平成２２年８月８日

[流れ星]

　　　　　第２４４回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月11日〜8月8日

［正三角形の問題］

平成13年の岡山大学入試問題を見ていると、次のような問題が出ていました。

問題：原点を中心とする半径１の円が座標平面上にある。この円に内接する正三角形を

原点を中心に回転させるとき、この正三角形の第１象限にある部分の面積の最小値と最大値を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」 07/13 14時30分受信 更新8/8

第２４４回数学的な応募問題

［正三角形の問題］

正三角形を △ABC とし，座標を，

O(0,0), A(cos(θ), sin(θ))，

B(cos(θ + 2π/3), sin(θ + 2π/3))，C(cos(θ + 4π/3), sin(θ + 4π/3))

とします。ただし，対称性より，0 <= θ <= 2π/3 で考えれば十分です。

この設定で，△ABC の第１象限の部分の面積 S を求めてみます。

(1) 0 <= θ <= π/2 のとき

AB が y 軸と，AC が x 軸と交わります。それぞれ交点を P，Q とします。

AB の式

y - sin(θ) = (sin(θ + 2π/3) - sin(θ))/(cos(θ + 2π/3) - cos(θ)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - (cos(θ + π/3)sin(π/3))/(sin(θ + π/3)sin(π/3)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - cos(θ + π/3)/sin(θ + π/3) * (x - cos(θ))

P を求めるために x = 0 とおいて，

y = sin(θ) + cos(θ + π/3)/sin(θ + π/3) * cos(θ)

= (cos(θ + π/3)cos(θ) + sin(θ + π/3)sin(θ))/sin(θ + π/3)

= cos(π/3)/sin(θ + π/3)

= 1/2 * 1/sin(θ + π/3)

そこで，P(0, 1/2 * 1/sin(θ + π/3)) です。

AC の式

y - sin(θ) = (sin(θ + 4π/3) - sin(θ))/(cos(θ + 4π/3) - cos(θ)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - (cos(θ + 2π/3)sin(2π/3))/(sin(θ + 2π/3)sin(2π/3)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - cos(θ + 2π/3)/sin(θ + 2π/3) * (x - cos(θ))

Q を求めるために y = 0 とおいて，

x = cos(θ) + sin(θ + 2π/3)/cos(θ + 2π/3) * sin(θ)

= (cos(θ + 2π/3)cos(θ) + sin(θ + 2π/3)sin(θ))/cos(θ + 2π/3)

= cos(2π/3)/cos(θ + 2π/3)

= - 1/2 * 1/cos(θ + 2π/3)

= 1/2 * 1/cos(θ - π/3)

そこで，Q(1/2 * 1/cos(θ - π/3), 0) です。

これより，

S = □APOQ = △AOP + △AOQ

= 1/2 * 1/sin(θ + π/3) * cos(θ) * 1/2 + 1/2 * 1/cos(θ - π/3) * sin(θ) * 1/2

= 1/4 * (cos(θ)/sin(θ + π/3) + sin(θ)/cos(θ - π/3))

= 1/4 * (cos(θ)cos(θ - π/3) + sin(θ)sin(θ + π/3))/sin(θ + π/3)cos(θ - π/3))

= 1/4

* (cos(θ)(cos(θ)cos(π/3) + sin(θ)sin(π/3)) + sin(θ)(sin(θ)cos(π/3) + cos(θ)sin(π/3))

* 1/(sin(θ)cos(π/3) + cos(θ)sin(π/3))(cos(θ)cos(π/3) + sin(θ)sin(π/3))

= 1/4

* (1/2 * ((cos(θ))^2 + (sin(θ))^2) + sqrt(3)/2 * (cos(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(θ)))

* 1/(sqrt(3)/4 * ((cos(θ))^2 + (sin(θ))^2) + 1/4 * sin(θ)cos(θ) + 3/4 * cos(θ)sin(θ)))

