平成２０年１１月１６日

[流れ星]

　　　　　第２１６回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：11月16日〜12月7日

［博士の愛した数式］

皆さん、エレガントな解き方をしてみませんか。

問題１:下の図は、いずれも2次関数ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフです。
それぞれのａ，ｂ，ｃの符号をいえ。

（１）　　　　　　　（２）　　　　　　　（３）　　　　　　（４）　　

　　　　　

問題２:下の図は、いずれも３次関数ｙ＝ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄのグラフです。
それぞれのａ，ｂ，ｃ，ｄは正、負、０かをいえ。

（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

問題３：関数ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃについて

（１）ｘ＝１で極大となる条件を求めよ。

（２）ｘ＝−２で極小となる条件を求めよ。

問題４：

問題５：

を証明せよ。

問題６：　

小川洋子さんが書いた「博士の愛した数式」という本を読んだことがありますか。

映画にもなっていました。数学史上最も美しいといわれている等式　ｅ^ｉπ＋１＝０　を証明してください。＜注：新俳人澄朝さんから指摘で　青字は１１月２０日修正＞

問題７：さて、ｉ^ｉ　はどんな数か近似値を求めよ。

問題８：

オイラー（1707〜1783）が上の定理を考え出したのは1741年12月頃に出したゴールドバッハへの手紙からです。（この文は「数学セミナー2006年2月」に掲載された東工大教授黒川信重氏の記事から引用）　それでは、下にあるドモアブルの定理から　ｎを無限大にして極限をとって導いてください。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。