平成２５年３月３日

[流れ星]

　　　　　第２８７回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：2月10日〜3月3日＞

［面積の最大値］

過去の青山学院大学の入試問題です。

円ｘ^２＋ｙ^２＝１と点Ａ（−２，０）を通る直線との２つの交点をＰ，Ｑとする。

座標（１，０）の点をＢとして、△ＢＰＱの面積の最大値を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」 02/10 15時36分受信

「uchinyan」 02/11 12時49分受信 更新3/3

まず，P，Q は y >= 0 の場合と y <= 0 の場合が考えられますが，

図が x軸 に対して対称なので，y >= 0 の場合を考えれば十分です。

そこで，以下では y >= 0 として考えます。

また，P，Q は入れ替えても構わないので，P の x 座標 >= Q の x 座標，としておきます。

(解法1)

直線 PQA の傾きを m とすると，直線の式は，y = m(x + 2)，mx - y + 2m = 0，です。

そこで，P，Q の x 座標を，p，q，p >= q，とすると，これらは次の二次方程式の解になります。

x^2 + (m(x + 2))^2 = 1，(m^2 + 1)x^2 + 4m^2x + (4m^2 - 1) = 0

ただし，p，q は実数なので，

判別式/4 = (2m^2)^2 - (m^2 + 1)(4m^2 - 1) >= 0，3m^2 - 1 <= 0，- 1/√3 <= m <= 1/√3

y >= 0 で考えれば十分なので，0 <= m <= 1/√3，としていいです。

このとき，

PQ = √((p - q)^2 + (m(p + 2) - m(q + 2))^2) = √((m^2 + 1)(p - q)^2)

= √((m^2 + 1)((p + q)^2 - 4pq))

解と係数の関係より，p + q = - 4m^2/(m^2 + 1)，pq = (4m^2 - 1)/(m^2 + 1)，なので，

= √((m^2 + 1)((- 4m^2/(m^2 + 1))^2 - 4(4m^2 - 1)/(m^2 + 1)))

= 2√((1 - 3m^2)/(m^2 + 1))

また，B から PQ に垂線を下しその足を H とすると，

BH = |m * 1 - 0 + 2m|/√(m^2 + 1) = 3m/√(m^2 + 1)

そこで，

△BPQ = PQ * BH * 1/2 = 2√((1 - 3m^2)/(m^2 + 1)) * 3m/√(m^2 + 1) * 1/2

= 3√(m^2(1 - 3m^2)/(m^2 + 1)^2)

ここで，m^2 + 1 = 1/t，t = 1/(m^2 + 1)，とおくと，3/4 <= t <= 1 で単調減少で，

= 3√((1/t - 1)(4 - 3/t)t^2) = 3√((1 - t)(4t - 3)) = 3√(- 4t^2 + 7t - 3)

= 3√(- 4(t - 7/8)^2 + 1/16)

そこで，√ の中は t = 7/8 で最大値 1/16 を取り，

△BPQ の最大値は 3√(1/16) = 3 * 1/4 = 3/4 になります。

(解法1)のちょっとだけの別解

0 <= m <= 1/√3，までは(解法1)と同じ。

ここで，m(p + 2) >= m(q + 2)，P の y 座標 >= Q の y 座標，なので，

△BPQ = △PAB - △QAB = AB * (P の y 座標) * 1/2 - AB * (Q の y 座標) * 1/2

= (1 + 2) * (m(p + 2) - m(q + 2)) * 1/2 = 3m(p - q)/2

= 3m√(1 - 3m^2)/(m^2 + 1) = 3√(m^2(1 - 3m^2)/(m^2 + 1)^2)

後は，(解法1)と同じです。

(解法2)