= 1/4 * (1/2 + sqrt(3)/2 * sin(2θ))/(sqrt(3)/4 + 1/2 * sin(2θ))

= 1/4 * (1 + sqrt(3) * sin(2θ))/(sqrt(3)/2 + sin(2θ))

= 1/4 * (sqrt(3) - 1/2 * 1/(sqrt(3)/2 + sin(2θ)))

ここで，0 <= θ <= π/2 より，0 <= 2θ <= π なので，

0 <= θ <= π/2 のときは，

最大は θ = π/4 で，最大値は

S(π/4) = 1/4 * (sqrt(3) - 1/2 * 1/(sqrt(3)/2 + sin(2 * π/4)))

= 1/4 * (sqrt(3) - 1/(2 + sqrt(3)))

= 1/4 * (2 * sqrt(3) - 2)

= (sqrt(3) - 1)/2

最小は θ = 0 又は π/2 で，最小値は

S(0) = 1/4 * (sqrt(3) - 1/2 * 1/(sqrt(3)/2 + sin(0))) = sqrt(3)/6 =

S(π/2) = 1/4 * (sqrt(3) - 1/2 * 1/(sqrt(3)/2 + sin(2 * π/2))) = sqrt(3)/6

(2) π/2 <= θ <= 2π/3 のとき

AC が y 軸，x 軸と交わります。それぞれ交点を P，Q とします。

AC の式

y - sin(θ) = (sin(θ + 4π/3) - sin(θ))/(cos(θ + 4π/3) - cos(θ)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - (cos(θ + 2π/3)sin(2π/3))/(sin(θ + 2π/3)sin(2π/3)) * (x - cos(θ))

y - sin(θ) = - cos(θ + 2π/3)/sin(θ + 2π/3) * (x - cos(θ))

P を求めるために x = 0 とおいて，

y = sin(θ) + cos(θ + 2π/3)/sin(θ + 2π/3) * cos(θ)

= (cos(θ + 2π/3)cos(θ) + sin(θ + 2π/3)sin(θ))/sin(θ + 2π/3)

= cos(2π/3)/sin(θ + 2π/3)

= - 1/2 * 1/sin(θ + 2π/3)

= 1/2 * 1/sin(θ - π/3)

そこで，P(0, 1/2 * 1/sin(θ - π/3)) です。

Q を求めるために y = 0 とおいて，

x = cos(θ) + sin(θ + 2π/3)/cos(θ + 2π/3) * sin(θ)

= (cos(θ + 2π/3)cos(θ) + sin(θ + 2π/3)sin(θ))/cos(θ + 2π/3)

= cos(2π/3)/cos(θ + 2π/3)

= - 1/2 * 1/cos(θ + 2π/3)

= 1/2 * 1/cos(θ - π/3)

そこで，Q(1/2 * 1/cos(θ - π/3), 0) です。

これより，

S = △POQ

= 1/2 * 1/cos(θ - π/3) * 1/2 * 1/sin(θ - π/3) * 1/2

= 1/8 * 1/sin(θ - π/3)cos(θ - π/3)

= 1/8 * 1/(sin(θ)cos(π/3) - cos(θ)sin(π/3))(cos(θ)cos(π/3) + sin(θ)sin(π/3))

= 1/8

* 1/(1/4 * sin(θ)cos(θ) - 3/4 * cos(θ)sin(θ)) - sqrt(3)/4 * ((cos(θ))^2 + (sin(θ))^2))

= - 1/4 * 1/(1/2 * sin(2θ) + sqrt(3)/2 * cos(2θ))

= - 1/4 * 1/sin(2θ + π/3)

= 1/4 * 1/sin(2θ - 2π/3)

