平成２６年１月１９日

[流れ星]

　　　　　第30１回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：12月22日〜1月19日

［特殊な四面体］

「大学への数学」１対１対応の演習（数学�T）に立体の埋め込み問題がありましたので、紹介します。

問題１：四面体ABCDにおいて、AB=BC=CD=DAを満たすとき、次が成り立つこと示せ。　
（１）ACの中点をM、BDの中点をNとすると、AC⊥MN　、BD⊥MN　　　　　　　

（２）平面MBD、平面NACに関してそれぞれ面対称であることより、　　　　　　　
四面体ABCDの体積Ｖは　Ｖ＝１／６（ＢＤ×ＭＮ×ＡＣ）

　

問題２：四面体ABCDで、AB=BC=CD=DA＝√110　AC=10、BD=14のとき、各問に答えよ。

（１）ＭＮの長さを求めよ。

（２）体積Ｖを求めよ。

（３）外接球の半径Ｒを求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（４）内接球の半径ｒを求めよ

NO1「uchinyan」 12/22 14時21分受信 更新01/19

第３０１回数学的な応募問題

［特殊な四面体］

問題１：

(1)

△ABD，△CBD は合同な二等辺三角形なので，AN = CN，△NAC は二等辺三角形となり，AC⊥MN，

△BAC，△DAC は合同な二等辺三角形なので，BM = DM，△MBD は二等辺三角形となり，BD⊥MN，

になります。

(2)

面対称性は明らか。

そこで，AC，BD を適当に平行移動してできるひし形を底面，MN を高さ，とし，

四面体の辺を対角線とするような四角柱が作れるので，

V = (BD * AC)/2 * MN * (1 - 1/2 * 1 * 1/3 * 4) = (BD * MN * AC)/6

問題２：

問題１：の結果を使います。

(1)

三平方の定理より，

MN^2 = AN^2 - AM^2 = AB^2 - BN^2 - AM^2

MN = √(AB^2 - BN^2 - AM^2) = √((√110)^2 - 5^2 - 7^2) = √36 = 6

(2)

問題１：の(2)より，

V = (BD * MN * AC)/6 = (14 * 6 * 10)/6 = 140

(3)

外接球の中心を O とすると，対称性より O は MN 上にあります。

OM = x とすると，三平方の定理より，

AM^2 + OM^2 = OA^2 = OC^2 = R^2 = OD^2 = OB^2 = BN^2 + ON^2

5^2 + x^2 = R^2 = 7^2 + (6 - x)^2

x = 5

R = 5√2

(4)

内接球の中心を I とすると，

三角すいI-ABC + 三角すいI-BCD + 三角すいI-CDA + 三角すいI-DAB = V

(△ABC + △BCD + △CDA + △DAB)r/3 = V

△ABC = △CDA = (√((√110)^2 - 5^2) * 10)/2 = 5√85

△BCD = △DAB = (√((√110)^2 - 7^2) * 14)/2 = 7√61

(5√85 + 7√61 + 5√85 + 7√61)r/3 = 140

r = 210/(5√85 + 7√61) = 35(7√61 - 5√85)/144 = 2.08…

(感想)

何となく前回の続きのような問題でした。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/23 13時59分受信 更新01/19

今年最後の問題で来たと思うので、有終の美を飾れてれば嬉しいです♪

今年もいっぱい楽しませて頂きました。お礼申し上げます。〜m(_ _)m〜

来年もできそうなものはチャレンジ続けたいと思いますのでよろしくお願いいたします。

問題１：四面体ABCDにおいて、AB=BC=CD=DAを満たすとき、次が成り立つこと示せ。　（１）ACの中点をM、BDの中点をNとすると、AC⊥MN　、BD⊥MN　　　　　　　

