kadai78

平成１９年２月２５日

[流れ星]

　　　　　第1８６回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：２月４日～２月２５日

［円と接線］

皆さん、教えてください。生徒から2005年椙山女学園大学の入試問題を質問されました。

　下図について考える。これは次のようにして作図したものです。
まず点Ｏを中心とする半径５の円を描く。これに接線を引き、その接点をＴとする。
次に、この接線と６０゜の角度をなす直線で、円周に切り取られる長さが６であるものを描く。
この直線と円周の交点をＡ、Ｂとし、接線との交点をＰとする。

　このとき、ＰＴの長さ、ＰＢの長さと、△ＰＢＴの面積を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」02/04 16時21分受信

「uchinyan」02/05 12時16分受信

「uchinyan」02/05 14時52分受信

「uchinyan」02/06 11時42分受信更新2/25

第１８６回数学的な応募問題
［円と接線］

最初，あまりうまい方法を思いつかなかったし，大学入試問題ということだったので，座標で地道にやってみました。
しかし，改めて初等幾何でできないかな，と思って考え直したら，簡単にできてしまいました ^^v
それらの解法，三角関数を使った解法などを，以下に示します。

(解法1)
初等幾何の解法です。
しかも，辺の比が 3：4：5 や 1：2：sqrt(3) の三角形が直角三角形であることと，
相似及び比例しか使っていないので，ちょっとできる小学生なら理解してしまうかも。

O より AB に垂線を下ろしてその足を M とします。円の性質より，AM = BM = 3 です。
そこで，△OAM は，OA = 5，AM = 3 の直角三角形なので辺の比は 3：4：5 になり OM = 4 です。
ここで，OT を O の方に，PA を A の方に，それぞれ延長してその交点を C とします。
△PCT において。∠CPT = 60度，∠PTC = 90度なので，∠PCT = 30度です。
△OCM において。∠OCM = 30度，∠OMC = 90度より ∠COM = 60度なので，
OC = 2 * OM = 2 * 4 = 8，CM = sqrt(3) * OM = 4 * sqrt(3) です。
△PCT において。同様にして，
CT = CO + OT = 8 + 5 = 13，PT = CT/sqrt(3) = 13/sqrt(3)，PC = 2 * PT = 26/3 * sqrt(3)
です。そこで，
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PC - BM - CM = 26/3 * sqrt(3) - 3 - 4 * sqrt(3) = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
そして，T から PA に垂線を下ろしその足を H とすると，
TH = sqrt(3)/2 * PT = sqrt(3)/2 * 13/sqrt(3) = 13/2
△PBT = 1/2 * PB * TH
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法2)
同じく，初等幾何の解法です。
(解法1)とほとんど同じですが，後半の計算が若干楽かな，という感じです。

OM = 4 までは，(解法1)と同じです。
ここで，MO を O の方に，PT を T の方に，それぞれ延長してその交点を D とします。
□PMOT において。∠PTO = ∠PMO = 90度，∠MPT = 60度なので，∠MOT = 120度です。
△ODT において。∠DOT = 180 - ∠MOT = 180 - 120 = 60度，∠OTD = 90度なので，∠ODT = 30度で，
DT = sqrt(3) * OT = 5 * sqrt(3)，OD = 2 * OT = 2 * 5 = 10 です。
△PMD において。∠PMD = 90度，∠MPD = 60度，∠MDP = 30度なので，
MD = OM + OD = 4 + 10 = 14，PM = MD/sqrt(3) = 14/3 * sqrt(3)，PD = 2 * PM = 28/3 * sqrt(3)
です。そこで，
PT = PD - DT = 28/3 * sqrt(3) - 5 * sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/3 * sqrt(3) - 3 = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
そして，T から PA に垂線を下ろしその足を H とすると，
TH = sqrt(3)/2 * PT = sqrt(3)/2 * 13/sqrt(3) = 13/2
△PBT = 1/2 * PB * TH
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法3)
図形的な考察をし，三角関数，余弦定理及び正弦定理，を使います。
初等幾何の解法よりも計算が大変ですが，余弦定理及び正弦定理の手ごろな演習問題でしょうか。

