平成２６年９月２１日

[流れ星]

　　　　　第311回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：８月31日〜9月21日＞

［3辺が中線の長さ］

　三角形ＡＢＣの3本の中線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦを3辺とする三角形の面積は、もとの三角形ＡＢＣの何分のいくつになるか。

NO1「uchinyan」 　　　 08/31 16時39分　受信

「uchinyan」 　　　 09/01 13時06分　受信 更新 09/21

以下では，説明の便宜上，

３辺が３本の中線 AD，BE，CF の長さである三角形を，

適当に点 X，Y，Z を取り，△XYZ，XY = AD，YZ = BE，ZX = CF，としておきまます。

(解法1)　初等幾何その１

まず，よく知られているように，AD，BE，CF は一点で交わりその交点 O は △ABC の重心，です。

そこで，O は AD，BE，CFを 2：1 に内分します。

E を中心に △AOC を 180°回転し O の移動先を O' とします。

AE = CE なので，A は C に，C は A に重なり，OE = O'E で，O，E，O' は同一直線上にあり，

□AOCO' は平行四辺形になって，E は対角線 AC OO' の交点になります。

そこで，OO' = OE * 2 = BO = BE * 2/3，です。

また，AO = AD * 2/3，AO' = CO = CF * 2/3，なので，

△XYZ は △AOO' と 相似で 3/2 に拡大したもので，△XYZ = △AOO' * 9/4，です。

一方で，△AOO' = △AOC = △ABC * BO/BE = △ABC * 1/3，です。

そこで，△XYZ = △AOO' * 9/4 = △ABC * 1/3 * 9/4 = △ABC * 3/4，です。

つまり，３辺が３本の中線の長さである三角形の面積は，元の三角形の面積の 3/4 倍になります。

なお，A から CO に，C から AO にそれぞれ平行な線を引き交点を O' とする，とか，

BE の延長上に O'E = OE となる点 O' を取る，とか，してもいいですね。

(解法2)　初等幾何その２

D から BE に，E から BC にそれぞれ平行な線を引き交点を P とします。

□EBDP は平行四辺形なので DP = BE です。

さらに，EP = BD = DC，EP//DC なので □EDCP も平行四辺形で，PC = ED，PC//ED，です。

一方で，CD = DB，CE = EA ，中点連結定理より，ED = AB/2 = AF，ED//AB，がいえます。

そこで，PC = AF，PC//AF となって □AFCP も平行四辺形で，PA = CF，です。

結局，△ADP は，３辺が，AD，DP = BE，PA = CF，の三角形なので，△XYZ ≡ △ADP，です。

さらに，DP と AC との交点を Q とすると，BE//DP より CQ：QE = CD：DB = 1：1，で，

CE：EA = 1：1 = 2：2 と合わせて，CQ：QA = 1：3，AQ = AC * 3/4，がいえます。

ここで，B より AC に，D より P を通って AC に平行な線に，垂線を下ろし足を H，I とすると，

BE//DP，AC//PI，∠BEH = ∠DPI，∠BHE = 90°= ∠DIP，BE = DP，△BEH ≡ △DPI，BH = DI

そこで，△XYZ = △ADP = AQ * DI * 1/2 = (AC * 3/4) * BH * 1/2 = △ABC * 3/4，です。

つまり，３辺が３本の中線の長さである三角形の面積は，元の三角形の面積の 3/4 倍になります。

(解法3)　初等幾何その３

AQ = AC * 3/4，までは，(解法2)と同じ。

ここで，同様に，

E から CF に，F から CA にそれぞれ平行な線を引き交点を P'，

F から AD に，D から AB にそれぞれ平行な線を引き交点を P''，

とし，同様の三角形，△BEP'，△CFP''，を作り，Q に対応する点を Q'，Q''，とすると，

△BEP' ≡ △YZX，△CFP'' ≡ △ZXY，BQ' = BA * 3/4，CQ'' = CB * 3/4

となって，△XYZ の３本の中線の長さは，AB，BC，CA それぞれの 3/4 倍になります。

そしてこれら３本の中線でできる三角形は △ABC に相似で 3/4 に縮小したもので，

その面積は △ABC の (3/4)^2 倍です。

そこで，１回の３本の中線で三角形を作る操作で面積が k 倍になるとすれば，

２回の操作では k^2 倍で，これが (3/4)^2 倍に等しいので，k = 3/4，です。

つまり，３辺が３本の中線の長さである三角形の面積は，元の三角形の面積の 3/4 倍になります。

(解法4)　計算主体

BC = a，CA = ｂ，AB = c，AD = d，BE = e，CF = f，とします。

パップスの中線定理より，

b^2 + c^2 = 2(d^2 + (a/2)^2)，d^2 = (2b^2 + 2c^2 - a^2)/4

c^2 + a^2 = 2(e^2 + (b/2)^2)，e^2 = (2c^2 + 2a^2 - b^2)/4

a^2 + b^2 = 2(f^2 + (c/2)^2)，f^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4

そこで，ヘロンの公式より，

△XYZ = √((d + e + f)/2 * (d + e - f)/2 * (d - e + f)/2 * (- d + e + f)/2)

(4△XYZ)^2 = (d + e + f)(d + e - f)(d - e + f)(- d + e + f)

= - (d + (e + f))(d - (e + f))(d + (e - f))(d - (e - f))

= - (d^2 - (e + f)^2)(d^2 - (e - f)^2)

= - d^4 + 2(e^2 + f^2)d^2 - (e^2 - f^2)^2

= - ((2b^2 + 2c^2 - a^2)/4)^2

+ 2((2c^2 + 2a^2 - b^2)/4 + (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4)((2b^2 + 2c^2 - a^2)/4)

- ((2c^2 + 2a^2 - b^2)/4 - (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4)^2

= - ((2b^2 + 2c^2 - a^2)/4)^2

+ 2((4a^2 + b^2 + c^2)/4)((2b^2 + 2c^2 - a^2)/4)

- ((3c^2 - 3b^2)/4)^2

(16△XYZ)^2

= - (2b^2 + 2c^2 - a^2)^2

+ 2(4a^2 + b^2 + c^2)(2b^2 + 2c^2 - a^2)

- (3c^2 - 3b^2)^2

= - 4b^4 - 4c^4 - a^4 - 8b^2c^2 + 4a^2b^2 + 4c^2a^2

+ 16a^2b^2 + 4b^4 + 4b^2c^2 + 16c^2a^2 + 4b^2c^2 + 4c^4 - 8a^4 - 2a^2b^2 - 2c^2a^2

- 9c^4 + 18b^2c^2 - 9b^4

= 18a^2b^2 + 18b^2c^2 + 18c^2a^2 - 9a^4 - 9b^4 - 9c^4

= 9(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)

= - 9(a^4 - 2(b^2 + c^2)a^2 + (b^2 - c^2)^2)

= 9(- (a^2 - (b + c)^2)(a^2 - (b - c)^2))

= 9(- (a + (b + c))(a - (b + c))(a + (b - c))(a - (b - c)))

= 9(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c)

