平成２４年８月２５日
[流れ星]
第２７６回数学的な応募解答
＜解答募集期間：６月10日～7月1日
［各種三角形の確率］
2011年の岐阜薬科大学の入試問題です。一部か改題しています。
正ｎ角形（ｎは３以上の整数）の頂点から重複を許して3点Ａ１，Ａ２，Ａ３を選ぶとき、次の問いに答えよ。
「１」ｎ＝６とする。 3点Ａ１，Ａ２，Ａ３で
（１）三角形ができる確率を求めよ。
（２）直角・鋭角・鈍角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ。
「２」 ｎ＝２ｋ(ｋは3以上の整数)とする。3点Ａ１，Ａ２，Ａ３で
（１）三角形ができる確率をｋを用いて表せ。
（２）直角・鋭角・鈍角三角形ができる確率をそれぞれＰｎ，Ｑｎ，Ｒｎとするとき、ｋを用いて表せ。また、
ＮＯ１「uchinyan」 06/10 16時24分受信
更新7/1
＜コメント＊この解答は，にいばりＺ12さんの，ＮＯ４「にいばりＺ12」
07/16 01時21分受信 更新7/22
のご指摘により誤りがあることが判明し，uchinyanさんご本人の希望により削除しました。
修正改訂版の，ＮＯ５「uchinyan」 08/12 17時55分受信更新8/13，をご覧ください。＞
ＮＯ２「浜田明巳」 06/18 08時49分受信
更新7/1
＜コメント：。「間違った解答を送ってしまし、申し訳ありませんでした」８月２５日記＞
＜水の流れ：こちらこそ確認を怠り申し訳ありませんでした。８月２５日記＞
「浜田明巳」 06/18 08時51分受信
更新7/1
パソコンでシミュレーションをしてみた．
それによると，三角形になる確率はほぼ１に収束，直角三角形になる確率は０に，鋭角三角形は１／４に，鈍角三角形は３／４にそれぞれ収束することが分かる．
（十進ＢＡＳＩＣ）
RANDOMIZE
DIM t(3)
DIM Ax(3)
DIM Ay(3)
DIM hen2(3)
LET shikoukaisuu=10000
LET gosa=1/1000000
FOR k=2 TO 1000
LET s=0
LET p=0
LET q=0
LET r=0
FOR kaisuu=1 TO shikoukaisuu
FOR j=1 TO 3
LET t(j)=INT(RND*(2*k))
LET Ax(j)=COS(t(j)/(2*k)*(2*PI))
LET
Ay(j)=SIN(t(j)/(2*k)*(2*PI))
NEXT j
IF t(1)<>t(2) AND t(2)<>t(3) AND
t(3)<>t(1) THEN
LET s=s+1
FOR j=1 TO 3
LET
jj=MOD(j,3)+1
LET
hen2(j)=(Ax(jj)-Ax(j))*(Ax(jj)-Ax(j))+(Ay(jj)-Ay(j))*(Ay(jj)-Ay(j))
NEXT j
FOR j=1 TO 3-1
FOR jj=j+1
TO 3
IF hen2(j)>hen2(jj) THEN
LET dummy=hen2(j)
LET hen2(j)=hen2(jj)
LET hen2(jj)=dummy
END IF
NEXT jj
NEXT j
IF
ABS(hen2(1)+hen2(2)-hen2(3))<gosa THEN
LET p=p+1
ELSEIF
hen2(1)+hen2(2)>hen2(3) THEN
LET q=q+1
ELSE
LET r=r+1
END IF
END IF
NEXT kaisuu
PRINT
2*k;s/shikoukaisuu;p/shikoukaisuu;q/shikoukaisuu;r/shikoukaisuu
NEXT k
END
ＮＯ３「kasama」 06/19 14時15分受信
「kasama」 06/20 09時40分受信
「kasama」 06/21 19時15分受信 更新7/1
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ＮＯ４「にいばりＺ12」 07/16 01時21分受信 更新7/22
第２７６回各種三角形の確率の問題ですが
正ｎ角形（ｎは３以上の整数）の頂点から重複を許して3点Ａ１，Ａ２，Ａ３を選ぶとき、次の問いに答えよ。
