平成２１年４月１２日

[流れ星]

　　　　　第２２２回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：３月２２日〜４月１２日

［多項式の余り］

先日、「大学への数学」（2009年3月号）を読んでいて、次のような問題を考えました。

問題１：3次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^３−３ｘ^２−６ｘ＋５について、

（１）ｆ(ｘ)を導関数ｆ’(ｘ)で割った余りを求めよ。

（２）ｆ(ｘ)には極値をとる点が2個あるが、この2点を通る直線の方程式を求めよ。

問題２：ｆ(ｘ)＝−ｘ^４＋４ｘ^３＋６ｘ^２−４ｘについて

（１）ｆ(ｘ)を導関数ｆ’(ｘ)で割った余りを求めよ。

（２）ｆ(ｘ)には極値をとる点が３個あるが、この３点を通る放物線の方程式を求めよ。

問題３　上の問題１と問題２において、（１）と（２）の答えが同じである理由を考察せよ。

NO1「uchinyan」 3/22 14時30分受信 更新4/12

第２２２回数学的な応募問題
［多項式の余り］

いきなり問題３：からでもできますが，順番にやってみます。

問題１：
f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5
(1)
f'(x) = 3x^2 - 6x - 6
f(x) = (x/3 - 1/3)(3x^2 - 6x - 6) + (- 6x + 3)
なので，余りは - 6x + 3 です。
(2)
f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3(x^2 - 2x - 2) = 3(x - (1 - sqrt(3)))(x - (1 + sqrt(3)))
なので，
x < 1 - sqrt(3) で，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
x = 1 - sqrt(3) で，f'(x) = 0，f(x) は極大値 - 3 + 6 * sqrt(3)
1 - sqrt(3) < x < 1 + sqrt(3) で，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
x = 1 + sqrt(3) で，f'(x) = 0，f(x) は極小値 - 3 - 6 * sqrt(3)
1 + sqrt(3) < x で，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
なので，y = f(x) は，
(1 - sqrt(3), - 3 + 6 * sqrt(3)), (1 + sqrt(3), - 3 - 6 * sqrt(3))
で極値をとります。そこで，この２点を通る直線は，
y - (- 3 + 6 * sqrt(3))
　= {(- 3 - 6 * sqrt(3)) - (- 3 + 6 * sqrt(3))}/{(1 + sqrt(3)) - (1 - sqrt(3))} * (x - (1 - sqrt(3)))
y = (- 12 * sqrt(3))/(2 * sqrt(3)) * (x - (1 - sqrt(3))) + (- 3 + 6 * sqrt(3))
y = (- 6) * (x - (1 - sqrt(3))) + (- 3 + 6 * sqrt(3))
y = - 6x + (6 - 6 * sqrt(3))) + (- 3 + 6 * sqrt(3))
y = - 6x + 3

問題２：
f(x) = - x＾4 ＋ 4x^3 + 6x^2 - 4x
(1)
f'(x) = - 4x^3 + 12x^2 + 12x - 4
f(x) = (x/4 - 1/4)(- 4x^3 + 12x^2 + 12x - 4) + (6x^2 - 1)
なので，余りは 6x^2 - 1 です。
(2)
f'(x) = - 4x^3 + 12x^2 + 12x - 4 = - 4(x^3 - 3x^2 - 3x + 1)
= - 4(x + 1)(x^2 - 4x + 1)
= - 4(x + 1)(x - (2 - sqrt(3)))(x - (2 + sqrt(3)))
そこで，
x < - 1 で，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
x = - 1 で，f'(x) = 0，f(x) は極大値 5
- 1 < x < 2 - sqrt(3) で，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
x = 2 - sqrt(3) で，f'(x) = 0，f(x) は極小値 41 - 24 * sqrt(3)
2 - sqrt(3) < x < 2 + sqrt(3) で，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
x = 2 + sqrt(3) で，f'(x) = 0，f(x) は極大値 41 + 24 * sqrt(3)
2 + sqrt(3) < x で，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
なので，y = f(x) は，
(-1, 5), (2 - sqrt(3), 41 - 24 * sqrt(3)), (2 + sqrt(3), 41 + 24 * sqrt(3))
で極値をとります。そこで，この３点を通る放物線は，y = ax^2 + bx + c とおくと
a(-1)^2 + b(-1) + c = 5
a(2 - sqrt(3))^2 + b(2 - sqrt(3)) + c = 41 - 24 * sqrt(3)
a(2 + sqrt(3))^2 + b(2 + sqrt(3)) + c = 41 + 24 * sqrt(3)
計算すると，
a - b + c = 5
(7 - 4 * sqrt(3))a + (2 - sqrt(3))b + c = 41 - 24 * sqrt(3)
(7 + 4 * sqrt(3))a + (2 + sqrt(3))b + c = 41 + 24 * sqrt(3)
->
a - b + c = 5
7a + 2b + c = 41
(4 * sqrt(3))a + (sqrt(3))b = 24 * sqrt(3)
->
2a + b = 12
(4 * sqrt(3))a + (sqrt(3))b = 24 * sqrt(3)
->
(2 * sqrt(3))a = 12 * sqrt(3)
->
a = 6, b = 0, c = - 1
つまり，
y = 6x^2 - 1
になります。

