平成２５年８月18日

[流れ星]

　　　　　第２９５回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月28日〜8月18日＞

［距離の最大・最小］

ＮＯ１「uchinyan」 07/28 13時32分受信 更新8/18

問１：

(x,y) 座標平面上で，P(3,4) と原点 O を通る直線 ax + by = 0 との距離を考えると，

|3a + 4b|/√(a^2 + b^2)

これが最大になるのは，PO と ax + by = 0 は垂直で，PO に等しいときなので，

|3a + 4b|/√(a^2 + b^2) <= PO = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5

- 5 <= (3a + 4b)/√(a^2 + b^2) <= 5

このとき，a/3 = b/4 です。

ここで，a -> x，b -> y，と置き換えて，

- 5 <= (3x + 4y)/√(x^2 + y^2) <= 5，等号は x/3 = y/4

つまり，t を正の実数として，

最大値は x = 3t，y= 4t のときで 5，最小値は x = - 3t，y= - 4t のときで - 5

になります。

(別解)

コーシー・シュワルツの不等式より，

(x^2 + y^2)(3^2 + 4^2) >= (3x + 4y)^2

25(x^2 + y^2) >= (3x + 4y)^2

- 5 <= (3x + 4y)/√(x^2 + y^2) <= 5，等号は x/3 = y/4

つまり，t を正の実数として，

最大値は x = 3t，y= 4t のときで 5，最小値は x = - 3t，y= - 4t のときで - 5

になります。

問２：

f(x) = √(x^2 + 2x + 2) + √(x^2 - 6x + 13)

= √((x + 1)^2 + 1) + √((x - 3)^2 + 4)

= √(((-1) - x)^2 + ((-1) - 0)^2) + √((3 - x)^2 + (2 - 0)^2)

ここで，(x,y) 座標平面上で，A(3,2)，B(-1,-1)，P(x,0) とおくと，

f(x) = PA + PB >= AB

そこで，この最小は，P が AB 上にあるときです。

AB の式は y = 3x/4 - 1/4 なので，このとき P(1/3,0)，x = 1/3 です。

したがって，

f(x) の最小値は x = 1/3 のときで 5

になります。

問３：

y >= x^2 + x - 1，k = x^2 + y^2 - 8x

これらは，

y >= (x + 1/2)^2 - 5/4，(x - 4)^2 + y^2 = k + 16

と変形できるので，(x,y) 座標平面上で，

y >= (x + 1/2)^2 - 5/4

軸 x = - 1/2，頂点 (-1/2,-5/4) の下に凸の放物線又はその内側

(x - 4)^2 + y^2 = k + 16

k > - 16 のとき，中心 C(4,0)，半径 √(k + 16) の円

k = - 16 のとき，点 C(4,0)

k < - 16 のとき，実数 x，y は存在しないとなります。

さらに，C(4,0) は放物線の外側にあります。

これより，図形的に，k が最小になるのは，円が放物線に外側から接するとき，と分かります。

そこで，接点を T(t, t^2 + t - 1) とおくと，

共通接線と TC は直交するので，共通接線の傾きは 2t + 1 より，

(2t + 1) * ((t^2 + t - 1) - 0)/(t - 4) = -1

2t^3 + 3t^2 - t - 1 = 4 - t

2t^3 + 3t^2 - 5 = 0

(t - 1)(2t^2 + 5t + 5) = 0

(t - 1)(2(t + 5/4)^2 + 15/8) = 0

t は実数なので，２番目の括弧内は常に正となり，t = 1，です。

これより，このときに，

T(1,1)，TC = 円の半径，TC^2 = (1 - 4)^2 + (1 - 0)^2 = 10 = k + 16，k = -6

つまり，

x^2 + y^2 - 8x の最小値は x = 1，y = 1 のときで -6

になります。

(感想)

「［距離の最大・最小］」というタイトルが付いているので，いずれも図形的に解いてみました。しかし，問１：は凝り過ぎかな，と思い，普通ならこうしそう，という別解も書いておきました。他にも，ベクトルの内積，x = rcosθ，y = rsinθとおく，なども考えられます。