「１」ｎ＝６とする。 3点Ａ１，Ａ２，Ａ３で
（１）
三角形ができる確率を求めよ。
時間切れで応募がかなわなかったのに恐縮ですが、第２７５回の箱とボールの問題と同様に考えると
６個の箱に３個のボールを入れて0か1個の確率を求める・・・①
又は、３つのさいころを振って３個とも違う確率を求める・・・②
と同値だと思うのです。
①の場合
1×5/6×4/6＝5/9・・・京都大学の入試問題の回答をカンニングしてしまいました・・・。
②の場合
(６×５×4)/（６×６×6）＝5/9
と書けます
いずれにしても確率を求める場合の数の分母は重複順列になると思いますが
Uchinyanさんと浜田明巳さんの回答では重複組み合わせを用いています
Kasamaさんは重複順列を用いており結果は私と同様でした。
Uchinyanさんや浜田明巳さんはこれまでのさまざまな見事な回答を拝見すると誤答をするとは考えられません
また、掲載されている限り正答なのだと思うのですが
私には、どうも理解できませんでした。
＜水の流れ：これは分母・分子で数え方を同じにすれば良いのではないでしょうか。
つまり、組み合わせの考え方と 順列の考え方です。結果は同じです。7月22日記＞
＜水の流れ：お詫び 「にいばりＺ12」さんからご指摘があったのですが、私の勘違いで
うっかりした浅はかな思考回路にはいったのが原因です。ここに、お詫びします。
そこで、「uchinyan」さんから訂正版届きましたので、下記に載せます。
8月13日記＞
ＮＯ５「uchinyan」 08/12 17時55分受信
更新8/13
その後，ふと目にしたのですが，ＮＯ４「にいばりＺ12」さんのご指摘は正しいと思います。
したがって，私の解答は間違いを含んでいます。大変失礼をしました。
簡単な例で考えてみると．．．
正３角形の場合，頂点を 1，2，3 とすると，
重複を許して３点を選ぶのは，重複組み合わせで考えると，次の 3H3 =
5C3 = 10 通り です。
しかし，その選び方には右に書いた重みがあります。
(1,1,1)，重み 1，三角形はできない
(2,2,2)，重み 1，三角形はできない
(3,3,3)，重み 1，三角形はできない
(1,1,2)，重み 3，三角形はできない
(1,1,3)，重み 3，三角形はできない
(1,2,2)，重み 3，三角形はできない
(2,2,3)，重み 3，三角形はできない
(1,3,3)，重み 3，三角形はできない
(2,3,3)，重み 3，三角形はできない
(1,2,3)，重み 6，三角形ができる
確率を考える場合には，この重みを考慮しなければなりません。
したがって，正３角形の場合，頂点から重複を許して３点を選ぶ際に三角形ができる確率は，
3C3/3H3 = 1/10
は，間違いで，重みを考慮した，
(6 * 1)/(1 * 3 + 3 * 6 + 6 * 1) =
6/27 = 2/9
が正しいです。
これは，重複がある場合は，
重みが一定ではないために，単純に組み合わせで考えるのは間違い，ということです。
ご指摘のとおり，重みが常に 1 で一定の順列で考える必要があります。
実際，順列で考えれば，
(3C3 * 3!)/3^3 = 6/27 = 2/9
となって，組み合わせで重みを考慮した場合と一致します。
なお，重複がない場合は，
重みが一定なので組み合わせで考えても大丈夫で，結果は一致します。
しかし，今回の場合はそうはいかないよ，という訳です。大変失礼致しました。
また，にいばりＺ12 さん，貴重なご指摘を大変ありがとうございました，
以下に，順列で考え直した修正版を示します。
どうせなので，一般的に次の問題を解いてしまいましょう。
問題０
正ｎ角形(ｎは３以上の整数)の頂点から重複を許して３点 A1，A2，A3 を選ぶとき，
次の問いに答えよ。
(1) 三角形ができる確率を求めよ。
(2) 直角・鋭角・鈍角三角形ができる確率をそれぞれ Pn，Qn，Rn とするとき，それらを求めよ。
また，lim[n->∞]{Pn}，lim[n->∞]{Qn}，lim[n->∞]{Rn} を求めよ。
正ｎ角形の頂点を反時計回りに X1，X2，...，Xn とします。
