平成２１年１月１８日

[流れ星]

　　　　　第２１９回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：1月18日〜2月8日

［自然数の積の和］

皆さん、新年明けましておめでとうございます。今年もよろしくお願いします。

早速ですが、2009年最初の問題です。

問題１：ｘ＋ｙ＝Ｎ（ｘ，ｙは自然数で、Ｎは２以上の自然数）となる自然数の組（ｘ，ｙ）は

　　　　重複組合せの記号Ｈを用いて_２Ｈ_Ｎ−２通りある。これらの組のそれぞれについて積ｘｙを考え、このようにしてできた_２Ｈ_Ｎ−２個の数をすべて加えるといくつになるか。

　　　　例えばＮ＝５のとき、（ｘ、ｙ）＝（１，４），（２，３），（３，２），（４，１）の_２Ｈ_３＝_４C_３＝_４C_１＝４通りあり、その積は４，６，６，４となり、これらの和は4×２＋６×２＝２０で，これが答えです。

　　　　Ｎ＝２，３，４，５，６，・・・を代入して考えてください。

問題２：ｘ＋ｙ＋ｚ＝Ｎ（ｘ，ｙ，ｚは自然数で、Ｎは３以上の自然数）となる自然数の組
（ｘ，ｙ，ｚ）は_３Ｈ_Ｎ−３通りある。これらの組のそれぞれについて積ｘｙｚを考え、このようにしてできた_３Ｈ_Ｎ−３個の数をすべて加えるといくつになるか。

問題３：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗは自然数で、Ｎは４以上の自然数）となる自然数の組（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）は_４Ｈ_Ｎ−４通りある。これらの組のそれぞれについて

積ｘｙｚｗを考え、このようにしてできた_４Ｈ_Ｎ−４個の数をすべて加えるといくつになるか。

問題４：一般にｘ_１＋ｘ_２＋・・・＋ｘ_ｎ＝Ｎ（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_ｎは自然数で、Ｎはｎ以上の自然数）となる自然数の組（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_ｎ）は_ｎＨ_Ｎ−ｎ通りある。これらの組のそれぞれについて積ｘ_１ｘ_２・・・・ｘ_ｎを考え、このようにしてできた_ｎＨ_Ｎ−ｎ個の数をすべて加えるといくつになるか。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。