一方，問２：は微分はありますが，４次方程式を解くことになりそうでかなり大変そうです。

さらに，問３：になると，接するところの処理はともかく，

図形を絡めない方法でスンナリと解くのは，ちょっと思い付きませんでした。

いずれにせよ，若干厳密性に欠けるかも知れませんが，図形的な考察は大事ですね。

ＮＯ２「浜田明巳」　07/30 09時04分受信 更新8/18

（１）ｆ＝(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２とする．
　分母≠０から，(ｘ，ｙ)≠(０，０)
i). ｘ＝０，ｙ≠０のとき，ｆ＝４ｙ／(ｙ^２)^１／２＝４ｙ／｜ｙ｜
　ｙ＞０のとき，ｆ＝４
　ｙ＜０のとき，ｆ＝−４
ii). ｘ≠０，ｙ＝０のとき，ｆ＝３ｘ／｜ｘ｜
　ｘ＞０のとき，ｆ＝３
　ｘ＜０のとき，ｆ＝−３
iii). ｘｙ≠０のとき，ｙを定数として，ｆをｘで微分すると，
　　ｆ_ｘ＝{３・(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２−(３ｘ＋４ｙ)・１／２・(ｘ^２＋ｙ^２)^−１／２・２ｘ}／(ｘ^２＋ｙ^２)
　　　＝{３(ｘ^２＋ｙ^２)−(３ｘ＋４ｙ)ｘ}／(ｘ^２＋ｙ^２)^３／２
　　　＝(３ｙ^２−４ｘｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^３／２
　　　＝−４ｙ・(ｘ−３ｙ／４)／(ｘ^２＋ｙ^２)^３／２
　ｙ＞０のとき，
　　−∞＜ｘ＜０，０＜ｘ＜３ｙ／４のとき，ｆ_ｘ＞０
　　ｘ＝３ｙ／４のとき，
　　　ｆ＝(３・３ｙ／４＋４ｙ)／(９ｙ^２／１６＋ｙ^２)^１／２＝２５ｙ／(５ｙ)＝５
　　３ｙ／４＜ｘ＜∞のとき，ｆ_ｘ＜０
　　lim_ｘ→∞ｆ＝lim_ｘ→∞(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝lim_ｘ→∞(３＋４ｙ／ｘ)／(１＋ｙ^２／ｘ^２)^１／２＝３
　　lim_ｘ→−∞ｆ＝lim_ｘ→−∞(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝lim_ｘ→−∞(３＋４ｙ／ｘ)／{−(１＋ｙ^２／ｘ^２)^１／２}＝−３
　ｙ＜０のとき，
　　−∞＜ｘ＜３ｙ／４のとき，ｆ_ｘ＜０
　　ｘ＝３ｙ／４のとき，
　　　ｆ＝(３・３ｙ／４＋４ｙ)／(９ｙ^２／１６＋ｙ^２)^１／２＝２５ｙ／(−５ｙ)＝−５
　　３ｙ／４＜ｘ＜０，０＜ｘ＜∞のとき，ｆ_ｘ＞０
　　lim_ｘ→∞ｆ＝lim_ｘ→∞(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝lim_ｘ→∞(３＋４ｙ／ｘ)／(１＋ｙ^２／ｘ^２)^１／２＝３
　　lim_ｘ→−∞ｆ＝lim_ｘ→−∞(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝lim_ｘ→−∞(３＋４ｙ／ｘ)／{−(１＋ｙ^２／ｘ^２)^１／２}＝−３
　i).〜iii).をまとめると，
　　ｘ＝３ｙ／４＞０，すなわちｘ：ｙ＝３：４，ｘ＞０，ｙ＞０のとき，最大値５
　　ｘ＝３ｙ／４＜０，すなわちｘ：ｙ＝３：４，ｘ＜０，ｙ＜０のとき，最小値−５

（別解）明らかにｘ＞０，ｙ＞０のときに最大，ｘ＜０，ｙ＜０のとき最小となる．いずれの場合もｘｙ≠０
　このとき，Cauchy-Schwarzの不等式から，
　　(３ｘ＋４ｙ)^２≦(３^２＋４^２)(ｘ^２＋ｙ^２)
　ｘ^２＋ｙ^２＞０から，
　　{(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２}^２≦５^２
　　∴−５≦(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２≦５
　最大値は５．このとき，ｘ：ｙ＝３：４，ｘ＞０，ｙ＞０
　最小値は−５．このとき，ｘ：ｙ＝３：４，ｘ＜０，ｙ＜０

（別解）第２７１回問題は，「ｘ^２＋ｙ^２＝１のとき，３ｘ＋４ｙの最大値，最小値を求めよ」であった．
　この問題において，ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２（ｍ＞０），すなわち(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝ｍとすると，３ｘ＋４ｙの最大値，最小値は，本来のもののｍ倍である．
　したがって，(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２の最大値，最小値は，第２７１回問題の場合と一致する．
　そのときのｘ，ｙの値は，第２７１回問題の場合のｍ倍である．
　したがって，解法の種類は，少なくとも第２７１回問題と同数ある．
　例えば，次のように解けばよい．
　ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２（ｍ＞０）とおくと，ｘ＝ｍcosθ，ｙ＝ｍsinθ（０≦θ＜２π）とすることができる．
　このとき，
　　３ｘ＋４ｙ＝ｍ(４sinθ＋３cosθ)＝５ｍsin(θ＋α)（cosα＝４／５，sinα＝３／５，０＜α＜π／２）
　０＜α≦θ＋α＜２π＋α＜２π＋π／２であるから，３ｘ＋４ｙの最大値は５ｍであり，このとき，
　　sin(θ＋α)＝１　　　∴θ＋α＝π／２　　　∴θ＝π／２−α
　　∴ｘ＝ｍcosθ＝ｍcos(π／２−α)＝ｍsinα＝３ｍ／５，
　　　ｙ＝ｍsinθ＝ｍsin(π／２−α)＝ｍcosα＝４ｍ／５
　３ｘ＋４ｙの最小値は−５ｍであり，このとき，sin(θ＋α)＝−１　　　∴θ＝３π／２−α
　　∴ｘ＝ｍcosθ＝ｍcos(３π／２−α)＝−ｍcos(π／２−α)＝−３ｍ／５，
　　　ｙ＝ｍsinθ＝ｍsin(３π／２−α)＝−ｍsin(π／２−α)＝−４ｍ／５
　故に(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２の最大値は，５ｍ／ｍ＝５
　このとき，ｘ＝３ｍ／５，ｙ＝４ｍ／５なので，ｘ：ｙ＝３：４，ｘ＞０，ｙ＞０
　最小値は，−５ｍ／ｍ＝−５
　このとき，ｘ＝−３ｍ／５，ｙ＝−４ｍ／５なので，ｘ：ｙ＝３：４，ｘ＜０，ｙ＜０