直線 PQA の傾きが 0 の場合は，△BPQ = 0 で明らかに最大値にはならないので，

直線 PQA の傾きを 1/m とすると，直線の式は，y = 1/m * (x + 2)，x = my - 2，です。

そこで，P，Q の y 座標を，p，q，とすると，これらは次の二次方程式の解になります。

(my - 2)^2 + y^2 = 1，(m^2 + 1)y^2 - 4my + 3 = 0

ただし，p，q は実数なので，

判別式/4 = (2m)^2 - (m^2 + 1)(3) >= 0，m^2 - 3 >= 0，m <= - √3 又は √3 <= m

y >= 0 で考えれば十分なので，m >= √3，としていいです。

このとき，明らかに，p >= q，なので，

△BPQ = △PAB - △QAB = AB * (P の y 座標) * 1/2 - AB * (Q の y 座標) * 1/2

= (1 + 2) * (p - q) * 1/2 = 3(p - q)/2

= 3√(m^2 - 3)/(m^2 + 1) = 3√((m^2 - 3)/(m^2 + 1)^2)

ここで，m^2 - 3 = t，とおくと，0 <= t で単調増加で，

t = 0 は △BPQ = 0 で明らかに最大値にはならないので，0 < t で考えると，

= 3√(t/(t + 4)^2) = 3√(t/(t^2 + 8t + 16)) = 3√(1/(t + 16/t + 8))

√ の中の t + 16/t は相加相乗平均により，

t + 16/t >= 2√(t * 16/t) = 2√16 = 8，等号は t = 4 で実現可能

なので，√ の中は t = 4 で最大値 1/16 を取ります。

そこで，△BPQ の最大値は 3√(1/16) = 3 * 1/4 = 3/4 になります。

(解法3)

P(a,b)，b >= 0，とします。a^2 + b^2 = 1 です。

また，直線 AP は，y = b/(a + 2) * (x + 2)，と書けます。

このとき，a の範囲は，(x軸 より上で円に接するときの x 座標) <= a <= 1 ですが，

そのときの接点を T とすると，∠ATO = 90°，OT = 1，OA = 2 なので，∠AOT = 60°となって，

(x 軸より上で円に接するときの x 座標) = - 1/2 <= a <= 1，になります。

一方，Q の x 座標は，直線 AP と円の P 以外の交点の x 座標なので，

x^2 + (b/(a + 2) * (x + 2))^2 = 1

(b/(a + 2))^2 + 1)x^2 + 4(b/(a + 2))^2x + (4(b/(a + 2))^2 - 1) = 0

(b^2 + (a + 2)^2)x^2 + 4b^2x + (4b^2 - (a + 2)^2) = 0

(4a + 5)x^2 + 4(1 - a^2)x - a(5a + 4) = 0

(x - a)((4a + 5)x + (5a + 4)) = 0

Q の x 座標 = - (5a + 4)/(4a + 5)

そこで，

△BPQ = △PAB - △QAB = AB * (P の y 座標) * 1/2 - AB * (Q の y 座標) * 1/2

= (1 + 2) * (b - b/(a + 2) * (- (5a + 4)/(4a + 5) + 2)) * 1/2

= 3b(2a + 1)/(4a + 5) = 3√((1 - a^2)(2a + 1)^2/(4a + 5)^2)

ここで，4a + 5 = t，とおくと，3 <= t <= 9 で単調増加で，

= 3√((1 - ((t - 5)/4)^2)(2((t - 5)/4) + 1)^2/t^2)

= 3/8 * √((- t^2 + 10t - 9)(t^2 - 6t + 9)/t^2)

= 3/8 * √((- t^4 + 16t^3 - 78t^2 + 144t - 81)/t^2)

= 3/8 * √((- t^2 + 16t - 78 + 144/t - 81/t^2)

= 3/8 * √(- (t + 9/t)^2 + 16(t + 9/t) - 60)

= 3/8 * √(- (t + 9/t - 8)^2 + 4)

今の t の範囲 3 <= t <= 9 では t + 9/t は 6 <= t + 9/t <= 10 で単調増加なので，

√ の中は t + 9/t = 8 で最大値 4 を取ります。

そこで，△BPQ の最大値は 3/8 * √4 = 3/8 * 2 = 3/4 になります。

(解法4)

P，Q は x^2 + y^2 = 1 上の点なので，

∠POB = α，∠QOB = β，0 <= α <= β <= π，P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)

