平成２０年５月１８日

[流れ星]

　　　　　第２０７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：４月２０日〜５月１８日

［ニュートン線］

皆さん、ニュートン線ってご存知ですか。この問題以外でもニュ−トン線という問題はありますけど。

では、問題です。

　中心がＯの円に外接する四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣの中点をＮ，対角線ＢＤの中点をＭとすると、
３点Ｍ、Ｏ，Ｎは図のように一直線上にあることを示してください。

　なお、この3点Ｍ、Ｏ、Ｎを通る直線をニュートン線という。

お詫び：外接する四角形に訂正（午後９時）

　

ヒント：補助線を使って適当な三角形を作り、その面積を比べてみてください。

出展：パズルでひらめく補助線の幾何学　（講談社：中村義作著）

ＮＯ１「uchinyan」 4/20 14時30分受信 更新5/18

第２０７回数学的な応募問題
［ニュートン線］

1) AB//DC 及び AD//BC のとき
□ABCD は平行四辺形で，M = N になり(対称性より実は M = N = O)，特殊な場合として題意を満たします。

2) 1) 以外の場合
平行でない対辺がありますが，今それを AD，BC をとします。
AD//BC で AB，CD が平行でない場合は同様にできるので，省略します。


まず，次の補助定理を証明します。
補助定理
□ABCD があり，AD，BC が平行でないとします。
□ABCD 内の一点 P に対して，△PAD + △PBC = 一定 のとき，P の軌跡は線分になります。
証明
AD，BC の延長の交点を X とし，XA，XB の上に点 E，F を
XE = AD，XF = BC
となるようにとります。すると，
△PAD + △PBC = △PXE + △PXF = △XEF + △PEF
なので，この式の左辺が 一定 のとき，△PEF も 一定 です。
そこで，P から EF(これは 一定) に下ろした垂線の長さは常に 一定 で，
P は EF に平行な線分上にあることになります。
補助定理証明終わり

さて，いよいよ本題の証明です。

AB と円の接点を P，BC と円の接点を Q，CD と円の接点を R，DA と円の接点を S とします。
まず，M ですが，M は BD の中点なので，
△MAD + △MBC = 1/2 * △ABD + 1/2 * △CBD = 1/2 * □ABCD ... (a)
次に，N ですが，N は AC の中点なので，
△NAD + △NBC = 1/2 * △DAC + 1/2 * △BAC = 1/2 * □ABCD ... (b)
最後に，O は，
△OAD + △OBC = 1/2 * AD * (円Oの半径) + 1/2 * BC * (円Oの半径) = 1/2 * (円Oの半径) * (AD + BC)
ここで，よく知られた性質により，
AP = AS，BP = BQ，CQ = CR，DR = DS
なので，
AD + BC = AS + DS + BQ + CQ = AP + BP + CR + DR = AB + CD
がいえます。また，
1/2 * (円Oの半径) * (AD + BC) + 1/2 * (円Oの半径) * (AB + CD) = □ABCD
そこで，
△OAD + △OBC = 1/2 * (円Oの半径) * (AD + BC) = 1/2 * (円Oの半径) * (AB + CD) = 1/2 * □ABCD ... (c)
(a)，(b)，(c) より補助定理を使うと，M，N，O は一直線上にあることが分かります。

(感想)
これは以前に勉強して，ある程度証明も覚えていました。
それを思い出しながらやりました。

「uchinyan」 4/22 15時20分受信 更新5/18

問題文のヒント？を参考に別解を考えてみました。それを追加して送ります。

(別解)
与えられた図に頼った解法ですが，M，O，N の位置関係が異なった場合も同様にできます。
M と O を結び AC との交点を E とします。
E が AC の中点になることを証明すれば E = N で，M，O，N が一直線上にあることを証明できます。
これを示すために，まず，△AMO，△CMO の面積を考えます。
与えられた図より，
△AMO = △OAB - △ABM - △OBM = △OAB - 1/2 * △OAB - 1/2 * △OBD
= △OAB - 1/2 * □ABOD = △OAB - 1/2 * △OAB - 1/2 * △OAD
= 1/2 * (△OAB - △OAD) = 1/2 * (円Oの半径) * (AB - AD)
△CMO = □MBCO - △MBC = △MBO + △OBC - △MBC = 1/2 * △OBD + △OBC - 1/2 * △DBC
= 1/2 * △OBD + △OBC - 1/2 * (△OBD + △OBC + △OCD)
= 1/2 * (△OBC - △OCD) = 1/2 * (円Oの半径) * (BC - CD)
ここで，AB と円の接点を P，BC と円の接点を Q，CD と円の接点を R，DA と円の接点を S とします。
接線のよく知られた性質，要する円の対称性，により，
AP = AS，BP = BQ，CQ = CR，DR = DS
なので，
AD + BC = AS + DS + BQ + CQ = AP + BP + CR + DR = AB + CD
AB - AD = BC - CD
がいえます。これより，
△AMO = △CMO
になります。ここで，A，C から BD に垂線を下ろしその足を H，I とすると，
AH = CI
です。そこで，△AEH，△CEI について，
AH = CI，∠AHE = 90°= ∠CIE，∠AEH = ∠CEI
なので，
△AEH ≡ △CEI
AE = CE
になり，E は AC の中点 N に等しくなります。
そこで，M，O，N が一直線上にあることを証明できました。

