平成２４年8月12日

[流れ星]

　　　　　第２７８回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月22日〜8月12日

［証明問題］

直角二等辺三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａを通りＢＣに平行な直線をひき、その上に点ＤをＢＣ＝ＢＤとなるようにとり、ＢＤとＡＣの交点をＥとすると、ＣＤ＝ＣＥである。これを証明せよ。

　

NO1　「uchinyan」 07/22 12時16分受信 更新8/12

「uchinyan」 07/23 13時04分受信 更新8/12

与えられた図のように，「D が A の右側にある場合」と「D が A の左側にある場合」が考えられます。

「D が A の右側にある場合」は，与えられた図及び問題文のとおりとします。

「D が A の左側にある場合」は，この場合の D を，改めて D' とします。

すると，D'B と AC のそれぞれの延長が交わるのでこの点が E ですが，これを改めて E' とします。

そこで，この場合は CD' = CE' を示すことになります。

「D が A の右側にある場合」

BC の中点を O，D から BC に下ろした垂線の足を H，DH の延長上に DH = HF となる点を F，とします。

明らかに △BDH ≡ △BFH で，BD = BF，∠DBH = ∠FBH，です。

さて，△ABC は，AB = AC，∠BAC = 90°の直角二等辺三角形なので，

AO⊥BC，∠ABC = ∠ACB = 45°，AO = BO = CO，です。

また，AD//BC，AO//DH で □AOHD は長方形なので DH = AO = BO = CO です。

そこで，DF = DH * 2 = BO * 2 = BC = BD = BF で，

△BDF は正三角形になり，∠DBF = 60°，∠DBC = ∠DBH = ∠DBF/2 = 60°/2 = 30°です。

このことと，△BDC は BD = BC の二等辺三角形，より，

∠BDC = ∠BCD = (180°- ∠DBC)/2 = (180°- 30°)/2 = 150°/2 = 75°です。

これより，∠DCE = ∠BCD - ∠ACB = 75°- 45°= 30°，∠CDE = ∠BDC = 75°，

∠CED = 180°- ∠DCE - ∠CDE = 180°- 30°- 75°= 75°= ∠CDE，となって，

△CDE は二等辺三角形で CD = CE になります。

「D が A の左側にある場合」

証明を簡単にするために，「D が A の右側にある場合」の結果を利用します。

BD' = BC = BD，DD'//BC なので，∠CBE' = ∠DD'B = ∠D'DB = ∠DBC = 30°，がいえ，

∠CD'E' = ∠BD'C = ∠BCD' = ∠CBE'/2 = 30°/2 = 15°，

∠CE'D' = ∠ACB - ∠CBE' = 45°- 30°= 15°= ∠CD'E'，となって，

△CD'E' は二等辺三角形で CD' = CE' になります。

結局，どちらの場合でも CD = CE がいえることになります。

(考察1)

「D が A の左側にある場合」を「D が A の右側にある場合」とは独立に証明したい場合には，

BC の中点を O，D' から CB の延長に下ろした垂線の足を H'，D'H' の延長上に D'H' = H'F' となる点を F'，とすれば，「D が A の右側にある場合」とほとんど同様にして証明できます。

(考察2)

AO = BO = CO = 1 とすると，

DH = 1，BC = 2，BH = √3，CH = 2 - √3，△DCH に三平方の定理を使って，

DC^2 = DH^2 + CH^2 = 1^2 + (2 - √3)^2 = 8 - 4√3 = (√6 - √2)^2

DC = √6 - √2

∠DCH = 75°，∠CDH = 15°

がいえるので，この図から，15°と 75°の三角比が，

sin(15°) = CH/DC = (2 - √3)/(√6 - √2) = (√6 - √2)/4

cos(15°) = DH/CD = 1/(√6 - √2) = (√6 + √2)/4

tan(15°) = HC/DH = (2 - √3)/1 = 2 - √3

sin(75°) = DH/CD = (√6 + √2)/4

cos(75°) = CH/DC = (√6 - √2)/4

tan(75°) = HD/CH = 1/(2 - √3) = 2 + √3

と求まります。

(感想)

