平成２０年３月９日

[流れ星]

　　　　　第２０４回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：２月１７日〜３月９日

［正ｎ角形の３頂点］

皆さん、2007年度大学入試問題集（数研出版）にある慶応大学理工学部の入試問題を参考にして次の問題を作りました。

正ｎ角形（ｎは3以上の整数）の３つの頂点でできる三角形について、次の問題に答えよ。

問題１：ｎ＝９のとき、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２）鈍角三角形の個数を求めよ。

（３） 直角三角形の個数を求めよ。

（４） 鋭角三角形の個数を求めよ。

問題２：ｎ＝１０のとき、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２）鈍角三角形の個数を求めよ。

（３）直角三角形の個数を求めよ。

（４）鋭角三角形の個数を求めよ。

問題３：一般に、正ｎ角形の３つの頂点でできる三角形について、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２） 鈍角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

＜「新俳人澄朝」さんからの指摘で18日午後8時に鋭角から鈍角に修正しました。＞

（３） 直角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

（４） 鋭角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

問題４：ｎを無限大に大きくしたとき、正ｎ角形は円に近づきます。

円周上の異なる３点でできる三角形について、

（１）鈍角三角形となる確率を求めよ。

（２）直角三角形となる確率を求めよ。

（３）鋭角三角形となる確率を求めよ。

ＮＯ１「新俳人澄朝」2/18 10時33分受信 更新

「新俳人澄朝」2/19 09時09分受信 更新3/9

ＮＯ２「uchinyan」 2/21 17時30分受信 更新3/9

第２０４回数学的な応募問題

［正ｎ角形の３頂点］

正ｎ角形の頂点に反時計回りに番号を振っておきます。

問題１：

(1) 9 個の点から 3 点選べばいいので，9C3 = 9 * 8 * 7 / 6 = 84 個。

(2) 直径に対する角が直角になるので，直径よりも左に入り込んだ点を考えればいいです。

ここで，右に入り込んだ点は，重複してしまうので，数えなくていいことに注意します。

1 を固定すれば，3 に対して 1 個，4 に対して 2 個，5 に対して 3 個で，1 + 2 + 3 = 6 個。

始点を 1 〜 9 に変えるとそれぞれ 6 個ずつで 6 * 9 = 54 個。

(3) 明らかに直径に対応する点は取れないので，直角三角形はありません。したがって，0 個。

(4) 鋭角三角形 = すべての三角形 - 鈍角三角形 - 直角三角形 なので，84 - 54 - 0 = 30 個。

問題２：

(1) 10 個の点から 3 点選べばいいので，10C3 = 10 * 9 * 8 / 6 = 120 個。

(2) 同様に考えて，

1 を固定すれば，3 に対して 1 個，4 に対して 2 個，5 に対して 3 個で，1 + 2 + 3 = 6 個。

始点を 1 〜 10 に変えるとそれぞれ 6 個ずつで 6 * 10 = 60 個。

(3) 直径に対応する点は各始点ごとに一つ取れて，1 を固定すれば，6 に対して 4 個になり(左側だけ考えます。)，

始点を 1 〜 10 に変えるとそれぞれ 4 個ずつで 4 * 10 = 40 個。

(4) 同様に考えて，120 - 60 - 40 = 20 個。

問題３：

n が奇数か偶数かで場合分けが生じます。

a) n = 2k+1 の場合

(1) n = 2k+1 個の点から 3 点選べばいいので，(2k+1)C3 = (2k+1)2k(2k-1)/6 = (2k+1)k(2k-1)/3 個。

(2) 同様に考えて，

1 を固定すれば，3 に対して 1 個，4 に対して 2 個，...，(k+1) に対して (k-1) 個で，1 + 2 + ... + (k-1) = k(k-1)/2 個。