また，以下の説明の都合上，正ｎ角形の外接円を考えその中心を O とします。
すると，X1，X2，...，Xn はすべてこの円周上にあり，どの 3 点も同一直線上にはありません。
(1)
n 点から重複を許して
3 点を選ぶのは n^3 通り。
三角形になるのは，どの 3 点も同一直線上にないことから異なる 3 点を選べばいいので nC3 通り。
そこで確率は，分子の三角形の方は頂点の入れ替えを考慮して 3! = 6 通りを掛けて，
nC3/n^3 = (n(n-1)(n-2)/6 * 6)/n^3
= (n-1)(n-2)/n^2
になります。
(2)
まず，A1 を X1 に固定し，直角三角形と鈍角三角形の個数を数えます。
鋭角三角形の個数は，三角形全体から直角三角形と鈍角三角形の個数の和を引けばいいです。
さらに，X1 を端点とする外接円の直径に対する円周角が直角になるので，
直径及び X1 から見て直径よりも右側の点を考えれば十分です。
これは，左に入り込んだ点は，X1 を動かすと重複して数えてしまうので，考えなくていいからです。
また，k を 2 以上の整数として，n = 2k-1 では直径の両端に点が取れず，n = 2k では取れます。
そこで．．．
・n = 2k-1 の場合
三角形全体は，nC3 = (2k-1)C3 =
(2k-1)(2k-2)(2k-3)/6 個。
(a) 直角三角形
0 個。
(b) 鈍角三角形
A1 を X1 に固定すれば，X3 に対して 1 個，X4 に対して 2 個，...，Xk に対して (k-2) 個で，
1 + 2 + ... + (k-2) = (k-1)(k-2)/2
個。
A1 を X1 ～ X(2k-1) と動かすとそれぞれ (k-1)(k-1)/2 個ずつで (k-1)(k-2)(2k-1)/2 個。
(c) 鋭角三角形
三角形全体 - 直角三角形
- 鈍角三角形
= (2k-1)(2k-2)(2k-3)/6 - 0 - (k-1)(k-2)(2k-1)/2
= k(k-1)(2k-1)/6 個。
確率は，正ｎ角形の頂点から重複を許して 3 点を選ぶのが，
n^3 = (2k-1)^3 通り
だったのと，分子の三角形の方は頂点の入れ替えを考慮して 3! = 6 通りを掛けて，
Pn = P(2k-1) = (0 * 6)/((2k-1)^3)
= 0
Qn = Q(2k-1) = (k(k-1)(2k-1)/6 *
6)/((2k-1)^3) = k(k-1)/(2k-1)^2
Rn = R(2k-1) = ((k-1)(k-2)(2k-1)/2
* 6)/((2k-1)^3) = 3(k-1)(k-2)/(2k-1)^2
となり，
lim[n->∞]{Pn} = lim[k->∞]{P(2k-1)} = lim[k->∞]{0} = 0
lim[n->∞]{Qn} = lim[k->∞]{Q(2k-1)} = lim[k->∞]{k(k-1)/(2k-1)^2} = 1/4
lim[n->∞]{Rn} = lim[k->∞]{R(2k-1)} = lim[k->∞]{3(k-1)(k-2)/(2k-1)^2} = 3/4
・n = 2k の場合
三角形全体は，nC3 = (2k)C3 =
(2k)(2k-1)(2k-2)/6 個。
(a) 直角三角形
A1 を X1 に固定すれば，直径の他の一端は X(k+1) で k-1 個，
A1 を X1 ～ X(2k) と動かすとそれぞれ k 個ずつで 2k(k-1) 個。
(b) 鈍角三角形
A1 を X1 に固定すれば，X3 に対して 1 個，X4 に対して 2 個，...，X(k-1) に対して (k-2) 個で，
1 + 2 + ... + (k-2) = (k-1)(k-2)/2
個。
A1 を X1 ～ X(2k) と動かすとそれぞれ (k-1)(k-1)/2 個ずつで k(k-1)(k-2) 個。
(c) 鋭角三角形
三角形全体 - 直角三角形
- 鈍角三角形
= (2k)(2k-1)(2k-2)/6 - 2k(k-1) -
k(k-1)(k-2) = k(k-1)(k-2)/3 個。
確率は，正ｎ角形の頂点から重複を許して 3 点を選ぶのが，
確率は，正ｎ角形の頂点から重複を許して 3 点を選ぶのが，