（別解）３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４………(1)
　ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２（ｍ＞０）として，代入すると，
　　ｘ^２＋{(ｋ−３ｘ)／４}^２＝ｍ^２
　　∴１６ｘ^２＋(ｋ−３ｘ)^２＝１６ｍ^２
　　∴２５ｘ^２−６ｋｘ＋(ｋ^２−１６ｍ^２)＝０………(2)
　ｘは実数なので，判別式をＤとすると，
　　Ｄ／４＝９ｋ^２−２５(ｋ^２−１６ｍ^２)＝１６(２５ｍ^２−ｋ^２)≧０
　　∴ｋ^２≦２５ｍ^２
　　∴−５ｍ≦ｋ≦５ｍ（∵ｍ＞０）
　ｋ＝５ｍのとき，(2)から，
　　２５ｘ^２−３０ｍｘ＋９ｍ^２＝０　　　∴(５ｘ−３ｍ)^２＝０　　　∴ｘ＝３ｍ／５
　このとき，(1)から，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４＝(５ｍ−３・３ｍ／５)／４＝４ｍ／５
　ｋ＝−５ｍのとき，(2)から，２５ｘ^２＋３０ｍｘ＋９ｍ^２＝０　　　∴ｘ＝−３ｍ／５
　(1)から，ｙ＝{−５ｍ＋３(−３ｍ／５)}／＝−４ｍ／５　　　・・・

（別解）グラフから，接する場合が，ｋが最大，最小になる場合なので，上記の方程式(2)の判別式Ｄ＝０から最大，最小を求める．

（別解）３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４
　これは傾き−３／４，ｙ切片ｋ／４の直線を表す．
　故にこの直線のｙ切片が最大になるとき，ｋ＝３ｘ＋４ｙが最大となり，ｙ切片が最小になるとき，ｋが最小となる．
　ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２（ｍ＞０）とすると，これは原点中心，半径ｍの円を表す．

　グラフから，この直線が円ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２に接するとき，ｙ切片が最大，最小となる．
　このとき円の中心の原点から，この直線３ｘ＋４ｙ−ｋ＝０までの距離が，円の半径のｍに等しくなるので，
　　｜３・０＋４・０−ｋ｜／(３^２＋４^２)^１／２＝ｍ
　　∴｜ｋ｜＝５ｍ　　　∴ｋ＝±５ｍ
　このときのｘ，ｙの値を求める．これは円ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２と直線ｙ＝４ｘ／３の交点の座標となる．
　３ｘ＋４ｙ＝ｋ＝５ｍに代入すると，３ｘ＋４・４ｘ／３＝５ｍ
　　∴(９＋１６)ｘ＝１５ｍ　　　∴ｘ＝３ｍ／５　　　・・・

（別解）ベクトルα＝(３，４)，ベクトルβ＝(ｘ，ｙ)，α，βのなす角をθ（０≦θ≦π）とすると，内積は，
　　ベクトルα・ベクトルβ＝３ｘ＋４ｙ＝(３^２＋４^２)^１／２・(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２・cosθ
　　∴(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２＝５cosθ
　０≦θ≦πから，−１≦cosθ≦１
　　∴−５≦(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２≦５　　　・・・

（別解）ｘ＞０，ｙ＞０のとき，相加平均，相乗平均の関係から，
　　(３ｘ＋４ｙ)^２＝９ｘ^２＋２・４ｘ・３ｙ＋１６ｙ^２
　≦９ｘ^２＋{(４ｘ)^２＋(３ｙ)^２}＋１６ｙ^２＝２５(ｘ^２＋ｙ^２)
　　∴(３ｘ＋４ｙ)^２／(ｘ^２＋ｙ^２)≦５^２
　　∴(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２≦５
　ｘ＜０，ｙ＜０のとき，ｘ＝−ｘ'，ｙ＝−ｙ'，ｘ'＞０，ｙ'＞０とすると，
　　(３ｘ'＋４ｙ')／(ｘ'^２＋ｙ'^２)^１／２≦５
から，
　　(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２≧−５　　　・・・

（別解）
　　(３ｘ＋４ｙ)^２＋(４ｘ−３ｙ)^２＝５^２(ｘ^２＋ｙ^２)
　　∴(３ｘ＋４ｙ)^２＝５^２(ｘ^２＋ｙ^２)−(４ｘ−３ｙ)^２≦５^２(ｘ^２＋ｙ^２)
　　∴(３ｘ＋４ｙ)^２／(ｘ^２＋ｙ^２)≦５^２　　　・・・

（別解）ｘ＞０，ｙ＞０のとき，相加平均，相乗平均の関係から，
　　３ｘ＋４ｙ＝５／ｍ・(３ｍ／５・ｘ＋４ｍ／５・ｙ)
　　　　　　　≦５／ｍ・[{(３ｍ／５)^２＋ｘ^２}／２＋{(４ｍ／５)^２＋ｙ^２}／２]
　　　　　　　＝５／(２ｍ)・{ｍ^２＋(ｘ^２＋ｙ^２)}＝５／(２ｍ)・２ｍ^２＝５ｍ
　　　　　　　＝５(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２
　　∴(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２≦５　　　・・・