△BADは二等辺三角形だから、AN⊥BD

△BCDも同じくで…CN⊥BD

２つは合同な△なので…AN=CN

以上から、△ANCは二等辺三角形とわかり、その頂点から底辺の中点を結ぶ直線は垂線であるから…つまり...AC⊥MN

△ADCと△BACにおいても同様であるから...BD⊥MN

別解

AN⊥BD のANを半径にした円を描くと…

AN=CN という弦の中点と円の中心を通る直線は垂直に交わるからってのは駄目？

（２）平面MBD、平面NACに関してそれぞれ面対称であることより、四面体ABCDの体積Ｖは　Ｖ＝１／６（ＢＤ×ＭＮ×ＡＣ）

上の事実から…△DNB⊥AC or △ANC⊥BD だから…

V=△DNB*AC/3

=((BD*MN)/2)*AC/3

=(BD*MN*AC)/6

or

=△ANC*BD/3

=((AC*MN)/2)*BD/3

=(AC*MN*BD)/6

問題２：四面体ABCDで、AB=BC=CD=DA＝√110　AC=10、BD=14のとき、各問に答えよ。

（１）ＭＮの長さを求めよ。

△ANDは角Dが直角なので…

(√110)^2-(14/2)^2=AN^2=110-49=61

MN^2=AN^2-(10/2)^2=61-25=36

MN=6

or

(√110)^2-(10/2)^2=BM^2=110-25=85

MN^2=BM^2-(14/2)^2=85-49=36

MN=6

（２）体積Ｖを求めよ。

V=14*6*10/6=140

（３）外接球の半径Ｒを求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

図形的に…

R^2=5^2+x^2=(6-x)^2+7^2

12x=7^2+6^2-5^2=60

x=5

R=5√2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（４）内接球の半径ｒを求めよ

V=2*(△ABD+△BAC)*r/3

△ABD=14*√61/2

△BAC=10*√85/2

なので…

V=140=(14√61+10√85)*r/3

r=420/(14√61+10√85)

=(35/144)(7√61-5√85)　←計算させました 奇麗でないからちと不安…^^

NO3「浜田明巳」　12/25 13時25分受信 更新01/19

問題１（１）


　ﾍﾞｸﾄﾙｂ＝ﾍﾞｸﾄﾙＡＢ，ﾍﾞｸﾄﾙｃ＝ﾍﾞｸﾄﾙＡＣ，ﾍﾞｸﾄﾙｄ＝ﾍﾞｸﾄﾙＡＤとすると，
　　ﾍﾞｸﾄﾙＭＮ＝ﾍﾞｸﾄﾙＡＮ−ﾍﾞｸﾄﾙＡＭ
　　　　　　＝(ﾍﾞｸﾄﾙｂ＋ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２−ﾍﾞｸﾄﾙｃ／２（∵ＮはＢＤの中点，ＭはＡＣの中点）
　　　　　　＝(ﾍﾞｸﾄﾙｂ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ＋ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２
　ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤから，
　　｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ−ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜
　　∴｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜^２＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜^２＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ−ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜^２＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜^２
　　∴｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜^２＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜^２
　　　　　　　　　　　　　＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜^２−２・ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ＋｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜^２
　　　　　　　　　　　　　＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜^２−２・ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ＋｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜^２
　　∴｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜^２＝２・ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ＝２・ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ………�@
　　　　ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ＝ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ………�A
　ここで，
　　ﾍﾞｸﾄﾙＡＣ・ﾍﾞｸﾄﾙＭＮ＝ﾍﾞｸﾄﾙｃ・(ﾍﾞｸﾄﾙｂ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ＋ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２
　　　　　　　　　　　　＝(ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ−｜ﾍﾞｸﾄﾙｃ｜^２＋ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２
　　　　　　　　　　　　＝０（∵�@，�A）
　　∴ＡＣ⊥ＭＮ
　次に，
　　ﾍﾞｸﾄﾙＢＤ・ﾍﾞｸﾄﾙＭＮ＝(ﾍﾞｸﾄﾙｄ−ﾍﾞｸﾄﾙｂ)・(ﾍﾞｸﾄﾙｂ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ＋ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２
　　　＝(ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ−ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ＋｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜^２−｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜^２＋ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ−ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ)／２
　　　＝(−ﾍﾞｸﾄﾙｃ・ﾍﾞｸﾄﾙｄ＋ﾍﾞｸﾄﾙｂ・ﾍﾞｸﾄﾙｃ)／２（∵｜ﾍﾞｸﾄﾙｂ｜＝｜ﾍﾞｸﾄﾙｄ｜）
　　　＝０（∵�A）
　　∴ＢＤ⊥ＭＮ