= 9(4△ABC)^2

(16△XYZ)^2 = (12△ABC)^2

16△XYZ = 12△ABC

△XYZ = △ABC * 3/4

つまり，３辺が３本の中線の長さである三角形の面積は，元の三角形の面積の 3/4 倍になります。

(解法5)　ベクトルの外積の利用

以下では，[a] などでベクトルを表すことにします。

また，大学レベルになりますが，ベクトルの外積を利用します。

ここで，ベクトルの外積とは，二つのベクトル [a] と [b] から構成され，

その向きを [a] から [b] に向けて右ねじを回すときに右ねじが進む方向，

その大きさを [a] と [b] の作る平行四辺形の面積，

とするベクトルで，[a]×[b] と書くことにします。

[a]×[a] = [0]，[a]×[b] = - [b]×[a]，です。

さて，[AB] = [a]，[AC] = [b] とすると，

△ABC = ([AB] と [AC] の作る平行四辺形の面積)/2 = |[AB]×[AC]|/2 = |[a]×[b]|/2，です。

さらに，[AF] = [a]/2，[AE] = [b]/2，[BC] = [AC] - [AB] = [b] - [a]，で，

[AD] = [AB] + [BC]/2 = ([a] + [b])/2

[BE] = [AE] - [AB] = (- 2[a] + [b])/2

[CF] = [AF] - [AC] = ([a] - 2[b])/2

△XYZ は，X = A = F，Y = D = B，Z = E = C，[XY] = [AD]，[XZ] = [FC]，とすればよく，

△XYZ = |[XY]×[XZ]|/2 = |[AD]×[FC]|/2 = |- [AD]×[CF]|/2 = |[AD]×[CF]|/2

= |(([a] + [b])/2)×(([a] - 2[b])/2)|/2 = |([a] + [b])×([a] - 2[b])|/8

= |[a]×[a] + [b]×[a] - 2[a]×[b]- 2[b]×[b]|/8

= |[0] - [a]×[b] - 2[a]×[b]- 2[0]|/8

= |- 3[a]×[b]|/8 = |[a]×[b]|/2 * 3/4 = △ABC * 3/4

つまり，３辺が３本の中線の長さである三角形の面積は，元の三角形の面積の 3/4 倍になります。

(感想)

問題を見てすぐに思い付いたのが，(解法1)と(解法5)でした。その後(解法2)を思い付きました。

多分，(解法1)又は(解法2)の辺りが自然かな，とは思いましたが，

平行四辺形を作るなど，それなりに工夫が必要です。

その点，(解法5)は，大学レベルなのでこのサイトでは違反かな，とは思うものの，

予備知識があれば，何も工夫はいらず計算自体も簡単なので，一応書いておきました。

(解法3)は(解法1)をまとめているときに思い付いた解法です。

(解法1)の方向で説明を書いてみると複雑になってきたのですが，

一部を別解とできることに気付き，それを取り出してまとめたのが(解法2)です。

そして取り出した残りが(解法3)です。アイディアがちょっと面白いと思っています。

ここまで書いて，何となく比較のためにも計算重視の解法が欲しくなって，

(解法4)を書いてみました。他と比べると大変ですが，先が見えるので思ったより楽です。いずれにせよ，いろいろと楽しめる問題でした。

NO2「にいばりZ12」 09/01 00時53分　受信 更新 09/21

にいばりZ12です

図形の問題はの問題は不得手（図を描くのに四苦八苦するので）ですが

何とかなりそうなので回答させていただきます

点Eについて点対称な図を作ると添付図（pdf）のような平行四辺形になります

（ここからは添付図を参照しながらお願いします）

そこで、求める三角形はADF’

元の三角形の面積をSとすると平行四辺形ABCB’の面積は2S

ADF’＝2S-ABD-AF’B’-DCF’