とおけます。このとき，直線 AP は，y = sinα/(cosα + 2) * (x + 2)，と書けます。

Q は 直線 AP 上の点なので，

sinβ = sinα/(cosα + 2) * (cosβ + 2)

sinβ(cosα + 2) = sinα(cosβ + 2)

sinβcosα + 2sinβ = cosβsinα + 2sinα

sinα - sinβ = (sinβcosα - cosβsinα)/2 = sin(β - α)/2

これより，

△BPQ = △PAB - △QAB = AB * (P の y 座標) * 1/2 - AB * (Q の y 座標) * 1/2

= (1 + 2) * (sinα - sinβ) * 1/2 = 3/4 * sin(β - α)

そこで，0 <= α <= β <= π，0 <= β - α <= π なので，

△BPQ の最大値は β - α = π/2 で 3/4 * 1 = 3/4 になります。

(解法5)

B，O から PA に垂線を下ろしその足を H，I とします。すると，

OI//BH，△AOI ∽△ABH，OI：BH = AO：AB = 2：3，△OPQ：△BPQ = OI：BH = 2：3

なので，△BPQ = 3/2 * △OPQ，です。

これより，△BPQ は △OPQ が最大のとき最大になります。

ここで，OP = OQ = 1 なので，

△OPQ は ∠POQ = 90°のときが最大で，最大値 1 * 1 * 1/2 = 1/2，を取ります。

そこで，△BPQ の最大値は 3/2 * 1/2 = 3/4 になります。

(感想)

こういう問題はいろいろと考えられて楽しいです。

恐らく，高校数学としては，(解法1)又は(解法2)辺りが標準的な解法だと思います。

逆に言えば，大学を受験しようと思う者は，少なくともこうした解法を理解できる，ことが

望ましいように思います。ただし，

(解法1)は，気付かないと後半の計算が少し難しく，

(解法2)は，計算の簡略化のために，普段はあまり導出しない y についての二次方程式を扱うので，

その意味では若干ハードルが高いかも知れません。

一方，(解法3)は，Q の x 座標が P の x 座標の有理式で書けることを利用した若干マニアックな解法です。

ピタゴラス数を求める際，√ の入った積分の有理化，などで使う手法ですが。

(解法4)は，(解法5)につなげるために，高校数学の道具で似たようなことをしてみた解法です。

しかし，意外とうまくいきました。若干発想の転換が必要という意味では難しいかも知れませんが，

標準的な解法に加えてもよさそうです。

(解法5)は，ある意味，大学入試では抜け道のような解法ですが，受験算数では比較的よく見ます。

もちろん，これが一番簡単で，他の解法で解けたうえでの(解法5)は優秀な学生の証拠でいいのですが，

高校生になっても(解法5)でしか解けないのでは，ちょっと困るかも．．．

ＮＯ２「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　02/11 18時38分受信

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　02/12 22時37分受信 更新3/3

(添付図)

この図の△よりも大きなものができるってことね？
対称性で考えたのにも関わらず...?
もう少し考えてみます...
図形的に…
PB=PQ のとき…
また、△PBQのMaxは…　　　　　　　　　　　　　　　　
PH(PO)垂直BQのとき…
方ベキの定理より、
AC*AB=1*3=AQ*AP
図より、AC=C0 なので…
AQ=QP=a
a*2a=3
a=√6/2
PO=1
QC=1/2
QB=√(2^2-1^2)=√3　→√(2^2-(1/2)^2)=√15/2
a^2-(√3/2)^2=PH^2　

PH=1-(1/4)=3/4けっきょく…
Max△PBQ=(√15/2)*(3/4)/2=3√15/16
となってしまいます...

この図の△よりも大きなものができるってことね？
対称性で考えたのにも関わらず...?もう少し考えてみます...