(感想)別解は，問題文のヒントを基に与えられた図を見ながら考えました。
M，O，N の位置関係が変化したら，証明は若干の修正が必要ですが，
同様にできるようです。

　

ＮＯ２「kashiwagi」 4/24 20時31分受信 更新5/18

207回解答

　今点Oと点D及び点Bを結ぶ直線を引くと、点Mは直線BCの中点であるから、

　　　　　　DM　＝MB　　・・・・・�@

　　　　　　△BMO＝△DMO　　・・・・・・�A　　が成り立つ。

　ところで直線MOを両三角形の底辺と見ると各々の三角形の高さが等しい。

　ここで∠DMO＝α、　∠MBC＝βとすると高さが等しいので

　　　　　　DM・sinα　＝MB・sinβ　・・・・・�B　　が成り立つ。

　�B式に�@を代入すると、

　　　　　　sinα　＝sinβ　が成り立つ。　因って、

　　　　α　＝β　ないし、　α+β　＝π　となる。問題の図からα+β　＝πとはならないので

　　　α　＝βとなる。即ち、線分MOは線分BCと平行である。

　全く同様にして、点Oと点A及び点Cを結び同様の議論から

　線分NOは線分BCと平行であることが証明される。

　これより線分MONは線分BCと平行であることが分かり、

3点M,O及びNは一直線上にあることが証明された。

＜水の流れ：解答を拝見していますが、

α　＝βとなる。即ち、線分MOは線分BCと平行である。

ここが分かりません。いろいろな場合の図を書いていくと、平行とはいかない図があります・・・

　もう一度考えてみる必要があります。自分自身、まだ、はっきりしていませんが。＞

ＮＯ３「kasama」 5/17 00時22分受信 更新5/18

補助線を引いて三角形の面積を利用して解く方法は「ニュートンの定理」によりますが、ここでは、座標を使ってやってみました。円と線分AB、BC、CD、DAの接点をそれぞれ、P、Q、R、Sとします。円の半径をr、中心Oを原点とすると、適当な角度α、β、γ、δを用いて、

　P=(rcosα,rsinα)、Q=(rcosβ,rsinβ)、R=(rcosγ,rsinγ)、S=(rcosδ,rsinδ)

と表すことができます。すると、接線AB、BC、CD、DAの方程式は、

　xcosα+ysinα=r…(1)

　xcosβ+ysinβ=r…(2)

　xcosγ+ysinγ=r…(3)

　xcosδ+ysinδ=r…(4)

ですが、接線AB、BCの交点Aは(1)、(2)式を解いて、

　A={r(sinα-sinδ)/sin(α-δ),r(cosδ-cosα)/sin(α-δ)}…(5)

です。同様に交点B、C、Dを求めると、

　B={r(sinβ-sinα)/sin(β-α),r(cosα-cosβ)/sin(β-α)}…(6)

　C={r(sinγ-sinδ)/sin(γ-δ),r(cosδ-cosγ)/sin(γ-δ)}…(7)

　D={r(sinδ-sinα)/sin(δ-α),r(cosα-cosδ)/sin(δ-α)}…(8)

です。すると、点M、Nは

　M=(A+C)/2

　　={r(sinαsin(γ-δ)+sin(α-δ)sinγ-sin(α-δ)sinδ-sin(γ-δ)sinδ)/(2sin(α-δ)sin(γ-δ)),

　　　r(-cosαsin(γ-δ)-cosγsin(α-δ)+cosδsin(α-δ)+cosδsin(γ-δ))/(2sin(α-δ)sin(γ-δ))}…(9)

　N=(B+D)/2=　

　　={r(-sinαsin(β-α)-sinαsin(δ-α)+sinβsin(δ-α)+sin(β-α)sinδ)/(2sin(β-α)sin(δ-α)),

　　　r(cosαsin(β-α)+cosαsin(δ-α)-cosβsin(δ-α)-cosδsin(β-α))/(2sin(β-α)sin(δ-α))}…(10)

となり、線分OMの傾きは、

　(sinαsin(γ-δ)+sin(α-δ)sinγ-sin(α-δ)sinδ-sin(γ-δ)sinδ)/(-cosαsin(γ-δ)-cosγsin(α-δ)+cosδsin(α-δ)+cosδsin(γ-δ))…(11)

また、線分ONの傾きは、

　(-sinαsin(β-α)-sinαsin(δ-α)+sinβsin(δ-α)+sin(β-α)sinδ)/(cosαsin(β-α)+cosαsin(δ-α)-cosβsin(δ-α)-cosδsin(β-α))…(12)

です。(11)式と(12)式は等しいので、3点M、O、Nは一直線上にあります。