平成２０年１月６日

[流れ星]

　　　　　第２０２回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：１月６日〜１月２７日

［トリチェリの問題］

皆さん、パズルでひらめく補助線の幾何学（中村義作著）「講談社」を読んでいたところ、
次のような問題を見つけたので、参考にして問題を作りました。

イタリアの物理学者で、ガリレオ・ガリレイの弟子だったトリチェリ（1608から1647）は幾何学者
としても有名であったことをご存知でしたか。フランスの代数学者フェルマーはトリチェリに
「三角形の各頂点からの和が最小になる点を求めよ」という問題を出したことがあり、
以後これをトリチェリの問題と読ばれています。ここからが、問題です。

三角形ＡＢＣがある。この内部に点Ｐをとって、点Ｐと３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃを図のように結びます。
このとき、距離の和ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを最小にする点をＰとする。

ただし、三角形ＡＢＣが鈍角三角形の場合、鈍角の大きさは１２０度未満とする。

問題１：点Ｐをどこにとればよいでしょうか。

　　　ヒント：ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣと同じ長さの折れ線を作るように、頂点Ｂを中心にして、三角形ＡＰＢ
を６０度回転させてください。もちろん、他の解法もあります。

問題２：３つの頂点の座標をＡ（ａ，ｂ）、Ｂ（０，０）、Ｃ（ｃ、０）としたとき、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣの最小値をａ、ｂ、ｃで表せ。

問題３：点Ｐから３辺へ垂線を下ろしたときの足を図のように、Ｄ、Ｅ，Ｆとしたとき、

　　　　垂足三角形ＤＥＦが正三角形になるとあるサイトに書いてありました。その証明が分かりません
教えてください。

　　　　　　　　　　　　　　　　

＜水の流れ：問題3に関して、△DEF正三角形にならないのではないかと、指摘があり、

私自身も間違っているのではないかと、思い始めました。そこで、7日午後１０時に修正します。＞

　ペンネーム　新俳人澄朝さんからの改題です。

「各頂点を通りPA、PB、PCにそれぞれ垂直な3直線の交点からできる三角形が正三角形であることを証明せよ」

さらに、

問題４：1辺の長さが１０ｃｍである正方形ＡＢＣＤがる。４頂点に至る距離の和が最小になるような経路
を図で示してください。また、その最小値を求めてください。

研究：三角形ＡＢＣが鈍角三角形で、鈍角の大きさが１２０度以上のとき、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣが最小となる点Ｐはその鈍角である頂点になります。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。