平成１９年３月１８日

[流れ星]

　　　　　第1８７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：２月２５日〜３月１８日

［歩いた時間］

皆さんはウォーキングをしませんか。８ｋｍの距離を、最初の地点で時速６ｋｍ、
最後の到着地点では時速４ｋｍになり、途中の時速は、歩いた距離の1次関数で
表されるようにウォーキングするとき、歩いた時間を求めてください。

＜コメント：このウォーキングはまっすぐ歩いてください。後戻りは考えていません。＞

　（25日午後5時追加）

ＮＯ１「uchinyan」02/25 13時29分受信 更新3/18
第１８７回数学的な応募問題
［歩いた時間］

出発地点を原点 O とし，到着地点を x 軸の正の方向になるように座標を導入します。
そして，出発してから t 時間後の位置を x(t) とします。
ここでちょっと気になるのですが，通常のウォーキングは後戻りとかはしないのでそう仮定します。
実際，後戻りを許すと，いつまでたっても到着地点に着かないことも可能で，問題になりません (^^;
この仮定の下では，t 時間後の位置 x(t) が歩いた距離になります。
そこで，t 時間後の時速 v(t) は，
v(t) = a * x(t) + b
まず，出発時点の条件から
t = 0 で x(0) = 0, v(0) = 6 なので b = 6
次に，T 時間後に到着地点に着いたとすると，
t = T で x(T) = 8, v(T) = 4 なので 8a + b = 4
これから，a = - 1/4，b = 6 なので，
v(t) = - 1/4 * x(t) + 6
時速は位置の時間微分なので
dx/dt = v(t) = - 1/4 * x + 6
1/(- 1/4 * x + 6) * dx/dt = 1
両辺を t で 0 〜 T の範囲で積分して
∫[0,T]{1/(- 1/4 * x + 6)} * dx/dt * dt = ∫[0,T]{1}dt
T = ∫[0,8]{1/(- 1/4 * x + 6)}dx
= [- 4 * log(- 1/4 * x + 6)][0,8]
= {- 4 * log(- 1/4 * 8 + 6)} - {- 4 * log(- 1/4 * 0 + 6)}
= - 4 * log(4) + 4 * log(6)
= 4 * log(3/2)
= 1.62186…
〜 1.622 時間
つまり，歩いた時間は，ほぼ 1.622 時間 = 1 時間 37 分 19 秒 〜 1 時間 37 分 になります。

(感想)
上記の解答中の
　ここでちょっと気になるのですが，通常のウォーキングは後戻りとかはしないのでそう仮定します。
ここがちょっと引っかかるのですが，解答中にも書いたように，もし後戻りを許すとなると，
歩いた時間が無限大，ということも可能なので，考慮しませんでした。
これでよかったのですよね．．．？ (^^;
もしこれでいいのならば，微分方程式の手ごろな復習だと思います。
なお，大雑把に，6km/h と 4km/h の平均 5km/h で 8km を行ったとすると，8/5 = 1.6 時間で，
これでもほぼ一致しますね。

ＮＯ２「kashiwagi｣02/26 12時46分受信 更新3/18

＜コメント：お世話になります。今回の問題は大好きな微分方程式の問題で、問題を 読みながら、分離型にすれば解けるなと、解法が浮かんで参りました。

　正に楽しみながら解きましたが、8ｋｍを1時間40分少々とは早いですね。
187回問題

　今、速度をV、距離をX、時間をTとすると、題意より

　　　　V　＝　ｄX/ｄT　＝　AX+B　・・・・・・�@が成り立つ。

又、初速と終速が各々6�q/H、4�q/H度先頭の数が4であるから

　　　　　B　=　6　　　8A　+　6　＝　4　が成立し、A　＝　-1/4　となる。

即ち、V　＝　（-1/4）X　+　6　・・・・・�Aとなる。

�@と�Aより　ｄX/ｄT　＝　（-1/4）X　+　6　

即ち、　ｄX/（-1/4）X　+　6　＝　ｄT　・・・・・�B　が成立する。

因って、両辺を各々XとTで積分すると、

T　＝　　＝　4log（3/2）　≒　１．６２時間　

　　　　

　即ち、約1時間３７分かかったことになる。

ＮＯ３「新俳人澄朝」02/26 16時51分受信 更新3/18

＜コメント：第１８６回の解答集のアップ楽しく拝見させていただきました。
皆さんの解答のエレガントさに唖然！！

「歩く時間」の問題も楽しく考えさせて頂きました。この角度で問題作成可能な所に再び唖然！！
第１８７回の応募をさせて頂きます。区分求積法を少し勉強し利用しました。不十分なところが少しありますが、
まずはお送りします。

　

「新俳人澄朝」02/27 13時07分受信 更新3/18

微分方程式？　距離と時間と速さの関係なのだから…… そりゃそうだ！数学って面白いし不思議……
　

ＮＯ４「ぐーてん」02/26 17時32分受信 更新3/18

＜コメント；微分方程式、久しぶりに解きました＾＾；＞

歩いた距離をx，時間をtとおくと，題意より，

とおける

ここで，境界条件：，　を代入して，

，

従って，

変数分離法により積分すると，

　（ただし、cは積分定数）

初期条件：より，

従って，

x = 8を代入して，求めるtは，

ちなみに，x < 24としてxについて解くと，

となり，この歩き方だと24 km地点には永久にたどり着けないことになりますね。

ＮＯ５「Toru」 03/01 11時41分受信 更新3/18
第１８７回解答を送ります。微分方程式なんてほんとにひさしぶりという感じでした。
高校ではどの程度習うんでしたっヶ？　　
＜水の流れコメント：現在の学習指導では「数学�V」で微分方程式を履修します。＞

距離を時間tの関数として　x(t) 　とし
条件よりdx/dt =ax+b とすると
x=0　の時　dx/dt =6
x=8　の時　dx/dt=4
からb=6 , 4=8a+b で　a=-1/4 , b=6
d(x-24)/dt=-1/4 (x-24) と変形して
x-24=C e^(-t /4 )  t=0, x=0 としてC=-24より
x=24(1- e^(-t /4 ))　x=8とすればe^(-t /4) =2/3 よりt=4(log3-log2)　（時間）

4(log3-log2)=1.62186043--より１時間３７分１８秒6975-- となりますか。平均時速
５kmで1.6 時間ですからだいたいこんなものでよさそうな気もします。

ＮＯ６「三角定規」 03/04 19時44分受信 更新3/18
＜コメント：毎回問題は拝見しているのですが，難しかったり，雑事に忙殺されていて解答を作っている余裕がなかったりで，失礼致しておりました。

今回の問題ですが，物理屋さんのホームグラウンドで，これは是非送らねばと思いました。＞

ＮＯ７「「kasama」」 03/08 20時39分受信 更新3/18
『途中の時速は、歩いた距離の1次関数』なので、時速v、距離xとすると、
　v=6+(4-6)x/8=6-x/4です。
距離xは時間tの関数と考えられ、その微係数が時速だから、v=dx/dtです。すると、上は
　dx/dt=6-x/4となります。
この微分方程式を解くと、-4log(24-x)=t+C(定数)
となります。初期条件t=0のときx=0をあてはめると、C=-4log(24)ですから、
　t=4log{24/(24-x)}です。
これにx=8を代入すると、t=4log(3/2)ですから、歩いた時間は、
　4log(3/2)=1.62186･･･です。