（２）四面体ＡＢＣＤは，面ＭＢＤ，面ＮＡＣに関してそれぞれ対称より，


　　四面体ＡＢＣＤ＝四面体ＡＢＤＭ×２＝四面体ＢＡＣＮ×２＝四面体ＡＢＭＮ×４
　ＡＢ＝ＢＣから，ＢＭ⊥ＡＣ　　　∴ＢＭ⊥ＡＭ
　ＭＮ⊥ＡＣから，ＭＮ⊥ＡＭ
　　∴面ＢＭＮ⊥ＡＭ
　また，ＭＮ⊥ＢＤから，∠ＢＮＭ＝π／２


　　∴Ｖ＝四面体ＡＢＣＤ＝四面体ＡＢＭＮ×４＝１／３・△ＢＭＮ・ＡＭ・４
　　　　＝１／３・１／２・ＢＮ・ＭＮ・ＡＭ・４
　　　　＝１／６・ＢＤ／２・ＭＮ・ＡＣ／２・４
　　　　＝１／６・ＢＤ・ＭＮ・ＡＣ

問題２（１）ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝√１１０，ＡＣ＝１０，ＢＤ＝１４
　座標系を導入する．

　△ＣＢＤは二等辺三角形なので，
　　Ｂ(０，０，０)，Ｄ(１４，０，０)，Ｎ(７，０，０)，Ｃ(７，ｙ，０)（ｙ＞０）
とすると，
　　ＢＣ^２＝７^２＋ｙ^２＝(√１１０)^２
　ｙ＞０から，ｙ＝√６１
　　∴Ｃ(７，√６１，０)

　Ａ(７，ｙ，ｚ)（ｙ＞０，ｚ＞０）とすると，
　　ＡＢ^２＝７^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝(√１１０)^２………�B
　　ＡＣ^２＝(ｙ−√６１)^２＋ｚ^２＝１０^２………�C
　�B−�Cから，−１２＋２ｙ√６１＝１０
　　∴ｙ＝１１／√６１
　�Bより，ｚ^２＝１１０−４９−１１^２／６１＝(６１^２−１１^２)／６１＝７２・５０／６１
　ｚ＞０から，ｚ＝６√２・５√２／√６１＝６０／√６１
　　∴Ａ(７，１１／√６１，６０／√６１)
　ＭはＡＣの中点なので，
　　Ｍ＝(７，(√６１＋１１／√６１)／２，３０／√６１)＝(７，３６／√６１，３０／√６１)
　　∴ＭＮ^２＝(３６／√６１)^２＋(３０／√６１)^２＝６^２／６１・(６^２＋５^２)＝６^２
　ＭＮ＞０から，ＭＮ＝６

（２）問題１（２）から，
　　Ｖ＝１／６・ＢＤ・ＭＮ・ＡＣ＝１／６・１４・６・１０＝１４０

（３）△ＣＢＤは二等辺三角形なので，外接球の中心をＸ(７，ｙ，ｚ)とすると，
　　ＡＸ＝ＢＸ＝ＣＸ＝ＤＸ＝Ｒ
　　∴ＡＸ^２＝(ｙ−１１／√６１)^２＋(ｚ−６０／√６１)^２＝Ｒ^２………�D
　　　ＢＸ^２＝７^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝Ｒ^２………�E
　　　ＣＸ^２＝(ｙ−√６１)^２＋ｚ^２＝Ｒ^２………�F
　�D−�Eから，−２２／√６１・ｙ−１２０／√６１・ｚ＋(１１^２＋６０^２)／６１−４９＝０
　　∴２２ｙ＋１２０ｚ＝(１２１＋３６００−４９×６１)／√６１＝７３２／√６１
　　∴１１ｙ＋６０ｚ＝３６６／√６１………�G
　�E−�Fから，−１２＋２√６１・ｙ＝０
　　∴ｙ＝６／√６１
　�Gから，６０ｚ＝３６６／√６１−６６／√６１＝３００／√６１
　　∴ｚ＝５／√６１
　�Eから，
　　Ｒ^２＝７^２＋(６／√６１)^２＋(５／√６１)^２＝４９＋(３６＋２５)／６１＝５０
　Ｒ＞０から，Ｒ＝５√２