n^3 = (2k)^3 通り
だったのと，分子の三角形の方は頂点の入れ替えを考慮して 3! = 6 通りを掛けて，
Pn = P(2k) = (2k(k-1) *
6)/((2k)^3) = 3(k-1)/2k^2
Qn = Q(2k) = (k(k-1)(k-2)/3 *
6)/((2k)^3) = (k-1)(k-2)/4k^2
Rn = R(2k) = (k(k-1)(k-2) *
6)/((2k)^3) = 3(k-1)(k-2)/4k^2
となり，
lim[n->∞]{Pn} = lim[k->∞]{P(2k)} = lim[k->∞]{3(k-1)/2k^2} = 0
lim[n->∞]{Qn} = lim[k->∞]{Q(2k)} = lim[k->∞]{(k-1)(k-2)/4k^2} = 1/4
lim[n->∞]{Rn} = lim[k->∞]{R(2k)} = lim[k->∞]{3(k-1)(k-2)/4k^2} = 3/4
となります。
(別解)
(2)の各種の三角形の数え方に関して，次のような方法もあります。
外接円O 上の 弧X(i)X(i+1)
の長さを 1 とし，A1 = X1 と固定した場合で，
A2，A3 を A1 に対して反時計回りとし，弧A1A2 = x，弧A2A3 = y，弧A3A1 = z とすると，
x，y，z は 1 <= x, y, z <= n-2 を満たす整数で，x + y + z = n
となります。そして，
円O の直径を一辺とする三角形が直角三角形で，直径に対する弧の長さが n/2 であることから，
x = n/2 又は y = n/2 又は z = n/2 となるときが直角三角形，
n/2 < x 又は n/2 < y 又は n/2 < z となるときが鈍角三角形，
1 <= x, y, z < n/2 となるときが鋭角三角形，
です。
このことを使うと，k は 2
以上の整数として．．．
・n = 2k-1 の場合
(a) 直角三角形
n/2 = (2k-1)/2 = k - 1/2 は整数にならないので 0 個。
(b) 鈍角三角形
z > n/2 = (2k-1)/2 = k - 1/2，z >= k，の場合を考えると，
x + y + z = n = 2k-1，z = (2k-1) - (x + y) >= k，2 <= x + y
<= k-1
そこで，1 <= x, y <= k-1 の下で，2 - y <= x <= (k-1) - y なので，
1 <= y <= k-2 のときだけが可能で，1 <= x <= (k-1) - y で，(k-1)-y 個，となって，
1 + 2 + ... + (k-2) = (k-1)(k-2)/2
個。
y > n/2，x > n/2 の場合も考えるとこの 3 倍ですが，
A1 を X1 ～ X(2k-1) と動かすと △A1A2A3 を辺の巡回的な入れ替えを重複して数えるので
3 で割ることになり，結局，単に 2k-1 倍して (k-1)(k-2)(2k-1)/2 個。
(c) 鋭角三角形
1 <= x, y, z < n/2 =
(2k-1)/2 = k - 1/2 < k，1 <= x, y, z <= k-1
x + y + z = n = 2k-1，1 <= z = (2k-1) - (x + y) <= k-1，k
<= x + y <= 2k-2
そこで，1 <= x, y <= k-1 の下で，k - y <= x <= (2k-2) - y なので，
1 <= y <= k-2 のとき，k - y <= x <= k-1 で y 個，
y = k-1 のとき，1 <= x <= k-1 で k-1 個，
結局，1 + 2 + ... + (k-2) + (k-1) =
k(k-1)/2 個。
A1 を X1 ～ X(2k-1) と動かすとそれぞれ k(k-1)/2 個ずつで (k-1)(k-2)(2k-1)/2 個，ですが，
これだと △A1A2A3 をその辺の巡回的な入れ替えを重複して数えているので 3 で割って，
(k-1)(k-2)(2k-1)/6 個。
・n = 2k の場合
(a) 直角三角形