始点を 1 〜 2k+1 に変えるとそれぞれ k(k-1)/2 個ずつで k(k-1)(2k+1)/2 個。

(3) 同様に考えて，直角三角形はありません。したがって，0 個。

(4) 同様に考えて，(2k+1)k(2k-1)/3 - k(k-1)(2k+1)/2 - 0 = k(2k+1)(k+1)/6 個。

b) n = 2k の場合

(1) n = 2k 個の点から 3 点選べばいいので，(2k)C3 = 2k(2k-1)(2k-2)/6 = 2k(2k-1)(k-1)/3 個。

(2) 同様に考えて，

1 を固定すれば，3 に対して 1 個，4 に対して 2 個，...，k に対して (k-2) 個で，1 + 2 + ... + (k-2) = (k-1)(k-2)/2 個。

始点を 1 〜 2k に変えるとそれぞれ (k-1)(k-2)/2 個ずつで k(k-1)(k-2) 個。

(3) 直径に対応する点は各始点ごとに一つ取れて，1 を固定すれば，k+1 に対して k-1 個になり，

始点を 1 〜 2k に変えるとそれぞれ k-1 個ずつで 2k(k-1) 個。

(4) 同様に考えて，2k(2k-1)(k-1)/3 - k(k-1)(k-2) - 2k(k-1) = k(k-1)(k-2)/3 個。

問題４：

n が奇数か偶数かで場合分けして考えます。

a) n = 2k+1 の場合

(1) 確率は，{k(k-1)(2k+1)/2} / {(2k+1)k(2k-1)/3} = {3(k-1)}/{2(2k-1)} -> 3/4 for k -> ∞

(2) 確率は，{0} / {(2k+1)k(2k-1)/3} = 0 -> 0 for k -> ∞

(3) 確率は，{k(2k+1)(k+1)/6} / {(2k+1)k(2k-1)/3} = {(k+1)}/{2(2k-1)} -> 1/4 for k -> ∞

b) n = 2k の場合

(1) 確率は，{k(k-1)(k-2)} / {2k(2k-1)(k-1)/3} = {3(k-2)}/{2(2k-1)} -> 3/4 for k -> ∞

(2) 確率は，{2k(k-1)} / {2k(2k-1)(k-1)/3} = {3}/{(2k-1)} -> 0 for k -> ∞

(3) 確率は，{k(k-1)(k-2)/3} / {2k(2k-1)(k-1)/3} = {(k-2)}/{2(2k-1)} -> 1/4 for k -> ∞

結局，n が奇数か偶数かによらずに，

(1) 鈍角三角形の確率は，n -> ∞ で，3/4

(2) 直角三角形の確率は，n -> ∞ で，0

(3) 鋭角三角形の確率は，n -> ∞ で，1/4

(感想)

極限の結果は，きれいな値になるのですね。ただ，鈍角三角形が意外と多いのには驚きでした。

ＮＯ３「kashiwagi｣ 2/25 22時07分受信

「kashiwagi｣ 2/27 07時30分受信 更新3/9

204回解答

問題1〜3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　まず正9角形と正10角形の場合を考える。円周上の9点と正9角形の頂点は一致するので円周上の点で考える。各々の点に1〜9の番号を振る。そして、1-2、1-3、1-4・・・・・というように2点を結ぶ。すると飛ばした点の数だけ鈍角三角形が出来る。勿論どの2点を結んでも直径にはならないので直角三角形はない。又、飛ばした2点間の飛ばされた点以外の点を選んだ2点と結べば、鋭角三角形になる。

正十角形の場合には、直径が5本引け各々の直径に対し直角三角形が8個できるので全部で40となる。鈍角三角形と鋭角三角形は正9角形の場合と同じやり方で出せる。

これらの結果を整理すると以下の表の様になる。又、一般の場合も正2ｎ角形と2ｎ+1角形として同様の計算結果をまとめる。

	三角形の総数	鈍角三角形	直角三角形	鋭角三角形
正9角形	84	54	0	30
正2ｎ+1角形			0
正10角形	120	60	40	20
正2ｎ角形

問題4.

