平成１８年１０月１日

[流れ星]

　　　　　第1８０回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：１０月１日〜１０月３１日

［半整数角四角形の問題］

皆さん、「中尾さん」から頂いた問題にチャレンジください。

＜お詫び：半整数角四角形の問題でして、赤字一字を追加しました。「中尾さん」からのご指摘でした。＞

　　　（訂正　記　１０月１日午後５時）

＜中尾さんからのコメント：最近、教えて！gooで、「ラングレー問題（角度の問題の難問）を補助線なしで解きたい」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2393833　　を見かけたので、類似の問題を考えてみました。

問題

半整角四角形の問題

四角形ABCDにおいて、∠ABD=(5/2)°,∠DBC=(125/2)°,∠ACB=(165/2)°,∠ACD=5°のとき、∠ADBを求めよ。

＜中尾さんから頂いた出題のコメント：平成１８年１０月２２日　掲載＞

整角四角形の問題で、角度の一部を半整数(整数+1/2)°に拡張してみました。
初等幾何学的に解くのは、かなり難しいと思います。
三角関数を使う方法でも計算の見通しを立てるのが難しいと思いますが、近似値を計算して答えを予想すれば、何とかなるかもしれません。
複素数(円分数)を使うと、円分体Q(ζ_{360})の元を計算するだけで、一般的に解けます。
また、類似の問題を作成する(探す)ことも、比較的簡単にできます。円分数や円分体の面白さが伝わるのではないかと思います。

参考文献として、以下を挙げておきます。

[1]http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/handle/2237/5211?mode=full
福谷 敏, "数学科 : 辺と対角線のなす角がすべて円の2n等分角になる四角形について　中学図形問題の教材研究：円分多項式を用いた代数的判定法の発見",
名古屋大学教育学部附属中高等学校紀要, 48(2003), p.131-136.
この文献は問題を解いた後で、Google検索して見つけました。
このLangleyの問題に円分数を利用することは、ごく自然なアイデアであり、独創的というほどのものではありません。

Langleyの問題について、初等幾何学的方法で、個別の問題をうまく補助線を引いて鮮やかに解くのも楽しみの１つですが、一般化した問題を一般的(アルゴリズム的)に解ける方法を示すことは、高等数学の威力の１つではないでしょうか？

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。