z = n/2 = (2k)/2 = k の場合を考えると，
x + y + z = n = 2k，z = 2k - (x + y) = k，x + y = k
そこで，1 <= x, y <= k-1 の下で，x = k - y なので k-1 個。
y = n/2，x = n/2 の場合も考えるとこの 3 倍ですが，
A1 を X1 ～ X(2k) と動かすと △A1A2A3 を辺の巡回的な入れ替えを重複して数えているので
3 で割ることになり，結局，単に 2k 倍して 2k(k-1) 個。
(b) 鈍角三角形
z > n/2 = (2k)/2 = k，z >= k+1，の場合を考えると，
x + y + z = n = 2k，z = 2k - (x + y) >= k+1，2 <= x + y
<= k-1
そこで，1 <= x, y <= k-1 の下で，2 - y <= x <= (k-1) - y なので，
1 <= y <= k-2 のときだけが可能で，1 <= x <= (k-1) - y で，(k-1)-y 個，となって，
1 + 2 + ... + (k-2) = (k-1)(k-2)/2
個。
y > n/2，x > n/2 の場合も考えるとこの 3 倍ですが，
A1 を X1 ～ X(2k) と動かすと △A1A2A3 を辺の巡回的な入れ替えを重複して数えているので
3 で割ることになり，結局，単に 2k 倍して k(k-1)(k-2) 個。
(c) 鋭角三角形
1 <= x, y, z < n/2 = (2k)/2
= k，1 <= x, y, z <= k-1
x + y + z = n = 2k-1，1 <= z = (2k-1) - (x + y) <= k-1，k <=
x + y <= 2k-2
そこで，1 <= x, y <= k-1 の下で，k - y <= x <= (2k-2) - y なので，
1 <= y <= k-2 のとき，k - y <= x <= k-1 で y 個，
y = k-1 のとき，1 <= x <= k-1 で k-1 個，
結局，1 + 2 + ... + (k-2) + (k-1) =
k(k-1)/2 個，
A1 を X1 ～ X(2k) と動かすとそれぞれ k(k-1)/2 個ずつで k(k-1)(k-2) 個，ですが，
これだと △A1A2A3 をその辺の巡回的な入れ替えを重複して数えているので 3 で割って，
k(k-1)(k-2)/3 個。
その後の確率は同じです。
もちろん，鋭角三角形は，三角形全体から直角三角形と鈍角三角形を引いても求められます。
ただ，この解法だと，鋭角三角形も他の場合と同様にして比較的簡単に求まります。
また，ほとんどが同じような計算の繰り返しなので，その意味では単純です。
さて，いよいよ今回の問題は．．．
問題１：
n = 2k = 6，k = 3 なので，
(1) nC3/n^3 = (n-1)(n-2)/n^2 = (5
* 4)/6^2 = 5/9
(2)
直角三角形 = 3(k-1)/2k^2 = (3 * 2)/(2 * 9)
= 1/3
鋭角三角形 = (k-1)(k-2)/4k^2 = (2 * 1)/(4 *
9) = 1/18
鈍角三角形 = 3(k-1)(k-2)/4k^2 = (3 * 2 *
1)/(4 * 9) = 1/6
問題２：
n = 2k の場合なので，
(1) nC3/n^3 = (n-1)(n-2)/n^2 =
(k-1)(2k-1)/2k^2
(2)
Pn = P(2k) = 3(k-1)/2k^2
Qn = Q(2k) = (k-1)(k-2)/4k^2
Rn = R(2k) = 3(k-1)(k-2)/4k^2
lim[n->∞]{Pn} = lim[k->∞]{P(2k)} = lim[k->∞]{3(k-1)/2k^2} = 0
lim[n->∞]{Qn} = lim[k->∞]{Q(2k)} = lim[k->∞]{(k-1)(k-2)/4k^2} = 1/4
lim[n->∞]{Rn} = lim[k->∞]{R(2k)} = lim[k->∞]{3(k-1)(k-2)/4k^2} = 3/4
となります。
(考察＋感想)