偶数角形と奇数角形各々を計算する。各々の個数を三角形の総数で割り、ｎを∞西田場合の極限値をとれば良く、以下の表のようになる。

	鈍角三角形	直角三角形	鋭角三角形
正2ｎ+1角形		0
正2ｎ角形		0

解答

0

　　　　　　　　　　　　　　　　　以　　　上．

ＮＯ４「kasama」 2/3 00時32分受信 更新3/9

問題１　実際に数え上げると(補足参照)、

　(1)84　(2)54　(3)0(なし)　(4)30

です。

問題２　こちらも数え上げると(補足参照)、

　(1)120　(2)60　(3)40　(4)20

です。

問題３　正n角形の中にできた三角形の角を円周角と考えると、円弧に対応付けることができます。

例えば、次のように三角形の角と円弧を対応させます。 　∠A⇔弧BC、∠B⇔弧CA、∠C⇔弧AB すると、正n角形の頂点を結んで三角形を作ることは、頂点を区切りとして、円周を3つの円弧に分割するのと同じと考えることができます。そして、分割された円弧と半円を比較することで、 　円弧＜半円なら円周角は鋭角 　円弧＝半円なら円周角は直角 　円弧＞半円なら円周角は鈍角 とわかります。つまり、分割された中に、 　�@半円より大きい円弧があれば、鈍角三角形 　�A半円と等しい円弧があれば、直角三角形 　�B�@�A以外なら、鋭角三角形 と判定することができます。

nが奇数のとき円弧が半円になることはありませんから、nが偶数か奇数で場合分けが必要です。

�@nが偶数の場合

　(1)正n角形の頂点から、3つを選んで三角形を作ればよいので、_nC₃=n(n-1)(n-2)/6です。

　(2)半円より大きい円弧ができる場合数を求めます。

n角形の頂点を0,1,2…n-1とします。頂点0を一つの区切りに固定して、半円より大きな円弧を時計回りに分割するには、緑枠の頂点から残りの2つを選んで分割すればいいことがわかります。その場合数は(n-2)/2C2通りですが、頂点は0,1,2…n-1と変化させることができますから、 　n(n-2)/2C2=n(n-4)(n-2)/8 です。

　(3)半円と等しい円弧ができる場合数を求めます。

同様に、半円と等しい円弧を時計回りに分割するには、頂点0とn/2で分割して、残りを緑枠の頂点から残りの1つを選んで分割すればいいことがわかります。その場合数は(n-2)/2通りありすが、頂点は0,1,2…n-1と変化させることができますから、 　n(n-2)/2 です。

　(4)残りの場合数を求めればよいので、n(n-1)(n-2)/6-{n(n-4)(n-2)/8+n(n-2)/2}=n(n-4)(n-2)/24

�Anが奇数の場合

　(1)�@の(1)と同じく、_nC₃=n(n-1)(n-2)/6です。

　(2)半円より大きい円弧ができる場合数を求めます。

�@と同様にして、緑枠の頂点から2つを選んで分割すればいいことがわかります。その場合数は(n-1)/2C2通りですが、頂点は0,1,2…n-1と変化させることができますから、 　n(n-1)/2C2=n(n-3)(n-1)/8 です。

　(3)nが奇数のとき円弧が半円になることはありませんから、0通りです。

　(4)残りの場合数を求めればよいので、n(n-1)(n-2)/6-n(n-3)(n-1)/8=n(n-1)(n+1)/24

上記の�@�Aの結果を整理すると、下表のようになります。

n	三角形の種類	場合数
偶数	全部	n(n-1)(n-2)/6
	鈍角三角形	n(n-4)(n-2)/8
	直角三角形	n(n-2)/2
	鋭角三角形	n(n-4)(n-2)/24
奇数	全部	n(n-1)(n-2)/6
	鈍角三角形	n(n-3)(n-1)/8
	直角三角形	0
	鋭角三角形	n(n-1)(n+1)/24

