇数は2a+1と書けるから-a^2+(a+1)^2．4は-1-4+9．2は-1-4-9+16．
　　6以上の4で割れない偶数は(a+3)^2+(a+1)^2-a^2-(a+2)^2=4a+6．
　　4の倍数以上はまだ完全にはわかりませんが，またもや2^nとかが特殊ケースになりそうな予感がします．
問3. 503^2-502^2+501^2-500^2=2006.

「H7K」　　 2/20　23時08分受信 更新3/12
えーと，8=(64-49)-(36-25)+(16-9)-(4-1).

問2. 4の倍数
(a+3)^2-(a+2)^2+a^2-(a+1)^2=4であるから，
これをa=1,5,9,...,4n+1まで足し合わせれば4(n+1)を得る．
例えば16だと，n=3となるから
 (16^2-15^2 + 12^2-11^2 + 8^2-7^2 + 4^2-3^2)
-(14^2-13^2 + 10^2- 9^2 + 6^2-5^2 + 2^2-1^2)
というような平方数の和/差の形に書ける．

ＮＯ２「MK」 　　 2/19　23時58分受信 更新3/12
問１

５＝１＋４

６＝１−４＋９

７＝−１＋４＋９−１６−２５＋３６

８＝４＋９−１６−２５＋３６

９＝１＋４＋９−１６−２５＋３６

１０＝−１＋４−９＋１６

問２

自然数nに対して

�@　（n＋１）^２−n^２＝２n＋１

　　これは奇数について成り立つことを意味する。

�A　（n＋３）^２−（n＋２）^２＋（n＋１）^２−n^２＝４n＋６

　　これは、４の倍数でない偶数について成り立つことを意味する。

�B　（n＋３）^２＋（n＋２）^２−（n＋１）^２−n^２＝４（２n＋３）

　　これは、４×奇数の値について成り立つことを意味する。

　　念のため、カバーしていないとき。１２＝９＋４−１となり、成り立つ。

�C　−（n＋７）^２＋（n＋６）^２＋（n＋５）^２−（n＋４）^２＋（n＋３）^２＋（n＋２）^２−（n＋１）^２−n^２＝４（２ｎ＋２）

　　これは、４×偶数の値について成り立つことを意味する。

よって、すべての自然数は、連続する平方数の和と差で表すことができる。

問３　

　問２の�Aを利用する。

　４n＋６＝２００６とおくと、ｎ＝５００

　よって、５０３^２−５０２^２＋５０１^２−５００^２＝２００６

　となり、連続する平方数の和と差で表すことができる。

ＮＯ３「uchinyan」2/20　11時38分受信 更新3/12
第168回数学的な応募問題への解答
［平方数の和と差］

いきなり難しそうな定理が並んでいるので、引いてしまいました (^^;取り敢えず、分かる範囲で。

定理１：自然数 N = 2^k (k = 0, 1, 2, ...) は連続する自然数の和で表されない。これを証明せよ。
[証明]
今、N = 2^k が連続する自然数 n, n+1, ..., n+m の和で書けたとします。
ただし、m, n は m >= 1, n >= 1 の整数、自然数、です。すると、
N = 2^k = n + (n+1) + ... + (n+m) = (m+1)(2n+m)/2
2^(k+1) = (m+1)(2n+m)
ここで、m が奇数ならば 2n+m も奇数なので 2n+m = 1 でなければなりませんが、
2n+m >= 3 なので、ありえません。そこで、m は偶数になります。
ところがこのときは、m+1 が奇数になるので、m+1 = 1 でなければなりませんが、
これは、m+1 >= 2 なので、やはりありえません。したがって、このような m, n は存在しません。
[証明終]

定理２：自然数 N を連続する自然数の和で表す方法の数は、その自然数の奇数の約数の個数である。
これを証明せよ。
残念ながら、これは、「その自然数の 3 以上の奇数の約数の個数である」の間違いのようです。
そうでないと、実際、定理１と矛盾します。そのように修正して証明します。
＜水の流れ：　ご指摘通りです。＞