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　02/27 01時44分受信 更新3/3

添付図...これは前回と同じ☆

図形的に…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PB=PQ のとき…
また、△PBQのMaxは…
PH(PO)垂直BQのとき…　　　　　　　　　　
(このとき…
方ベキの定理より、
AC*AB=1*3=AQ*AP
図より、AC=C0 なので…
AQ=QP=a
a*2a=3
a=√6/2
になっているはず…)

△APO〜△AQC から…
AC=CO=0 なので…
CQ=1/2
BQ=√(2^2-(1/2)^2)=√15/2
また…OH=QC/2 なので…
PH=1-1/4=3/4
Max△PBQ=BQ*PH/2
=(√15/2)*(3/4)*(1/2)=3√15/16

このとき…
PB=√(BH^2+PH^2)=√(15/16+9/16)=√6/2=a を満たしている♪

＜水の流れ：どこかでミスのようですが・・・＞

ＮＯ３「浜田明巳」　02/12 13時28分受信 更新3/3

対称性から，点Ａを通る直線の傾きをｍ（ｍ≧０）としてよい．
　この直線の方程式は，
　　ｙ＝ｍ(ｘ＋２)
　円ｘ^２＋ｙ^２＝１との交点Ｐ，Ｑのｘ座標をα，β（α＜β）とすると，α，βは，２次方程式
　　ｘ^２＋{ｍ(ｘ＋２)}^２＝１
すなわち，
　　(１＋ｍ^２)ｘ^２＋４ｍ^２ｘ＋(４ｍ^２−１)＝０………(1)
の２解である．
　判別式をＤとすると，実数α，β（α≠β）が存在するので，
　　Ｄ／４＝４ｍ^４−(１＋ｍ^２)(４ｍ^２−１)
　　　　　＝−３ｍ^２＋１＞０
　　∴ｍ^２＜１／３
　ｍ≧０から，
　　０≦ｍ＜１／√３
　(1)の２解がα，βなので，２次方程式の解と係数の関係から，
　　α＋β＝−４ｍ^２／(１＋ｍ^２)
　　αβ＝(４ｍ^２−１)／(１＋ｍ^２)


　このとき，α＜βから，
　　ＰＱ＝(β−α)(１＋ｍ^２)^１／２
　ｔ＝ｍ^２（０≦ｔ＜１／３）とすると，
　　ＰＱ^２＝(β−α)^２(１＋ｍ^２)
　　　　＝{(α＋β)^２−４αβ}(１＋ｍ^２)
　　　　＝{１６ｔ^２／(１＋ｔ)^２−４(４ｔ−１)／(１＋ｔ)}(１＋ｔ)
　　　　＝４{４ｔ^２−(４ｔ−１)(１＋ｔ)}／(１＋ｔ)
　　　　＝４(１−３ｔ)／(１＋ｔ)
　　∴ＰＱ＝２(１−３ｔ)^１／２／(１＋ｔ)^１／２
　点Ｂから，直線ｙ＝ｍ(ｘ＋２)，すなわちｍｘ−ｙ＋２ｍ＝０までの距離ｈは，
　　ｈ＝｜ｍ・１−０＋２ｍ｜／(ｍ^２＋１)^１／２＝３ｍ／(ｔ＋１)^１／２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（∵ｍ≧０）
　故に△ＢＰＱの面積Ｓは，
　　Ｓ＝１／２・ＰＱ・ｈ
　　　＝１／２・２(１−３ｔ)^１／２／(１＋ｔ)^１／２・３ｍ／(ｔ＋１)^１／２
　　　＝３ｍ(１−３ｔ)^１／２／(ｔ＋１)
　　∴(Ｓ／３)^２＝ｔ(１−３ｔ)／(ｔ＋１)^２
　　　　　　　＝(ｔ−３ｔ^２)／(ｔ＋１)^２
　この式をｆ(ｔ)とすると，
　　ｆ'(ｔ)＝{(１−６ｔ)(ｔ＋１)^２−(ｔ−３ｔ^２)・２(ｔ＋１)}／(ｔ＋１)^４
　　　　＝{(１−６ｔ)(ｔ＋１)−２(ｔ−３ｔ^２)}／(ｔ＋１)^３
　　　　＝(１−７ｔ)／(ｔ＋１)^３
　故に０＜ｔ＜１／７のとき，ｆ'(ｔ)＞０
　　　１／７＜ｔ＜１／３のとき，ｆ'(ｔ)＜０
　故にｆ(ｔ)は，ｔ＝１／７のとき，最大となる．
　　ｆ(１／７)＝１／７・(１−３／７)／(１／７＋１)^２
　　　　　　　＝(７−３)／(１＋７)^２＝１／１６＝(１／４)^２
　であり，ｆ(ｔ)＝(Ｓ／３)^２であるから，Ｓの最大値は，
　　３／４