ここで，π/2 <= θ <= 2π/3 より，π/3 <= 2θ - 2π/3 <= 2π/3 なので，

π/2 <= θ <= 2π/3 のときは，

最小は θ = 7π/12 で，最小値は

S(7π/12) = 1/4 * 1/sin(2 * 7π/12 - 2π/3) = 1/4

最大は θ = π/2 又は 2π/3 で，最大値は

S(π/2) = 1/4 * 1/sin(2 * π/2 - 2π/3) = sqrt(3)/6 =

S(2π/3) = 1/4 * 1/sin(2 * 2π/3 - 2π/3) = sqrt(3)/6

以上ですべてなので，結局，

最大値は (sqrt(3) - 1)/2，最小値は 1/4

になります。

(別解1)

こんな解法もありますね。

正三角形を △ABC，A，B，C は反時計回り，とし，その中心，原点，を O(0,0) とします。

今，A(1,0) の場合から，△ABC を反時計回りに回転します。

これは，座標軸を時計回りに回転することと同じです。

そこで，以下では，△ABC は固定し座標軸を時計回りに回転すると考えます。

x 軸の正の方向の O から十分遠い所に点 X を，y 軸の正の方向の O から十分遠い所に点 Y を，

取っておきます。

対称性から，0°<= ∠XOA <= 120°を考えれば十分です。

第１象限は，領域XOY になります。△ABC の 領域XOY の部分の面積を S とします。

OA = 1 より，AB = BC = CA = sqrt(3) です。

(1) 0°<= ∠XOA <= 90°のとき

このときは，OX が AC と，OY が AB と交点をもちます。それらをそれぞれ P，Q とします。

P，Q から OA に垂線を下ろしそれらの足を H，I とします。

すると，∠POQ = 90°より，∠POH = ∠POQ - ∠QOA = 90°- ∠QOI = ∠OQI なので，

△OPH ∽ △QOI になり，PH：OH = OI：QI，PH * QI = OH * OI です。

そこで，PH = a，QI = b とすると，∠BAO = ∠CAO = 30°にも注意して，

0 <= a = PH <= sqrt(3)/3，0 <= b = QI <= sqrt(3)/3

AH = sqrt(3) * a，AI = sqrt(3) * b，OH = 1 - sqrt(3) * a，OI = 1 - sqrt(3) * b

より，PH * QI = OH * OI は，

ab = (1 - sqrt(3) * a)(1 - sqrt(3) * b)

2ab - sqrt(3) * (a + b) + 1 = 0

(a - sqrt(3)/2)(b - sqrt(3)/2) = 1/4

また，

S = □OPAQ = △OPA + △OQA = OA * PH * 1/2 + OA * QI * 1/2 = (a + b)/2

a + b = 2S

です。そこで，(a,b)-座標平面上で

(a - sqrt(3)/2)(b - sqrt(3)/2) = 1/4

　a = sqrt(3)/2 と b = sqrt(3)/2 を漸近線とする双曲線で

　0 <= a <= sqrt(3)/3，0 <= b <= sqrt(3)/3 の部分

を考え，a + b = 2S との共有点の存在から，

sqrt(3)/6 <= S <= (sqrt(3) - 1)/2

S の最大は a = b で (sqrt(3) - 1)/2，S の最小は a = 0 又は b = 0 で sqrt(3)/6

になります。

実は，相加相乗平均から最大は容易に分かるのですが，最小は別途考えることになるので，

上記のようにしました。

(2) 90°<= ∠XOA <= 120°のとき

このときは，OX，OY が AC と交点をもちます。それらをそれぞれ P，Q とします。

O から AC に垂線を下ろしその足を H とします。

∠OAH = ∠OCH = 30°より，OH = OA * 1/2 = 1/2 です。

また，∠POQ = 90°より，∠POH = ∠POQ - ∠QOH = 90°- ∠QOH = ∠HQO なので，

△OPH ∽ △QOH になり，PH：OH = OH：QH，PH * QH = OH * OH = 1/4 です。

そこで，PH = a とすると，90°<= ∠XOA <= 120°に注意して，

sqrt(3)/6 <= a = PH <= sqrt(3)/2，QH = 1/4a，PQ = a + 1/4a

S = △OPQ = PQ * OH * 1/2 = 1/4 * (a + 1/4a)