[証明]
今、N が連続する自然数 n, n+1, ..., n+m の和で書けたとします。
ただし、m, n は m >= 1, n >= 1 の整数、自然数、です。すると、
N = n + (n+1) + ... + (n+m) = (m+1)(2n+m)/2
2N = (m+1)(2n+m)
ここで、m が奇数ならば 2n+m >= 3 も奇数なので 2n+m は N の 3 以上の奇数の約数になります。
これを a とし、N = ab と書けるとします。すると、
2n+m = a, m+1 = 2b
m = 2b-1, n = (a+1)/2 - b
になります。ここで、m >= 1 より 2b-1 >= 1 で b >= 1、a は奇数なので a+1 は偶数で (a+1)/2 は自然数、
n >= 1 より、a >= 2b+1 >= 3 であることに注意します。
そこで、この範囲で N の奇数の約数 a を与えると m, n が一意に決定します。
次に、m が偶数の場合です。m+1 >= 3 が奇数になり、m+1 は N の 3 以上の奇数の約数になります。
そこで今度はこれを a とし、N = ab と書けるとします。すると、
m+1 = a, 2n+m = 2b
m = a-1, n = b - (a-1)/2
になります。ここで、a は 3 以上の奇数なので a+1 は偶数で (a+1)/2 は自然数、m >= 2、
n >= 1 より、2b-1 >= a >= 3 であることに注意します。
そこで、この範囲で N の奇数の約数 a を与えると m, n が一意に決定します。
ここまで、m が奇数で a >= 2b+1、m が偶数で 2b-1 >= a >= 3 なので、両方を合わせて、
3 以上の N の奇数の約数 a に対して、m, n が一意に決定します。
逆に m, n >=1 を与えれば、a を 3 以上の奇数として N = ab とすると、最初の式から、
m が奇数の場合：2n+m が奇数、m+1 が偶数であることに注意すると、
a = 2n+m, b = (m+1)/2
m が偶数の場合：2n+m が偶数、m+1 が奇数であることに注意すると、
a = m+1, b = (2n+m)/2
によって、a, b が一意に、つまり N が一意に決定します。
このように、(m,n) の組、つまり、連続する自然数の和の表し方と、
a の個数、つまり、N の 3 以上の奇数の約数とが一対一に対応しています。
したがって、連続する自然数の和で表す方法の数は、N の 3 以上の奇数の約数の数に等しくなります。
[証明終]
なお、定理１は、定理２の特殊な場合で、2^k は 3 以上の奇数の約数をもたないので、
連続する自然数の和で表す方法の数は、0 になります。

さて、いよいよ問題です。

問題1：
1 = + 1 - 4 + 9 - 16 - 25 + 36
2 = - 1 - 4 - 9 + 16
3 = - 1 + 4
4 = - 1 - 4 + 9
この後は、取り敢えず、試行錯誤で
5 = + 1 + 4
6 = + 1 - 4 + 9
7 = - 1 + 4 + 9 - 16 - 25 + 36
8 = - 1 + 4 + 9 - 16 + 25 + 36 - 49
9 = + 1 + 4 + 9 - 16 - 25 + 36
10 = - 1 + 4 - 9 + 16

問題2：
すべての自然数は、連続する平方数の和と差で表すことができます。
[証明]
まず、すべての自然数 n に対しt、
(n-2)^2 - (n-1)^2 - n^2 + (n+1)^2
= (n^2 - 4n + 4) - (n^2 - 2n + 1) - n^2 + (n^2 + 2n + 1)
= 4
がいえます。そこで、ある整数 N が連続する平方数の和と差で記述できていれば、
その平方数の最大のものが k^2 と書けているとして、n-2 = k+1, n = k+3 とおいて、
N + 4 = N + (k+1)^2 - (k+2)^2 - (k+3)^2 + (k+4)^2
とできます。これは、N+4 が、1 〜 k+4 の連続する平方数の和と差で記述できることを示しています。
N = 1, 2, 3, 4 に対しては記述できることが問題1で与えられているので、
すべての自然数は、連続する平方数の和と差で記述できることになります。
[証明終]
ただし、問題1の 1 と 5 とを比較してみれば分かりますが、
この構成法では、残念ながら、最小個数の連続する平方数の和と差での記述を得ることはできません。

問題3：
問題2で示したように、連続する平方数の和と差で記述できます。
まずは、問題2の構成法での一つの記述を示しておきます。
2006 = 2002 + 4 = 1998 + 4 + 4 = 1994 + 4 + 4 + 4 = ...
= 2 + 4 + ...(501個)... + 4
ここで、2 = - 1 - 4 - 9 + 16 = - 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 なので、
2006 = (- 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2)
+ ((4 * 1 + 1)^2 - (4 * 1 + 2)^2 - (4 * 1 + 3)^2 + (4 * 1 + 4)^2) + ...
+ ((4 * 501 + 1)^2 - (4 * 501 + 2)^2 - (4 * 501 + 3)^2 + (4 * 501 + 4)^2)
= (- 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2) + �納k=1,501]{(4k+1)^2 - (4k+2)^2 - (4k+3)^2 + (4k+4)^2}
ただし、これは一意ではないし、最小個数の記述でもありません。
すぐに分かるより個数の少ないものとして、
2006 = 2002 + 4 = 1998 + 4 + 4 = 1994 + 4 + 4 + 4 = ...
= 10 + 4 + ...(499個)... + 4
ここで、10 = - 1 + 4 - 9 + 16 = - 1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 なので、
2006 = (- 1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2)
+ ((4 * 1 + 1)^2 - (4 * 1 + 2)^2 - (4 * 1 + 3)^2 + (4 * 1 + 4)^2) + ...
+ ((4 * 499 + 1)^2 - (4 * 499 + 2)^2 - (4 * 499 + 3)^2 + (4 * 499 + 4)^2)
= (- 1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2) + �納k=1,499]{(4k+1)^2 - (4k+2)^2 - (4k+3)^2 + (4k+4)^2}
があります。