問題４　例えば、nが偶数で鈍角三角形の極限確率を計算すると、

　{n(n-4)(n-2)/8}/{n(n-1)(n-2)/6}={(1-4/n)(1-2/n)/8}/{(1-1/n)(1-2/n)/6}=3/4

です。他の確率も同様にして求めると、下表のようになります。

n	三角形の種類	確率
偶数	鈍角三角形	3/4
	直角三角形	0
	鋭角三角形	1/4
奇数	鈍角三角形	3/4
	直角三角形	0
	鋭角三角形	1/4

【補足】正n角形の頂点を0,1,2…n-1とします。また角度の単位は度(Degree)です。

�@正9角形の中にできる三角形

鋭角三角形

鈍角三角形

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
1	0	1	5	20	80	80
2	0	2	5	40	60	80
3	0	2	6	40	80	60
4	0	3	5	60	40	80
5	0	3	6	60	60	60
6	0	3	7	60	80	40
7	0	4	5	80	20	80
8	0	4	6	80	40	60
9	0	4	7	80	60	40
10	0	4	8	80	80	20
11	1	2	6	20	80	80
12	1	3	6	40	60	80
13	1	3	7	40	80	60
14	1	4	6	60	40	80
15	1	4	7	60	60	60
16	1	4	8	60	80	40
17	1	5	6	80	20	80
18	1	5	7	80	40	60
19	1	5	8	80	60	40
20	2	3	7	20	80	80
21	2	4	7	40	60	80
22	2	4	8	40	80	60
23	2	5	7	60	40	80
24	2	5	8	60	60	60
25	2	6	7	80	20	80
26	2	6	8	80	40	60
27	3	4	8	20	80	80
28	3	5	8	40	60	80
29	3	6	8	60	40	80
30	3	7	8	80	20	80

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
1	0	1	2	20	20	140
2	0	1	3	20	40	120
3	0	1	4	20	60	100
4	0	1	6	20	100	60
5	0	1	7	20	120	40
6	0	1	8	20	140	20
7	0	2	3	40	20	120
8	0	2	4	40	40	100
9	0	2	7	40	100	40
10	0	2	8	40	120	20
11	0	3	4	60	20	100
12	0	3	8	60	100	20
13	0	5	6	100	20	60
14	0	5	7	100	40	40
15	0	5	8	100	60	20
16	0	6	7	120	20	40
17	0	6	8	120	40	20
18	0	7	8	140	20	20
19	1	2	3	20	20	140
20	1	2	4	20	40	120
21	1	2	5	20	60	100
22	1	2	7	20	100	60
23	1	2	8	20	120	40
24	1	3	4	40	20	120
25	1	3	5	40	40	100
26	1	3	8	40	100	40
27	1	4	5	60	20	100
28	1	6	7	100	20	60
29	1	6	8	100	40	40
30	1	7	8	120	20	40

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
31	2	3	4	20	20	140
32	2	3	5	20	40	120
33	2	3	6	20	60	100
34	2	3	8	20	100	60
35	2	4	5	40	20	120
36	2	4	6	40	40	100
37	2	5	6	60	20	100
38	2	7	8	100	20	60
39	3	4	5	20	20	140
40	3	4	6	20	40	120
41	3	4	7	20	60	100
42	3	5	6	40	20	120
43	3	5	7	40	40	100
44	3	6	7	60	20	100
45	4	5	6	20	20	140
46	4	5	7	20	40	120
47	4	5	8	20	60	100
48	4	6	7	40	20	120
49	4	6	8	40	40	100
50	4	7	8	60	20	100
51	5	6	7	20	20	140
52	5	6	8	20	40	120
53	5	7	8	40	20	120
54	6	7	8	20	20	140

�A正10角形の中にできる三角形

鋭角三角形

直角三角形

鈍角三角形

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
1	0	2	6	36	72	72
2	0	3	6	54	54	72
3	0	3	7	54	72	54
4	0	4	6	72	36	72
5	0	4	7	72	54	54
6	0	4	8	72	72	36
7	1	3	7	36	72	72
8	1	4	7	54	54	72
9	1	4	8	54	72	54
10	1	5	7	72	36	72
11	1	5	8	72	54	54
12	1	5	9	72	72	36
13	2	4	8	36	72	72
14	2	5	8	54	54	72
15	2	5	9	54	72	54
16	2	6	8	72	36	72
17	2	6	9	72	54	54
18	3	5	9	36	72	72
19	3	6	9	54	54	72
20	3	7	9	72	36	72