（４）△ＣＢＤは二等辺三角形であり，内接球はｘｙ平面に接しているので，内接球の中心をＸ(７，ｙ，ｒ)とする．
　面ＡＢＤの方程式を求める．
　Ｂ(０，０，０)を通るので，それをａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０とする．
　Ｄ(１４，０，０)を通るので，１４ａ＝０　　　∴ａ＝０
　故に方程式はｂｙ＋ｃｚ＝０となり，点Ａ(７，１１／√６１，６０／√６１)を通るので，
　　１１／√６１・ｂ＋６０／√６１・ｃ＝０
　　∴ｂ：ｃ＝６０：(−１１)
　故に面ＡＢＤの方程式を，ｆ(ｘ，ｙ，ｚ)＝６０ｙ−１１ｚ＝０とする．
　この面から，内接球の中心Ｘまでの距離は，
　　｜６０ｙ−１１ｒ｜／{０^２＋６０^２＋(−１１)^２}^１／２＝ｒ
　　∴｜６０ｙ−１１ｒ｜＝ｒ√３７２１＝６１ｒ………�H
　点Ｘは面ＡＢＤに対して，点Ｃと同じ側にある．
　　∴ｆ(７，ｙ，ｒ)・ｆ(７，√６１，０)＝（６０ｙ−１１ｒ)・６０√６１＞０
　　∴６０ｙ−１１ｒ＞０
　�Hから，６０ｙ−１１ｒ＝６１ｒ
　　∴６０ｙ＝７２ｒ　　　∴ｙ＝６／５・ｒ………�I

　次に，面ＡＢＣの方程式を求める．
　Ｂ(０，０，０)を通るので，それをａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０とする．
　Ａ，Ｃを通るので，
　　７ａ＋１１／√６１・ｂ＋６０／√６１・ｃ＝０………�J
　　７ａ＋√６１・ｂ＝０………�K
　�Kから，ａ＝−√６１／７・ｂ
　�Jから，−√６１・ｂ＋１１／√６１・ｂ＋６０／√６１・ｃ＝０
　　∴(−６１＋１１)ｂ＋６０ｃ＝０
　　∴ｃ＝５／６・ｂ
　　∴ａ：ｂ：ｃ＝(−√６１／７)：１：５／６＝(−６√６１)：４２：３５
　故に面ＡＢＣの方程式を，
　　ｇ(ｘ，ｙ，ｚ)＝−６√６１・ｘ＋４２ｙ＋３５ｚ＝０
とする．
　この面から，内接球の中心Ｘまでの距離は，
　　｜−６√６１・７＋４２ｙ＋３５ｒ｜／{(−６√６１)^２＋４２^２＋３５^２}^１／２＝ｒ
　　∴｜−６√６１・７＋４２ｙ＋３５ｒ｜＝(５・６１・１７)^１／２ｒ………�L
　点Ｘは面ＡＢＣに対して，点Ｄと同じ側にある．
　　∴ｇ(７，ｙ，ｒ)・ｇ(１４，０，０)＝(−６√６１・７＋４２ｙ＋３５ｒ)・(−６√６１・１４)＞０
　　∴−６√６１・７＋４２ｙ＋３５ｒ＜０
　�Lから，
　　−(−６√６１・７＋４２ｙ＋３５ｒ)＝(５・６１・１７)^１／２ｒ
　�Iを代入すると，
　　４２√６１−４２・６／５・ｒ−３５ｒ＝(５・６１・１７)^１／２ｒ
　　∴{４２７＋５(５・６１・１７)^１／２}ｒ＝４２・５√６１
　　∴(７√６１＋５√８５)ｒ＝２１０
　　∴ｒ＝２１０／(７√６１＋５√８５)＝２１０(７√６１−５√８５)／(２９８９−２１２５)
　　　　＝３５(７√６１−５√８５)／１４４

　（４）の答の数値があまりきれいではないので，心配になったので，ｖｂｓｃｒｉｐｔで確かめてみた．

x=7
kizami=.00001
max=10000000
for r=kizami to 60/sqr(61)-kizami step kizami
   y=1.2*r
   z=r
   dd1=60*y-11*z
   dd2=-6*sqr(61)*x+42*y+35*z
   if dd1>0 and dd2
<0 then>     d1=dd1/sqr(60*60+11*11)
     d2=-dd2/sqr(6*6*61+42*42+35*35)
     s=sqr((r/d1-1)*(r/d1-1)+(d1/d2-1)*(d1/d2-1))
     if max>s then
       max=s
       rr=r
     end if
   end if
next
r0=35*(7*sqr(61)-5*sqr(85))/144
msgbox rr&" , "&r0&" , 誤差="&abs(rr-r0)