（別解）直線ＡＰＱの傾きをｍ（ｍ≧０）とすると，直線ＡＰＱの方程式は，
　　ｙ＝ｍ(ｘ＋２)
　Ｐ，Ｑのｘ座標をそれぞれα，β（α＜β）とすると，
　　Ｐ(α，ｍ(α＋２))，Ｑ(β，ｍ(β＋２))
　　∴ベクトルＢＰ＝(α−１，ｍ(α＋２))，ベクトルＢＱ＝(β−１，ｍ(β＋２))
　ベクトルａ＝ベクトルＢＰ，ベクトルｂ＝ベクトルＢＱとすると，面積Ｓは，
　　Ｓ＝１／２・{｜ベクトルａ｜^２｜ベクトルｂ｜^２−(ベクトルａ・ベクトルｂ)^２}^１／２
　ここで，
　　｜ベクトルａ｜^２＝(α−１)^２＋ｍ^２(α＋２)^２，｜ベクトルｂ｜^２＝(β−１)^２＋ｍ^２(β＋２)^２
　　ベクトルａ・ベクトルｂ＝(α−１)(β−１)＋ｍ^２(α＋２)(β＋２)
　　∴(２Ｓ)^２＝{(α−１)^２＋ｍ^２(α＋２)^２}{(β−１)^２＋ｍ^２(β＋２)^２}
　　　　　　　　　−{(α−１)(β−１)＋ｍ^２(α＋２)(β＋２)}^２
　　　　　　＝[(α−１)^２(β−１)^２＋ｍ^２{(α−１)^２(β＋２)^２＋(α＋２)^２(β−１)^２}＋ｍ^４(α＋２)^２(β＋２)^２]
　　　　　　　　　−{(α−１)^２(β−１)^２＋２ｍ^２(α−１)(α＋２)(β−１)(β＋２)＋ｍ^４(α＋２)^２(β＋２)^２}
　　　　　　＝ｍ^２{(α−１)^２(β＋２)^２＋(α＋２)^２(β−１)^２
　　　　　　　　　−２(α−１)(α＋２)(β−１)(β＋２)}
　　　　　　＝ｍ^２{(α−１)(β＋２)−(α＋２)(β−１)}^２
　　　　　　＝３^２ｍ^２(α−β)^２
　　∴(２Ｓ／３)^２＝ｍ^２{(α＋β)^２−４αβ}
　前解と同様に，
　　α＋β＝−４ｍ^２／(１＋ｍ^２)
　　αβ＝(４ｍ^２−１)／(１＋ｍ^２)
　　∴(Ｓ／３)^２＝ｍ^２(１−３ｍ^２)／(１＋ｍ^２)^２
　以下，前解と同様である．

「浜田明巳」　02/12 14時42分受信 更新3/3

（別解その２）（数�U的解法）
　前回の解から，
　　(Ｓ／３)^２＝ｔ(１−３ｔ)／(ｔ＋１)^２（０≦ｔ＜１／３）
　　∴(Ｓ／３)^２＝−３＋(７ｔ＋３)／(ｔ＋１)^２
　ｔ≧０から，
　　(７ｔ＋３)／(ｔ＋１)^２＝ａ＞０
とすると，
　　７ｔ＋３＝ａ(ｔ＋１)^２
　　∴ａｔ^２＋(２ａ−７)ｔ＋(ａ−３)＝０………(1)
　このｔの２次方程式が，０≦ｔ＜１／３の範囲で解をもつａの条件を求める．
　(1)の左辺をｆ(ｔ)とすると，ｙ＝ｆ(ｔ)のグラフは，ａ＞０であるから，下に凸の放物線を表す．
i).ａ＝３のとき，２次方程式ｆ(ｔ)＝０は，ｔ＝０を解にもつので，条件に合う．
ii). ａ≠３のとき，
　ア).ｆ(０)ｆ(１／３)＜０のとき，０＜ｔ＜１／３の間に少なくとも１つの実数解をもつ．