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
1	0	1	5	18	72	90
2	0	1	6	18	90	72
3	0	2	5	36	54	90
4	0	2	7	36	90	54
5	0	3	5	54	36	90
6	0	3	8	54	90	36
7	0	4	5	72	18	90
8	0	4	9	72	90	18
9	0	5	6	90	18	72
10	0	5	7	90	36	54
11	0	5	8	90	54	36
12	0	5	9	90	72	18
13	1	2	6	18	72	90
14	1	2	7	18	90	72
15	1	3	6	36	54	90
16	1	3	8	36	90	54
17	1	4	6	54	36	90
18	1	4	9	54	90	36
19	1	5	6	72	18	90
20	1	6	7	90	18	72
21	1	6	8	90	36	54
22	1	6	9	90	54	36
23	2	3	7	18	72	90
24	2	3	8	18	90	72
25	2	4	7	36	54	90
26	2	4	9	36	90	54
27	2	5	7	54	36	90
28	2	6	7	72	18	90
29	2	7	8	90	18	72
30	2	7	9	90	36	54
31	3	4	8	18	72	90
32	3	4	9	18	90	72
33	3	5	8	36	54	90
34	3	6	8	54	36	90
35	3	7	8	72	18	90
36	3	8	9	90	18	72
37	4	5	9	18	72	90
38	4	6	9	36	54	90
39	4	7	9	54	36	90
40	4	8	9	72	18	90

No	頂点			角度
	A	B	C	∠BAC	∠CBA	∠ACB
1	0	1	2	18	18	144
2	0	1	3	18	36	126
3	0	1	4	18	54	108
4	0	1	7	18	108	54
5	0	1	8	18	126	36
6	0	1	9	18	144	18
7	0	2	3	36	18	126
8	0	2	4	36	36	108
9	0	2	8	36	108	36
10	0	2	9	36	126	18
11	0	3	4	54	18	108
12	0	3	9	54	108	18
13	0	6	7	108	18	54
14	0	6	8	108	36	36
15	0	6	9	108	54	18
16	0	7	8	126	18	36
17	0	7	9	126	36	18
18	0	8	9	144	18	18
19	1	2	3	18	18	144
20	1	2	4	18	36	126
21	1	2	5	18	54	108
22	1	2	8	18	108	54
23	1	2	9	18	126	36
24	1	3	4	36	18	126
25	1	3	5	36	36	108
26	1	3	9	36	108	36
27	1	4	5	54	18	108
28	1	7	8	108	18	54
29	1	7	9	108	36	36
30	1	8	9	126	18	36
31	2	3	4	18	18	144
32	2	3	5	18	36	126
33	2	3	6	18	54	108
34	2	3	9	18	108	54
35	2	4	5	36	18	126
36	2	4	6	36	36	108
37	2	5	6	54	18	108
38	2	8	9	108	18	54
39	3	4	5	18	18	144
40	3	4	6	18	36	126
41	3	4	7	18	54	108
42	3	5	6	36	18	126
43	3	5	7	36	36	108
44	3	6	7	54	18	108
45	4	5	6	18	18	144
46	4	5	7	18	36	126
47	4	5	8	18	54	108
48	4	6	7	36	18	126
49	4	6	8	36	36	108
50	4	7	8	54	18	108
51	5	6	7	18	18	144
52	5	6	8	18	36	126
53	5	6	9	18	54	108
54	5	7	8	36	18	126
55	5	7	9	36	36	108
56	5	8	9	54	18	108
57	6	7	8	18	18	144
58	6	7	9	18	36	126
59	6	8	9	36	18	126
60	7	8	9	18	18	144

　皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。