これは，S = S(a) のグラフから，

1/4 <= S <= sqrt(3)/6

最小は a = 1/2 で 1/4，最大は a = sqrt(3)/6 又は sqrt(3)/2 で sqrt(3)/6

になります。

実は，相加相乗平均から最小は容易に分かるのですが，最大は別途考えることになるので，

上記のようにしました。

以上ですべてなので，結局，

最大値は (sqrt(3) - 1)/2，最小値は 1/4

になります。

(別解2)

より，幾何学的な解法です。

正三角形を △ABC，A，B，C は反時計回り，とし，その中心を O(0,0) とします。

今，A(1,0) の場合から，△ABC を反時計回りに回転します。

これは，座標軸を時計回りに回転することと同じです。

そこで，以下では，△ABC は固定し座標軸を時計回りに回転すると考えます。

x 軸の正の方向の O から十分遠い所に点 X を，y 軸の正の方向の O から十分遠い所に点 Y を，

取っておきます。

対称性から，0°<= ∠XOA <= 120°を考えれば十分です。

第１象限は，領域XOY になります。△ABC の 領域XOY の部分の面積を S とします。

(1) 0°<= ∠XOA <= 90°のとき

このときは，OX が AC と，OY が AB と交点をもちます。それらをそれぞれ P，Q とします。

対称性より，0°<= ∠XOA <= 45°を考えれば十分です。

45°<= ∠XOA <= 90°は，図形を OA に関して折り返すと，

必ず，0°<= ∠XOA <= 45°に合同な図形が存在するからです。

∠XOA = 45°のときの P，Q を U，V とします。このとき，U，V は OA に関して対称です。

∠OUA = ∠OVA = 105°，∠OUC = ∠OVB = 75°です。

さて，S = □OPAQ ですが，□OUAV と比べてみます。

δS = □OUAV - □OPAQ = △OPU - △OQV

= OU * OP * sin(∠UOP) * 1/2 - OV * OQ * sin(∠VOQ) * 1/2

ここで，∠UOP = ∠UOV - ∠POV = ∠POQ - ∠POV = ∠VOQ = θ = 回転角，OU = OV，なので，

δS = (OP - OQ) * OU * sin(θ) * 1/2

さらに，△OQV を OA に関して折り返すと，V は U に重なり，Q の移動先を R とすると，

R は AC 上にあり，U に関して P と反対側にあります。

折り返したのだから，OR = OQ，∠UOR = ∠VOQ = ∠UOP です。

そこで，△OPR において，

∠OPR = ∠OUR - ∠UOP = 75°- ∠UOP

∠ORP = ∠OUP - ∠UOR = 105°- ∠UOP

つまり，∠OPR < ∠ORP です。そこで，OR < OP，したがって，OP > OR = OQ です。

これより，δS > 0 がいえます。

つまり，0°<= ∠XOA <= 90°では，P = U，Q = V，∠XOA = 45°のときが最大で，

U から OA に垂線を下ろして考えると，

OU/sqrt(2) + sqrt(3) * OU/sqrt(2) = 1

OU = sqrt(2)/(sqrt(3) + 1) = (sqrt(3) - 1)/sqrt(2) = OV

なので，最大値は，

S = □OUAV = △OUA * 2 = OA * OU * sin(45°) * 1/2 * 2 = (sqrt(3) - 1)/2

になります。

次に最小を考えます。

∠XOA = 0°の場合は，P = A で，Q を Q' とすると，このとき S = △OAQ' です。

これと，一般の □OPAQ とを比較します。

δS = □OPAQ - △OAQ' = △POA - △QOQ'