（別解）ｘ^２＋ｙ^２＝ｍ^２から，ｘ≠−１のとき，
　　ｘ＝ｍ(１−ｔ^２)／(１＋ｔ^２)，ｙ＝２ｍｔ／(１＋ｔ^２)
とすることができる．
　∴３ｘ＋４ｙ＝３ｍ(１−ｔ^２)／(１＋ｔ^２)＋４・２ｍｔ／(１＋ｔ^２)
　この式をｋとおくと，３ｍ(１−ｔ^２)＋８ｍｔ}＝ｋ(１＋ｔ^２)
　∴(ｋ＋３ｍ)ｔ^２−８ｍｔ＋(ｋ−３ｍ)＝０
　ｋ≠−３ｍのとき，これはｔの２次方程式であり，実数解をもつので，判別式をＤとすると，
　　Ｄ／４＝１６ｍ^２−(ｋ＋３ｍ)(ｋ−３ｍ)＝２５ｍ^２−ｋ^２≧０
　　∴ｋ^２≦２５ｍ^２　　　∴−５ｍ≦ｋ≦５ｍ（∵ｍ＞０）　　　・・・

（２）ｆ(ｘ)＝(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２＋(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２
　　　　　＝{(ｘ＋１)^２＋(−１)^２}^１／２＋{(ｘ−３)^２＋２^２}^１／２
　Ａ(−１，−１)，Ｂ(３，２)，Ｐ(ｘ，０)とすると，
　　ｆ(ｘ)＝ＰＡ＋ＰＢ
　図から，ｆ(ｘ)が最小となるのは，ＡＰＢが一直線となるときである．

　直線ＡＢの方程式は，
　　ｙ＝{２−(−１)}／{３−(−１)}{ｘ−(−１)}−１＝３／４・ｘ−１／４
　ｘ軸との交点は，(１／３，０)
　故にｘ＝１／３のとき，ｆ(ｘ)は最小値
　　ＡＢ＝[{３−(−１)}^２＋{２−(−１)}^２]^１／２＝(４^２＋３^２)^１／２＝５
をとる．

（別解）ｆ(ｘ)＝(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２＋(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２
　ｘ^２＋２ｘ＋２＝(ｘ＋１)^２＋１＞０，ｘ^２−６ｘ＋１３＝(ｘ−３)^２＋４＞０であり，
　　ｆ'(ｘ)＝１／２・(ｘ^２＋２ｘ＋２)^−１／２・(２ｘ＋２)＋１／２・(ｘ^２−６ｘ＋１３)^−１／２・(２ｘ−６)
　　　　　＝(ｘ＋１)／(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２＋(ｘ−３)／(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２………(1)
　　　　　＝{(ｘ＋１)(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２＋(ｘ−３)(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２}／{(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２}
　　∴分子＝{(ｘ＋１)^２(ｘ^２−６ｘ＋１３)−(ｘ−３)^２(ｘ^２＋２ｘ＋２)}／{(ｘ＋１)(ｘ^２−６ｘ＋１３)^１／２−(ｘ−３)(ｘ^２＋２ｘ＋２)^１／２}
　　∴分子その２＝(ｘ^２＋２ｘ＋１)(ｘ^２−６ｘ＋１３)−(ｘ^２−６ｘ＋９)(ｘ^２＋２ｘ＋２)
　　　　　　　　　＝(ｘ^４−４ｘ^３＋２ｘ^２＋２０ｘ＋１３)−(ｘ^４−４ｘ^３−ｘ^２＋６ｘ＋１８)
　　　　　　　　　＝３ｘ^２＋１４ｘ−５＝(ｘ＋５)(３ｘ−１)
　故にｆ'(ｘ)＝０とすると，ｘ＝−５またはｘ＝１／３
　(1)から，
　　ｆ'(−５)＝(−５＋１)／(２５−１０＋２)^１／２＋(−５−３)／(２５＋３０＋１３)^１／２
　　　　　　＝−４／１７^１／２−８／６８^１／２＜０
　　ｆ'(１／３)＝(１／３＋１)／(１／９＋２／３＋２)^１／２＋(１／３−３)／(１／９−２＋１３)^１／２
　　　　　　　＝(４／３)／(２５／９)^１／２−(８／３)／(１００／９)^１／２
　　　　　　　＝(４／３)／(５／３)−(８／３)／(１０／３)＝０
　　ｆ'(１)＝２／５^１／２−２／８^１／２＝２／５^１／２−１／２^１／２＝(２・２^１／２−５^１／２)／１０^１／２
　　　　　＝(８^１／２−５^１／２)／１０^１／２＞０
　ｆ'(ｘ)は連続なので，
　　ｘ＜１／３のとき，ｆ'(ｘ)＜０
　　ｘ＞１／３のとき，ｆ'(ｘ)＞０
　故にｆ(ｘ)は，ｘ＝１／３のとき，最小値
　　ｆ(１／３)＝(１／９＋２／３＋２)^１／２＋(１／９−２＋１３)^１／２＝５／３＋１０／３＝５
をとる．