O より AB に垂線を下ろしてその足を M とします。円の性質より，AM = BM = 3 です。
そこで，OM^2 = OB^2 - BM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 = 4^2 で，OM = 4 です。
□PMOT において，∠PTO = ∠PMO = 90度，∠MPT = 60度なので，∠MOT = 120度です。
ここで，△OMT に余弦定理を使って，
MT^2 = OT^2 + OM^2 - 2 * OT * OM * cos(120) = 5^2 + 4^2 + 2 * 5 * 4 * 1/2 = 61
MT = sqrt(61)
cos(∠OMT) = (OM^2 + MT^2 - OT^2)/(2 * OM * MT) = (16 + 61 - 25)/(8 * sqrt(61)) = 13/(2 * sqrt(61))
cos(∠OTM) = (OT^2 + MT^2 - OM^2)/(2 * OT * MT) = (25 + 61 - 16)/(10 * sqrt(61)) = 7/sqrt(61)
ところで，∠OMT + ∠PMT = 90度なので，∠OMT，∠PMT をもつ直角三角形を考えると，
sin(∠PMT) = cos(∠OMT) = 13/(2 * sqrt(61))
同様にして，∠OTM + ∠PTM = 90度より，
sin(∠PTM) = cos(∠OTM) = 7/sqrt(61)
そこで，△PMT に正弦定理を使って，∠MPT = 60度に注意すると，
MT/sin(∠MPT) = PT/sin(∠PMT) = PM/sin(∠PTM)
PT = MT/sin(∠MPT) * sin(∠PMT) = sqrt(61) * 2/sqrt(3) * 13/(2 * sqrt(61)) = 13/sqrt(3)
PM = MT/sin(∠MPT) * sin(∠PTM) = sqrt(61) * 2/sqrt(3) * 7/sqrt(61) = 14/sqrt(3)
そこで，
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/sqrt(3) - 3 = 14/3 * sqrt(3) - 3 = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法4)
図形的な考察をし，三角関数，余弦定理だけ，を使います。
ただ，余弦定理だけで済んでいますが，４次方程式が出現しこれが２次方程式の範囲でうまく解けた，
というラッキーな部分もあるので，個人的には，どうかな，と思っています。

∠MOT = 120度までは，(解法3)と同じです。
ここで，PT = x，PM = y とおくと，余弦定理より，
PT^2 + PM^2 - 2 * PT * PM * cos(60) = MT^2 = OT^2 + OM^2 - 2 * OT * OM * cos(120)
x^2 + y^2 - 2xy * 1/2 = 5^2 + 4^2 + 2 * 5 * 4 * 1/2
x^2 + y^2 - xy = 61
一方で，PO に三平方の定理を用いて，
PM^2 + OM^2 = PO^2 = PT^2 + OT^2
y^2 + 4^2 = x^2 + 5^2
y^2 = x^2 + 9
この x, y の二つの方程式を連立して x, y > 0 で解きます。y^2 = x^2 + 9 を代入して，
x^2 + (x^2 + 9) - xy = 61
y = 2x - 52/x
ここで，y > 0 なので，2x - 52/x > 0 つまり x > sqrt(26) に注意して y を消去すると，
(2x - 52/x)^2 = x^2 + 9
4 * x^2 - 208 + 52^2/x^2 = x^2 + 9
3 * x^4 - 217 * x^2 + 16 * 169 = 0
これは４次方程式ですが，x^2 に関して因数分解ができ，
(3 * x^2 - 169) * (x^2 - 16) = 0
x > sqrt(26) なので x^2 - 16 > 0 となり，
3 * x^2 - 169 = 0
x = 13/sqrt(3)
y = 2x - 52/x = 26/sqrt(3) - 4 * sqrt(3) = 14/3 * sqrt(3)
そこで，
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/3 * sqrt(3) - 3 = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法5)
ナイーブに座標を使います。
初等幾何の方法に比べると計算が大変です。ただ，手ごろな演習問題かな，という感じもします。