ABD＝AF’B’＝S/2

DCF’＝DCE＝S/4

∴ADF’＝2S-S-S/4=3S/4・・・・・回答

（途中の照明はかなり端折りましたが、2辺中点連結定理と三角形の合同等、中学校の図形の単元ですのでご容赦ください）

寄せられた図です

「にいばりZ12」 09/05 00時10分　受信 更新 09/21

にいばりZ12です

中線定理と、ヘロンの変形で考えていましたが、なかなかシンプルに行きません。

幾何解法の（添付図がたぶん不要な）別解を思いつきました。

�@OBの中点をGとします

�A三角形の面積を次のように記述します

ABC=AEO/6=AFO/6=BFO/6=BDO/6=CDO/6=CEO/6　∵Oが重心であることから明らか

FGO=FBO/2

�BFGはAOに並行（AOBにおける中点連結定理）

　FG=AO/2=AD/3=OD　∵Oが重心であることから明らか

　FO=FC/3

　DO=DA/3

�C�Bより三角形FGOは中線を3辺とする三角形と相似で辺長は1/3面積は1/9

　�AよりFGO＝ABC/12

�Dよって中線を3辺とする三角形の面積をSとすると

　S＝9×FGO＝9 ×ABC/12＝3/4 ABC・・・・回答

NO3「早起きのおじさん」 09/01 10時02分　受信 更新 09/21

●答は です。

●解答１（図形で）

△ABCを点Eに関して180°回転します。

すると、□ABC(B)は平行四辺形です。

△CB(B)に中点連結定理をあてはめると、2×D(F)＝B(B)なので、D(F)=BEです。

よって、△AD(F)は注目する三角形です。

△AD(F)をACで2つの部分に分けます。

それぞれの三角形について、APを底辺としてみます。

高さは△ABCの半分、底辺は△ABCの4分の3です。

三角形の面積は、底辺と高さにそれぞれ比例するので、△ABCを基準にすると、

●解答２（計算で）

3辺の長さがわかっているとき、三角形の面積はヘロンの公式より、

△ABCに中線定理をあてはめます。

AB=c、AC=b、BC=a、AD=dとすると、

よって、

同様に、

これらは、a→b、b→c、c→aのように、文字のローテーションで得られます。

3辺の長さが、d、e、fの三角形の面積S’は、

根号の中の2乗の積の部分の一つは、

4乗の部分の一つは、

よって根号の中は、

以上から、

NO4「浜田明巳」 09/01 14時35分　受信 更新 09/21

ＡＤ，ＢＥの交点をＯ（重心），ＡＯの中点をＧとして，ＦＧを結ぶ．
　このとき，重心の性質から，
　　ＧＯ＝ＡＯ／２＝ＡＤ／３
　　ＦＯ＝ＣＦ／３
　また，Ｆ，ＧはそれぞれＡＢ，ＡＯの中点なので，中点連結定理から，
　　ＦＧ＝ＢＯ／２＝ＢＥ／３
　故に△ＧＦＯの３辺は，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの長さを３辺とする三角形Ｔの３辺の１／３の長さを有する．