= OA * OP * sin(∠AOP) * 1/2 - OQ' * OQ * sin(∠Q'OQ) * 1/2

ここで，∠AOP = ∠Q'OQ = θ = 回転角，OA = 1 > OQ' = 1/sqrt(3) で，

さらに，先ほどの議論から OP > OQ，なので，

δS > OA * OP * sin(θ) * 1/2 - OA * OQ * sin(θ) * 1/2 = (OP - OQ) * sin(θ) * 1/2 > 0

となり，∠XOA = 0°(又は 90°)が最小で，最小値は，

S = △OAQ' = OA * OQ' * 1/2 = 1 * 1/sqrt(3) * 1/2 = sqrt(3)/6

になります。

(2) 90°<= ∠XOA <= 120°のとき

このときは，OX，OY が AC と交点をもちます。それらをそれぞれ P，Q とします。

対称性より，90°<= ∠XOA <= 105°を考えれば十分です。

∠XOA = 105°のときの P，Q を U，V とします。このとき，U，V は BO に関して対称です。

∠OUA = ∠OVC = 45°，∠OUC = ∠OVA = 135°です。

さて，S = △OPQ ですが，△OUV と比べてみます。

δS = △OPQ - △OUV = △OVQ - △OPU

= OV * OQ * sin(∠VOQ) * 1/2 - OU * OP * sin(∠UOP) * 1/2

ここで，∠UOP = ∠UOV - ∠POV = ∠POQ - ∠POV = ∠VOQ = θ = 回転角，OU = OV，なので，

δS = (OQ - OP) * OU * sin(θ) * 1/2

ここで，O より AC に垂線を下ろしその足を H とすると，

∠AOH = 60°，OH = 1/2

また，90°<= ∠XOA <= 105°より，0°<= ∠QOA <= 15°，30°<= ∠POH <= 45°に注意して，

△OPQ において，

∠OPQ = ∠OUV + ∠UOP = 45°+ θ

∠OQP = ∠OVU - ∠VOQ = 45°- θ

つまり，∠OPQ > ∠OQP です。そこで，OP < OQ です。

これより，δS < 0 がいえます。

つまり，90°<= ∠XOA <= 120°では，P = U，Q = V，∠XOA = 105°のときが最小で，

OU = OV = sqrt(2)/2

なので，最小値は，

OU * OU * 1/2 = 1/4

になります。

次に最小を考えます。

∠XOA = 90°の場合は，Q = A で，P を P' とすると，このとき S = △OAP' です。

これと，一般の △OPQ とを比較します。

δS = △OPQ - △OAP' = △POP' - △OAQ

= OP' * OP * sin(∠P'OP) * 1/2 - OA * OQ * sin(∠AOQ) * 1/2

ここで，∠P'OP = ∠AOQ = θ = 回転角，OA = 1 > OP' = 1/sqrt(3) で，

さらに，先ほどの議論から OP < OQ なので，

δS < OA * OP * sin(θ) * 1/2 - OA * OQ * sin(θ) * 1/2 = (OP - OQ) * sin(θ) * 1/2 < 0

となり，∠XOA = 90°(又は 120°)が最大で，最大値は，

S = △OAP' = OA * OP' * 1/2 = 1 * 1/sqrt(3) * 1/2 = sqrt(3)/6

になります。

以上ですべてなので，結局，

最大値は (sqrt(3) - 1)/2，最小値は 1/4

になります。

(感想)

なかなか面倒になってしまいました。

直感的には，対称性から，正三角形 △ABC を x 軸に対して，

∠XOA = 45°としたときが最大，∠XOA = 105°としたときが最小

は，ほとんど明らかなのですが．．．

もう少し簡単にできないのかな，と思います。

ＮＯ２「bulletshooteer」 07/15 18時05分受信 更新8/8

この正三角形ABCの外心Oから2本の直交する半直線OX,OYを伸ばす。

2半直線の間の部分（270°じゃなくて90°の方）に挟まれた部分を第1象限と見なせる。

正三角形の第1象限部の面積をSとする。

[第1象限に頂点1つの時]