O を原点，OT を T の方を正とする x 軸とし，P のある方を正として y 軸を導入します。
さらに，PT = p > 0 とし，PA と x 軸とのなす角が 30度なので，
それに対する傾きが tan(30) = 1/sqrt(3) に注意すると，
T(5,0), P(5,p)
円O：x^2 + y^2 = 5^2 = 25
直線PA：y = 1/sqrt(3) * (x - 5) + p = 1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))
A，B の x 座標 a，b は，円O と PA の式から y を消去した次の x の２次方程式の解になります。
x^2 + {1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))}^2 = 25
3 * x^2 + {x + (sqrt(3) * p - 5)}^2 = 75
3 * x^2 + x^2 + 2 * (sqrt(3) * p - 5) * x + (sqrt(3) * p - 5)^2 = 75
4 * x^2 + 2 * (sqrt(3) * p - 5) * x + (sqrt(3) * p - 5)^2 - 75 = 0
そこで，解と係数の関係から，
a + b = - 1/2 * (sqrt(3) * p - 5), ab = 1/4 * ((sqrt(3) * p - 5)^2 - 75)
一方で，AB = 6 なので，
AB^2 = 36
= (a - b)^2 + {(1/sqrt(3) * a + (p - 5/sqrt(3))) - (1/sqrt(3) * b + (p - 5/sqrt(3)))}^2
= (a - b)^2 + {(1/sqrt(3) * (a - b)}^2
= 4/3 * (a - b)^2
= 4/3 * {(a + b)^2 - 4ab}
= 4/3 * {(- 1/2 * (sqrt(3) * p - 5))^2 - 4 * (1/4 * ((sqrt(3) * p - 5)^2 - 75))}
= 4/3 * {1/4 * (sqrt(3) * p - 5)^2 - (sqrt(3) * p - 5)^2 + 75}
= - (sqrt(3) * p - 5)^2 + 100
- (sqrt(3) * p - 5)^2 + 100 = 36
(sqrt(3) * p - 5)^2 = 64
sqrt(3) * p - 5 = 8, -8
sqrt(3) * p = 13, -3
p > 0 なので，
p = 13/sqrt(3)
そこで，x の２次方程式は，
4 * x^2 + 2 * 8 * x + 8^2 - 75 = 0
4 * x^2 + 2 * 8 * x - 11 = 0
a = 1/4 * (- 8 - sqrt(64 + 44)) = 1/2 * (- 4 - 3 * sqrt(3))
b = 1/4 * (- 8 + sqrt(64 + 44)) = 1/2 * (- 4 + 3 * sqrt(3))
これより，
PT = p = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB^2 = (5 - b)^2 + (p - (1/sqrt(3) * b + (p - 5/sqrt(3)))^2
= (5 - b)^2 + (1/sqrt(3) * (b - 5))^2
= 4/3 * (5 - b)^2
PB = 2/sqrt(3) * (5 - b)
= 2/sqrt(3) * (5 - 1/2 * (- 4 + 3 * sqrt(3)))
= 2/sqrt(3) * 1/2 * (14 - 3 * sqrt(3))
= 1/sqrt(3) * (14 - 3 * sqrt(3))
= 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法6)
座標に，図形的考察を加味します。
初等幾何の方法には及びませんが，(解法5)よりは楽です。

