平成２４年４月８日

[流れ星]

　　　　　第２７２回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：3月18日〜4月8日

［格子点は何個］

平成２４年から実施される新学習指導要領（数学）の科目「数学A」は「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」の３つの内容から構成されています。今回、東京書籍からでている難関大学入試対策　整数の特別講座　「整数の本質」にあった問題です。

問題　　ｘｙ平面上で次の３条件すべてを満たす格子点（ｘ、ｙ）は何個あるか。

「１」ｘ、ｙはともに整数

「２」１≦ｘ≦100　，１≦ｙ≦100　

「３」ｘ＋ｙは２の倍数　，２ｘ＋３ｙは５の倍数

ＮＯ１「uchinyan」 03/18 13時29分受信 更新4/8

条件は，

(1)　x，y は整数

(2)　1 <= x <= 100，1 <= y <= 100

(3)　x + y は 2 の倍数，2x + 3y は 5 の倍数

まず，(1)と(3)から，

x + y は 2 の倍数，より，x，y の 2 で割った余りは同じ

2x + 3y は 5 の倍数，より，x，y の 5 で割った余りは同じ

そこで，x，y の 10 で割った余りは同じ

になります。つまり，x，y の 1 の位の数字が同じです。

これより，(2)の条件の下では，x を一つ決めると y は 100/10 = 10 個ずつあるので，

100/10 * 100 = 1000 個

あることになります。

(感想)

何か妙に簡単でした。勘違いをしていなければいいのですが。

ＮＯ２「浜田明巳」 03/19 12時37分受信 更新4/8

エクセルのマクロで解きました．答は，１０００個です．
Option Explicit
Sub Macro1()
    Dim x As Integer
    Dim y As Integer
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    For x = 1 To 100
      For y = 1 To 100
        If ((x + y) Mod 2) + ((2 * x + 3 * y) Mod 5) = 0 Then
          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
          Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = x
          Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = y
          Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
        End If
      Next y
    Next x
    Range("A1").Select
End Sub

ＰＳ．２７１回のuchinyanさんの相加平均，相乗平均の使い方にはまいりました．いっぱい解法があるものですね

ＮＯ３「にいばりＺ12」03/19 23時51分受信 更新4/8

「整数の本質」には程遠い力ずくの回答ですが

よろしくお願いします。

「3」前段及び「1」より偶奇性から

y=x+2p　　（ｐは整数）　　　�@

「3」後段及び「1」より

2x+3y=5m　　(mは自然数)　　�A

�Aに�@を代入すると

2x+3( x+2p )=5m　　　　　　　�B

x+6(p/5 )= m　　　　　　　　　�C

6と5は互いに素；ｐは整数；mは自然数

からpは5の倍数

そこでp=5q　（qは整数）と置き�@に代入すると

y=x+10q　　　　　　　　　　　�D

「2」より-9≦q≦9となり一つのxに対し10個のyが存在する

よって3条件全てを満たす格子点は

xの個数×10=100×10=1000個

x=1  y=1,11,・・・,91   (q=0〜9)

x=2  y=2,21,・・・,92   (q=0〜9)

・

・

x=11  y=1,11,・・・,91   (q=-1〜8)

・

・

x=100  y=10,20,・・・,100   (q=-9〜0)

�@ はxとyを取り替えても成り立つ

x = y+2p’　　（ｐは整数）　　　�@’

「3」後段及び「1」より

2 x +3y=5m’　　(mは自然数)　　�A’

�A’に�@’を代入すると

2( y+2p’ )+ 3y =5m’　　　　　　　�B’

y+4(p’/5 )= m’　　　　　　　　　�C’

4と5は互いに素；ｐ’は整数；m’は自然数

からp’は5の倍数

そこでp’=5q’　（qは整数）と置き�@に代入すると

x=y+10q　　　　　　　　　　　�D’　

「2」より-9≦q’≦9となり一つのyに対し10個のxが存在する

よって3条件全てを満たす格子点は

yの個数×10=100×10=1000個

y=1  x=1,11,・・・,91   (q’=0〜9)

y=2  x=2,21,・・・,92   (q’=0〜9)

・

・

y=11  x=1,11,・・・,91   (q’=-1〜8)

・

・

y=100  x=10,20,・・・,100   (q’=-9〜0)

格子点はy=x上に100個存在（x=y=1〜100）し他は、x=yに対し線対称となっている。

ＮＯ４「クロワッサン」03/22 18時13分受信 更新4/13　

来年から高1です

まず　x, y　は1以上100以下の整数で　　かつ　

次に　x, y　が整数より　2y, 5(x+y)　はそれぞれ　2, 5　の倍数

よって　

また、　

以上より　

すなわち　x　と　y　の差が10の倍数であればよい(負の数、0も含む)

そのような　(x, y)　の組は

x　を10で割った余りを　r　とすると

r　は0から9の10通りあり

そのそれぞれの場合において　x　となりうる数は10通りあるので

(x, y)　の組は10・(10・10)=1000(個)　存在する　　

ＮＯ５「再出発」　　04/08 14時11分受信 更新4/9

　寄せられた図です。

[解]　　条件を満たす格子点は、１０００個　・・・（答）

ＮＯ６「浜田明巳」 04/09 17時36分受信 更新4/9

数学的に解きました．でも締め切りを過ぎてしまいましたね．すみません．新年度の始まりでばたばたしています．
　まずｘ＋ｙが２の倍数であるから，ｘ，ｙの偶奇は一致する．
　次に２ｘ＋３ｙが５の倍数であり，以下mod ５で計算する．
　２ｘ＋３ｙ≡２ｘ−２ｙ＝２(ｘ−ｙ)≡０であるから，ｘ−ｙ≡０
　　∴ｘ≡ｙ
i). ｘ≡０のとき（ｘ＝５×１，５×２，５×３，………，５×２０），
　　ｙ≡０（ｙ＝５×１，５×２，５×３，………，５×２０）
　ｘ，ｙの偶奇が一致するので，
　ア). ｘ＝５×(２ｎ−１)（ｎ＝１，２，３，………，１０）のとき，
　　ｙ＝５×(２ｎ−１)（ｎ＝１，２，３，………，１０）
　で，１０×１０通り＝１００通り．
　イ). ｘ＝５×２ｎ（ｎ＝１，２，３，………，１０）のとき，
　　ｙ＝５×２ｎ（ｎ＝１，２，３，………，１０）
　で，１０×１０通り＝１００通り．
　故に合計で，１００通り×２＝２００通り．
ii). ｘ≡ｉ（ｉ＝１，２，３，４）のとき（ｘ＝５×０＋ｉ，５×１＋ｉ，５×２＋ｉ，………，５×１９＋ｉ），
　　ｙ≡ｉ（ｙ＝５×０＋ｉ，５×１＋ｉ，５×２＋ｉ，………，５×１９＋ｉ）
　ｘ，ｙの偶奇が一致するので，
　ア). ｘ＝５×(２ｎ−１)＋ｉ（ｎ＝１，２，３，………，１０）のとき，
　　ｙ＝５×(２ｎ−１)＋ｉ（ｎ＝１，２，３，………，１０）
　で，１０×１０通り＝１００通り．
　イ). ｘ＝５×２ｎ＋ｉ（ｎ＝０，１，２，………，９）のとき，
　　ｙ＝５×２ｎ＋ｉ（ｎ＝０，１，２，………，９）
　で，１０×１０通り＝１００通り．
　故に合計で，１００通り×２×４＝８００通り．
　i).，ii).から，答は，２００通り＋８００通り＝１０００通り．

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。