　
　誤差が刻み値未満なので，どうやらこれでよさそうである．正解である事を期待する．

「浜田明巳」　12/27 13時27分受信 更新01/19

（参考）ＡＣ＝√３，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝ＤＢ＝２
　　　　 の場合も考えたそうなので，この場合の答を求めてみる．数字がきれいにならないので，あきらめたそうだが．

問題２（１）△ＣＢＤは正三角形なので，
　　Ｂ(０，０，０)，Ｄ(２，０，０)，Ｎ(１，０，０)，Ｃ(１，√３，０)
とする．
　Ａ(１，ｙ，ｚ)（ｚ＞０）とすると，
　　ＡＢ^２＝１^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝２^２………�B
　　ＡＣ^２＝(ｙ−√３)^２＋ｚ^２＝(√３)^２………�C
　�B−�Cから，−２＋２√３・ｙ＝１
　　∴ｙ＝√３／２
　�Bより，ｚ^２＝４−１−３／４＝９／４
　ｚ＞０から，ｚ＝３／２
　　∴Ａ(１，√３／２，３／２)
　ＭはＡＣの中点なので，
　　Ｍ＝(１，(√３＋√３／２)／２，３／４)＝(１，３√３／４，３／４)
　　∴ＭＮ^２＝(３√３／４)^２＋(３／４)^２＝３^２／４
　ＭＮ＞０から，ＭＮ＝３／２

（２）問題１（２）から，
　　Ｖ＝１／６・ＢＤ・ＭＮ・ＡＣ＝１／６・２・３／２・√３＝√３／２

（３）△ＣＢＤは二等辺三角形なので，外接球の中心をＸ(１，ｙ，ｚ)とすると，
　　ＡＸ＝ＢＸ＝ＣＸ＝ＤＸ＝Ｒ
　　∴ＡＸ^２＝(ｙ−√３／２)^２＋(ｚ−３／２)^２＝Ｒ^２………�D
　　　ＢＸ^２＝１^２＋ｙ^２＋ｚ^２＝Ｒ^２………�E
　　　ＣＸ^２＝(ｙ−√３)^２＋ｚ^２＝Ｒ^２………�F
　�D−�Eから，−√３・ｙ−３ｚ＋(３＋３^２)／４−１＝０
　　∴√３・ｙ＋３ｚ＝２………�G
　�E−�Fから，−２＋２√３・ｙ＝０
　　∴ｙ＝１／√３
　�Gから，ｚ＝(２−√３・ｙ)／３＝(２−１)／３＝１／３
　�Eから，
　　Ｒ^２＝１^２＋(１／√３)^２＋(１／３)^２＝１３／９
　Ｒ＞０から，Ｒ＝√１３／３

（４）△ＣＢＤは二等辺三角形であり，内接球はｘｙ平面に接しているので，内接球の中心をＸ(１，ｙ，ｒ)とする．
　面ＡＢＤの方程式を求める．
　Ｂ(０，０，０)を通るので，それをａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０とする．
　Ｄ(２，０，０)を通るので，２ａ＝０　　　∴ａ＝０
　故に方程式はｂｙ＋ｃｚ＝０となり，点Ａ(１，√３／２，３／２)を通るので，
　　√３／２・ｂ＋３／２・ｃ＝０
　　∴ｂ：ｃ＝√３：(−１)
　故に面ＡＢＤの方程式を，ｆ(ｘ，ｙ，ｚ)＝√３・ｙ−ｚ＝０とする．
　この面から，内接球の中心Ｘまでの距離は，
　　｜√３・ｙ−ｒ｜／{０^２＋(√３)^２＋(−１)^２}^１／２＝ｒ
　　∴｜√３・ｙ−ｒ｜＝２ｒ………�H
　点Ｘは面ＡＢＤに対して，点Ｃと同じ側にある．
　　∴ｆ(１，ｙ，ｒ)・ｆ(１，√３，０)＝（√３・ｙ−ｒ)・３＞０
　　∴√３・ｙ−ｒ＞０
　�Hから，√３・ｙ−ｒ＝２ｒ
　　∴ｙ＝√３・ｒ………�I