(考察)
問題2、問題3で述べたように、問題2で示した構成法は、
最小個数の連続する平方数の和と差での記述を表してはいません。
例えば、この構成法では、
5 = 1 + 4 = (+ 1 - 4 + 9 - 16 - 25 + 36) + (49 - 64 - 81 + 100)
ですが、実は、明らかに、問題1で示したように、
5 = 1 + 4
です。こうした問題は、多々あるようです。
問題2の構成法をもとに、より少ない個数の解を求める方法として、試行錯誤的ですが、
次のような方法があります。
問題2の構成法は、4 の和に分解することがポイントになっています。
したがって、この個数を減らすことを、プラス、マイナスを工夫してやってみます。例えば、
・-4 になっていたら +4 にする。これで、8 増えるので、4 が 2 個減らせる。
・-2^(2n) になっていたら +2^(2n) にする。これで、2^(2n+1) 増えるので、4 が 2^(2n-1) 個減らせる。
・+1, -9 になっていたら、-1, +9 にする。これで、16 = 4 * 4 増えるので、4 が 4 個減らせる。
などです。こうした可能性は、いろいろとありそうです。
例えば、先ほどの 5、問題3の二つ目は、-4 -> +4 の場合です。
こうした工夫をすれば、2006 の場合も、もっと簡単になる可能性もありそうですが．．．
それよりも、もっとうまい歩法があるのかもしれません。
特に、今回、定理1と定理2とが唐突に出てくるのが気になっています。
これらを使って、何かできるのでしょうか？

＜水の流れ：すべて自然数をある方法で表してみたいという気持ちでして、実際には関連はないです。出題から削除も考えたのですが、定理とうことで証明をお願いした次第です＞

「uchinyan」2/21　17時39分受信 更新3/12
(実験1)
2006の場合です。
2006 = 2002 + 4 = 1998 + 4 + 4 = 1994 + 4 + 4 + 4 = ...
= 6 + 4 + ...(500個)... + 4
ここで、6 = + 1 - 4 + 9 = + 1^2 - 2^2 + 3^2 なので、
2006
= (+ 1^2 - 2^2 + 3^2)
+ ((4 * 1)^2 - (4 * 1 + 1)^2 - (4 * 1 + 2)^2 + (4 * 1 + 3)^2) + ...
+ ((4 * 500)^2 - (4 * 500 + 1)^2 - (4 * 500 + 2)^2 + (4 * 500 + 3)^2)
= (+ 1^2 - 2^2 + 3^2)
+ ((4 * 1)^2 - (4 * 1 + 1)^2 - (4 * 1 + 2)^2 + (4 * 1 + 3)^2) + ...
+ ((4 * 100)^2 - (4 * 100 + 1)^2 - (4 * 100 + 2)^2 + (4 * 100 + 3)^2) + ...
+ ((4 * 500)^2 - (4 * 500 + 1)^2 - (4 * 500 + 2)^2 + (4 * 500 + 3)^2)
ですが、
1 + (4 * 100)^2 - (4 * 100 + 1)^2 = 1 + (-1) * (8 * 100 + 1) = - 4 * 200
なので、+ 1 -> - 1, (4 * 100)^2 -> - (4 * 100)^2, - (4 * 100 + 1)^2 -> + (4 * 100 + 1)^2 で、
4 * 400 増えて、4 を 400 個、減らせます！ そこで、
2006
= (- 1^2 - 2^2 + 3^2)
+ ((4 * 1)^2 - (4 * 1 + 1)^2 - (4 * 1 + 2)^2 + (4 * 1 + 3)^2) + ...
+ ((4 * 99)^2 - (4 * 99 + 1)^2 - (4 * 99 + 2)^2 + (4 * 99 + 3)^2)
+ (- (4 * 100)^2 + (4 * 100 + 1)^2 - (4 * 100 + 2)^2 + (4 * 100 + 3)^2)