　　　ｆ(０)ｆ(１／３)＝(ａ−３){ａ／９＋(２ａ−７)／３＋ａ−３}＜０
　から，
　　　(ａ−３)(ａ＋６ａ−２１＋９ａ−２７)＜０
　　　∴(ａ−３)(１６ａ−４８)＜０
　　　∴(ａ−３)^２＜０
　　これは矛盾する．
　イ).ｆ(０)ｆ(１／３)＞０のとき，(ａ−３)^２＞０となり，ａ≠３に合う．


　　(1)の判別式をＤとすると，実数解をもつので，
　　　Ｄ＝(２ａ−７)^２−４ａ(ａ−３)＝４９−１６ａ≧０
　　　∴ａ≦４９／１６
　　(1)の頂点のｔ座標が，０と１／３の間にあるので，
　　　０＜−(２ａ−７)／(２ａ)＜１／３
　　　∴０＜７／(２ａ)−１＜１／３
　　　∴１＜７／(２ａ)＜４／３
　　　∴３／４＜２ａ／７＜１
　　　∴２１／８＜ａ＜７／２
　　今までの結果をまとめると，
　　　２１／８＜ａ≦４９／１６（ａ≠３）
　i).，ii).から，
　　２１／８＜ａ≦４９／１６
　故に(Ｓ／３)^２＝−３＋ａの最大値は，
　　−３＋４９／１６＝１／１６＝(１／４)^２
　故にＳの最大値は，３／４

（別解その３）
　　(Ｓ／３)^２＝−３＋(７ｔ＋３)／(ｔ＋１)^２（０≦ｔ＜１／３）
　ｆ(ｔ)＝(Ｓ／３)^２＋３＝(７ｔ＋３)／(ｔ＋１)^２とする．
　ｔ＋１＝ｍ（１≦ｍ＜４／３）とすると，
　　ｆ(ｔ)＝{７(ｍ−１)＋３}／ｍ^２＝(７ｍ−４)／ｍ^２＝７／ｍ−４／ｍ^２
　１／ｍ＝ｎ（３／４＜ｎ≦１），ｇ(ｎ)＝ｆ(ｔ)とすると，
　　ｇ(ｎ)＝７ｎ−４ｎ^２＝４(ｎ−７／８)^２＋４９／１６
　３／４＜ｎ≦１であるから，ｇ(ｎ)はｎ＝７／８のとき，最大値４９／１６をとる．
　以下，前回と同様．

「浜田明巳」　02/13 09時42分受信 更新3/3

（別解その４）
　前回の解から，
　　ｆ(ｔ)＝(Ｓ／３)^２＋３＝(７ｔ＋３)／(ｔ＋１)^２（０≦ｔ＜１／３）
　ｍ＝７ｔ＋３（３≦ｍ＜１６／３）とすると，
　　ｆ(ｔ)＝ｍ／{(ｍ−３)／７＋１}^２＝４９ｍ／(ｍ＋４)^２
　　　　＝４９／(ｍ＋８＋１６／ｍ)（∵ｍ≠０）
　ｍ＞０から，相加平均と相乗平均の関係より，
　　ｍ＋１６／ｍ≧２(ｍ・１６／ｍ)^１／２＝８
　等号は，ｍ＝１６／ｍ，すなわち，ｍ＝４のとき成立する．
　このとき，ｆ(ｔ)は，最大値
　　４９／(８＋８)＝４９／１６
をとる．
　以下，同様．

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。