（３）ｙ≧ｘ^２＋ｘ−１は，放物線ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１＝(ｘ＋１／２)^２−５／４の上側，及び境界線上の領域を表す．
　ｋ＝ｘ^２＋ｙ^２−８ｘとすると，(ｘ−４)^２＋ｙ^２＝ｋ＋１６
　これは，中心(４，０)，半径(ｋ＋１６)^１／２の円を表す．
　図のように，円(ｘ−４)^２＋ｙ^２＝ｋ＋１６が放物線ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１に接するときに，半径(ｋ＋１６)^１／２が最小となり，ｋが最小となる．

　このとき，接点(ｘ，ｙ)（０＜ｘ＜４，ｙ＞０）で共通接線をとる．
　ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１から，ｄｙ／ｄｘ＝２ｘ＋１………(1)
　ｘ^２＋ｙ^２−８ｘ＝ｋから，２ｘ＋２ｙ・ｄｙ／ｄｘ−８＝０
　　∴ｄｙ／ｄｘ＝(４−ｘ)／ｙ（∵ｙ＞０）………(2)
　(1)，(2)から，２ｘ＋１＝(４−ｘ)／ｙ
　　∴ｙ＝(４−ｘ)／(２ｘ＋１)（∵２ｘ＋１＞０）
　ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１に代入すると，
　　ｘ^２＋ｘ−１＝(４−ｘ)／(２ｘ＋１)
　　∴(ｘ^２＋ｘ−１)(２ｘ＋１)＝４−ｘ
　　∴２ｘ^３＋３ｘ^２−ｘ−１＝４−ｘ
　　∴２ｘ^３＋３ｘ^２−５＝０
　　∴(ｘ−１)(２ｘ^２＋５ｘ＋５)＝０
　０＜ｘ＜４から，ｘ＝１
　ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１から，ｙ＝１
　故に接点は(１，１)であり，このとき，最小値は，
　　ｋ＝ｘ^２＋ｙ^２−８ｘ＝１＋１−８＝−６

（別解）（円の接線の傾きの求める方法は，次のものもある）
　円の中心(４，０)と接点(ｘ，ｙ)を結んだ半径の傾きは，ｙ／(ｘ−４)であり，この半径に直交する接線の傾きは，(４−ｘ)／ｙである．

（別解）ｙ＝ｘ^２＋ｘ−１，ｋ＝ｘ^２＋ｙ^２−８ｘ
　ｙを消去すると，
　　ｋ＝ｘ^２＋(ｘ^２＋ｘ−１)^２−８ｘ
　　∴ｋ＝ｘ^２＋(ｘ^４＋ｘ^２＋１＋２ｘ^３−２ｘ−２ｘ^２)−８ｘ
　　∴ｘ^４＋２ｘ^３−１０ｘ＋(１−ｋ)＝０………(1)
　ｘ＝αの点で接するとして，
　　(1)の左辺＝(ｘ−α)^２(ｘ^２＋ａｘ＋ｂ)
とすると，
　　(1)の左辺＝(ｘ^２−２αｘ＋α^２)(ｘ^２＋ａｘ＋ｂ)
　　　　　　　　＝ｘ^４＋(ａ−２α)ｘ^３＋(ｂ−２αａ＋α^２)ｘ^２＋(α^２ａ−２αｂ)ｘ＋α^２ｂ
　係数を比較すると，
　　ａ−２α＝２………(2)
　　ｂ−２αａ＋α^２＝０………(3)
　　α^２ａ−２αｂ＝−１０………(4)
　　α^２ｂ＝１−ｋ………(5)
　(2)から，ａ＝２α＋２………(2)'
　(3)に代入すると，ｂ−２α(２α＋２)＋α^２＝０
　　∴ｂ＝３α^２＋４α………(3)'
　(4)に代入すると，α^２(２α＋２)−２α(３α^２＋４α)＝−１０
　　∴−４α^３−６α^２＝−１０
　　∴２α^３＋３α^２−５＝０
　　∴(α−１)(２α^２＋５α＋５)＝０
　αは実数なので，α＝１
　(2)'から，ａ＝４
　(3)'から，ｂ＝７
　(5)から，７＝１−ｋ　　　∴ｋ＝−６
　このとき，
　　(1)の左辺＝(ｘ−１)^２(ｘ^２＋４ｘ＋７)
となり，ｘ＝１の点だけで接することになる．　　　・・・

（参考）図を使った直観的な解答なので，ＶＢＳＣＲＩＰＴで検算してみる．
kizami=.1
max=5
min=10000
for dankai=1 to 12
   if dankai=1 then
     x_min=-max
     x_max=max
   else
     x_min=xx-kizami
     x_max=xx+kizami
     kizami=kizami/10
   end if
   for x=x_min to x_max step kizami
     if dankai=1 then
       y_min=x*x+x-1
       y_max=max
     else
       y_min=yy-kizami*10
       y_max=yy+kizami*10
     end if
     for y=y_min to y_max step kizami
       if y>=x*x+x-1 then
         f=x*x+y*y-8*x
         if min>f then
           min=f
           xx=x
           yy=y
         end if
       end if
     next
   next
next
msgbox min&"(x="&xx&",y="&yy&")"

　このスクリプトによると，確かに最小値は−６となる．

ＮＯ３「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 07/30 18時41分受信 更新8/18

前回はPC扱えないのでパスしましたぁ Orz　　今回はイメージつかめればできるかな ^^

問題1
(3x+4y)/√(x^2+y^2) の最大値最小値...