この問題，実は，以前の「第２０４回数学的な応募問題［正ｎ角形の３頂点］」とほとんど同じです。
ただ，あの時は，確率の分母が，三角形の個数，だったので，極限を取る前の値が少し違います。
しかし，その差，というか比，は，(nC3 * 3!)/n^3 =
(n-1)(n-2)/n^2 で，
n -> ∞ では，この比が 1 になるので，極限値は同じになります。
今回は，あの時の解法だけだと少しつまらないので，(別解)として少し違う解法も書いておきました。
まぁ，実質は同じなんですが (^^;
ＮＯ６「浜田明巳」 08/23 14時56分受信
更新8/25
最初に「２」を解答する．
「２」正２ｋ角形をＡ１Ａ２Ａ３………Ａ２ｋとする．
（１）正２ｋ角形の頂点から３点を選ぶ組合せは，重複を許すので，(２ｋ)３／３！＝４ｋ３／３（通り）．
三角形の頂点となる組合せは，２ｋＣ３通り．
故に確率は，
２ｋＣ３／(４ｋ３／３)＝[{２ｋ(２ｋ－１)(２ｋ－２)}／(３・２・１)]／(４ｋ３／３)
＝{(２ｋ－１)(ｋ－１)}／(２ｋ&l
t;sup>２)
（２）直角三角形となるのは，斜辺が外接円の直径となればよい．
斜辺の直径の選び方は，Ａ１Ａｋ＋１，Ａ２Ａｋ＋２，Ａ３Ａｋ＋３，………，ＡｋＡ２ｋのｋ通り．
そのおのおのに対して，直角の頂点の選び方は，(２ｋ－２)通り．
故に直角三角形となる確率は，
Ｐｎ＝{ｋ(２ｋ－２)}／(４ｋ３／３)
＝{３(ｋ－１)}／(２ｋ２)
鈍角三角形となる確率を求める．
点Ａ１，Ａ３を選ぶと，残りの点はＡ２ の１通り．
点Ａ１，Ａ４を選ぶと，残りの点はＡ２，Ａ３の２通り．
点Ａ１，Ａ５を選ぶと，残りの点はＡ２～Ａ４の３通り．
・・・
点Ａ１，Ａｋを選ぶと，残りの点はＡ２～Ａｋ－１の(ｋ－２)通り．
この場合，合計１＋２＋３＋………＋(ｋ－２)＝１／２・(ｋ－２)(ｋ－１)（通り）
点Ａ２，Ａｍ（４≦ｍ≦ｋ＋１）を選ぶ場合も同様に，１／２・(w)｡襦檻甥・・ｋ－１)通り．
点Ａ３，Ａｍ（５≦ｍ≦ｋ＋２）の場合も，１／２・(ｋ－２)(ｋ－１)通り．
・・・
点Ａｋ＋１，Ａｍ（ｋ＋３≦ｍ≦２ｋ）の場合も同様．
点Ａｋ＋２，Ａｍ（ｋ＋４≦ｍ≦２ｋ，ｍ＝１）の場合も同様．
点Ａｋ＋３，Ａｍ（ｋ＋５≦ｍ≦２ｋ，１≦ｍ≦２）の場合も同様．
・・・
点Ａ２ｋ－３，Ａｍ（２ｋ－１≦ｍ≦２ｋ，１≦ｍ≦ｋ－４）の場合も同様．
点Ａ２ｋ－２，Ａｍ（ｍ＝２ｋ，１≦ｍ≦ｋ－３）の場合も同様．
点Ａ< ;sub>２ｋ－１，Ａｍ（１≦ｍ≦ｋ－２）の場合も同様．
点Ａ２ｋ，Ａｍ（２≦ｍ≦ｋ－１）の場合も同様．
まとめると，２ｋ・１／２・(ｋ－２)(ｋ－１)＝ｋ(ｋ－１)(ｋ－２)（通り）
故に鈍角三角形となる確率は，
Ｒｎ＝{ｋ(ｋ－１)(ｋ－２)}／(４ｋ３／３)
＝{３(ｋ－１)(ｋ－２)}／(４ｋ２)
鋭角三角形となる確率は，
Ｑｎ＝{(２ｋ－１)(ｋ－１)}／(２ｋ２)－Ｐｎ－Ｒｎ
＝{(２ｋ－１)(ｋ－１)}／(２ｋ２)－{３( ｋ－１)}／(２ｋ２)－{３(ｋ－１)(ｋ－２)}／(４ｋ２)
＝(ｋ－１){２(２ｋ－１)－６－３(ｋ－２)}／(４ｋ２)
＝{(ｋ－１)(ｋ－２)}／(４ｋ２)
またｎ→∞のとき，ｋ→∞となるので，
lim(ｎ→∞)Ｐｎ＝lim(ｋ→∞){３(ｋ－１)}／(２ｋ２)
＝lim(ｋ→∞){３(１－１／ｋ)}／(２ｋ)＝０
lim(ｎ→∞)Ｑｎ＝lim(ｋ→∞){(ｋ－w)｡・・・ｋ－２)}／(４ｋ２)
＝lim(ｋ→∞){(１－１／ｋ)(１－２／ｋ)}／４＝１／４<
;br> lim(ｎ→∞)Ｒｎ＝lim(ｎ→∞)３Ｑｎ＝３／４
「１」（１）「２」から確率は，
{(２・３－１)(３－１)}／(２・３２)＝５／９
（２）直角三角形となる確率は，
Ｐ６＝{３(３－１)}／(２・３２)＝１／３
鋭角三角形となる確率は，
Ｑ６＝{(３－１)(３－２)}／(４・３２)＝１／１８
鈍角三角形となる確率は，
Ｒ６＝３Ｑ６＝１／６
<br&g t; （参考）上記の式はｋ＝２のときも成立する．
三角形となる確率は，４Ｃ３／(４３／３！)＝３／８
直角三角形となる確率は，Ｐ４＝４／(４３／３！)＝３／８
鋭角三角形となる確率は，Ｑ４＝０
鈍角三角形となる確率は，Ｒ４＝０