直線PAの式までは(解法5)と同じです。
ここで，(解法1)と同じようにして OM = 4 を導き，直線PAの原点からの距離が 4 になる式を使います。
直線PA
y = 1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))
x - sqrt(3) * y + (sqrt(3) * p - 5) = 0
直線PAの原点からの距離 = |sqrt(3) * p - 5|/sqrt(1 + 3) = 4
|sqrt(3) * p - 5| = 8
sqrt(3) * p - 5 = 8, -8
p > 0 より，
p = 13/sqrt(3)
一方で，∠BTP = ∠TAP なので，△PBT ∽ △PTA がいえ，PT：PB = PA：PT，つまり，
PT^2 = PA * PB　(方べきの定理)
を用いて，PB = x > 0 として，
x(x + 6) = p^2 = 169/3
3 * x^2 + 18 * x - 169 = 0
x > 0 より，
x = 1/3 * (- 9 + sqrt(9^2 + 3 * 169)) = 1/3 * (- 9 + sqrt(3 * 196))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - 9)
そこで，
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(解法7)
実質的には座標と似たり寄ったりですが，ちょっと工夫して，ベクトルっぽくやってみます。

O を原点，OT を T の方を正とする x 軸とし，P のある方を正として y 軸を導入します。
さらに，PT = p > 0 とし，PA と x 軸とのなす角が 30度に注意すると，
T(5,0)，P(5,p)
円O：x^2 + y^2 = 5^2 = 25
PA の P から A に向かう単位ベクトル：e = (- cos(30), - sin(30)) = (- sqrt(3)/2, - 1/2)
直線PA：(x,y) = e * t + P = (- sqrt(3)/2 * t + 5, - 1/2 * t + p)
ただし，今は，P から A の向きだけが意味があるので，t > 0 として十分で，
e を単位ベクトルに選んだので，t は，P から A の方向に測った線分の長さになっています！
そこで，PA = a，PB = b とすると，これは，円O と PA の式から x, y を消去した
次の t の２次方程式の解で与えられます。
(- sqrt(3)/2 * t + 5)^2 + (- 1/2 * t + p)^2 = 25
t^2 - (p + 5 * sqrt(3)) * t + p^2 = 0
そこで，解と係数の関係から，
a + b = p + 5 * sqrt(3), ab = p^2, a > b > 0
一方で，AB = 6 ですが，PA = a，PB = b なので，
AB = PA - PB = a - b = 6
(a - b)^2 = 36
(a + b)^2 - 4ab = 36
(p + 5 * sqrt(3))^2 - 4 * p^2 = 36
3 * p^2 - 10 * sqrt(3) * p - 39 = 0
p > 0 より，
p = 1/3 * (5 * sqrt(3) + sqrt(25 * 3 + 3 * 39))
= 1/3 * (5 * sqrt(3) + sqrt(3 * 64))
= 1/3 * (5 * sqrt(3) + 8 * sqrt(3))
= 13/3 * sqrt(3)
そこで，
3 * t^2 - 28 * sqrt(3) * t + 169 = 0
PB = b = 1/3 * (14 * sqrt(3) - sqrt(196 * 3 - 3 * 169))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - sqrt(3 * 27))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - 9)
これより，
PT = p = 13/3 * sqrt(3)
PB = b = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。

(感想)
最初，大学入試問題なので，座標を使って解いて，「まぁ，こんなものかな」と思ったのですが，
今一つ物足りなかったので初等幾何で解けないか再考していたら，簡単に解けてしまってビックリ！
しかも，ルートが出てくるので中学数学ですが，考え方自体は算数の範囲かな，とも思います。
余弦定理や正弦定理をうまく使った解法もいいと思います。
ただ，実際の入試ではどうするか，少し迷うところですね．．．
ひらめけば初等幾何，ひらめかなかったら，三角関数か座標，といったところでしょうか。
なお，AOT が直径にならないのが，ニクイというか，要注意というか．．．(^^;