3x+4y=(3,4)*(x,y)=√(3^2+4^2)*√(x^2+y^2)*cosθ
-1<=cosθ<=1 なので...
Max=5
Min=-5

問題2
f(x)=√((x+1)^2+(0-1)^2)+√((x-3)^2+(0-2)^2)
と変形すれば...
(-1,1), (3,2) と(x,0) との距離のわが最小のとき=それら２点を焦点とする楕円がx軸と接するときと理解できるので...
また、(x,0) で接しているということは、反射角が等しいので...
1/(x+1)=2/(3-x)
3-x=2x+2...3x=1...x=1/3 のときとわかり、
Min f(x)=f(1/3)=√((4/3)^2+1)+√((8/3)^2+4)=5/3+10/3=5

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 08/01 19時54分受信 更新8/18

問題3
y>=x^2+x-1 のときの x^2+y^2-8x=(x-4)^2+y^2-16=k の最小値...

つまり...
放物線 y=x^2+x-1 と (x-4)^2+y^2=k+16 の円...が接するときの半径が最短なので...
接点の座標 (x,x^2+x-1)
接点の傾き=2x+1
円の中心と接点を結んだ線の傾き=(x^2+x-1)/(x-4)
つまり...
(2x+1)(x^2+x-1)=4-x
2x^3+3x^2-5=0
明らかに...
x=1 は解。
2x^3+3x^2-5=(x-1)(2x^2+5x+5)=0
2x^2+5x+5=2(x+5/4)^2+5-25/8>0 だから、実数解はx=1 のみ。
このとき、
半径^2=(4-1)^2+(1^2+1-1)^2=9+1=10
つまり...
k+16=10
k=-6

ＮＯ４「二度漬け白菜」8/27 14時42分受信 更新8/18

問1:
最小値は -5,　最大値は 5.　(答)
ベクトル(x,y)とベクトル(3,4)との内積を使って考えました。

問2:
f(x)の最小値は 5.　(答)
最小値は平面上の2点(-1,-1),(3,2)を結ぶ線分の長さ。


問3:
最小値は -6. (答)
放物線 y=x^2+x-1 上の点(t,t^2+t-1)と点(4,0)との距離を最小にするような t
の値が、問題文にあるような、x^2+y^2-8*xを最小にするようなxの値に一致します。

ＮＯ５「にいばりZ12」8/18 22時44分受信 更新8/20

問題3を解いている途中でタイムリミットとなってしました。

今日までが募集期間と思っていたのが命取りでした・・・残念。

途中までの回答ですが送ります。（アップは先生にお任せしますが、恥ずかしいので次の問題で頑張りたいと思います。すみませんでした）

問題1

ｚ＝(3ｘ+4ｙ)/(ｘ^2+ｙ^2)^0.5   (ｘ∈Ｒ、ｙ∈Ｒ）とします

x＝0、ｙ≠0

ｚ＝4y/abs(y) ＝±4                     [abs(y):yの絶対値以下同様]