ＮＯ４「Toru」　　2/22　16時05分受信 更新3/12
まずは前座？から
１つだけのものはだめとして、連続する自然数をn〜m（n<m）とすると
和N=（m+n）(m-n+1)/2 ここで (m+n)-(m-n+1)=2n-1>0より　m+n,m=n+1の片方は偶数、
他方は奇数 でm+n>m-n+1（(m>n)より奇数は３以上）

定理１ N=2^k　→(m+n)(m-n+1)=2^(k+1)　これは上記よりなりたたない。
定理２　2N=(m+n)(m-n+1)より2Nを（奇数）x（偶数）（奇数は３以上）の形に表わし
て,大きい方をN1,小さい方をN2とした時、　m+n=N1, m-n+1=N2となるm,nを求めれば
よいが、この時m=(N1+N2-1)/2, n=(N1-N2+1)/2　N1+N2-1,N1-N2+1はともに偶数で、
,m-n=N2-1>0　より自然数m,nが確かに定まる。
よって、奇数（＞１）の定めた方の数すなわちNの奇約数(>1)だけ方法がある。

さて本題
問題１　5=1+4, 6=1-4+9 ,7=-1+4+9-16-25+36,
        8=-1-4+9+16-25-36+49,9=1+4+9-16-25+36
        10=-1+4-9+16
問題２　n^2-(n+1)^2-(n+2)^2+(n+3)^2=4 がnにかかわらず成り立つから
n=1から始めてくり返せば、N=4kのものは全て表せる。
例に上がった1,2,3を表わしたものに引き続いてこれをくリ返しつかえば
それぞれN=4k+1,4k+2,4k+3のものも全て表せる。
問題３　なるべく短く作ってみました。
1^2+2^2+-----+17^2=1785
1^2+2^2+------+18^2=2109=2006+103   符号のどれかを-(マイナス)に変えると偶数
減るのでこれは無理
1^2+2^2+-------+19^2=2470=2006+464
464=(6^2+14^2)x2  より　6と14の符号をマイナスにすればOK、ということで、
1^2+2^2+3^+4^2+5^2-6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+11^2+12^2+13^2-14^2+15^2+16^2+17^2+1
8^2+19^2

　今回の問題、最初はなかなか思い当たりませんでしたが、気がつけば簡単でした。
整数の問題はきれいですね。

＜「Toru」さんからのご指摘：　
　ところで√2+√3>πの別解についてですが、√2や、√3の連分数展開による近似は
よいとして、（でももう一つ先まで連分数展開して不等号の向きをさかさまにした方
がよいような気はしますが、）π<22/7は,やっぱり証明がいるのではありますまいか。
この手の問題ではどこまで既知としてよいかで混乱しますが、π<22/7を認めてしま
えば、連分数なんぞつかわなくても22/7<√2+√3は両辺を２乗して移項してもう一回
２乗するだけでできてしまいますし、やはりここはπの定義にたちもどって、図形的
な近似か、無限級数の登場が必要になるのだと思います。＞

＜水の流れ：その通りでして、どこまでを既知とするか判断に困っています。今のところ、正確にすべて証明をした方が良いと考えています。＞
　　ＮＯ５　「ice」　3/02　21時21分受信 更新3/12　
定理２の証明は、「１より大きい約数の個数」のつもりでやっています。よろしくお願いいたします。
　　　

NO6「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 3/06　21時35分受信 更新3/12
今回は簡単じゃないのかな？

(n+1)^-n^2=2n+1
(n+3)^2-(n+2)^2=2n+5
つまり、後式-前式＝4

1~3までが表わせているので、自然数は、すべて4m,4m+1,4m+2,4m+3

で表わせることになる。
ちなみに、
2006=4*501+2 なので、-１-４-９＋１６　に、
1) 5^2〜(5+3)^2
2) 9^2〜(9+3)^2
．
．
．
501) (5+2*200)^2〜(5+2*200+3)^2
までのペアの上で考えた計算式の和で表わせる。

５〜１０も同様に表わせますよね。

NO7「kashiwagi｣3/08 21時59分受信 更新3/12
168回解答

問1

5= 1+4

6=1-4+9

7＝-1+4+9-16-25+36

8= -1-4+9+16-25-36+49

9＝1+4+9-16-25+36

10＝-1+4-9+16

問2

連続する平方数がひとつ増えるごとにプラス、マイナスを加えるので2倍ずつの数が出来ることになる。即ち2^Kずつ数が増える。ｋが無限に大きくなれば数も無限個できることになり、どんな数でも連続する平方数の和と差で表されることになる。

問3

2006＝1+4+9+16+25+36+49-64+81+100+121+144+169+196+225+256+289+324+361-400