証明問題なので，一応，中学数学のレベルと思われます。

しかし，例えば「∠DEC は何度ですか？」とかすれば算数問題にもなり，

普通の小学生には難しいかな，とは思いますが，受験算数ではやさしい方になると思います。

その一方で，(考察)のように 15°と 75°の三角比を求める図にも使え，

高校数学の教材にもなりそうです。このように見てくると，なかなか興味深い図でもありますね。

NO2　「浜田明巳」 07/23 13時56分受信 更新8/12

座標を導入する．
　△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので，Ａ(１，１)，Ｂ(０，０)，Ｃ(２，０)とする．
　ＡＤ//ＢＣより，Ｄ(ｘ，１)（ｘ＞１）とすると，ＢＤ＝ＢＣから，
　　ｘ^２＋１^２＝２^２
　　∴ｘ^２＝３
　ｘ＞１から，ｘ＝√３
　　∴Ｄ(√３，１)
　故に直線ＢＤの傾きは，１／√３
　　∴∠ＤＢＣ＝３０°
　△ＢＣＤにおいて，ＢＣ＝ＢＤから，
　　∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝(１８０°−∠ＤＢＣ)／２＝(１８０°−３０°)／２＝７５°
　　∴∠ＥＣＤ＝∠ＢＣＤ−∠ＡＣＢ＝７５°−４５°＝３０°
　△ＢＣＤと △ＣＤＥにおいて，
　　∠ＤＢＣ＝∠ＥＣＤ＝３０°
　　∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＥ＝７５°
　２角相等により，△ＢＣＤ∽△ＣＤＥ
　ＢＣ＝ＢＤから，ＣＤ＝ＣＥ

NO3　「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 07/23 18時53分受信 更新8/12

問題
直角二等辺三角形ＡＢＣの直角の頂点Ａを通りＢＣに平行な直線をひき、その上に点ＤをＢＣ＝ＢＤとなるようにとり、ＢＤとＡＣの交点をＥとすると、ＣＤ＝ＣＥである。これを証明せよ。