x＝0、ｙ→±0　　　　　　　　　　・・・・�@

ｚ＝4y/abs(y) ＝±4

x≠0、ｙ＝0

ｚ＝3x/abs(x) ＝±3

x→±0、ｙ＝0　　　　　　　　　　・・・・�A

ｚ＝3x/abs(x) ＝±3

x＝ｙ　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・�B

x→±0、ｙ→±0

ｚ＝7x/abs(√2x) ＝±7/（2×2＾0.5） ≒±4.94947

以上のようにｘ＝ｙ＝0のときにはｚは極値を持ちません

そこで、ｔ＝ｙ/ｘ（x≠0、ｙ≠0）と置き、1変数の関数とし極値を求めてみます。

ｚ＝(3+4ｔ)/(1+ｔ^2)^0.5   (ｔ∈Ｒ）

ｄｚ/ｄｔ＝（4-3ｔ）/（1+ｔ＾2）＾（3/2）

ｄｚ/ｄｔ＝0と置くと

ｔ＝4/3

ｔ＝ｙ/ｘ＝±4/±3　（復号同順）

ｚ＝(3ｘ+4ｙ)/(ｘ^2+ｙ^2)^0.5 ＝±5

よって、ｚの最大最小は±5・・・・・・回答

4x/3＝ｙ　

x→±0、ｙ→±0

ｚ＝（25x/3）/abs(5x/3) ＝±5

となりますがｘ,yが独立である以上ｘ＝ｙ＝0のときにはｚは極値を持たず不定ですが、最大最小は±5を超えません。

即ち、ｚはx→±0、ｙ→±0のとき0への近づき方がｙ、ｘ、の比により定まりその比が±4：±3のときに最大最小をとることになります。

別解

(ｘ^2+ｙ^2)^0.5 はxを底辺yを高さとする直角三角形の斜辺になるので

ｘｙ座標上で考えると

ｘ/(ｘ^2+ｙ^2)^0.5＝cosθ

ｙ/(ｘ^2+ｙ^2)^0.5＝sinθ

ｚ=f(θ)＝3cosθ+4sinθ

ｚ=f(θ)＝3cosθ+4sinθ

ここでf(θ)の極値を求めると

f’(θ)＝-3sinθ+4cosθ

f’(θ)＝0とおくと

3sinθ＝4cosθ

tanθ=±4/±3　（復号同順）

ｙ/ｘ＝±4/±3　（復号同順）

ｘ：ｙ：(ｘ^2+ｙ^2)^0.5＝±3：±4：５

ｚ＝(3ｘ+4ｙ)/(ｘ^2+ｙ^2)^0.5 ＝±5・・・・回答

これは図1（0＜θ＜2π）において

ＢＣ＝4sinθ

ＤＥ＝3cosθ

ＢＥ≧abs（ＢＣ）+abs（ＤＥ）

からもＣＤ＝0が極値を取ることが自明です

ただしｚ＝5のとき0＜θ＜π/2

ｚ＝-5のときπ＜θ＜3π/2

寄せられたPDFです。

問題2

f(x)=(x^2+2x+2)^0.5+(x^2-6x+13)^0.5

　　＝（(x+1）^2+1＾2)^0.5+（(x-3）^2+2＾2)^0.5・・・�@

f’(x)＝-（（ｘ+1）/（(x+1）^2+1＾2)^0.5+（ｘ-3）/（(x-3）^2+2＾2)^0.5）

f’(x)＝0とおきf(x)が極値をとるｘを求めると

ｘ＝1/3,ｘ＝-5

�@からf(x)が最小値をとるのは

　　　-1＜ｘ＜3・・・�A

よってｘ＝1/3、f(x)の最小値は5・・・・回答

�Aの証明

�@右辺第一項が最小値をとるのはｘ＝-1、右辺第二項が最小値をとるのはｘ＝3

また、第一項、第二項とも最小値までは単調減少、最小値以上は単調増加

ゆえに

-1≧ｘのときf(x)は単調減少

3≦ｘのときf(x)は単調増加

�@右辺第一項、第二項とも連続且つ微分可能なのでf(x)は連続且つ微分可能

より一般的に

f(x)=g(x)+h(x)