ＮＯ２「kashiwagi｣02/05 19時28分受信
「kashiwagi｣02/06 09時09分受信更新2/25

186回

　題意より上図が得られる。各々の長さ　PT=X, BP=Y, CD=a, AC=b とすると、DT=10,

AO=BO=5(円Oの半径)　より△AOBは二等辺三角形であるから、Oより辺ABに垂線OEを下すと

その長さは三平方の定理より4となる。すると△COEは30°の直角三角形であり、

CO=8,　即ちCD=3、因ってCT=13である。これよりX＝13/√3＝PTとなる。

又、PC＝26/√3　よりY=26/√3 –（4√3+3）=（13√3-9）/3＝BP

因って△PBTの面積はXYsin60/2=（169√3-117）/12となる。

ＮＯ３「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 02/06 19時14分受信更新2/25
Aを延長して、直径との延長線との交点をRとし、30,60,90°の△を作り、A を通る30°の直線とPT との交点をHとし、AB への O からの垂線との交点をSとする。
3:4:5 の△と1:2:√3の△から、3/√3=√3
AH=2√3+(4-√3)/2+5=7+3√3/2
PH=AH/√3
HT=(4-√3)√3/2=2√3-3/2
PT=PH+HT=13√3/3

RP=2*PT=26√3/3
RT=√3*PT=13
RO=13-5=8
RS=8*√3/2=4√3
PB=RP-RB=26√3/3-4√3-3=14√3/3-3
△PBT=1/2*sin60*PB*PT=1/2*√3/2*(14√3-3)(13√3/3)=91√3/2-39/4
B から OR への垂線との交点をWとすると、
BW=1/2*RB=1/2*(4√3+3)
OW^2=5^2-BW^2=5^2-1/4*(48+9+24√3)=(57+24√3)/4
OW=1/2*(a+b√3)=1/2*(-3+4√3) が条件に合う。

BT^2=BW^2+QW^2=BW^2+(5-OW)^2=BW^2+5^2-10*OW+OW^2=2*5^2-10*OW
　　=50-5*(-3+4√3)=65-20√3
BT=c+d√3=-√5+2√15 が条件に合うかな？

計算がややこしい・・・(^^;
最期に、BT は求めなくてもよかったんだ・・・Orz

ＮＯ４「Toru」 02/08 13時24分受信更新2/25
いろいろな解き方がありそうですが、初等幾何的なものとベクトルと座標を組み合わ
せたようなものを考えてみました。もっとスッキリした解答があるやも知れませんが、
とりあえずこの辺りで送っておきます。またよろしくお願いします
　解答１）
PAとTOの交点をQ　OからABに降ろした垂線の足をCとする
ΔACOにてOA=5 AC=3 ∠ACO=90°より　OC=4
直角三角形OCQを考えれば　OQ=2 OC=8
よってQT=QO+OT=13 直角三角形PQTを考えれば　PT=QT/√3=13√3 /3
PQ=2 PT=26√3 /3 CQ=√3 OC=4√3 より　PB=PQ-CQ-BC=14√3 /3 －3
ΔPBT=1/2 PB PT sin60°=91√3 /6 －39/4

解答２）
半径５の円に外接する正三角形を書くと、この高さは15で一辺は10√3
このうちの一辺を円の中心の方へ１平行移動して、円との交点をA,B
のようにすれば、図のような状況になります。
この時PT=10√3 /2 － 10√3 ／15 = 13√3 /3
BP=(10√3 x 14/15 － 6)／2 =14√3 /3 － 3
ΔPBTは　PBを底辺と見れば　高さは15/2-1=13/2
よっｃ「PBT= (14√3 /3 － 3) x 13/2 x 1/2=91√3 /6 －39 /4

解答３）
Oを原点として　AB方向の単位ベクトルe1(√3/2 ,1/2) これを反時計方向に90°回転
させた単位ベクトルe2(-1/2,√3/2)とする
BPの長さをtとすると
OP=4e2+(t+3)e1=(√3 (t +3)/2-2,2√3+(t+3)/2) で√3 (t+3) /2-2=5とすると
t+3=14√3 /3 　よってBP=14√3 /3 -3
OP=(5, 13√3 /3)よりPT=13√3 /3
ΔPBT=1/2 PB PT sin60°=91√3 /6 －39/4