　故に△ＧＦＯと三角形Ｔは相似であり，相似比は１：３となり，面積比は１：９である．
　次に，
　　△ＧＦＯ＝１／２・△ＡＦＯ＝１／２・１／３・△ＡＦＣ＝１／６・△ＡＦＣ
　　　　　　＝１／６・１／２・△ＡＢＣ＝１／１２・△ＡＢＣ
　　∴三角形Ｔ＝９△ＧＦＯ＝９／１２・△ＡＢＣ＝３／４・△ＡＢＣ

　またグラフ表示ソフトGRAPESを使って，この図を表示してみた．
　どのような△ＡＢＣを表示しても，それに対する三角形Ｔの面積比は３／４となった．

「浜田明巳」 09/03 10時34分　受信

「浜田明巳」 09/06 08時22分　受信 更新 09/21

（別解）（幾何学的考察が嫌いな人用，私自身そうです）
　→ａ＝→ＡＢ，→ｂ＝→ＡＣ，∠ＢＡＣ＝θ，Ｓ＝△ＡＢＣ，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦを３辺の長さとする三角形の面積をＳ'とする．
　ｐ＝｜→ａ｜，ｑ＝｜→ｂ｜とするとき，
　　Ｓ＝１／２・｜→ａ｜｜→ｂ｜sinθ＝１／２・ｐｑsinθ
　　→ＤＡ＝−(→ＡＢ＋→ＡＣ)／２＝−(→ａ＋→ｂ)／２
　　→ＢＥ＝→ＡＥ−→ＡＢ＝→ｂ／２−→ａ＝(→ｂ−２→ａ)／２
　　∴｜→ＤＡ｜^２＝(｜→ａ｜^２＋２→ａ・→ｂ＋｜→ｂ｜^２)／４
　　　　　　　　　＝(ｐ^２＋２ｐｑcosθ＋ｑ^２)／４
　　　｜→ＢＥ｜^２＝(｜→ｂ｜^２−４→ａ・→ｂ＋４｜→ａ｜^２)／４
　　　　　　　　　＝(ｑ^２−４ｐｑcosθ＋４ｐ^２)／４
　　　→ＤＡ・→ＢＥ＝−(→ａ＋→ｂ)／２・(→ｂ−２→ａ)／２
　　　　　　　　　　＝(２｜→ａ｜^２＋→ａ・→ｂ−｜→ｂ｜^２)／４
　　　　　　　　　　＝(２ｐ^２＋ｐｑcosθ−ｑ^２)／４
　　∴Ｓ'＝１／２・{｜→ＤＡ｜^２｜→ＢＥ｜^２−(→ＤＡ・→ＢＥ)^２}^１／２
　　　　　＝１／２・[(ｐ^２＋２ｐｑcosθ＋ｑ^２)／４・(ｑ^２−４ｐｑcosθ＋４ｐ^２)／４−{(２ｐ^２＋ｐｑcosθ−ｑ^２)／４}^２]^１／２
　　　　　＝１／８・{(ｐ^２＋２ｐｑcosθ＋ｑ^２)(ｑ^２−４ｐｑcosθ＋４ｐ^２)−(２ｐ^２＋ｐｑcosθ−ｑ^２)^２}^１／２
　　∴１／２乗内＝(ｐ^２ｑ^２−４ｐ^３ｑcosθ＋４ｐ^４＋２ｐｑ^３cosθ−８ｐ^２ｑ^２cos^２θ＋８ｐ^３ｑcosθ＋ｑ^４−４ｐｑ^３cosθ＋４ｐ^２ｑ^２)
　　　　　　　　　　−(４ｐ^４＋ｐ^２ｑ^２cos^２θ＋ｑ^４＋４ｐ^３ｑcosθ−２ｐｑ^３cosθ−４ｐ^２ｑ^２)
　　　　　　　　＝９ｐ^２ｑ^２−９ｐ^２ｑ^２cos^２θ
　　　　　　　　＝９ｐ^２ｑ^２sin^２θ
　ｐｑsinθ＞０から，
　　Ｓ'＝１／８・３ｐｑsinθ＝３／４・１／２・ｐｑsinθ＝３／４・Ｓ