　次に，面ＡＢＣの方程式を求める．
　Ｂ(０，０，０)を通るので，それをａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝０とする．
　Ａ，Ｃを通るので，
　　ａ＋√３／２・ｂ＋３／２・ｃ＝０………�J
　　ａ＋√３・ｂ＝０………�K
　�Kから，ａ＝−√３・ｂ
　�Jから，−√３・ｂ＋√３／２・ｂ＋３／２・ｃ＝０
　　∴ｃ＝ｂ／√３
　　∴ａ：ｂ：ｃ＝(−√３)：１：１／√３＝(−３)：√３：１
　故に面ＡＢＣの方程式を，
　　ｇ(ｘ，ｙ，ｚ)＝−３ｘ＋√３・ｙ＋ｚ＝０
とする．
　この面から，内接球の中心Ｘまでの距離は，
　　｜−３＋√３・ｙ＋ｒ｜／{(−３)^２＋(√３)^２＋１^２}^１／２＝ｒ
　　∴｜−３＋√３・ｙ＋ｒ｜＝√１３・ｒ………�L
　点Ｘは面ＡＢＣに対して，点Ｄと同じ側にある．
　　∴ｇ(１，ｙ，ｒ)・ｇ(２，０，０)＝(−３＋√３・ｙ＋ｒ)・(−６)＞０
　　∴−３＋√３・ｙ＋ｒ＜０
　�Lから，−(−３＋√３・ｙ＋ｒ)＝√１３・ｒ
　�Iを代入すると，３−３ｒ−ｒ＝√１３・ｒ
　　∴(４＋√１３)ｒ＝３
　　∴ｒ＝３／(４＋√１３)＝４−√１３