g(x)、h(x)は連続且つ微分可能で下に凸また、極値を各々1個持つ

g(x)の極値g(x1)は、g(x)の最小値

ｈ(x)の極値ｈ(x2)は、ｈ(x)の最小値

ならば

f(x)は連続且つ微分可能且つ最小値を持つ

ｘ1＜ｘ2ならば

ｘ1≧ｘのときf(x)は単調減少

ｘ2≦ｘのときf(x)は単調増加

なのでｘ1≧ｘ、ｘ2≦ｘのときｆ（ｘ）は最小値をとらない。

一方でｆ（ｘ）は最小値を持つことは明らかなので

f(x)の最小値f(x0)はｆ（ｘ1）＜f(x0)＜ｆ（ｘ2）

別解

�@右辺1項目は

（(x+1）^2+1＾2)^0.5（最小値ｘ＝-1）・・・�A

これは、底辺abs(ｘ+1)高さ1の直角三角形の斜辺に当たります

�@右辺2項目は（最小値ｘ＝3）・・・�B

（(x-3）^2+2＾2)^0.5

これは、底辺abs(ｘ-3)高さ2の直角三角形の斜辺に当たります

これらをｘｙ平面状で表示します（注意ｆ（ｘ）≠ｙ）

第2項の直角三角形は

底辺がｘ軸上の原点とｘ-3を結ぶ直線。（ｘ-3,0）をＡとします

高さがｙ軸上の原点とｙ＝2を結ぶ直線（長さは2)。（0,2）をＢとします

斜辺はＡＢ＝（(x-3）^2+2＾2)^0.5となります

第1項の直角三角形は

底辺がＢと（ｘ+1,2）を結ぶ直線。

高さが（ｘ+1,2）と（ｘ+1,3）を結ぶ直線（長さは1)。（ｘ+1,3）をＣとします

（�A�BよりＣのｘ座標は0より大きくなります）・・・�C

斜辺はＢＣ＝（(x+1）^2+1＾2)^0.5となります

ここで、Ｃからｘ軸に垂線の足を下ろし交点（ｘ+1,0）をＤとします。

四角形（Ｃ≦0のときは四角形になりませんが�Cから今回は考えません）ＡＢＣＤにおいて、ＡとＤはｘ軸上、Ｂはｙ軸上にあります。

また、四角形の下底ＡＤ＝（ｘ+1）-（ｘ-3）＝4

さらに、四角形の高さはＣのｙ座標なので3

ここで、直角三角形ＡＣＤを考えると任意の実数ｘに対しＡＣは一定なので

ＡＣ≦ＡＢＣ

したがってf(x)の最小値はＡＢＣが一直線上にあるときと結論されます

即ちＡＣ＝ＡＢＣの時が最小値となり、ＡＣは直角三角形ＡＣＤの斜辺となるので

f(x)の最小値は

（4＾2+3＾2）＾0.5＝5・・・・回答

寄せられたPDFです。

問題3

ｘ＾2+ｙ＾2−8ｘ＝（ｘ−4）＾2+ｙ＾2−16

（ｘ−4）＾2+ｙ＾2＝（α−4）＾2＝α＾2−8α+16

とするとα＾2−8αが最小になるようｘ,ｙを定めればいい事になります

いまＸ＝ｘ−4、α−4＝Ｒと置くと

Ｘ＾2+ｙ＾2＝Ｒ＾2・・・�@

これはＸ,y平面上におけるＲをパラメータとした原点を中心とした同心円の方程式となります

一方でこの同心円は

ｙ≧ｘ＾2+ｘ−1

を満たさなければなりません

＜水の流れ＞ここで、　ｙ＝ｘ＾2+ｘ−1上の点Ｐにおける放線方程式が点（４，０）を通る条件を考えれて

くだされば良いかと思います。

Ｘ＝ｘ−4から

ｙ≧ｘ＾2+ｘ−1

ｙ≧Ｘ＾2+9ｘ+19・・・�A

�Aを満たすためには、�@の同心円が�Aに接している点におけるＲを求めればいい事になります。

言い換えれば、放物線ｙ＝Ｘ＾2+9ｘ+19のＸ,y平面上における原点からの最短距離を求めることになります

放物線の接線の傾きは

ｙ’＝2Ｘ+9 で与えられます

放物線ｙ＝Ｘ＾2+9ｘ+19のＸ,y平面上における原点からの最短距離とる座標を（Ｘ0,ｙ0）とすると

（ｙ−Ｘ0＾2）＝（2Ｘ0+9）（Ｘ−Ｘ0）

また、原点と（Ｘ0,ｙ0）を通り傾きが

−1/（2Ｘ0+9）（接線と直角）

となる直線は

「浜田明巳」　08/20 09時13分受信 更新8/20

（２）（別解，スモークマンさんの解答をヒントに）
　　ｇ(ｘ，ｙ)＝{(ｘ＋１)^２＋(ｙ＋１)^２}^１／２＋{(ｘ−３)^２＋(ｙ−２)^２}^１／２
とする，
　曲線ｇ(ｘ，ｙ)＝ａは，２点Ａ(−１，−１)，Ｂ(３，２)を焦点とする楕円を表す．
　このとき，ａが最小となるのは，グラフから，楕円が線分ＡＢにつぶれるときである．
　故にｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ，０)の最小値は，ＡＢ＝５
　このときのｘは，ＡＢとｘ軸との交点のｘ座標である．　　　・・・










（２）（別解）
　　ｆ(ｘ)＝{(ｘ＋１)^２＋１}^１／２＋{(ｘ−３)^２＋４}^１／２
であるから，
　　ｘ≦−１のとき，単調減少
　　３≦ｘのとき，単調増加
　故に最小値をとる可能性がある範囲は，−１≦ｘ≦３である．
　十進ＢＡＳＩＣで最小値を求めてみる．
（プログラム）
LET kizami=.1
LET minimum=1000
FOR dankai=1 TO 12
   IF dankai=1 THEN
     LET x_min=-1
     LET x_max=3
   ELSE
     LET x_min=xx-kizami
     LET x_max=xx+kizami
     LET kizami=kizami/10
   END IF
   FOR x=x_min TO x_max STEP kizami
     LET y=SQR(x*x+2*x+2)+SQR(x*x-6*x+13)
     IF minimum>y THEN
       LET minimum=y
       LET xx=x
     END IF
   NEXT x
NEXT dankai
PRINT minimum;"(x=";xx;")"
END

　このプログラムにより，最小値５，ｘ＝１／３のときであることが分かる．

「浜田明巳」　08/22 15時33分受信 更新8/25

（１）（別解，２変数の微分は大変なので，１変数に変形する）
　ｆ(ｘ，ｙ)＝(３ｘ＋４ｙ)／(ｘ^２＋ｙ^２)^１／２とする．
　最大値をとるとき，ｘ＞０，ｙ＞０である．このとき，
　　ｆ(ｘ，ｙ)＝(３＋４・ｙ／ｘ)／{１＋(ｙ／ｘ)^２}^１／２
　ｔ＝ｙ／ｘ（＞０），ｆ(ｘ，ｙ)＝ｇ(ｔ)とすると，
　　ｇ(ｔ)＝(３＋４ｔ)／(１＋ｔ^２)^１／２
　　∴ｇ'(ｔ)＝{４・(１＋ｔ^２)^１／２−(３＋４ｔ)・１／２・(１＋ｔ^２)^−１／２・２ｔ}／(１＋ｔ^２)
　　　　　　＝{４(１＋ｔ^２)−(３＋４ｔ)ｔ}／(１＋ｔ^２)^３／２
　　　　　　＝(４−３ｔ)／(１＋ｔ^２)^３／２
　０＜ｔ＜４／３のとき，ｇ'(ｔ)＞０
　４／３＜ｔのとき，ｇ'(ｔ)＜０
　故にｇ(ｔ)は，ｔ＝４／３のとき，最大値
　　(３＋１６／３)／(１＋１６／９)^１／２＝(９＋１６)／(９＋１６)^１／２＝５
をとる．
　このとき，ｔ＝ｙ／ｘ＝４／３
　　∴ｘ：ｙ＝３：４（ｘ＞０，ｙ＞０）

　最小値をとるとき，ｘ＜０，ｙ＜０である．このとき，
　　ｆ(ｘ，ｙ)＝(３＋４・ｙ／ｘ)／[−{１＋(ｙ／ｘ)^２}^１／２]
　ｔ＝ｙ／ｘ（＞０），ｆ(ｘ，ｙ)＝ｇ(ｔ)とすると，
　　ｇ(ｔ)＝−(３＋４ｔ)／(１＋ｔ^２)^１／２
　上記と同様に，ｔ＝４／３のとき，最小値−５をとる．
　このとき，ｘ：ｙ＝３：４（ｘ＜０，ｙ＜０）

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。