この頂点をAとする。

交点P,Qを図1のように定め、長さOP,OQの内短い方をr[1]、長い方をr[2]とする。

極方程式で表された図形の求積法から、この直交2半直線組を、

・r[1]側へ微小角度dθ回転すれば、

　Sの増加は　(1/2)r[1]^2dθ-(1/2)r[2]^2dθ=(1/2)(r[1]^2-r[2]^2)dθ＜0

・r[2]側へすれば、

　Sの増加は　(1/2)r[2]^2dθ-(1/2)r[1]^2dθ=(1/2)(r[2]^2-r[1]^2)dθ＞0

∴OP,OQの内短い方を長く、長い方を短くするように回転することで面積が増加するので、

面積最大はr[1]=r[2]の時――�T

最小は頂点1つが半直線上の時――�U

[第1象限に頂点無しの時]

2半直線が辺によって切られた長さを上と同様にr[2],r[1]とし、上と同様の議論から、

面積最小はr[1]=r[2]の時――�V

最大は�Uの時

∴�T＞�U＞�V

以下で、�T，�Vに於ける正三角形の面積を求める。

[�T]図2。正三角形外心は重心と一致。何故なら正三角形に於いては、各辺の垂直2等分線と頂点から対辺中点への線分が同じことだから。

OA=1。HQ=hとすると、三角比から、AH+HO=1⇔（1+√3）h=1⇔h=(√3-1)/2

∴S=2×(1/2)×1×(√3-1)/2=(√3-1)/2

[�V]図2に於ける第3象限部の面積。

点Oは△ABCの重心だからOM=1/2。三角比から、MP'=(1/2)

∴S=2×（1/2）×（1/2）×（1/2）=1/4

∴最大(√3-1)/2、最小1/4

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ＮＯ３「ＭＶＨ」 　 08/08 12時12分受信 更新8/8

寄せられた解答1です。

寄せられた解答2です。

ＮＯ４「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 　08/10 12時48分受信 更新8/12

正方形に内接する正三角形の最大は...頂点が正方形にあるとき...
その正三角形の重心を円の中心として４分割することを考えると...
重心は高さの2/3 の位置にあるので...
正方形の辺に平行な直線での分割を考えると...
重なった頂点側が最大で...その反対側が最小になりそう...^^;←ここの考証わから
ず...よって…半ば直感…数学じゃない…Orz...

頂点から重心までの距離...1

sin 15 を求める...
cos 30=(cos 15)^2-(sin 15)^2
           =1-2(sin 15)^2
(1-√3/2)/2=t^2
(2-√3)/4=t^2
(a-b√3)^2=2-√3
a^2+3b^2=2
2ab=1
a^2+3(1/2a)^2=2
4a^4-8a^2+3=0
k^2-2k=-3/4
(k-1)^2=1/4
k=3/2=a^2
a=√6/2
b=(1/2)(2/√6)=√6/6
t=(√6/2-√6*√3/6)/2
 =(√6-√2)/4

1/2=a(sin 30+(√2/2)*sin 15)
      =a*(1/2+(√2/2)(√6-√2)/4)
      =a*(1+√3)/4
a=2/(1+√3)=(√3-1)

求めるMax面積=1/2-(√2/2)*a*sin 15
          =1/2-(√2/2)(√3-1) (√6-√2)/4
          =1/2-(2-√3)/2
          =(√3-1)/2

最小は…
正三角形の１辺の長さ=(3/2)(2/√3)=√3
(√2/2)*((√3/a)-1)-((√2/2)-√3*sin 15)
=(√2/2)*{√3/(√3-1)-1}-((√2/2-√3*(√6-√2)/4)
=√2/2
つまり…
求めるMin面積=(√2/2)^2/2=1/4

＜水の流れ：正方形の辺に平行な直線での分割を考えると...
重なった頂点側が最大で...その反対側が最小になりそう

と書いてありますが、やはり、こうであると示さなければ・・・＞

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皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。