　数値はきれいなものなので，こちらの条件の方が良かったのではないでしょうか．
　それとも，こちらの方が直観的に簡単に求められてしまうとか・・・．

NO4「にいばりZ12」1/02 21時32分受信 更新01/19

問題１

（1）

△ＡＤＣ≡△ＡＢＣ（３辺が等しい）

　　　　ＤＭ＝ＢＭ

　　∴△ＤＭＢは２等辺三角形

　　ＤＮ＝ＢＮ

　　∴△ＤＭＮ≡△ＢＭＮ（３辺が等しい）

　　∠ＤＮＢ＝π

　　∴∠ＭＮＤ＝∠ＭＮＢ＝∠ＤＮＢ/2＝π/2

　　　　BD⊥MN・・・回答

　　△ＤＡＢ≡△ＤＣＢ（３辺が等しい）

　　　　ＡＮ＝ＣＮ

　　∴△ＡＮＣは２等辺三角形

　　ＡＮ＝ＣＮ

　　∴△ＡＮＭ≡△ＣＮＭ（３辺が等しい）

　　∠ＡＭＣ＝π

　　∴∠ＮＭＡ＝∠ＮＭＣ＝∠ＡＭＣ/2＝π/2

　　　　AC⊥MN・・・回答

（2）

題意より４面体を平面MBD、平面NACで切り分けると4個の４面体に分けられそれらは互いに合同です

故にその中の１つの体積を求め４倍すると4面体ABCDの体積になります

切り分けた1つの４面体ＡＭＮＤの体積は底面ＡＭＮ高さが（1）よりＮＤの三角錐となり

さらに底面ＡＭＮは（1）より∠ＡＭＮ＝直角の直角三角形で

その体積Ｖは

Ｖ＝ＡＭ×ＭＮ×1/2×ＤＮ×1/3となります

ここでＡＭ＝ＡＣ/2、ＤＮ＝ＤＢ/2から

Ｖ＝ＡＣ/2×ＭＮ×1/2×ＤＢ/2×1/3＝ＡＣ×ＭＮ×ＤＢ×1/24

よって4面体ABCDの体積Ｖは

Ｖ＝4ｖ＝ＡＣ×ＭＮ×ＤＢ×1/24×4＝ＡＣ×ＭＮ×ＤＢ×1/6・・・・回答

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

この4面体ABCDは図1(PDF)のように底面が対角線長ＡＣ，ＢＤの菱形で高さがＭＮの 四角柱（並行６面体）に埋め込まれます

したがって

ＭＮ＾2＝ＡＢ＾2−（ＡＣ＾2＋ＢＤ＾2）/4

この4面体ABCDの外接球はＡＢＣＤを通ります。

その中心は4面体ABCDを構成するすべての三角形の外心を通り三角形に垂直な直線の交点に存在します。

さらに各三角形はすべて２等辺三角形なので外接球の中心はＭＮ上に存在します。

今、△ＡＣＮと△ＢＤＭは問題１（1）から２等辺三角形でその各頂点からの垂直二等分線であるＭＮは共通です。

そこで、ＭＮを軸に△ＡＣＮ（△ＢＤＭ）をπ/2だけ回転したがいに重ね合わせたのが図2(PDF)です

この図で外接球の中心ＯからABCDまでの距離がＲで外接球の半径でありまた大円の半径でもあります

内接球の中心も同様の議論でＭＮ上に存在します。

ＡＮ，ＣＮ，ＤＭ，ＢＭの各辺に垂線の足を下したときその長さがすべて等しいとき

に内接球の半径になります。

MN上の内接球の中心からDM、ANに下した垂線の足をOP、OQとします。

--------------------------------------------------------

問題２

（1）

ＭＮ＾2＝ＡＢ＾2−（ＡＣ＾2＋ＢＤ＾2）/4　から

ＭＮ＾2＝110−（10＾2＋14＾2）/4＝36

ＭＮ＝6・・・回答

（2）

　　　　Ｖ＝ＡＣ×ＭＮ×ＤＢ×1/6　から

　　　　Ｖ＝10×6×14×1/6＝140・・・・回答

（3）

図２左において

　　　OM^2+AM^2=ON^2+DN^2

ON+OM=NM

　　　　　（既知：NM、AM、DN）

の連立方程式の解を求めOM^2+AM^2（= ON^2+DN^2＝Ｒ＾2）を計算します

　　　ON-OM=(AM-DN)(AM+DN)/NM

ON =((AM-DN)(AM+DN)/NM+NM))/2＝((5-7)(5+7)/6+6))/2＝1

OM =(-(AM-DN)(AM+DN)/NM+NM))/2＝(-（5-7)(5+7)/6+6))/2＝5

R^2=(((AM-DN)(AM+DN)/NM+NM))/2)^2+ DN^2=(((5-7)(5+7)/6+6))/2)^2+7^2=50

R=（(((AM-DN)(AM+DN)/NM+NM))/2)^2+ DN^2）^(1/2)=√50＝5√2・・・回 答

（4）

図２右において

　△NAM∽△NOQ　（三角形の３角が等しい）

　△MDN∽△MOP　（三角形の３角が等しい）

　OP=OQ=ｒ ON+OM＝MN

　から

　AM/AN=ｒ/ON

　DN/DM=ｒ/OM

変形整理すると

　ｒ＝MN/（AN/AM+DM/DN）

　　　ここで

　　　AN^2=NM^2+AM^2

　　　DM^2=NM^2+DN^2

これが記号による回答になり、数値を代入します

NM=6、AM=AC/2=5、DN=DB/2=7

AN^2=6＾2+5＾2＝61

AN=√61

DM^2=6＾2+7＾2＝85

DM=√85

　　　ｒ＝6/（√61/5+√85/7）＝（35/144）・（7√61-5√85）・・・・・回答

寄せられたPDFです。

問題２（4）は三角形の調和平均のような形になり何か不思議な感じがしました。

NO5「二度漬け白菜」1/10 18時52分受信 更新1/19

ペンネーム ： 二度漬け白菜

昨日送信した解答の中で、間違いがあることに気づきました。
修正したものを送ります。
(修正した部分は、問題2 の (3)の解答です。)