問題３　
確かに，問題１と問題２において，それぞれ，(1)と(2)の答えが一致しています。
これは，一般に，次のようにしていえます。

今，f(x) を n 次の多項式とします。すると，f'(x) は n-1 次の多項式です。
そこで，g(x) を n-2 次の多項式として，
f(x) = (ax + b) * f'(x) + g(x)
と書けます。このとき，g(x) は，f(x) を f'(x) で割った余りになります。
さて，f(x) が n-1 個の異なる点 (pk,f(pk)), k = 1, 2, ..., n-1 で極値をとったとします。
この必要十分条件は，明らかに，f'(pk) = 0, k = 1, 2, ..., n-1 であって，pk が互いに異なることです。
すると，k = 1, 2, ..., n-1 に対して
f(pk) = (a * pk + b) * f'(pk) + g(pk) = g(pk)
これは，n-2 次の多項式関数 y = g(x) が，n-1 個の異なる点 (pk,f(pk)) を通ることを示しています。
つまり，余り g(x) は，n-1 個の異なる点 (pk,f(pk)), k = 1, 2, ..., n-1 を通る n-2 次の多項式関数になっています。

(考察)
ちょっとうるさいことをいうと，g(x) = ��[i=0,n-2]{ai * x^i} において，
n-1 個の ai, i = 0, ..., n-2，に関する１次の連立方程式
g(pk) = f(pk), k = 1, 2, ..., n-1
が，ただ一つの解をもつことを証明する必要があります。
(解をもつことは余り g(x) の存在によって明らかですが，これ以外にあるかもしれません。)
これは大学レベルになってしまうので省略しましたが，１次の連立方程式の一般論から，n-2 = m とおいて
ai の係数の行列の行列式
|p1^m p1^(m-1) ... p1^2 p1 1|
|p2^m p2^(m-1) ... p2^2 p2 1|
|...........................|
|pm^m pm^(m-1) ... pm^2 pm 1|
が 0 でない限りただ一つの解をもつことがいえ，さらに，この行列式は，行列式の性質をうまく使うと，
Π[1<=i<j<=m](pi - pj)　つまり，1 <= i < j <= m となるすべての (pi - pj) の積
に等しいことがいえ，pi not= pj だったので，0 にはなりません。
そこで，必ず，ai, i = 0, 1, ..., n-2 がただ一つ確定し，それが y = g(x) になることは保証されています。

(感想)
ある意味明らかな問題ですが，面白い問題だと思いました。

NO2「浜田明巳」 3/26 11時56分受信 更新4/12

問題１
(1) ｆ(ｘ)＝ｘ^３−３ｘ^２−６ｘ＋５から，
　　ｆ'(ｘ)＝３ｘ^２−６ｘ−６＝３(ｘ^２−２ｘ−２)
　ｆ(ｘ)÷ｆ'(ｘ)を計算すると，
　　　　　　　　　　１／３　−１／３
　　　　　　　　　─―――――――――――――
　　３　−６　−６）１　　　−３　　　−６　５
　　　　　　　　　　１　　　−２　　　−２
　　　　　　　　　　―――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　−１　　　−４　５
　　　　　　　　　　　　　　−１　　　　２　２
　　　　　　　　　　　　　　―――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−６　３
　　∴ｆ(ｘ)＝ｆ'(ｘ)(ｘ／３−１／３)−６ｘ＋３
　余りは−６ｘ＋３となる．
(2) ｆ'(ｘ)＝０　⇔　ｘ＝１±√３
である．極値を与えるｘの値をα，β（＝１±√３）とすると，
　　ｆ'(α)＝ｆ'(β)＝０
　　∴ｆ(α)＝−６α＋３，ｆ(β)＝−６β＋３
　故に極値の点(α，ｆ(α))，(β，ｆ(β))（α≠β）を結ぶ直線の方程式は，
　　ｙ＝−６ｘ＋３
問題２
(1) ｆ(ｘ)＝−ｘ^４＋４ｘ^３＋６ｘ^２−４ｘから，
　　ｆ'(ｘ)＝−４ｘ^３＋１２ｘ^２＋１２ｘ−４＝−４(ｘ^３−３ｘ^２−３ｘ＋１)
　　　　　＝−４{(ｘ^３＋１)−３ｘ(ｘ＋１)}＝−４(ｘ＋１){(ｘ^２−ｘ＋１)−３ｘ}
　　　　　＝−４(ｘ＋１)(ｘ^２−４ｘ＋１)
　ｆ(ｘ)÷ｆ'(ｘ)を計算すると，
　　　　　　　　　　　　　　１／４　−１／４
　　　　　　　　　　　　　─―――――――――――――――――
　　−４　１２　１２　−４）−１　　４　　　　　６　−４　　０
　　　　　　　　　　　　　　−１　　３　　　　　３　−１
　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　３　−３　　０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　　−３　−３　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　―――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６　　０　−１
　　∴ｆ(ｘ)＝ｆ'(ｘ)(ｘ／４−１／４)＋６ｘ^２−１
　余りは６ｘ^２−１となる．
(2) ｆ'(ｘ)＝０　⇔　ｘ＝−１，２±√３
である．極値を与えるｘの値をα，β，γ（＝−１，２±√３）とすると，
　　ｆ'(α)＝ｆ'(β)＝ｆ'(γ)＝０
　　∴ｆ(α)＝６α^２−１，ｆ(β)＝６β^２−１，ｆ(γ)＝６γ^２−１
　故に極値の点(α，ｆ(α))，(β，ｆ(β))，(γ，ｆ(γ))（α≠β≠γ≠α）を結ぶ放物線の方程式は，
　　ｙ＝６ｘ^２−１
問題３
　上記の解き方によって，(1)，(2)の答が一致する理由は明らかであろう．

NO3「kashiwagi」 4/01 22時01分受信

「kashiwagi」 4/07 07時48分受信 更新4/12

NO4「新俳人澄朝」4/07 17時25分受信 更新4/12

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。