回答
△ABC=△DBC なので...
BC=2, AB=√２ 、.△ABCの高さが1で　.直角二等辺三角形から...
△ABC=1

BC=2, 高さが1から...角DBC=30°
角BDC=(180-30)/2=75°

角CAD=45°
角BDA=30°...角CED=角CAD+角BDA=45+30=75°

よって...角BDC=角BDA=(75°) から...△CDEは CD=CE という二等辺三角形 ♪

No4　「にいばりZ12」07/24 01時02分受信 更新8/12

「にいばりZ12」07/24 22時38分受信 更新8/12

にいばりＺ12です

下図のように補助線を引きます

Ｏ：△ＡＢＣの外接円

Ｐ：△ＤＢＣの頂点ＢからＤＣに垂線の足を下ろしＤＣとの交点をＦとする（外接円と一致する）

Ｑ：△ＤＥＣの頂点ＣからＤＥに垂線の足を下ろしＤＥとの交点をＧとする（外接円と一致する）

Ｑ：△ＤＢＣの頂点ＤからＢＣに垂線の足を下ろしＢＣとの交点をＨとする

BD=BC

BC:外接円Ｏの直径

ＤＨ：外接円Ｏの半径に等しい

∴∠ＤＢＨ＝30度

∠ＡＢＣ＝45度から

∠ＡＢＥ＝∠ＧＢＦ＝∠ＦＢＣ＝15度

同長弦の円周角は等しいので

∠ＡＢＥ＝∠ＧＢＦ＝∠ＦＢＣ＝∠ＡＣＧ＝∠ＧＣＦ＝15度

∴∠ＤＢＣ＝∠ＧＢＨ＝∠ＡＣＦ＝∠ＥＣＤ＝30度

△ＤＢＣ∽△ＥＣＤ

∴ＥＣ＝ＣＤ・・・・証明終わり

「にいばりZ12」07/29 00時02分受信 更新8/12

にいばりＺ12です

シンプルな解法を思いついたので別解として投稿させてください。

（別解）

下図のように補助線を引きます

線分Ｐ：△ＡＢＣの頂点ＡからＢＣに垂線の足を下ろしＢＣとの交点をＦとする

線分Ｒ：△ＤＢＣの頂点ＤからＢＣに垂線の足を下ろしＢＣとの交点をＨとする

ＡＤはＢＣに平行なので

線分Ｐ＝線分Ｒ

△ＡＢＣは直角二等辺三角形なので

線分Ｐ＝ＡＦ＝1/2ＢＣ＝ＤＨ＝線分Ｒ

△ ＤＢＨにおいてＢＣ＝ＢＤから

∠ＤＨＢ＝90度

ＢＣ＝ＢＤから

　　　ＤＨ＝1/2ＢＤ

　　より∠ＤＢＨ＝30度

△ＤＢＣは二等辺三角形なので

∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝（180度-30度）/2＝75度

よって∠ＥＣＤ＝∠ＢＣＤ-∠ＢＣＡ＝75度-45度=30度

△ＤＥＣにおいて∠ＥＣＤ=30度、∠ＥＤＣ=∠ＢＤＣ＝75度

∠ＤＥＣ＝180度-∠ＥＣＤ-∠ＥＤＣ＝180度-30度-75度＝75度

よって△ＤＥＣは二等辺三角形

∴ＥＣ＝ＤＣ・・・・証明終わり

NO5　「三角定規」　07/27 23時06分受信 更新8/12

　上図において，AB＝1，AB＝ としてよく，∠BAD＝135°である。

　△ABD において∠ADB＝θとおくと，正弦定理より，

　

　　∴ ∴ θ＝30°

　∠ADB＝∠DBC だから，∠DBC＝30°で，△BCD は頂角が30°の二等辺三角形となるから，底角

∠BCD＝∠BDC＝75°。このとき，∠DCE＝30°，∠CED＝75°。

　以上より，△CDE は，2底角 ∠CDE＝∠CED＝75°の二等辺三角形である。[証明了]

No6　「Iga」　　　 08/10 23時54分受信 更新8/12

お久し振りです、Ｉｇａです。時折のぞかせていただいていたのですが、
なかなか手がでず、いつの間にかかなり長い年月がたってしまいました。
今回は、何とかできたので、久しぶりに遅らせていただきます。
これならば中学生に出題してもいいかなとも思いました。
これからもよろしくお願いします。

直角二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ＝ＡＣ＝√２とすると、ＢＣ＝２＝ＢＤ
直角二等辺三角形ＡＢＣでＢＣを底辺とする高さＡＦ＝１
△ＤＢＣのＢＣを底辺としたときの高さをＤＧとすると。ＡＤ‖ＢＣだから
ＤＧ＝ＡＦ＝１
△ＢＤＧは∠ＤＧＢ＝９０°の直角三角形で、ＢＤ＝２、ＤＧ＝１だから
∠ＤＢＧ＝３０°
△ＢＣＤはＢＣ＝ＢＤの二等辺三角形で、頂角∠ＤＢＧ＝３０°だから
∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝（１８０−３０）／２＝７５°　　　・・・・（１）
直角三角形ＡＢＣの底角だから∠ＡＣＢ＝４５°
△ＥＢＣの外角だから、
∠ＣＥＤ＝∠ＥＢＤ＋∠ＥＣＢ＝３０＋４５＝７５°　　　・・・・（２）　
（１）（２）より、∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝７５°
２角が等しいので、△ＣＤＥは∠ＣＤＥ，∠ＣＥＤを底角とする二等辺三角形
よって、ＣＤ＝ＣＥ

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。