よろしくお願いします。

問題1：
(1)
△BMAと△BMCは合同(対応する3つの辺がそれぞれ等しい)なので、
∠BMA=∠BMC．
∠BMA+∠BMC=180°とから、∠BMA=∠BMC=90°．
よって、AC⊥MB．
同様に考えて、AC⊥MD．
また△BMAと△DMAは合同(対応する2辺とその間の角がそれぞれ等しい)なので、
MB=MD．
↑MN=(1/2)*(↑MB + ↑MD)より、
↑AC・↑MN = ↑AC・(1/2)*(↑MB + ↑MD)
=(1/2)*(↑AC・↑MB) + (1/2)*(↑AC・↑MD)
=0 (∵AC⊥MB，AC⊥MDより、↑AC・↑MB=↑AC・↑MD=0)．
よって、AC⊥MN．
↑BD=↑MB - ↑MDより、
↑MN・↑BD
=(1/2)*(↑MB + ↑MD)・(↑MB - ↑MD)
=(1/2)*(|↑MB|^2 -|↑ MD|^2 )< BR=0 (∵MB=MD)．
よって、BD⊥MN．

(2)
V=(三角錐AMBDの体積)+(三角錐CMBDの体積)
=2*(三角錐AMBDの体積)
=2*(1/3)*(△MBDの面積)*MA
=2*(1/3)*((1/2)*BD*MN)*((1/2)*AC)
=(1/6)*BD*MN*AC．

問題2：
(1)MN^2=AN^2-AM^2
=(AB^2-BN^2)-AM^2
=(110-7^2)-5^2
=36．
よって、MN=6(答)．

(2)V=(1/6)*BD*MN*AC=(1/6)*14*6*10=140(答)．

(3)外接球の中心をTとすると、
TA=TCであるので、Tは、2点A,Cから等距離にある点の集合である平面MBD上にある。
また、TB=TDであることから、同様に考えて、Tは平面NAC上にある。
以上のことから、Tは平面MBDと平面NACとの交わりである直線MN上にあることがわかる。
この四面体ABCDを、xyz空間に、A，B，C，D，Tの座標が次のようになるようにおく。
A(5，0，0)，B(0，7，6)，C(-5，0，0)，D(0，-7，6)，T(0，0，t)．
TA^2=TB^2より、
(-5)^2+(-t)^2=(-7)^2+(t-6)^2．
よって、t=5．
R=TA=√((-5)^2+(-5)^2)=５√２ (答)．

(4)V=(r/3)*((△BACの面積)+(△DACの面積)+(△ABDの面積)+(△CBDの面積))．
ここで、
(△BACの面積)=(△DACの面積)
=(1/2)*AC*MB
=(1/2)*AC*√(MN^2+BN^2)
=(1/2)*10*√(85)．
(△ABDの面積)=(△CBDの面積)
=(1/2)*BD*NA
=(1/2)*BD*√(AB^2-BN^2)
=(1/2)*14*√(61)．
以上のことから、
140=(r/3)*( 2*(1/2)*10*√(85) + 2*(1/2)*14*√(61) )．
よって、
r=210/(5*√(85)+7*√(61)) (答)．

NO6「早起きおじさん」1/13 16時19分受信 更新1/19

問題１

（１）

まず、△ABD≡△CBDです。（図ア）

だから、対応する中線AN＝CNです。（図イ、図ウ）

すると、△NACは二等辺三角形なので中線NM⊥ACです。（図エ）

次に、△BAC≡△DACです。（図ア）

だから、対応する中線BM＝DMです。（図オ、図カ）

すると、△MBDは二等辺三角形なので中線MN⊥BDです。（図キ）

（２） 四面体ABCDは平面MBDに面対称です。（図ア）

体積Vは三角錐AMBDの２倍なので、

　　　

問題２

（１）図イで、なので、より、.

　　　図エで、なので、より、.

　　　だから、MN＝6.

　　　あとで使うので、CNとBMの長さを調べておきます。

　　　

　　　図オより、

（２）

（３） 外接球の中心をOとすると、対称性からOはMNの上にあります。（図ク）

OM=ｍ、ON=ｎとすると、直角三角形OAMとODNに三平方の定理をあてはめて、

だから、

上の式から、中の式からなので下の式に入れて、

内接球の中心をQとすると、Qから四面体の各面までの距離は等しくなります。

Qと各頂点を結んで元の四面体を4つの三角錐QABC、QBCD、QCDA、QDABに分けて考えます。

このうち下線を引いた2つの三角錐、波線を引いた２つの三角錐がそれぞれ同体積なので、

だから、