NO5「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/02 21時29分　受信 更新 09/21

今回は、気付けましたので、図を添付してエントリー♪

添付図参照願います。

図のように、平行四辺形で考えたら…

元の△ABCの2倍から、

(1/2)^2+1/2+1/2 を引けばいいので、

2-(1/4+1)=3/4

つまり…

3/4倍

^^

NO6「三角定規」 09/07 17時20分　受信 更新 09/21

＜コメント：今回の問題ですが，3辺をa,b,cとし，ad,be,cfをa,b,cで表し…，とやってもきっとできるのでしょうね。ちょっと食指が動きませんが…。私は今回の結果を初めて知りましたが，有名な事実なのでしょうか？＞

NO7「二度漬け白菜」 09/13 20時13分　受信 更新 09/21

(答)
3本の中線AD，B，ECFを3辺とする三角形の面積は，
もとの三角形ABCの面積の 3/4  になる．

辺BC，CA，AB の中点をそれぞれD，E，Fとし，
線分ADと線分BEの交点をGとします．
Gは線分CF上の点です．
また，AG：GD = BG：GE = CG：GF = 2：1 です．
3本の中線 AD，BE，CFが作る三角形を T とし，
T の面積を s(T)というふうに書くことにします．

点Dを通ってなおかつ線分BEに平行な直線と線分CFとの交点を H とします．
△CDH ∽ △CBG であり，相似比は  CD：CB = 1：2．
DH=(1/2)*BG=(1/2)*(2/3)*BE=(1/3)*BE．
HG=(1/2)*CG=(1/2)*(2/3)*CF=(1/3)*CF．
GD=(1/3)*AD．
T と △DHG は相似(∵3組の辺の比がすべて等しい)であり，
相似比は 3：1 なので，
s(△DHG)=(1/3)^2*s(T)=(1/9)*s(T)．------ (1)

また，
s(△DHG)
=(1/2)*s(△DCG)=(1/2)*(1/3)*s(△DCA)
=(1/2)*(1/3)*(1/2)*s(△ABC)=(1/12)*s(△ABC)．------ (2)

(1)，(2)より
(1/9)*s(T) = (1/12)*s(△ABC)．
つまり，s(T)=(3/4)*s(△ABC)．

三角形の面積と言えば，私は次の問題が印象に残っています．

(問題)
△ABCの各辺の長さは2よりも大きいものとする．
この三角形の周上に2点をおく長さ2の線分PQが周上を
1周するとき，PQの中点Mの軌跡と，△ABCの周とで囲まれ
る部分の面積を求めよ．

この問題は積分計算をすることなしに解くことが可能です．

＜水の流れから誰か上の問題にチャレンジしてみませんか。＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。