（最後に）誤答に失礼しました．分母の２ｋＨ３を(２ｋ)３／３！とすればよかった訳です．
（最後に）第２０４回とほぼ同じ内容なので，解き方がどうしても同じになってしまいました．
唯一の違いは，頂点を重複して選ぶことですが，ｎ→∞のとき，三角形となる確率が１になり，大変興味深い．
直角，鋭角，鈍角三角形になる確率の極限が，それぞれ０，１／４，３／４になることも大変興味深いです．これは鋭角よりも，鈍角三角形の方がより自然に存在するということでしょうか．
「浜田明巳」 08/25 13時02分受信
更新8/25
心配になったので，ｎ＝４（ｋ＝２），ｎ＝６（ｋ＝３）の場合の計算を十進basicで行ってみた．
!276_2.bas
OPTION BASE 0
RANDOMIZE
DIM Ax(5)
DIM Ay(5)
DIM t(2)
DIM hen2(2)
LET shikoukaisuu=10000000
LET gosa=1/10000000
! 正四角形の場合
LET p4=0
FOR kaisuu=1 TO shikoukaisuu
FOR j=0 TO 2
LET t(j)=INT(RND*4)
NEXT j
IF t(0)<>t(1) AND t(1)<>t(2) AND t(2)<>t(0) THEN
! 3点が相異なれば直角三角形ができる
LET p4=p4+1
END IF
NEXT kaisuu
PRINT "試行回数=";shikoukaisuu;"のとき"
PRINT "正四角形の場合"
PRINT "直角三角形になる確率=";p4/shikoukaisuu
PRINT
!
! 正六角形の場合
LET s6=0
LET p6=0
LET q6=0
LET r6=0
FOR j=0 TO 5
LET Ax(j)=COS(j/6*2*PI)
LET Ay(j)=SIN(j/6*2*PI)
NEXT j
FOR kaisuu=1 TO shikoukaisuu
FOR j=0 TO 2
LET t(j)=INT(RND*6)
NEXT j
IF t(0)<>t(1) AND t(1)<>t(2) AND t(2)<>t(0) THEN
! 3点が異なれば三角形ができる
LET s6=s6+1
! 3辺の長さの2乗を計算
FOR j=0 TO 2
LET jj=MOD(j+1,3)
LET
hen2(j)=(Ax(t(jj))-Ax(t(j)))*(Ax(t(jj))-Ax(t(j)))+(Ay(t(jj))-Ay(t(j)))*(Ay(t(jj))-Ay(t(j)))
NEXT j
! 3辺の長さの2乗を小さい順に並べ替える
FOR j=0 TO 1
FOR jj=j+1 TO 2
IF
hen2(j)>hen2(jj) THEN
LET dummy=hen2(j)
LET hen2(j)=hen2(jj)
LET hen2(jj)=dummy
END IF
NEXT jj
NEXT j
IF ABS(hen2(0)+hen2(1)-hen2(2))<gosa THEN
LET p6=p6+1
ELSEIF hen2(0)+hen2(1)>hen2(2) THEN
LET q6=q6+1
ELSE
LET r6=r6+1
END IF
END IF
NEXT kaisuu
PRINT "正六角形の場合"
PRINT "三角形ができる確率=";s6/shikoukaisuu
PRINT "直角三角形になる確率=";p6/shikoukaisuu
PRINT "鋭角三角形になる確率=";q6/shikoukaisuu
PRINT "鈍角三角形になる確率=";r6/shikoukaisuu
END
計算結果は，
試行回数= 10000000 のとき
正四角形の場合
直角三角形になる確率= .3750067 （≒３／８）
正六角形の場合
三角形ができる確率= .5553108 （≒５／９）
直角三角形になる確率= .3332732 （≒１／３）
鋭角三角形になる確率= .0554558 （≒１／１８）
鈍角三角形になる確率= .1665818 （≒１／６）
となり，ほぼ考察の結果と一致する．
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
